Laser. Lezione 3. Propagazione di onde in mezzi ottici. Specchi e filtri

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1 Laser. Lezione 3 Propagazione di onde in mezzi ottici. Specchi e filtri da Principles of Lasers O. Svelto e da Ottica, laser e sue applicazioni Bruzzese

2 Propagazione di onde in mezzi ottici

3 Equazioni dell elettrostatica in mezzi omogenei, isotropi e dielettrici Il teorema della divergenza in combinazione con la legge di Gauss dive rote E / B xe t (I) Divergenza di E è nulla per un mezzo neutro (III) Rotore di E Applicando l operatore rotore alla III equazione di Maxwell si ottiene l equazione delle onde em, lineare in E 2 E 2 E 2 t 0 La soluzione è un onda di ampiezza costante [progressiva/regressiva f(x+vt)/f(x-vt)], la cui variabile contiene sempre sia la coordinata che il tempo. Onda perché è un profilo fisso che si sposta nel tempo.

4 Onda periodica L onda è periodica se f è una funzione periodica della variabile. Onde sinusoidali f ( x, t) Asin( kx t ) Dove A è l ampiezza, k il numero d onda (2π/λ), ω è la pulsazione (2 π ν), φ la fase a t=0. La velocità del fronte d onda o di fase (o di gruppo per onde policromatiche) è: v x t Quindi k= ω/v è il modulo del vettore d onda, diretto lungo la direzione di propagazione k L indice di rifrazione definirà la velocità in un mezzo che non sia l aria n=c/v, anche se n può essere funzione della frequenza

5 Fronte d onda Def:Il luogo dei punti in cui, ad un fissato istante, la variabile assume lo stesso valore (stessa fase). Caso 2D: onda 2D è rettilinea o circolare se i fronti d onda sono tali Caso 3D: onda 3D è piana o sferica se i suoi fronti (rappresentati come superficie) sono tali

6 Onde piane e sferiche Esse sono due possibile soluzioni dell equazione d onda associate a diverse condizioni al contorno 2 E 2 E t 1) L onda armonica piana e polarizzata linearmente, monocromatica f(r,t)=a e i(k r-vt) = A cos(k r-vt) k=2π/λ è diretta lungo la direzione di propagazione. A definisce la polarizzazione ed ampiezza di E. k sempre perpendicoalre a A. Se la direzione si mantiene fissa allora è polarizzata linearmente. Poiché al variare di r l equazione k r =costante rappresenta un piano perpendicolare al vettore d onda k, ad ogni istante fissato le superfici d onda (fronti d onda), luogo dei punti dello spazio con uguale fase sono piani. 2) La soluzone dell onda sferica ha simmetria sferica, come quelle generate da una sorgente puntiforme isotropa. In coordinate sferiche la funzione d onda f non dipenderà da θ e φ, ma solo da r. L onda sferica di tipo armonico f(r,t)=a/r e i(kr±vt) si allontana da(+) o converge a (-) l origine, con fronti d onda rappresentati istante per istante da sfere con centro nell origine e raggio vt. L ampiezza dell onda non è costante, ma funzione di r. L ampiezza decresce con 1/r man mano che ci si allontana all origine per ovvie ragioni di principio di conservazione dell energia. Poiché vale k E = 0 e k B = 0, le onde elettromagnetiche sono tutte trasversali, con i vettori E e B perpendicolari a k, e quindi alla direzione di propagazione. E, B e k formano un sistema di coordinate destrogiro.

7 Poiché vale k E = 0 e k B = 0, le onde elettromagnetiche sono tutte trasversali, con i vettori E e B perpendicolari a k, e quindi alla direzione di propagazione. E, B e k formano un sistema di coordinate destrogiro.

8 Poiché vale k E = 0 e k B = 0, le onde elettromagnetiche sono tutte trasversali, con i vettori E e B perpendicolari a k, e quindi alla direzione di propagazione. E, B e k formano un sistema di coordinate destrogiro.

9 Intensità della radiazione em Vettore di Pointing dato da I=ExB/μ. Il flusso IdS rappresenta l energia em trasportata dall onda nell unità di tempo attraverso ds L intensità media nel tempo determina l irraggiamaneto o intensità della radiazione: I Costante per un onda piana. Ma per un onda sferica decresce con 1/r 2 2 E 0 2

10 Onda emessa da un dipolo oscillante Momento p orientato lungo z, nel punto generico Q il vettore E è diretto secondo θ, con vettore di Pointing verso z. L onda em risultante ha simmetriza cilindrica con andamento qualitativo: I( ) sin p 2 r

