Matematica finanziaria

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1 Università degli Studi di Cagliari D.I.M.C.M. Matematica finanziaria Analisi degli investimenti Prof. Ing. Maria Teresa Pilloni Interesse Tasso di interesse L interesse è il compenso richiesto dalle istituzioni finanziarie per l uso del denaro Pdv creditore: somma di denaro ricevuta per fondi investiti. L interesse percepito rappresenta in tal caso un guadagno o profitto. Pdv debitore: somma di denaro pagata per avere in prestito dell altro denaro. In questo caso l interesse pagato rappresenta un costo. Il tasso di interesse, o tasso di crescita del capitale, è il rapporto fra la redditività di un investimento e l entità dell investimento stesso. Viene generalmente valutato su base annua, e rappresenta il guadagno percentuale realizzato dal denaro impegnato nell impresa. 1

2 Il valore del denaro nel tempo Valore del denaro nel tempo: un dollaro che si riceverà ad una certa data nel futuro non ha lo stesso valore di un dollaro posseduto ora. Un dollaro posseduto adesso vale di più di un dollaro che si riceverà fra n anni. Interesse semplice L interesse da pagare su un debito è proporzionale alla lunghezza del periodo di tempo per il quale si prende a prestito la somma I=interesse guadagnato P=capitale n=periodo di interesse i=tasso di interesse Interesse semplice Interesse composto I = Pni Un debito a interesse semplice può essere contratto per qualunque periodo di tempo. Il capitale e gli interessi devono essere rimborsati solo alla fine del periodo stabilito Quando si concede un prestito per un tempo corrispondente a parecchi periodi di interesse, si considera che l interesse guadagnato sia dovuto alla fine di ogni periodo di interesse 2

3 Pagamento annuale degli interessi anno Somma dovuta a inizio anno Interessi dovuti a fine anno Somma dovuta a fine anno Interesse composto Somma totale dovuta dal debitore a fine anno Pagamento degli interessi alla scadenza del debito anno Somma dovuta a inizio anno (A Interessi da aggiungere al debito alla fine dell anno (B 1*.16= *.16 = *.16 = *.16 = Interesse composto Somma dovuta a fine anno (A+B 1(1.16= ( = ( = ( = Somma totale dovuta dal debitore a fine anno Diagramma del flusso di cassa Diagramma del flusso di cassa $1 $116 $16 $16 $ $16 $16 $16 $1 $116 Debitore Creditore Se in un alternativa di investimento entrate e uscite si verificano simultaneamente, si può calcolare un flusso di cassa netto Il flusso di cassa netto è la somma aritmetica delle entrate (+ e delle uscite (- che si verificano nello stesso momento del tempo 3

4 Convenzione di fine anno Formule dell interesse Si suppone che le spese sostenute per implementare un alternativa avvengano all inizio del periodo abbracciato dall alternativa Si ipotizza che entrate e uscite avvengano alla fine dell anno o del periodo di interesse in cui si verificano Simbologia i = tasso annuale di interesse n = numero dei periodi degli interessi misurati in anni P = capitale iniziale, o valore attuale A = un pagamento singolo, in una serie di n pagamenti uguali, effettuato alla fine di ogni periodo di interesse F = montante che si avrà dopo n anni di interesse a partire dal presente Formule dell interesse Fattore di capitalizzazione composta per un singolo pagamento Capitalizzazione P F Se una somma P è investita adesso, e frutta al tasso i annuale, qual è il capitale e quali gli interessi accumulati dopo n anni? F Attualizzazione F P n-1 n P 4

5 Fattore di capitalizzazione composta per un singolo pagamento Fattore di capitalizzazione composta per un singolo pagamento Anno Somma all inizio dell anno Interesse guadagnati durante l anno 1 P Pi P+Pi=P(1+i Somma composta alla fine dell anno (1+i n Fattore di capitalizzazione composta in un unico pagamento 2 P(1+i P(1+ii P(1+i+P(1+ii=P(1+i 2 3 P(1+i 2 P(1+i 2 i P(1+i 2 +P(1+i 2 i=p(1+i 3 n P(1+i n-1 P(1+i n-1 i P(1+i n-1 +P(1+i n-1 =P(1+i n =F ( F/P,i,n F = P( 1+ i n Fattore di capitalizzazione composta per un singolo pagamento Fattore di attualizzazione per un singolo pagamento Fattore di capitalizzazione composta in un unico pagamento 1 (1 + i n Fattore di attualizzazione in un unico pagamento n = P( 1+ i F/ Pi,, n F=P( F 1 P = F (1 + i ( P/F,i,n n 5

6 Fattore di capitalizzazione composta per una serie di pagamenti uguali Riguarda una serie di pagamenti uguali che avvengono alla fine di successivi periodi di interesse. F Fattore di capitalizzazione composta per una serie di pagamenti uguali Anno Fattore di capitalizzazione di pagamenti a fine anno Montante alla fine del periodo quinquennale 1 1( ( Montante totale n-1 n 3 1( ( A A A A A 5 1( Fattore di capitalizzazione composta per una serie di pagamenti uguali F = A(1 + A(1 + i A(1 + i n 2 Moltiplicando per (1+i si ottiene: + A(1 + i n 1 Fattore di capitalizzazione composta per una serie di pagamenti uguali E risolvendo rispetto ad F: (1 + i F = A i n 1 2 n 1 n F (1 + i = A(1 + i + A(1 + i A(1 + i + A(1 + i Sottraendo la prima equazione dalla seconda si ha: F ( 1+ i F = A + A(1 + i n ( F / A, i, n Fattore di capitalizzazione composta per una serie di pagamenti uguali 6

7 Fattore delle rate di ammortamento per una serie di pagamenti uguali Fattore di recupero del capitale per una serie di pagamenti uguali i A = F (1 + i n 1 Fattore delle rate di ammortamento per una serie di pagamenti uguali i n (1 + i 1 ( A / F, i, n Al tempo viene fatto un deposito di ammontare pari a P ad un tasso di interesse annuale i. Il depositante desidera ritirare il capitale più l interesse guadagnato, in una serie di somme annuali uguali nel corso dei prossimi n anni. Quando viene fatto l ultimo prelievo, non dovrebbero restare fondi nel deposito. Fattore di recupero del capitale per una serie di pagamenti uguali Fattore di recupero del capitale per una serie di pagamenti uguali Diagramma del flusso di cassa Sostituendo P(1+i n al posto di F nella relazione delle rate di ammortamento per una serie di pagamenti uguali, si ha: P A A A A A n-1 n n + = ( n i i(1 i A P 1+ i = P n (1 + i 1 (1 + i n 1 7

8 Fattore di recupero del capitale per una serie di pagamenti uguali Fattore di attualizzazione per una serie di pagamenti uguali n i(1 + i n (1 + i 1 ( A / P, i, n P n (1 + i 1 A i(1 + i = n n (1 + i 1 n i(1 + i Fattore di recupero del capitale di una serie di pagamenti uguali ( P / A, i, n Fattore di attualizzazione di una serie di pagamenti uguali Convenzioni Formule dell interesse 1. La fine di un anno è l inizio dell anno successivo 2. P è all inizio di un anno in un momento considerato come presente 3. F è al termine dell n-esimo anno calcolato da un momento che si suppone il presente 4. Un A si verifica alla fine di ciascun anno del periodo considerato Convenzioni Formule dell interesse 5. Quando sono coinvolti P e A, il primo A della serie si verifica un anno dopo P. 6. Quando sono coinvolti F e A, l ultimo A della serie si verifica simultaneamente ad F. 8

