Sistemi Aperti. Corso di Fisica Tecnica IngGes AA2017/18. Federico Mazzelli. Santa Marta, stanza /

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1 Corso di Fisica Tecnica IngGes AA2017/18 Sistemi Aperti Federico Mazzelli Santa Marta, stanza / Laboratorio Di Conversione Dell'energia C.I.

2 Equazioni di Bilancio per Sistemi Aperti In generale, il bilancio per un Volume di Controllo (VC) di una quantità x si scrive variazione dix all interno del VC nell unità di tempo dt = flusso di x entrante nel VC nell unità di tempo flusso di x uscente dalvc nell unità di tempo + produzione di x nel VC nell unità di tempo distruzione di x nel VC nell unità di tempo Ci sono differenti tipi di equazioni di bilancio che possiamo descrivere: Bilancio di massa Bilancio di Quantità di Moto o Momento (F=ma) Bilancio di Energia Totale Bilancio di Energia Meccanica Bilancio di Entropia Ecc Lezione 5 Sistemi Aperti 2

3 Equazioni di Bilancio per Sistemi Aperti Per la massa, l energia e la quantità di moto non abbiamo nessuna produzione o distruzione all interno del volume di controllo. Queste sono dette grandezze CONSERVATIVE (il loro valore si conserva nell universo) L entropia invece si può creare all interno del dominio a causa delle irreversibilità, mentre non può mai essere distrutta. Se l entropia diminuisce in un sistema, è solo a causa di una cessione di calore verso l ambiente esterno. In tal caso, la somma della variazione di entropia del sistema+ambiente non può essere minore di zero Per l energia meccanica vale il contrario. Ovvero, questa si conserva solo in processi reversibili, mentre si distrugge in fenomeni irreversibili (es. attriti) Entrambe queste grandezze sono dette NON CONSERVATIVE Lezione 5 Sistemi Aperti 3

4 Equazioni di Bilancio per Sistemi Aperti Il calcolo del bilancio di una grandezza conservativa (massa, energia, quantità di moto) può essere fatto conoscendo solo ciò che succede al contorno del sistema (ciò che entra ed esce) Per una grandezza non conservativa dobbiamo anche sapere cosa succede all interno del sistema (es. produzione di entropia all interno del VC a causa di irreversibilità) Quanti e quali equazioni di bilancio dobbiamo risolvere per analizzare un sistema? In generale si devono risolvere i 3 bilanci delle grandezze conservative a cui si deve aggiungere la descrizione delle proprietà dei fluidi (equazione di stato + descrizione calori specifici, viscosità, conducibilità ecc ) Si può però ridurre il numero di equazioni di bilancio in molti casi, in modo da risolvere analiticamente i sistemi di equazioni che si ottengono. Lezione 5 Sistemi Aperti 4

5 Bilancio di Massa Lezione 5 Sistemi Aperti 5

6 Bilancio di Massa Il principio di conservazione della massa impone che per qualsiasi sistema aperto deve valere: dm vc dt = m in m out In cui m è la portata in massa [kg/s] entrante o uscente dal volume di controllo, mentre m vc è la massa totale nel sistema Questa equazione è generale, vale istante per istante, per un volume di controllo di forma qualsiasi e con un numero qualsiasi di ingressi o uscite ( m in, m out sono valori complessivi) dm vc dt = m in m out = i m i u m u Lezione 5 Sistemi Aperti 6

7 Bilancio di Massa Come possiamo calcolare i valori di portata in massa in ciascun ingresso e uscita? Ipotizziamo che la velocità e la densità sono uniformi lungo tutta la sezione di ingresso. Inoltre A non varia molto all ingresso. La massa che entra nella sezione in un dt è data da: m = mdt = ρdv = ρadx La portata nell unità di tempo è quindi: m = m dt = ρa dx dt = ρaw w è la componente di velocità normale alla sezione A Questa formula possiamo utilizzarla in maniera approssimata anche in casi in cui ρ e w non sono uniformi, a patto di considerare dei valori medi calcolati in maniera appropriata Lezione 5 Sistemi Aperti 7