11 Numeri complessi Si ricorda l identità di Eulero exp(jθ)=cos θ+ jsin θ; exp(-jθ)=cos θ- jsin θ Alla grandezza sinusoidale E(t) di ampiezza E 0, frequenza ω e fase φ si associa la grandezza complessa E c (t) E c (t) = E 0 [cos(ωt +φ)+jsin(ωt +φ)] Che con Eulero diventa E c (t)=e 0c exp(jωt); E 0c = E 0 exp(jφ)= E 0 (cosφ+jsinφ)=a+jb

12 Definizioni e relazioni utili sui numeri complessi Forma generale in piano xy z=x+jy Forma polare z=r (cos φ+jsin φ)=r exp(jφ) Complesso coniugato z*=x-jy Da cui z 2 =(x+iy)(x-jy)=x 2 +y 2 exp(jφ)=cos φ+jsin φ cos φ=1/2(e jφ +e -jφ ) sin φ=-1/2(e jφ -e -jφ ) cos A cos B=1/2[cos(A+B)+cos(A-B)]

13 Operazioni tra numeri complessi z 1 +z 2 =(x 1 +x 2 )+j(y 1 +y 2 ) z 1 -z 2 =(x 1 -x 2 )+j(y 1 -y 2 ) z 1 * z 2 =(x 1 x 2 -y 1 y 2 )+j(x 1 x 2 +y 1 y 2 )=r 1 r 2 e j(φ 1 + φ 2 ) z 1 / z 2 = z 1 z 2 */ z 2 2

14 Significato fisico della grandezza complessa Dato E c (t)=e 0c exp(jωt) -ω è pulsazione della grandezza periodica E(t) -il modulo di E c, ovvero E 0, radice di x 2 +y 2, È l ampiezza della grandezza periodica -la fase φ del numero complesso rappresenta la fase di E. Da cui tg φ=y/x tenendo conto del segno per scegliere il quadrante.

15 n e α complessi per descrivere n=n 1 -jn 2 la dipendenza da ω Mezzo dielettrico trasparente ha n reale, Mezzo conduttore assorbente ha n complesso

16 Onde em attenuate in metalli: impenetrabilità, no trasmissione Per effetto di E gli e - liberi del conduttore si muoveranno di moto oscillatorio forzato, con effetti dissipativi (termici). In conduttori, dall applicazione del rotore all III eq di Maxwell 2 2 E E 2 t E t dove σ è la conducibilità elettrica (flusso elettrico J =σ E). La soluzione è x x t e j ( x, t) Dove γ è un coefficiente negativo di attenuazione (assorbimento), e i/ γ è un cammino di attenuazione d, d 2 Es per Ag σ=3 x 10 7 (Ω m) -1, nel verde (λ =0.5 μm), si ha d= m Ae

17 Specchi metallici

18 Ottica geometrica

19 Ottica geometrica. Raggi luminosi Le onde em si propagano in mezzi omogenei lungo linee diritte, perpendicolari al fronte d onda (luogo dei punti ad ugual fase). A distanza sufficientemente lontana dalla sorgente, una porzione del fronte d onda può ben essere approssimato da un onda piana: i raggi corrispondenti sono rette tra loro parallele, e perpendicolari al fronte d onda.

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21 Principio di Fermat e legge di Snell Le leggi della riflessione e della rifrazione possono essere ottenute applicando il principio del cammino ottico più breve, o del tempo minimo di propagazione: Il cammino effettivamente percorso dalla luce nel viaggiare tra due punti è quello che rende minimo il tempo di percorrenza. Da ciò la propagazione rettilinea, almeno nel vuoto. Imponendo condizioni di minimo (dt/dx) si deriva la legge di Snell senθ i /v i =sen θ t /v t v i =c/n i Al fine di includere il caso di mezzi non omogenei La luce nel viaggiare da un punto ad un altro percorre un cammino ottico stazionario rispetto alle variazioni del percorso stesso.

22 Rifrazione. Leggi dispersive in vetri trasparenti Solo nel vuoto (dove la polarizzabilità è nulla) ε e µ sono rigorosamente costanti ed indipendenti dalla frequenza del campo em. In mezzi materiali almeno ε è funzione della frequenza n acqua =1.33

23 Prismi di rifrazione, spettrografi a prisma e rifrattometri deviazione angolare δ=θ 1 +θ 2 -α A prisma fissato(fissato n e ά) esiste un δ minimo (δ m ). Usato per misure di n

24 Riflessione totale con dielettrici e l uso di prismi di vetro retti n 1 senθ i =n 2 sen θ t CASO 1. Se n 2 >n 1 allora qualsiasi angolo di incidenza genera rifrazione con sen θ t < senθ i CASO 2. La legge di Snell se n 2 <n 1 fornisce angoli rifratti reali solo fino ad un angolo di incidenza il cui arcoseno sia n 2 /n 1. Al contrario, se senθ i > n 2 /n 1 non esiste un θ t reale e (non si ha rifrazione) e si ha solo riflessione (riflessione totale). L angolo critico per cui si ha riflessione totale per n=1.52 è 42 (a cui θ t 90, tangente alla superficie). Per cui 45 comporta riflessione totale con interfaccia aria-vetro

