Fluidi Tensione superficiale
I fluidi Fluide sono tu4e quelle sostanze che non sopportano uno sforzo di taglio. Su scala atomica la dis=nzione tra fluidi e solidi è la lunghezza dell interazione molecolare. Nei solidi c è un re=colo che gode di proprietà collebve inesisten= nei fluidi. iuttosto che di massa e forza, nei fluidi bisogna parlare di densità (massa volumica) e pressione. La densità e la pressione sono definite come: ρ = Δm/ΔV e = ΔF/ΔA o più semplicemente ρ = m/v = F/A
Valori =pici della ρ e della (tanto per avere una idea di cosa s=amo parlando) Materiale olistirolo espanso,3 Ghiaccio,9 Acqua ( C - 5 bar) 1 Acqua di mare 1,3 Alluminio,7 Terra 5,5 Ferro 7,8 Ottone 8,6 Mercurio 13,6 Densità ρ 1 3 (kg/m 3 ) H SO 4 /bso 4 1,3/1,15 Condizione di rivelazione di ressione al centro della terra Massima pressione in laboratorio (Anvil cell) ressione (a, ascal) 4x1 11 1,5 x 1 1 Fossa delle Marianne 1,1 x 1 8 neumatici automobilistici x1 5 Al livello del mare 1x1 5 ressione sanguigna 1,6x1 4 Minima pressione in laboratorio (vuoto) 1-1
Forze di coesione Sono chiamate forze di coesione quelle forze che agiscono fra le molecole di uno stato aggregato. Nel caso dei solidi, le forze di coesione fra le molecole sono molto forti, tanto da permettere solo piccole oscillazioni attorno ai propri siti. Il solido ha un volume ed una forma propria. Nel caso dei liquidi le forze di coesione sono ancora abbastanza forti da tenere le molecole abbastanza vicine, tanto da avere un volume proprio. I liquidi non hanno una forma propria. Nel caso delle sostanze gassose le forze molecolari sono debolissime, tanto da permettere alle singole molecole di muoversi, dopo gli urti, di moto rettilineo. Le sostanze gassose non hanno ne una forma propria ne un volume proprio.
ressione dell acqua Ipo=zziamo una soble lastra di acqua di lato Δy immersa in acqua (legge di Stevino), il suo peso sarà ΔF = Δm g = (rδv) g ΔF = r(δya) g er la a legge di Newton le forze agen= sulla lastra saranno: A ( + Δ)A = ΔF e quindi: 1 = - ρ(y - y 1 ) g 1 + ρy 1 g = + ρy g = 3 dove - ΔA = ρ(δya) g - 1 = - ρy g + ρy 1 g = - ρg y pa (p+δp)a (ρaδy) g quindi la pressione aumenta con la profondità - y Inoltre se in un recipiente aperto assumiamo che è la pressione al livello del mare a, e h la profondità avremo (h) = a + ρgh. Si no= che la pressione dipende solo dalla profondità h
ressione in fluidi a riposo (km) 8 (m) p = p e 1 ay = + ρgh Livello del mare (atms) La pressione in un liquido a riposo dipende linearmente dalla profondità e questo è legato alla loro incompressibilità. Infatti siccome ρ non dipende da y l integrazione di d = ρg dy da come risultato: = + ρgh Si vede che la pressione è lineare con la profondità ed è rappresentata in un grafico profondità da un tratto lineare. In particolare ogni 1 metri diventa circa il doppio
ressione dell atmosfera (km) 8 (m) = e 1 ay = + ρgh Se invece il fluido non è incompressibile, caso dei gas, la densità ρ dipende da y. InfaB l atmosfera diventa più rarefa4a salendo in quota : = ρg( y y ) d = ρgdy Livello del mare (atms) d dy d = 1 = gρ e o g( ρ gρo = p ) y y dy 1 ρ = ρ = ρ ρ La dipendenza della pressione con l altezza si otterrà integrando dp = -ρ(y)gdy d gρo = = e ln ay dy gρo = y
rincipio di ascal (163 166) La pressione esercitata sulla superficie chiusa di un fluido si trasmette in ogni porzione del fluido e sulle pareti del recipiente f F p = = a A A F = f a
Misurazione della pressione er misurare la pressione basta un tubo ad U contenente del liquido. Quando un estremo è in conta4o con un recipiente so4o pressione la differenza dei due livelli del liquido è la misura della pressione rela=va. Torricelli (168-1647) + ρgy 1 = a + ρgy - a = ρg (y y 1 ) = ρgh Applicando la stessa equazione Torricelli misura la pressione atmosferica che valuta essere pari alla pressione di 76 mmhg Se Torricelli avesse usato acqua, invece del Hg, il tubo sarebbe dovuto essere alto 9.88 metri, cioè 13 volte di più del tubo con Hg