8 Bilancio di Massa Nel caso in cui le proprietà sono variabili dividiamo la superficie d ingresso in tante piccole superfici in cui possiamo considerare le proprietà approssimativamente uniformi m A = m Ai = ρ i A i w i i i Al limite di superfici infinitesime otteniamo la formula generale per il calcolo della portata entrante (o uscente) in una superficie A del nostro volume di controllo m = A d m = A ρwda Nel caso in cui densità e velocità sono uniformi ritroviamo il caso semplificato Lezione 5 Sistemi Aperti 8

9 Bilancio di Massa Quindi, la formula generale per il bilancio di massa in un sistema qualsiasi è data da: dm vc dt = m in m out = i A i ρwda u A u ρwda In generale dovremmo calcolare un integrale per ogni superficie aperta di ingresso o uscita. Nel caso in cui si possano considerare le proprietà uniformi nelle sezioni: dm vc dt = m in m out = i ρwa i u ρwa u Tale semplificazione è chiamata ipotesi di Flusso Monodimensionale (1D) Useremo spesso questa ipotesi considerando valori medi delle proprietà nelle sezioni di ingresso e uscita Nel caso 2D le proprietà variano in una direzione (es. raggio) o in due nel caso di flusso 3D Lezione 5 Sistemi Aperti 9

10 Regime Stazionario Normalmente, molte macchine lavorano in condizioni per cui la massa ed energia non variano nel tempo all interno del volume di controllo. dm vc dt = 0 m in = m out Tali condizioni prendono il nome di regime stazionario. Fluttuazioni esistono sempre all interno dei sistemi, ma se queste sono contenute e rimangono intorno ad un valore medio, possiamo considerare valida l ipotesi Il regime instazionario si suddivide in diverse categorie Il regime transitorio (es. durante gli avviamenti o spegnimenti delle macchine) Il regime periodico (es. motori a combustione interna) I bilanci in regime transitorio sono molto difficili da risolvere in maniera analitica Lezione 5 Sistemi Aperti 10

11 Bilancio di Energia Lezione 5 Sistemi Aperti 11

12 Bilancio di Energia Il principio di conservazione dell energia impone che per qualsiasi sistema aperto deve valere: de vc dt = Q + L + E in E out In cui E è il flusso di energia o potenza [W] entrante o uscente dal VC a causa dei flussi di massa che lo attraversano L energia totale è data dalla somma dei contributi cinetici, potenziali e di energia interna E = E c + E p + U Lezione 5 Sistemi Aperti 12

13 Bilancio di Energia Nel caso vi siano più ingressi ed uscite il bilancio può essere scritto come: de vc dt = Q + L + i E i u E u Inoltre, ipotizzando una distribuzione uniforme dell energia totale (ipotesi flusso 1D), si può scrivere il flusso di energia in funzione della portata che attraversa la superficie aperta de vc dt = Q + L + i m i e i u m u e u In cui e è l energia totale specifica misurata in [J/kg] Questi bilanci valgono istante per istante e nel calcolo vanno considerate tutte le superfici che circondano il sistema Lezione 5 Sistemi Aperti 13

14 Bilancio di Energia I flussi di massa entranti ed uscenti dal sistema contribuiscono allo scambio di lavoro a causa dell energia necessaria per far entrare ed espellere tali portate. Per questo conviene dividere il termine di lavoro in due contributi, 1. il primo è dovuto ad azioni meccaniche (compressione, espansione) elettriche, magnetiche, ecc L 2. Il termine dovuto ai flussi di massa a volte prende il nome di potenza di pulsione Nel caso in cui la pressione e velocità siano uniformi lungo la sezione (flusso 1D): L pu L pu = L pu dt = padx L pu = paw Ricordando che l espressione per la portata nel caso 1D vale: m = ρaw L pu = m p ρ = m(pv) Lezione 5 Sistemi Aperti 14

15 Bilancio di Energia in Sistemi Aperti La formula generale del bilancio di energia nel caso di flusso 1D diventa: de vc dt = Q + L + i m i u i + p i v i + w i gz i u m u u u + p u v u + w u gz u Sfruttando la definizione di entalpia possiamo scrivere: de vc dt = Q + L + i m i h i + w i gz i u m u h u + w u gz u Questa equazione vale per un istante e solo nel caso in cui i flussi in ingresso e uscita dal sistema possano considerarsi monodimensionali (1D) Il lavoro di impulso chiarisce il significato che assume l entalpia in sistemi aperti Questa è pari all energia interna di una particella di fluido più l energia necessaria a spostarla Lezione 5 Sistemi Aperti 15