9 CALCOLO DELL EQUIVALENZA CON UN SOLO FATTORE Fattore di capitalizzazione composta per un singolo pagamento Noti la somma P, il montante F e il numero degli anni n, è possibile determinare per interpolazione il tasso di interesse i dalle tavole finanziarie. Es.: se P=3$, F=525$ ed n=9 i risulta: F = P F / P, i, n ( F / P, i,9 525$ (1.75 = 3$ 525$ = 3$( F / P, i,9 Interpolando linearmente si ha: i=6.41% P=3$ F=525$ n=9 Interpolazione lineare F=P(1+i n 525=3(1+i 9 (1+i 9 =525/3=1.75 i=6% (1+i 9 =1.689 i=7% (1+i 9 =1.838 AB AE = BC EF.7.6 X.6 = X.6 = X = 6.41% (1+i A F E.6 x.7 C B i Fattore di capitalizzazione composta per un singolo pagamento Se la somma P, il montante F e il tasso di interesse i sono noti, è possibile ricavare n per interpolazione per mezzo delle tavole. Es.: se P=4$, F=8$ ed i=9% i risulta: F = P CALCOLO DELL EQUIVALENZA CON UN SOLO FATTORE F / P, i, n ( F / P,9, n 8$ (2. = 4$ 8$ = 4$( F / P,9, n Interpolando linearmente si ha: n=8.4 anni Fattore di attualizzazione di un singolo pagamento Il fattore di attualizzazione di un pagamento singolo fornisce il valore del capitale P al tempo equivalente ad una somma futura F. Ad esempio, il valore attuale di una somma uguale a 4$ fra 12 anni ad un tasso di interesse composto annuo del 6% è calcolabile come: P = F CALCOLO DELL EQUIVALENZA CON UN SOLO FATTORE P / F,6,12 P / F, i, n ( = 4$(.497 = 199$ 9

10 INDICATORI BASE Indicatori economici 1 NPV = NET PRESENT VALUE VAN (VALORE ATTUALE NETTO E SUE VARIANTI: NAV (NET ANNUAL VALUE E NFV (NET FUTURE VALUE 2 ROR = RATE OF RETURN TIR (TASSO INTERNO DI RENDIMENTO 3 DISCOUNTED PAYBACK (TEMPO DI RIENTRO DEL CAPITALE NPV = NET PRESENT VALUE NPV = NET PRESENT VALUE Dati N flussi di cassa: F,F 1, F 2,, F N VAN = F N K K = 1+ ( i i : TASSO DI INTERESSE (COSTO OPPORTUNITA DEL CAPITALE K NPV = Somma FC+ attualizzati + FC- attualizzati VAN = F + F 1 + F ( 1+ i ( 1+ i ( 1+ i ( 1+ i N NPV = Valore cumulato dei FC+ e FCdell investimento, attualizzato con uno specifico i per trattare il valore del denaro nel tempo. F N 1

11 NPV = NET PRESENT VALUE NPV = NET PRESENT VALUE (ESEMPIO NPV > FC+ attualizzati > FC- attualizzati NPV+: Valore attuale positivo del flusso di cassa che eccede ciò che è strettamente necessario per coprire il valore attuale negativo del flusso di cassa per il tasso di sconto impiegato. Anno Entrate C. Operat C. Capitali C. Tasse Fl. Cassa NPV = NET PRESENT VALUE (ESEMPIO NPV = NET PRESENT VALUE (ESEMPIO VAN = = ( 1+ i ( 1+ i ( 1+ i ( 1+ i ( ( ( ( ( F F ( ( N + + F 2 1 = M $ F N N 12 = 2 VAN = M$ Ciò significa che all anno si potrebbero ancora spendere M$, in aggiunta ai 2 M$, e ottenere il pareggio fra FC+ e FC- 11

12 NFV = NET FUTURE VALUE NAV = NET ANNUAL VALUE Dati N flussi di cassa: F,F 1, F 2,, F N NFV N = FK 1+ K = N K ( i i : Costo Opportunità del capitale NAV NAV = = NPV ( A / NFV ( A / P, i, N F, i, N ( i N NFV = NPV 1+ ROR (TIR = Rate of Return Dati N flussi di cassa: F,F 1, F 2,, F N ROR F F1 F 2 FN = 1 2 ( 1+ i ( 1+ i ( 1+ i ( 1+ i N VAN N = K = F K ( 1+ i K = V A N ROR i=ror IRR=ROR: valore di i che rende nullo il VAN i i 12

13 CONSIDERAZIONE SUL ROR DISCOUNTED PAYBACK Il ROR non costituisce una valida tecnica per la classificazione dei progetti ROR(1>ROR(2 Progetto (1 migliore del progetto (2 ROR: è un criterio di accetto/rifiuto per ciascun progetto rispetto a investire altrove e non un sistema per classificare i progetti Dati N flussi di cassa: F,F 1, F 2,, F N N K = F K ( 1+ ι K = DPB (Discounted Pay Back: numero di anni necessari per il pareggio fra somma FC+ e FCattualizzati. Non è un indicatore di redditività!!! F ( 1+ i F DISCOUNTED PAYBACK: CALCOLO + F ( 1+ i ( 1+ i 1 F + F 1 ( 1+ i ( 1+ i ( 1+ i 2 F F F F ( 1+ i ( 1+ i ( 1+ i 2 Per calcolare il Payback i singoli FC+ e FC- anno per anno vanno attualizzati e sommati sino ad ottenere il pareggio.... F DISCOUNTED PAYBACK: CALCOLO 2 = ( 1+ i ( 1+ i ( 1+ i ( 1+ i ( 1+ i ( 1+ i 1 ( 1 + i ( 1+ i ( 1+ i ( 1+ i Si prosegue fino ad ottenere Il passaggio da un valore < A un valore >: a quel punto si ottiene n per interpolazione... 13

14 DIAGRAMMA DELL NPV CUMULATIVO Evidenzia: ESEMPIO 21 C=-12 C=-7 I=1 I=1 I=1 I= [M$] 1 1. Discounted Payback (payout: istante temporale nel quale i flussi di cassa cumulativi scontati per il progetto sono = zero. Ovvero: punto del diagramma corrispondente a un NPV=. 2. Punto di minimo dell NPV (massimo capitale esposto, o massimo capitale a rischio. NPV cumulativo [$] Vita del progetto [anni] Payback period: 3.69 anni Valore attuale netto cumulativo al 15% Relazione ROR-NPV i [%] NPV Net Present Value ESEMPIO Tasso di sconto [%] Tasso minimo di rendimento Costo Opportunità del Capitale Costo opportunità del capitale: tasso di rendimento accettato per un investimento. Tasso di rendimento che si realizzerebbe con investimenti alternativi simili di rischio equivalente. NPV e tasso di sconto minimo 14

15 Costo finanziario del capitale Costo al quale è possibile raccogliere del denaro emettendo, ad es., azioni o titoli obbligazionari. E calcolato come media pesata del costo del capitale proprio (cost of equity e del costo del denaro preso in prestito (cost of debt financing. Analisi di pareggio Costo equity: rendimento atteso che gli azionisti si aspettano di ricevere (i* Costo del debito: costo del denaro preso in prestito. ANALISI DI BREAK-EVEN Esempio 2 Consentono di valutare un parametro in condizioni di pareggio entrate - uscite Possono essere condotte per qualsiasi parametro del progetto (costo iniziale, ricavo annuale, valore residuo, vita del progetto, etc. Possono essere basate su uno qualsiasi degli indicatori: ROR, NPV, NAV, NFV, Payback time Un investimento riguardante l affitto di appartamenti dovrebbe fornire entrate nette di 2$/a per i prossimi 1 anni, e ci si aspetta che abbia un valore residuo di rivendita di 25$ dopo 1 anni. Quanto può essere pagato adesso per questa proprietà se si vuole ottenere da questo investimento un ROR prima delle tasse del 12%? 15