25 Riflettanza in Specchi conduttori Ma con un forte assorbimento nell UV/VIS, non nel far IR

26 Verso rifrazione e polarizzazione: incidenza normale ad interfacce dielettriche, non conduttrici Oss R=(r 12 ) 2

27 Incidenza non normale e polarizzazione Σ Si scompongono i vettori campo elettrico e magnetico in componenti parallele (II) e perpendicoalri ( ) al piano di incidenza. Le formule di Fresnel legano le ampiezze dei campi riflessi e trasmessi alle ampiezze dei campi incidenti e definiscono i coefficienti di riflessione e di trasmissione o sta per perpendicolare alla pagina

28 Incidenza non normale, angolo di Brewster e polarizzazione p equivale a s equivale a

29 Incidenza all angolo di Brewster e doppia interfaccia

30 Riflettanza nel caso vetro-aria Ad un angolo θ p (angolo di Brewster), R =0: ovvero si può polarizzare un onda per riflessione all angolo di Brewster. Per l interfaccia aria-vetro, n=1.5) è 56. L angolo di Brewster è anche chiamato angolo di polarizzazione, in quanto a questo angolo di incidenza, E riflesso non ha componente II al piano di incidenza. In questa condizione (θ p ) il raggio riflesso e rifratto sono perpendicolari.

31 Uso dell angolo di Brewster in cavità ottiche per polarizzare il fascio p equivale a s equivale a

32 Ottica ondulatoria

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34 Sovrapposizione di due onde della stessa frequenza Premessa, soluzione generale La cui sovrapposizione è Poiché le parentesi sono costanti Passando ai quadrati (intensità)

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36 Interferenza

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39 Differenza di fase dovuta al percorsi diversi ma coerenti

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43 Sovrapposizione di onde in direzione opposta: onde stazionarie

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45 Birifrangenza in mezzi anisotropi. Prisma di Nicols In solidi cristallini anisotropi (costante dielettria tensore), non cubici, si individuano due distinti indici di rifrazione (n e n o ) e due onde rifratte con angoli differenti con polarizzazioni l un l altro ortogonali. Es calcite 1,66-1,49; Quarzo 1,54-1,55; mica 1,594-1,599. Il balsamo del Canada è una colla trasparente con un indice di rifrazione pari a 1,55, intermedio tra quelli della calcite. Il prisma di Nicols è prodotto da un rombo tagliato e riattaccato come parallelogramma. Il balsamo produce riflessione totale sulla componente ordinaria (totalmente riflessa), mentre quella straordinaria passa con uno spostamento laterale trascurabile, e polarizzato linearmente nel piano della sezione principale. Alla fine produce luce polarizzata linearmente, di cui è nota la direzione di oscillazione.

46 Birifrangenza e lamine di ritardo. Lamine di spessore d opportuno possono cambiare lo stato di polarizzazione di un onda che attraversi un cristallo, producendo un ritardo di fase pari a Δφ=2π/λ d n o -n e CASO 1: d corrispondente ad in ritardo di un numero intero di λ Effetto: questa lamina cromatica cambia la polarizzazione di tutte le righe tranne una λ, che può essere quindi ripulita dalle altre usando un polarizzatore. E quindi un possibile filtro cromatico. CASO 2 d corrispondente ad in ritardo di un numero semi-intero di λ Effetto: se la radiazione in ingresso è polarizzata linearmene rispetto all asse ottico di un angolo t, allora uscirà polarizzata t. Se l incidente è polarizzata ellitticamente, questa verrà invertita. Inverte la polarizzazione. CASO 3 d corrispondente ad in ritardo di un quarto di λ Effetto: converte da luce polarizzata linearmente ad ellitticamente e viceversa.

47 Birifrangenza in mezzi anisotropi. La birifrangenza produce effetti elettro-ottici L indice può dipendere dall intensità del campo incidente (effetto Kerr) Δn=(n -n )=k λe 2 effetto quadratico Per solidi senza i, tale relazione è lineare (effetto Pochels) Δn=(n -n )=P λe effetto lineare Effetto Kerr e Pochels Variando E si modula la polarizzazione. Importante in laser pulsati. Usati fosfati di ammonio e potassio (ADP e KDP)

48 Multistrati dielettrici usati come rivestimento riflettente o antiriflettente Ma con un forte assorbimento nell UV/VIS, non nel far IR

49 Es di strati HH e LL

50 Multistrati dielettrici di lamine a quarto d onda

51 Filtri notch

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53 Modi gaussioni TEM00

54 Modo TEM00

55 Modi di ordine superiore