16 Bilancio di Energia in Sistemi Aperti Nel caso in cui il flusso sia 3D allora dobbiamo calcolare gli integrali dei vari termini che coinvolgono le sezioni di ingresso ed uscita: L pu = A pwda = A pvd m E c = A w 2 2 ρwda = A w 2 2 d m E p = A gz ρwda = A gzd m U = A u ρwda = A ud m La formula generale del bilancio diventa: de vc dt = Q + L + i A i h + w2 2 + gz d m u A u h + w2 2 + gz d m Lezione 5 Sistemi Aperti 16

17 Bilanci Combinati Massa ed Energia Lezione 5 Sistemi Aperti 17

18 Bilanci combinati di Massa ed Energia Le due equazioni di bilancio di massa ed energia esprimono leggi di conservazione universali che devono valere sempre e contemporaneamente Questo significa che vanno applicate entrambe mettendole a sistema Nel caso in cui il sistema sia in regime stazionario ed abbia un solo ingresso ed una sola uscita otteniamo per il caso 1D un semplice sistema di equazioni: m i = m u = m m h + w2 2 + gz = Q + L La portata entrante è pari a quella che esce, e la variazione di energia tra ingresso ed uscita è pari all energia che entra nel sistema attraverso scambi di calore e lavoro Attenzione ai segni! Lezione 5 Sistemi Aperti 18

19 Turbine e Compressori Una Turbina è una macchina rotante che sfrutta palettature per ricavare lavoro da fluidi in pressione o ad alta velocità (es. pale eoliche, motori aeronautici, impianti idroelettrici, ecc ) Il compressore è invece una turbomacchina che comprime o accelera un fluido fornendogli lavoro In genere l energia ricavata o spesa sotto forma di lavoro è molto più grande del calore disperso. Inoltre, la variazione di energia potenziale e cinetica è in genere trascurabile Nel caso di una turbina si ha: m i = m u = m m h 2 h 1 = L Nel caso del compressore il bilancio è lo stesso ma il lavoro cambia segno Lezione 5 Sistemi Aperti 19

20 Scambiatore di Calore Sono organi che servono a scambiare calore tra due fluidi, in genere tra la macchina e una sorgente (es. serpentine dei frigoriferi, radiatori auto, termosifoni di casa, ecc ) oppure tra due circuiti di lavoro Non vi è scambio di lavoro e la variazione di energia potenziale e cinetica sono in genere trascurabili A seconda delle tipologie si hanno equazioni differenti. Per es. lo scambiatore a miscela prevede che: m i1 + m i2 = m u m i1 h i1 + m i2 h i2 = m u h u In cui si è trascurato lo scambio di calore con l ambiente in quanto sono sistemi che in genere sono isolati. Per i radiatori l obbiettivo è proprio cedere calore all ambiente Lezione 5 Sistemi Aperti 20

21 Ugelli e Diffusori Un ugello è un condotto a sezione variabile in cui il flusso accelera nel suo attraversamento (es. tubo schiacciato). Un diffusore è un condotto a sezione variabile in cui la velocità del flusso diminuisce Dentro ugelli e diffusori non vi è scambio di lavoro. La variazione di energia potenziale è in genere trascurabile m i = m u = m h + w2 2 = Q m Il Q dipende dallo scambio con l ambiente ed è in genere trascurabile rispetto alle variazioni di energia cinetica ed h: h + w2 2 i = h + w2 2 u Lezione 5 Sistemi Aperti 21

22 Valvole di Laminazione Sono organi che servono a controllare pressione e portata negli impianti (es. rubinetti acqua casa). Sono molto utilizzati per il controllo dei regimi di funzionamento (es. termosifoni) Non vi è scambio di lavoro. La variazione di energia potenziale e lo scambio di calore sono trascurabili in quanto sono organi piccoli m i = m u h i + w i 2 2 = h u + w 2 u 2 Se scegliamo due sezioni di ingresso e uscita con area circa costante e non troppo vicine alle valvola si dimostra che anche le velocità sono circa costanti. In tal caso di parla di processo di laminazione. A differenza degli ugelli, la variazione di pressione in una valvola non viene sfruttata per accelerare il fluido, ma viene dissipata e si trasforma in energia termica. Lezione 5 Sistemi Aperti 22