16 Esempio 2 Esempio 2 C=? I=2$ I=2$ I=2$ 1 L=25$ PW Equation Uscite attualizzate = entrate attualizzate al 12% C = 2( = 1935$ 5.65 P / A,12%,1 + 25(.322 P / F,12%,1 = FW Equation Uscite a t=1 anni = = entrate a t=1 anni al 12% C( C = 3.16 F / P,12%,1 = 2( [ 2( ] F / A,12%, = 1935$ Esempio 2 Esempio 2 AW, PW e FW Equation forniscono lo stesso risultato AW Equation Valore Annuale Uscite = Valore Annuale Entrate al 12% C(.177 A/ P,12%,1 C = 1935$ = (.57 A/ F,12%,1 L equazione di uguaglianza fra entrate e uscite può essere scritta in qualsiasi momento nel tempo ottenendo sempre lo stesso costo di break-even di 1935$. Si possono condurre analisi di pareggio per qualsiasi parametro, ad esempio, i 16

17 Esempio 3 Pagando 2$ per l investimento dell esempio 2, che tasso di rendimento si otterrebbe? Esempio 3 Si possono scrivere le equazioni PW, AW, FW e poi procedere per tentativi, oppure ricostruire la curva VAN = f(i [meglio] C=2$ I=2$ I=2$ I=2$ L=25$ i = unica incognita PW equation Esempio 3 2 = 2( 2 = 2 P / A, i,1 matematicamente : + 25( P / F, i,1 1 [(1 + i 1] [ + ] 1 i(1 i (1 + i i = 1% 2( (.3855 = 2193$ i =? 2$ i = 12% 2( (.332 = 1935$ Interpolando fra 1% e 12%: Esempio 3 ( i = 1 % + 2% = 11.5% ( %: tasso di rendimento annuo che l investitore riceverebbe sulla parte non ammortizzata del capitale investito 17

18 FW equation Esempio 3 2( F / P, i,1 = 2( F / A, i, Per _ tentativi i = 11.5% AW equation Il diagramma del profilo di cassa cumulativo 2( A/ P, i,1 = ( A/ F, i,1 Per _ tentativi i = 11.5% ROR ROR Il tasso di rendimento di un progetto non è il rendimento ricevuto per ciascun periodo sul capitale iniziale investito, ma è il rendimento ricevuto per ogni periodo sulla parte non ammortizzata dell investimento, cioè sulla parte dell investimento che resta da coprire!!! Grandi tassi di rendimento applicati a piccoli investimenti non ammortizzati hanno effetti diversi da piccoli tassi di rendimento applicati a + > investimenti non ammortizzati. Perciò spesso investimenti con tassi di rendimento elevati non rappresentano gli investimenti migliori! 18

19 DIAGRAMMA DEL PROFILO CUMULATIVO DI CASSA DIAGRAMMA DEL PROFILO CUMULATIVO DI CASSA Stato cumulativo di cassa (investimento non ammortizzato: investimento principale ed accresciuto interesse che non è stato ammortizzato da entrate quali profitti, valore residuo, risparmi, pagamenti ipotecari ecc.. Non è un grafico relativo ai flussi di cassa di progetti individuali, ma costituisce piuttosto il monitoraggio del capitale non ammortizzato (scoperto di una opportunità di investimento. ESEMPIO 5 ESEMPIO 5 Per un investimento attuale di 1$ un investitore riceve 2638$ al termine di ciascuno dei prossimi cinque anni e un valore residuo nullo. Determinare il ROR e diagrammare il profilo di cassa per l intera vita del progetto. PW equation 1( A/ P, i,5 = 2638$ i = 1% 19

20 Anno IL FATTORE A/P Scheduling dei pagamenti Capitale Entrate Interessi (1% del capitale Riduzione del capitale Nuovo capitale dovuto Totale Livello cumulativo di cassa ESEMPIO Punti rappresentativi della quinta colonna della tabella, e rappresentano il capitale scoperto!! ESEMPIO 5 1. Se l investitore volesse terminare l investimento all anno 1, per ottenere un rendimento del 1% sull investimento iniziale, dovrebbe ricevere 11$ alla fine dell anno Se volesse terminare l investimento alla fine dell anno 2, dovrebbe ricevere, oltre ai 2638$ alla fine dell anno 1, anche 9198$ alla fine dell anno 2 ESEMPIO 5 3. Un tasso i=1% porta a zero la posizione cumulata della cassa alla fine della vita del progetto. Qualsiasi altro tasso la renderebbe o positiva (i<1% o negativa (i>1%. 4. Il tasso del 1% è applicato ogni anno sulla parte scoperta dell investimento (investimento non ammort. e non sull investimento iniziale, né sulle entrate. 2

21 ESEMPIO 6 Si riconsideri l esempio 5 nel quale però il valore residuo non sia nullo ma sia pari a 1$, uguale all investimento iniziale. Condizioni particolari: 1. Costo iniziale = Valore residuo 2. Entrate uniformi ESEMPIO 6 Analogia con un investimento bancario: 1. Tasso interesse = ROR del progetto 2. Ritiro interessi ogni periodo = entrate uniformi del progetto 3. Ritiro del capitale al termine della vita del progetto = Valore residuo ESEMPIO 6 ESEMPIO PW _ Equation i 1 = 26 $. 38 = ( P % 2638 / F, i (, 5 P / A, i, 5 + Livello cumulativo di cassa

22 ESEMPIO 7 Determinare il ROR di un progetto nel quale l investitore investe 1$ al tempo zero e riceve una sola entrata singola pari a 1615$ cinque anni più tardi. ESEMPIO 7 C=1$ I=1615$ PW equation 1$ = 1615$( ( P / F, i,5 i = 1% =.6293 P / F, i,5 ESEMPIO ESEMPIO Dal diagramma: Livello cumulativo di cassa L investimento scoperto cresce di anno in anno, non essendoci delle entrate che pareggiano l interesse accresciuto. 2. Esempi 5 e 7: stesso ROR (1%, stesso costo iniziale (1$, stessa vita (n=5. Ma la quota di investimento scoperto alla quale si applica quel 1% è completamente diversa nei due casi!!!! Ciò è ben evidenziato dal diagramma cumulativo

23 ESEMPIO 8 Si consideri un investimento di 1$ al tempo zero e di 5$ alla fine dell anno 1. Esso genera ricavi pari a 9$ alla fine dell anno 2, 95$ alla fine degli anni 3, 4, 5. Qual è il tasso di rendimento del progetto composto annualmente? C=5$ I=95$ I=95$ C=1$ I=9$ I= $ 5 ESEMPIO 8 PW equation: 1 + 5( = 9( P / F, i,2 P / F, i,1 + 95( ROR = i = % = P / A, i,3 ( P / F, i,2 ESEMPIO PVR e BCR Livello cumulativo di cassa