23 Considerazioni In genere, è lecito trascurare un termine solo quando il suo valore è almeno un ordine di grandezza inferiore rispetto agli altri parametri del bilancio Questo si può sapere solo dopo avere fatto i calcoli o per esperienza di casi simili Il calore può essere trascurabile se si verificano una o più delle seguenti condizioni: La superficie esterna del VC è ben isolata o è molto piccola (Q è proporzionale alla superficie di scambio La differenza di Temperatura tra fluido ed esterno è molto piccola (Q=0 se dt=0) I fluidi attraversano il sistema con una velocità tale che non vi è abbastanza tempo a disposizione per scambiare significativi quantitativi di calore (Q = Qdt) Tali approssimazioni permettono di ridurre il numero di parametri incogniti in un problema Ovviamente, l utilizzo di queste semplificazioni da luogo a risultati approssimati e deve essere fatto esclusivamente quando i dati a disposizione non sono sufficienti a risolvere il problema generale Lezione 5 Sistemi Aperti 23

24 Considerazioni I bilanci possono essere usati per diversi obbiettivi a seconda dei dati che abbiamo a disposizione e di cosa vogliamo trovare Ad es. se abbiamo misure tra ingresso ed uscita possiamo calcolare il lavoro o il calore scambiato da un organo Viceversa, se conosciamo calore e lavoro possiamo stimare l uscita le grandezze in uscita da un sistema note le condizioni in ingresso Possiamo usare i bilanci per progettare sistemi (es. sapendo che abbiamo bisogno di tot potenza, posso calcolare quanta portata è necessaria note le condizioni del fluido) In ogni caso, bilanci di conservazione non permettono di considerare cosa succede dentro al sistema (se non per il termine transitorio), ma solo quello che succede al contorno. Questo può essere un vantaggio perché si riesce ad ottenere risultati con poche informazioni sul contorno Tuttavia non possiamo valutare i dettagli delle trasformazioni che avvengono all interno Come facciamo a valutare la qualità delle trasformazioni che avvengono? Lezione 5 Sistemi Aperti 24

25 Bilancio di Entropia Lezione 5 Sistemi Aperti 25

26 Bilancio di Entropia Come massa ed energia, l entropia è una grandezza estensiva e può essere trasportata dentro o fuori da un sistema attraverso un flusso di massa. Nel caso 1D abbiamo: ds vc dt = j A j Q T da + i m i s i u m u s u + σ Se i flussi sono 3D dobbiamo valutare integrali per ogni ingresso o uscita. Viceversa, se il rapporto Q/T nella generica superficie A j è uniforme, è possibile eliminare l integrale La temperatura nel rapporto è quella che esiste istantaneamente sul contorno, per scambi reversibili tale T è la stessa dentro e fuori il sistema, per scambi internamente reversibili e pari a quella interna al sistema Il termine di produzione di entropia raccoglie tutti i possibili contributi di produzione di entropia all interno del sistema (non dipende solo da quello che succede al contorno) E molto difficile calcolarlo perché dipende dal tipo di trasformazioni e dal tipo di irreversibilità Lezione 5 Sistemi Aperti 26

27 Bilancio di Entropia Nel caso stazionario, 1D, Q/T uniformi, con un solo ingresso ed una uscita: σ = j Q j + m(s T u s i ) j Se il sistema è anche adiabatico abbiamo: s u s i = σ m La variazione di entropia è pari alle irreversibilità interne al sistema. Questi possono anche essere dovuti a scambi termici interni nonostante il contorno del sistema sia adiabatico Nel caso i processi interni siano anche reversibili abbiamo una trasformazione isentropica Lezione 5 Sistemi Aperti 27

28 Trasformazioni Isentropiche Un processo isentropico non è però necessariamente reversibile è sufficiente che il sistema trasferisca all esterno una quantità di entropia pari alla produzione interna s u s i = 0 σ = j Q j T j Le trasformazioni isentropiche sono molto facili da valutare e forniscono la base per calcolare le prestazioni di macchine reali In un diagramma T-s o h-s sono linee verticali E sufficiente conoscere un solo altro parametro per determinare lo stato del sistema Lezione 5 Sistemi Aperti 28

29 Trasformazioni Isentropiche per Gas Perfetti Abbiamo visto che per i gas perfetti valgono le seguenti relazioni per il calcolo dell entropia s 2 s 1 = 1 2 c v T dt T + Rln v 2 2 s v 2 s 1 = c p T dt 1 1 T Rln p 2 p 1 Nel caso di calori specifici costanti e trasformazione adiabatica reversibile: 0 = c v ln T 2 T 1 + Rln v 2 v 1 0 = c p ln T 2 T 1 Rln p 2 p 1 Ricordando che per i gas perfetti c p =c v -R: T 2 T 1 = p 2 p 1 (γ 1) γ = v 1 v 2 γ 1 = ρ 2 ρ 1 γ 1 (Isentropica, calori spec. cost) Lezione 4 Proprietà Termodinamiche dei Fluidi 29

30 Efficienze Isentropiche Lezione 5 Sistemi Aperti 30

31 Efficienze isentropiche Nel caso di trasformazioni irreversibili, il termine di produzione è sempre positivo ed è in generale incognito L unico modo di usare il bilancio è quindi per il calcolo di σ, noti tutti gli altri parametri La valutazione di σ serve a calcolare a posteriori la qualità delle trasformazioni (efficienze) che avvengono all interno del nostro sistema Di fatto, la trasformazione migliore che possiamo ottenere è una per cui σ = 0 Le trasformazioni per cui ciò avviene sono quelle (internamente) reversibili Se riusciamo a calcolare tutti i termini del bilancio di entropia possiamo valutare σ e capire quanto siamo distanti da una trasformazione ideale Questo processo è alla base della definizione di Efficienza Isentropica di una macchina Lezione 5 Sistemi Aperti 31

32 Efficienze isentropiche L efficienza isentropica di un sistema aperto si ottiene confrontando le prestazioni della macchina reale con quelle che otterrebbe una macchina ideale a parità di condizioni Nel fare tali confronti si presuppone che la macchina ideale non abbia alcuna produzione di entropia, ovvero che sia reversibile Il concetto è simile a quello delle efficienze di secondo principio, solo che non si confrontano cicli ma componenti di tali macchine (es. turbine, motori, ugelli, ecc ) Il confronto è svolto a parità di condizioni in ingresso, portata e pressione in uscita e confrontando i valori dell effetto utile ottenuti (es. lavoro prodotto) In generale, questa è solo una delle tante possibili combinazioni che potremmo fare per confrontare le prestazioni delle due macchine Lezione 5 Sistemi Aperti 32

33 Turbine e Compressori Nel caso di una Turbina adiabatica, in regime stazionario e in cui si trascurano la variazione di energia cinetica e potenziale, i bilanci di massa energia ed entropia sono: m i = m u = m m h 2 h 1 = m s 2 s 1 = σ L real Il bilancio per la macchina ideale è dato da m id = m real = m m h 2s h 1 = s 2s s 1 = 0 L id La potenza massima si ha per la minima di variazione di entropia L efficienza isentropica è: η ts = L real L id = h 2 h 1 h 2s h 1 Lezione 5 Sistemi Aperti 33

34 Turbine e Compressori Il caso di un Compressore è simile e si ha che l efficienza è η cs = L ideal L real = h 2s h 1 h 2 h 1 Il lavoro minimo si ottiene per la minima variazione di entropia Le efficienze isentropiche di turbine sono in genere comprese tra il 70-90% mentre i compressori hanno valori inferiori (70-85%) I bilanci ottenuti valgono nel caso adiabatico. E possibile dimostrare che una compressione refrigerata può richiedere meno lavoro del caso isentropico Al contrario una espansione con riscaldamento può produrre più lavoro del caso isentropico Lezione 5 Sistemi Aperti 34

35 Altri Componenti Per un ugello adiabatico l efficienza isentropica è data da η ugello_s = w w 2s In genere le irreversibilità dentro gli ugelli sono ridotte e si Hanno efficienze quasi sempre superiori al 90-95% Per le valvole di laminazione non esistono efficenze isentropiche in quanto questi sono organi dissipativi, ovvero non possono esistere valvole isentropiche Le valvole compiono il loro lavoro distruggendo energia meccanica e trasformandola in energia interna del fluido attraverso irreversibilità Anche gli scambiatori non possono essere isentropici, ma si possono definire altri tipi di efficienze Lezione 5 Sistemi Aperti 35

36 Corso di Fisica Tecnica IngGes AA2017/18 Sistemi Aperti Federico Mazzelli Santa Marta, stanza / Laboratorio Di Conversione Dell'energia C.I.