24 RAPPORTO BENEFICI/COSTI BCR = Benefit to Cost Ratio (Rapporto Benefici/Costi PI = Profitability Index Indice di redditività o profittabilità BCR RAPPORTO BENEFICI/COSTI FC FC + = netto netto attuale attuale i* i * BCR >1 Progetto econ. Soddisfacente BCR =1 Condizioni di Break Even BCR <1 Progetto econ. Insoddisfacente Rispetto a investire altrove a i=i* i i = = RAPPORTO BENEFICI/COSTI PRESENT VALUE RATIO Numeratore: Valore attuale del flusso di cassa positivo netto non richiesto per bilanciare i flussi di cassa negativi futuri PVR = Present Value Ratio Denominatore: Valore assoluto attualizzato dei flussi di cassa negativi non pareggiati dai flussi di cassa positivi generati negli anni precedenti PVR NPV FC = calcolato a netto attuale i i = = i * i * In pratica il denominatore riflette quei flussi di cassa a causa dei quali l NPV cumulativo del progetto raggiunge il suo punto più basso, corrispondente al cosidetto massimo capitale a rischio 24

25 PRESENT VALUE RATIO LEGAME BCR -PVR PVR > economia del progetto soddisf. PVR = condizioni di break even PVR < economia del progetto insodd. PVR = (NPV a i=i * /(PW FC neg. netti = (PW FC pos - PW FC neg/(pw FC neg. netti i=i* = (PW FC pos/pw FC neg. netti i* - (PW FC neg/pw FC neg. netti i* PVR = Investment Efficiency PVR = PI - 1 PI = PVR + 1 al breakeven (PI = 1 e (PVR = Caso 1 ESEMPIO 22 C=1$ I=5$ I=5$ I=5$ I=5$ Denominatore: 1 BCR=[5( P/A;15%,1 /1]=2.545>1 OK PVR=[5( P/A;15%,1-1]/1=1.545> OK PVR+1=BCR Caso 1 NPV Cumulativo ESEMPIO Vita del progetto [anni] Diagramma cumulativo dell'npv al 15% 25

26 Caso 2 ESEMPIO 22 C=9$ C=1$ I=5$ I=5$ I=5$ I=5$ Denominatore: 1+(9-5( P/F,15%,1 BCR=5( P/A,15%,9 ( P/F,15%,1 /[1+4( P/F,15%,1 ] =1.5394>1 OK NPV Cumulativo ESEMPIO Vita del progetto [anni] PVR=[5( P/A;15%,9 ( P/F,15%,1-4( P/F,15%,1-1]/ =[1+4( P/F,15%,1 ]=.5394> OK PVR+1=BCR Diagramma cumulativo dell'npv al 15% Caso 3 C=1$ I=5$ ESEMPIO 22 C=19$ I=5$ I=5$ I=5$ Denominatore: 1+[(19-5( P/F,15%,1-5]( P/F,15%,1 BCR=5( P/A,15%,8 ( P/F,15%,2 / /{1+[14( P/F,15%,1-5]( P/F,15%,1 }= =1.44>1 OK (debolmente PVR=[5( P/A,15%,1-19( P/F,15%,2-1]/ /{1+[14( P/F,15%,1-5]( P/F,15%,1 } =.44> OK (debolmente NPV Cumulativo ESEMPIO Vita del progetto [anni] Diagramma cumulativo dell'npv al 15% 26

27 Caso 4 ESEMPIO 22 ESEMPIO 22 C=1$ I=5$ C=9$ I=5$ I=5$ I=5$ Denominatore: 1 BCR=[5( P/A,15%,8 ( P/F,15%,2-4( P/F,15%,2 +5( P/F,15%,1 ]/ /1=1.829>1 OK PVR=[5( P/A,15%,8 ( P/F,15%,2-4( P/F,15%,2 +5( P/F,15%,1-1]/1=.829> OK NPV Cumulativo Vita del progetto [anni] Diagramma cumulativo dell'npv al 15% ESEMPIO 23 Un progetto di investimento coinvolge una spesa di 2$ al tempo zero e di 35$ alla fine dell anno 1. Tale investimento dovrà generare dei ricavi lordi pari a 333$ alla fine dell anno 1 e 556$ alla fine degli anni 2-8. Si dovranno sostenere delle spese per diritti di sfruttamento pari a 33$ all anno 1 e 56$ negli anni 2-8 e dei costi operativi pari a 2$ all anno 1 e a 32$ negli anni 2-8. Calcolare il flusso di cassa prima delle tasse, quindi, per un tasso minimo di ritorno del 15%, determinare il ROR, NPV, PVR, BCR per vedere se il progetto è economicamente soddisfacente. [M$] ESEMPIO 23 Anni Ricavi lordi Diritti Costi Operativi Costi Capitali Flusso Cassa b_t

28 ESEMPIO 23 ESEMPIO 23 Calcolo del NPV NPV + 18( = 2 25( 4.16 P / A,15%,7 (.8696 P / F,15%, $ > OK.8696 P / F,15%,1 + = $ Calcolo del ROR = 2 25( + 18( P / A, i,7 ( P / F, i,1 P / F, i,1 i = ROR = 29.6% > i + * = 15% OK ESEMPIO 23 Calcolo del BCR ESEMPIO 23 Calcolo del PVR PVR = * i FC _ neg _ netti _ att _@ i = ( P / F,15%,1 = =.56 > OK * PVR = PW + i PWNet i P / A,15%,7 18( ( = ( P / F,15%,1 P / F,15%,1 * * = = 1.56 > 1 OK I metodi usati portano alle stesse conclusioni, corrette, se si impiega il denominatore correttamente, e si usano solo i costi netti non pareggiati dai valori positivi dei flussi di cassa. Adesso vediamo a che conclusioni si può arrivare se invece si calcola il denominatore in modo non corretto 28

29 ESEMPIO 23a Si supponga che i costi operativi dell ottavo anno dell esempio precedente possano essere traslati alla fine del nono anno senza che ciò modifichi i ricavi dell ottavo anno. Ripetere le valutazioni di ROR, NPV, PVR, BCR sempre a i * =15% BT CF ( *( Calcolo del NPV.3269 P / F,15%, P / A,15%,6 ESEMPIO 23a NPV = 2 25( ( 32( > $.8696 P / F,15%, P / F,15%,1 P / F,15%, * Ottengo un NPV maggiore di prima, perché spostando in avanti un costo ho migliorato l economia del progetto = $ Calcolo del PVR PVR ESEMPIO 23a P ( =.59 = > / F,15%,1 Anche qui il PVR è giustamente aumentato, perché spostando in avanti un costo ho migliorato l economia del progetto. L ultimo costo, quello del nono anno, è bilanciato dai ricavi degli anni precedenti e non va messo in conto, in un calcolo corretto. 56 Calcolo del BCR P / A,15%,6 18( ( BCR = P / ( ESEMPIO 23a P / F,15%,1 P / F,15%,8 [ 5 32( ]( = ( P / F,15%,1 P / F,15%,1 F,15%,1 + L errore che si fa spesso è quello di includere nel denominatore anche il valore attuale dei flussi di cassa negativi a valle che sono in effetti bilanciati dai flussi di cassa positivi degli anni precedenti. Vediamo in questo caso il PVR: 29

30 Calcolo errato PVR ESEMPIO 23a Calcolo errato BCR ESEMPIO 23a PVR = = ( =.49 < ( P / F,15%,1 P / F,15%,9 = 18( BCR = ( 5( P / F ( P / F,15%,1 P / A,15%,6 P / F,15%,1,15%,8 + 32( P / F ( + 32(,15%,1 P / F,15%,9 P / F,15%,9 = Quindi ottengo un PVR + basso di prima: è chiaro che cè qualcosa di sbagliato se spostando in avanti un costo l economia del progetto peggiora! Valgono considerazioni analoghe al PVR. Investimenti per la produzione di servizi Analisi di servizi: analisi incrementale, analisi basata sul costo minimo, analisi di servizi con durata diversa Costi iniziali Valore residuo Strategia: fornire il servizio al minimo costo 3

31 Investimenti per la produzione di servizi Investimenti per la produzione di servizi ROR < spesso ROR=- Analisi convenzionale ROR Analisi convenzionale NPV Analisi convenzionale PI Analisi convenzionale PVR ROR NPV PI PVR Devono essere usati nella forma incrementale! Si devono analizzare le differenze incrementali fra le alternative per determinare se gli investimenti incrementali nell alternativa di maggiore costo iniziale sono giustificati dai risparmi incrementali Investimenti per la produzione di servizi ESEMPIO 27 Condizioni che giustificano la scelta dell alternativa a maggiore investimento iniziale: 1. ROR investimento incrementale > i * 2. NPV incrementale > 3. PVR incrementale > Una società sta prendendo in considerazione l installazione di un apparecchiatura automatizzata per ridurre i costi della manodopera da 3M$ a 22M$ nell anno1, da 33M$ a 24M$ nell anno2, da 36M$ a 26M$ nell anno3 e da 4M$ a 29M$ nell anno4. 31

32 ESEMPIO 27 Il sistema automatico ha un costo attuale di 2M$, con un valore residuo atteso fra 4 anni pari a 5M$. Il tasso di rendimento minimo, è i * =2%. Tramite un analisi basata sul ROR, sull NPV e sul PVR, si determini si è conveniente o meno, da un pdv economico, installare il nuovo sistema. Si rivalutino quindi le alternative considerando un valore di i * =4%. A B A-B ESEMPIO 27 C=2 OC=22 OC=24 OC=26 OC=29 L= C= OC=3 OC=33 OC=36 OC=4 L= C=+2 OC=-8 OC=-9 OC=-1 OC=-11 L= Analisi incrementale ROR ESEMPIO 27 Analisi incrementale ROR ESEMPIO ( 1( + 1( P / F, i,3 2 = 8( P / F, i,3 P / F, i,1 9( 11( P / F, i,1 + 9( + 16( P / F, i,2 P / F, i,4 P / F, i,2 P / F, i,4 = 5( + P / F, i, 4 i = 3% 2 membro = 216 i = 4% 2 membro = 181 Interpolando i = 3% + 1%[(216 2 /( ] = = 34.6% 32

33 Analisi incrementale ROR ESEMPIO 27 Analisi incrementale NPV ESEMPIO %>i * =2% Conviene investire 2M$ nella apparecchiatura automatica NPV = 2 + 8( + 1(.5787 P / F,2%,3 + 16(.8333 P / F,2%, P / F,2%,4 + 9(.6944 P / F,2%,2 = 64.2 > L apparecchiatura automatica è da acquistare + Analisi incrementale PVR PVR = =.32 > L apparecchiatura automatica è da acquistare ESEMPIO 27 In questo caso, e in generale, ROR, NPV e PVR (o BCR portano alle stesse conclusioni economiche, se le tecniche, ovviamente, vengono usate in maniera corretta i * =2% i * =4% ESEMPIO 27 Non conviene investire nell acquisto della apparecchiatura automatica Conclusione ovvia se guardiamo al ROR incrementale, che è uguale al 34.6%, che va bene confrontato col 2%, ma se passiamo al 4%, la conclusione è che l investimento non è accettabile. 33

34 Analisi incrementale NPV ESEMPIO 27 Analisi incrementale PVR ESEMPIO 27 NPV = 2 + 8( + 1(.3644 P / F,4%,3 + 16(.7143 P / F,4%,1.263 P / F,4%,4 + 9( L apparecchiatura automatica non è da acquistare.512 P / F,4%,2 + = 18.8 < 18.8 PVR = =.94 < 2 L apparecchiatura automatica non è da acquistare Affinché il risultato sia valido, devono realmente esistere altre opportunità di investire a un tasso di rendimento minimo del 4% Investimenti per la produzione di servizi ESEMPIO 28 Analisi del valore presente, annuale, futuro La scelta economica è basata sull alternativa che fornisce il servizio richiesto al minimo costo Si valutino le alternative A e B dell esempio 27 basando l analisi sul valore attuale, annuale e futuro dei costi, con un i * =2%. Si ripeta quindi il calcolo con un i * =4%. Convenzione: Costi + Ricavi - 34

35 ESEMPIO 28 ESEMPIO 28 A B OC=22 OC=26 C=2 OC=24 OC=29 L= OC=3 OC=36 C= OC=33 OC=4 L= ( + 26( Analisi del valore attuale dei costi (A.5787 P / F,2%, P / F,2%,1 + 24( + (29 5(.6944 P / F,2%, P / F,2%,4 = > 3( + 36(.8333 P / F,2%, P / F,2%,3 ESEMPIO 28 Analisi del valore attuale dei costi (B + 33( + 4(.6944 P / F,2%, P / F,2%,4 = 88.4 > Viene quindi scelta l alternativa A, col valore minimo del costo attuale: 816$ ESEMPIO 28 Analisi del valore annuale dei costi (A 816.2( A/ P,2%,4 = 315.3$ Analisi del valore annuale dei costi (B 88.4( A/ P,2%,4 = 34.1$ Scelta: A, con minimo costo annuale 35

36 ESEMPIO 28 Analisi del valore futuro dei costi (A 816.2( Analisi del valore futuro dei costi (B 88.4( 2.74 F / P,2%, F / P,2%,4 = $ = $ Scelta: A, col minimo costo futuro ESEMPIO 28 i*=4% Rifiuto del progetto Valore attuale dei costi (A i*=4% ( + 26(.3644 P / F,4%, P / F,4%,1 + 24( + (29 5(.512 P / F,4%, P / F,4%,4 = 636.8$ ESEMPIO 28 ESEMPIO 28 Valore attuale dei costi (B i*=4% Valore annuale dei costi (A i*=4% 3( + 36(.7143 P / F,4%, P / F,4%,3 + 33( + 4(.512 P / F,4%, P / F,4%,4 = 618.$ 636.8(.5477 A/ P,4%,4 = 344.4$ La scelta ricade allora su B, col minimo costo attuale di 618.M$ 36

37 ESEMPIO 28 ESEMPIO 28 Valore annuale dei costi (B i*=4% Valore futuro dei costi (A i*=4% 618.(.5477 A/ P,4%,4 = 334.2$ 836.8( F / P,4%,4 = $ La scelta ricade allora su B, col minimo costo attuale di 618.M$ 818.( ESEMPIO 28 Valore futuro dei costi (B i*=4% F / P,4%,4 = $ i* deve rappresentare effettive possibilità di investimento, e deve essere scelto attentamente: non deve essere un valore sperato INVESTIMENTI PER PRODUZIONE DI SERVIZI Analisi di alternative di diversa durata IPOTESI 1. Le alternative hanno diversa durata 2. Gli investimenti producono servizi, non ricavi 3. Le alternative producono lo stesso servizio 37

38 INVESTIMENTI PER PRODUZIONE DI SERVIZI INVESTIMENTI PER PRODUZIONE DI SERVIZI Sono necessarie assunzioni che consentano di condurre l analisi in base a una durata comune Un confronto fra costi di progetti con vita diversa significa confrontare servizi complessivamente diversi Metodi di analisi 1. Ripetizione modulare 2. Si trascurano gli anni addizionali dell alternativa di maggiore durata 3. Si stimano i costi reali per estendere la vita più breve su un intervallo più lungo, che costituisce la base comune dell analisi INVESTIMENTI PER PRODUZIONE DI SERVIZI INVESTIMENTI PER PRODUZIONE DI SERVIZI Modello di riferimento A 1 2 L A Metodo 1: Ripetizione modulare Assunzione: i progetti A e B possono essere ripetuti con uguali costi iniziali, operativi, e uguale valore residuo. B L B Obiettivo: individuare un intervallo di studio comune, pari al minimo comune multiplo fra le due durate 38

39 INVESTIMENTI PER PRODUZIONE DI SERVIZI Metodo 1: Ripetizione modulare Applicazione al modello base: C A OC A1 OC A2LA C A OC A1 OC A2LA C A OC A1 OC A2LA A INVESTIMENTI PER PRODUZIONE DI SERVIZI Metodo 1: Ripetizione modulare Svantaggi del metodo 1: escalation dei costi totalmente trascurata!! Altro metodo non corretto equivalente: B C B OC B1 OC B2 OC B3 LB C OC B B1 OC B2 OC B3 L B Ogni alternativa è sostituita dal suo costo annuale equivalente INVESTIMENTI PER PRODUZIONE DI SERVIZI INVESTIMENTI PER PRODUZIONE DI SERVIZI Metodo 2: Si accorcia l alternativa di durata maggiore Metodo 3: Estensione della vita più breve C A OC A1 OC A2 A L A 1 2 B C B OC B1 OC B2 L B 1 2 L B L B L B >L B Si stimano i costi di sostituzione o di riparazione e i costi operativi necessari per estendere la vita del servizio fornito 39

40 INVESTIMENTI PER PRODUZIONE DI SERVIZI Metodo 3: Estensione della vita più breve INVESTIMENTI PER PRODUZIONE DI SERVIZI Metodo 3: Estensione della vita più breve C A OC A1 OC A2LA C A A OC A L A C A > C A C A < C A Macchina nuova Macchina usata B C B OC B1 OC B2 OC B3 LB L A L A OC A3 OC A2 LE ENTRATE PRECEDONO I COSTI Analisi di progetti con entrate che precedono le uscite Tasso di reinvestimento E fisicamente impossibile calcolare un Tasso di Rendimento quando le entrate precedono i costi!!! E necessario avere del denaro investito (costi seguito da entrate o risparmi per calcolare un tasso di rendimento!! 4

41 LE ENTRATE PRECEDONO I COSTI Quando le entrate precedono i costi, i ha il significato di tasso di reinvestimento richiesto ESEMPIO 9 Si valutino le due alternative mutuamente esclusive usando ROR, VPF, NPV e PVR. Il tasso minimo di rendimento è il 1%. tasso al quale i ricavi devono essere reinvestiti per coprire i costi futuri A C=1$ L=352$ l accettabilità dell investimento si ha per un valore di i inferiore a i*. B C=1$ I=416$ 1... I=416$ 5 L=$ ESEMPIO 9 ESEMPIO 9 A C=1$ L=352$ A-B C=$ C=416$ 1... C=416$ 5 L=352$ C=1$ I=416$ I=416$ B L=$ PW equation [M$] A B = ( = ( P / F, i,5 P / A, i,5 i = ROR i = ROR A B = 25% = 3% A-B PW equation [M$] = 41.6( i = ROR P / A, i,5 A B ( P / F, i,5 = 2% > 1% " A" 41

42 ESEMPIO 9 C=352$ 35 ESEMPIO 9 C=$ I=416$ I=416$ B-A B-A PW equation [M$] = 41.6( i = ROR P / A, i,5 B A 35.2( P / F, i,5 = 2% > 1% escludi" B" Livello cumulativo di cassa di B-A per i=2% Questo valore di B-A ha il significato di tasso di reinvestimento, e cioè rappresenta il tasso al quale i ricavi devono essere reinvestiti per coprire il costo futuro all anno 5 pari a 352$ Vita del progetto ESEMPIO 9 Analisi del valore futuro del profitto (Future worth profit analysis, FWPA A C=1$ L=352$ ( A FW Pr ofit = 352$ ESEMPIO 9 Analisi del valore futuro del profitto (Future worth profit analysis, FWPA B C=1$ ( B FW Pr ofit = 416( = 25671$ I=416$ 1... I=416$ 5 L=$ 6.15 F / A,1%,5 = Quindi la scelta è A per massimizzare il profitto 42

43 ESEMPIO 9 ESEMPIO 9 Analisi del valore attuale netto (NPV Analisi del valore attuale netto (NPV A C=1$ NPV A = 352( = 895$.629 P / F,1%,5 5 L=352$ 1 = C=1$ I=416$ I=416$ B L=$ NPV B = 416( = 557$ Quindi scelta A P / A,1%,5 1 = ESEMPIO 9 Analisi PVR ESEMPIO 9 Analisi del valore attuale netto (NPV A C=1$ L=352$ A-B C=$ NPV A B I=416$ 1... I=416$ = = 5 L=352$ 338$ PVR A = 895 /1 =.895 > Quindi scelta A, col > NPV A è accettabile 43

44 Analisi PVR ESEMPIO 9 Analisi PVR ESEMPIO 9 B C=1$ I=416$ 1... I=416$ 5 L=$ A-B C=$ I=416$ 1... I=416$ 5 L=352$ PVR B = 557 /1 =.557 > PVR A B = ( / 416( = 338 /13155 =.26 > P / A,1%,4 = B è accettabile Quindi scelta A ESEMPIO 1: Analisi ROR, NPV, Tasso di reinvestimento quando le entrate precedono i costi Alla vostra società è stato chiesto di considerare la seguente proposta : accettare una somma di 12milioni di $ adesso e 25milioni di $ alla fine dell anno 1 a partire da oggi per gestire lo smaltimento di rifiuti industriali di una fabbrica nei prossimi 1 anni. I costi per lo smaltimento dei rifiuti comprendono un investimento di 5milioni di $ all anno zero, più costi operativi pari a 4milioni$/anno per i prossimi 1 anni. Sia i* il 15%. Si impieghi un analisi basata su ROR ed NPV per decidere se la società dovrebbe o meno accettare questa opportunità. Ricavi Costi Anno FC netti NPV al 15%: ( ESEMPIO P / F,15%,1 4.( = 8.66$ > accettabile P / A,15%,9 ( P / F,15%,1 = 44

45 ESEMPIO 1 i<i * Investimento accettabile i>i * Investimento non accettabile Ricavi Costi Anno FC netti ESEMPIO 1 PW equation Quando le entrate precedono i costi, si deve ragionare al contrario rispetto a prima, e l accettabilità dell investimento si ha per un valore di i inferiore a i*. = ( P / F, i,1 4.( P / A, i,9 i = 5.6% < 15% accettabile ( P / F, i,1 i=5.6%=tasso di reinvestimento ESEMPIO NPV 1 5 Flussi di cassa a segno alterno Dualità del ROR Tasso di sconto [%]

46 Alternanza Uscite-Entrate-Uscite Le entrate seguono e precedono i costi i Significato Misto Sono + adatti metodi diversi dal ROR o metodi basati su un analisi ROR modificata Alternanza Uscite-Entrate-Uscite: Esempi 1. Investimenti in una costruzione o progetto che genera entrate per diversi anni dopo i quali la costruzione o il progetto devono essere rasi al suolo. 2. Investimenti in progetti minerari a cielo aperto che producono entrate seguite da importanti costi di ripristino Alternanza Uscite-Entrate-Uscite: Esempi 3. Investimenti in riforestazione, seguiti da taglio degli alberi, che genera entrate, e poi da costi di riforestazione. 4. Investimenti in piattaforme offshore, con relative entrate per la vendita del petrolio o del gas naturale, seguiti da costi di ripristino ambientali Esempio 11 I progetti alternativi A e B sono due modi alternativi, che si escludono tra loro, di sviluppare un certo progetto. Qual è il migliore per un i * del 2%? Si impieghino le seguenti tecniche: ROR, NPV, NAV, NFV e analisi modificata del ROR. 5. Analisi incrementale 46

47 Esempio 11 [M$] Esempio 11 [M$] A C=182 I=1 I=1 I= Analisi ROR - Analisi Incrementale B C=25 I=184 I= (ROR A =3% (ROR B =3% >2% Si assume n B =3 anni, con I=C= all anno 3 Siccome gli investimenti hanno vite diverse, è difficile dire, intuitivamente, se è migliore A o B per i*=2%. Progetti che presentano = ROR, non sono necessariamente equivalenti. Esempio 11 [M$] Esempio 11 [M$] Analisi Incrementale C=68 I=84 I=84 C=1 B-A PW equation ( = 84( P / F, i,3 P / A, i,2 C=68 I=84 I=84 C=1 B-A ( O anche, in forma di NPV: P / A, i,2 1( P / F, i,3 68 = Analizziamo tutto il campo: 47

48 Esempio 11 [M$] i = % 84(2. 1(1. 68 = i = 1% 84( ( = i = 15% 84( ( = i = 2% 84( ( = i = 3% 84( ( = +.8 i = 4% 84( ( = i [%] NPV Esempio 11 [M$] i = % i = 33.3% Tasso di rendimento duale Livello di cassa cumulativo in [M$] per i=% e i=33.3% LCC>O: i=tasso di Reinvestimento Anni Esempio 11 [M$] LCC<O: i=tasso di Rendimento i=% i=33.3% Nessuno dei due è un tasso di rendimento! Tassi di rendimento duali Nome improprio!! Esempio 11 48

49 Esempio 11 i=%<i * =2% Investimento non accettabile se i = Tasso di rendimento i=33%>i * =2% Investimento accettabile se i = Tasso di rendimento Esempio 11 i=%<i * =2% Investimento accettabile se i = Tasso di reinvestimento i=33%>i * =2% Investimento non accettabile se i = Tasso di reinvestimento Esempio 11 Esempio 11 Analisi NPV NPV NPV A B = 1( = 184( 2.16 P / A,2%, P / A,2%,2 Il tempo zero è un punto comune a tutti i progetti e quindi possiamo procedere al calcolo 182 = $ 25 = $ B Analisi NAV: periodo comune di valutazione=3 anni NAV NAV A B = 1 182( = [184( = 14.8$ B P / A,2%, A/ P,2%,3 25]( = $ A/ P,2%,3 = 49

50 Analisi NFV: periodo comune di valutazione=3 anni NFV NFV A B = 1( = 184( = 53.8$ B F / A,2%,3 2.2 F / A,2%,2 182( ( 1.2 F / P,2%, F / P,2%,3 25( Esempio 11 = $ F / P,2%,3 = 1 A modifica del ROR: sconto del costo finale a i* B-A PW equation modificata: = ( P/A,i,2 i=21.6%>2% Scelta B.5787 C=68+1( P/F,2%,3 1 Esempio 11 I=84 I= NPV per analisi ROR modificata Esempio B-A + Investim. Esterno a i*=2% C=68 1 C=57.87 I=84 I=84 C= Esempio I= Tasso di sconto = Totale C= I=84 I= C=1( P/F,2%,3 =

51 Esempio 11 Totale C= I=84 I= PW equation modificata: = ( P/A,i,2 i=21.6%>2% 2 A modifica del ROR Esempio 11 B-A + Investim. Esterno a i*=2% = Totale C= C=68 I=84 I=84 C= C=83.3 I=1 2 3 I=84 I= C=1( P/F,2%,1 =1*.8333=83.3 Esempio 11 Causa algebrica della dualità Esempio 11 Totale C=68 I=84 I= B-A C=68 I=84 I=84 C= PW equation modificata: =-68+84( P/F,i,1 +.7( P/F,i,2 = i=24.4% PW equation = ( 1+ ( ( 3 1 i 1+ i 2 1+ i 51

52 Esempio 11 Causa algebrica della dualità = x = 1 ( + i i 1+ i 2 1+ i ( 1+ ( ( = x + 84x 1x Causa algebrica della dualità 2 3 = x + 84x 1x Polinomio in x di grado 3, con numero max di radici positive pari al numero di variazioni di segno, 2 in questo caso. x = 1 i = % x = 3/ 4 i = 33.3% Esempio 11 ESEMPIO 12: I costi di ripristino possono generare il problema duale Un progetto richiede un investimento iniziale di 7M$ per generare una corrente prevista di flussi di cassa positivi pari a 4M$ in ognuno degli anni 1-5. Ci si aspetta tuttavia di dover sostenere un costo di ripristino all anno 6 di 14M$. Sia i * =2%. Si valuti il potenziale economico di questo progetto impiegando sia NPV sia ROR. ESEMPIO 12 C=7 I=4 I=4 I=4 I=4 I=4 C= Somma flussi di cassa positivi: 2$; somma flussi di cassa negativi: 21$. Alcuni dei primi flussi di cassa positivi sarà usato per ripagare l investimento iniziale, fornendo quindi un rendimento sull investimento iniziale, mentre i restanti flussi di cassa positivi dovranno essere reinvestiti ad un certo tasso di interesse per generare un fondo cassa sufficiente a ricoprire i costi futuri. 52

53 ESEMPIO 12 Analisi del ROR ESEMPIO 12 C=7 I=4 I=4 I=4 I=4 I=4 C= PW equation 4( P/A,i,5-14( P/F,i,6-7= i = % 4(5. 14(1. 7 = 1. i = 5% 4( ( = 1.3 i = 8% 4( ( = i = 15% 4( ( = i = 2% 4( ( = i = 25% 4( ( = +.9 i = 3% 4( ( = 1.6 ESEMPIO 12 ESEMPIO 12 ROR 1 :6.4% - ROR 2 :26.78% ROR 1 :6.4% - ROR 2 :26.78% Entrambi questi tassi: Entrambi questi tassi: 1. Portano a zero il livello cumulativo di cassa alla fine della vita del progetto 2. Hanno un significato misto: tasso di rendimento nella prima parte del progetto e tasso di reinvestimento negli ultimi anni del progetto 3. Non possono essere usati in maniera diretta a fini decisionali come il ROR 4. Forniscono un informazione comunque utile, perché delimitano il campo di valori del tasso di rendimento minimo per il quale l NPV del progetto è positivo 53

54 ESEMPIO 12 ESEMPIO 12 ROR 1 :6.4% - ROR 2 :26.78% NPV a i*=2% In presenza di dualità, è sempre più facile basare l analisi sull NPV 4( P / A,2%,5 14(.3349 P / F,2%,6 7 = 2.754$ > ESEMPIO i [%] -1 ESEMPIO 12 Analisi modificata del ROR NPV C=7+14( P/F,2%,6 I=4 1 PW equation modificata I= =4( P/A,i,5 ROR=i=21.1%: OK 54

55 ROR modificato II ESEMPIO 12 ROR modificato II ESEMPIO 12 C=19.9 I=4 Net I=2.1 C=63.88 P/F,2%,1 P/F,2%,1 I=4 C= Net C= I=4 Net C=76.66 Nuovo diagramma modificato P/F,2%,1 5 6 C=14 C=7 I=4 I=4 I= C=7 I=4 I=4 I= PW equation modificata (II A =-7+4(P/A,i,2+2.1(P/F,i,3 i=ror=22.75%>i * =2% Quindi OK ENTRATE - USCITE - ENTRATE Valgono considerazioni speculari rispetto al caso uscite - entrate - uscite Ammortamento 55

56 Tipologie di ammortamento Periodo di ammortamento contabile -fiscale quote destinate alla semplice ricostruzione contabile del valore del bene strumentale (compare nel bilancio di esercizio economico quote comprensive di interessi equivalenti economicamente al bene iniziale finanziario quote per una graduale estinzione di un debito (mutuo contabile -fiscale periodo max consentito dalle leggi fiscali economico periodo riferito alla vita effettiva di utilizzo del bene finanziario periodo fissato dal creditore Periodo di ammortamento economico si sceglie la minor durata fra le seguenti fisica: dipende dall usura fisica della macchina o impianto (vita fisica economica: dipende dal progresso tecnologico ( e dall andamento dei costi di manutenzione, che rende obsolete le macchine esistenti (vita utile commerciale: il bene strumentale non è più idoneo per motivi commerciali (cambio prodotto, potenzialità insufficiente, ecc. Calcolo ammortamento contabile n V = A j k A j j= 1 j= 1 annualità costanti A j =(V /n Fondo ammortamento all anno k 56

57 Calcolo ammortamento economico La ricostituzione del capitale iniziale deve avvenire con quote B j comprensive di interessi e in totale equivalenti al valore iniziale. L ammortamento economico è una semplice ripartizione di una somma di denaro su più intervalli di tempo; ciò consente di passare da una somma espressa in al tempo zero a diverse somme equivalenti espresse in /anno che si verificano in tempi diversi. Calcolo ammortamento economico Consente, ad esempio, di calcolare il costo unitario di un servizio (es.: /Nm 3 di aria compressa, o /km per un servizio trasporti, etc... Le quote devono essere attualizzate: n j V = B ( 1+ i +V ( 1+ i j j= 1 R n Piani finanziari equivalenti (P=1, i=1% Piani/n I II III IV I -prestiti poliennali Tesoro (BTP, obbligazioni II -risparmi postali,ctz, obbligaz.senza cedola III, IV - mutui fondiari Piani finanziari, quota capitale + interessi (P=1, i=1% Piani/n I II III IV

58 piano I piano II q i =1 P I n =1594 P P= P=1 q I = Pi = 1 investimento nel tempo = cost = P F n = P+I n = P( F/Pi,n = 2594 investimento medio > P q i q c P=1 piano III q i q c piano IV A=162.8=cost P=1 q c = P/n = 1 q ik = [P-(k-1q c ] i investimento medio < P A =q i +q c = P( A/Pi,n =1x.1628=162.8 q ck = A-q ik q ik =P k i investimento medio < P 58

59 LEVA FINANZIARIA Analisi degli investimenti tasse incluse La leva finanziaria Denaro preso in prestito Denaro nostro (equity Aumentare il profitto ottenibile con l equity Obiettivo: Leva finanziaria DETERMINAZIONE DEI FLUSSI DI CASSA PRIMA E DOPO LE TASSE DETERMINAZIONE DEI FLUSSI DI CASSA PRIMA E DOPO LE TASSE + RICAVI - COSTI OPERATIVI - COSTI CAPITALI Schema di principio FLUSSO DI CASSA PRIMA DELLE TASSE Schema di principio FLUSSO DI CASSA PRIMA DELLE TASSE - TASSE FLUSSO DI CASSA DOPO LE TASSE 59

60 FLUSSI DI CASSA DOPO LE TASSE Schema operativo + RICAVI - COSTI OPERATIVI - AMMORTAMENTO + IMPONIBILE - TASSE + RICAVI NETTI + AMMORTAMENTO - COSTI CAPITALI FLUSSO DI CASSA DOPO LE TASSE Esempio (funzionamento della leva Acquisto di 1 azioni a 1 $/azione Rivendo le 1 azioni a 15 $/azione Costo di acquisto:1 $ Ricavo dalla vendita: 15 $ Profitto: 5$ ROR = 5% sull equity(1 $ Esempio (funzionamento della leva Esempio (funzionamento della leva Ipotesi: prendo in prestito 1 $ Rivendo le 2 azioni a 15 $/azione Ricavo dalla vendita: 3 $ Acquisto di 2 azioni a 1 $/azione Costo di acquisto: 2 $ 1: restituzione 1: equity 1: profitto ROR = 1% sull equity (1 $ 6

61 Esempio (funzionamento della leva Conclusione: 5% di denaro preso in prestito Legge base dell economia Non esistono pasti gratis!!! Raddoppio del profitto ottenuto per $ di equity investito La leva finanziaria può operare contro esattamente nello stesso modo in cui può operare a favore!! Esempio (funzionamento della leva 1 $/azione 5 $/azione 1 azioni, rivendute, producono un profitto di 5$, ROR=-5% sull equity 2 azioni, rivendute, producono un profitto di 1$, ROR=-1% sull equity!! L equity è perso!! Differenze fondamentali fra 1% equity e presenza di denaro preso in prestito 1. L interesse sul denaro preso in prestito è un ulteriore costo operativo deducibile dalle tasse 2. La restituzione del prestito costituisce un costo addizionale non deducibile dalle tasse 3. I costi capitali relativi all investimento devono essere aggiustati per il flusso entrante di denaro preso in prestito 61

62 Esempio di diversi piani di ammortamento Ipotesi: Prestito: 9 $ Interesse annuo: 1% n=3 anni Esempio: piano ammortamento 1 Prestito e interessi vengono pagati in un unica somma alla fine dell anno 3. Prestito: 9$ a i=1% Rest. Prestito =9(F/P,1%,3=1198$ Esempio: piano ammortamento 1 Esempio: piano ammortamento 2 Approccio poco usato per prestiti personali o commerciali 1198$: 9(restituzione prestito+ +298(interessi Il prestito è interamente ripagato alla fine dell anno 3; gli interessi sono pagati alla fine di ogni anno Prestito: 9$ a i=1% P=$ I=9$ P=$ I=9$ P=9$ I=9$

63 Esempio: piano ammortamento 3 Esempio: piano ammortamento 4 Il prestito è ripagato tramite pagamenti annuali uniformi sui tre anni; l interesse viene pagato alla fine di ogni anno Prestito e interesse vengono pagati tramite quote annuali uguali: 9(A/P,1%,3=361.9$/anno Prestito: 9$ a i=1% P=3$ I=9$ P=3$ I=6$ P=3$ I=3$ Prestito: 9$ a i=1% A=361.9$ P=271.9$ I=9$ B=628.1$ A=361.9$ P=299.1$ I=62.8$ B=329.$ A=361.9$ P=329.$ I=32.9$ B=.$ Esempio: piano ammortamento 4 PRESTITI A TASSO VARIABILE E uno dei sistemi più comuni per valutare le quote di ammortamento per prestiti personali e a società L interesse sul prestito viene continuamente aggiustato 63