ressione sanguigna Il cuore è una pompa e quindi il sangue è soggetto ad una pressione variabile: dalla pressione sistolica a quella diastolica. Il sistema di misurazione prevede di applicare una altissima pressione al braccio ( mmhg) e di ridurla lentamente. I primi battiti che si sentono indicano che si è scesi sotto la pressione sistolica. Quando, continuando a ridurre la pressione, non si sentono più battiti vuol dire che si è scesi sotto la pressione diastolica. ESEMIO: A quale altezza deve essere sistemata una flebo se si deve iniettare una soluzione salina di densità ρ = 1 3 kg/ m 3 nel braccio di un paziente che ha la pressione di 8,4 x1 3 a 3 h soluzione = ρgh 8,4 1 ρg 3 a = 8,4 1 = 1 3 8,4 1 kg a m 3 3 a 9,8 m s,86m
Fa4ori di conversione della pressione Le unità di misura della pressione sono molto diversi per ragioni tradizionali, per l uso che se ne fa e ragioni di comodità. La pressione atmosferica si misura in bar, le gomme della macchina in atm, la pressione del sangue in mmhg Unità di pressione e fa4ori di conversione a bar (dan/cm ) Ma (N/mm ) kgf/m at (kgf/cm ) atm torr (mmhg) a 1 1 5 1 6,1,1 1 4 9,87 1 6,75 bar 1 5 1,1 1 1,,987 75 Ma 1 6 1 1 1, 1 5 1, 9,87 7 51 kgf/m 9,81 9,81 1 5 9,81 1 6 1 1 4,968 1 4,736 at 98 1,981,981 1 1,968 736 atm 11 35 1,13,113 1 33 1,33 1 76 torr (mmhg) 133,133 1,33 1 4 13,6,136,13 1
rincipio di Archimede Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta ver=cale, dal basso verso l alto, pari al peso del liquido spostato. Δ = ρgδy ΔF = ρgδya F A se ρ o F g > ρ = Δmg a F g > F A F A F A F g = ρgδv F g = V ( ρ F A o = Vρ g o ρ ) g a Esempio: quale è la percentuale del volume emergente di un icesberg? Soluzione: il peso dell icesberg è i = ρ i V i g il peso dell acqua di mare è m = ρ m V m g er l equilibrio m = i ρ i / ρ m = V m / V i =,9/1,3 89% è il volume dell acqua di mare spostata, quindi la parte di iceberg che emerge è solo 11%
Come pesare la spinta di Archimede Un recipiente pieno d acqua è posto su una bilancia che indica un peso W. Una pietra che pesa w, agganciata ad una corda, viene immersa nell acqua senza toccare il fondo. La pietra sospesa ad un filo e immersa nell acqua deve rispettare la II legge di Newton e pertanto Σ F x = e le forze presenti sono: la forza peso W, la tensione del filo T e la forza di galleggiamento B, quindi T + B = w (*). Quando mettiamo il sistema isolato sulla bilancia, la molla eserciterà sul sistema una forza S così che la II legge di Newton darà W + w = S + T e tenendo conto della relazione (*) avremo: W + (T + B) = S + T à S = W + B B = ρ g V spinta di Archimede la bilancia segnerà la forza peso dell acqua più la spinta di Archimede
Tensione superficiale γ er sollevare l anello dal liquido serve una forza maggiore del suo peso, questa extra-forza è la tensione superficiale. La tensione superficiale è dovuta allo stato di stress esistente alla superficie di un liquido. La forza necessaria a sollevare l anello è F = l γ dove l è la circonferenza dell anello o della barra di scorrimento. γ si misura in Nm -1 x 1-3. Questo ci permette di dire che la tensione superficiale si esprime in Energia/m [Nm/m ] liquido T [ C] γ [1-3 N/m] Acqua 7,8 Acqua 1 58,6 Sapone 5 Glicerina 63,1 Olio di oliva 3 Mercurio 465 γl F F =γl
Menisco n L incurvamento prossimo alla interfaccia di un solido è de4o menisco e determina il fenomeno della capillarità. Nel caso di menisco posi=vo, in un capillare di raggio r la forza dovuta alla tensione superficiale (γ πr) sarà F = π rγ LV cos θ e sapendo che la forza peso del liquido è w = mg = ρ(πr y)g si avrà: ρπ r y g = π r γ LV cosθ y = ( γ LV cosθ)/ρgr θ è l angolo fra la parete e il menisco. Se è acuto (cioè minore di 9 ) il cosθ è posi=vo e quindi il liquido cresce, viceversa se θ è o4uso il cosθ è nega=vo e il liquido è più basso del livello del liquido libero.
Capillarità e tensione superficiale n E possibile definire tre dis=nte tensioni superficiali, anche se in realtà sono stress da interfaccia. Quindi γ SL, γ SV, γ LV n Se γ SV > γ SL il liquido bagna il solido. n Se γ SV < γ SL il liquido si ritrae dal solido. Nel punto di contatto di incontro oltre ai 3 stress ci sarà anche la forza di adesione A e il liquido sarà in equilibrio lungo l asse x e l asse y ΣF x = τ LV sen θ A = Σ F y = τ SV - τ SL - τ LV cos θ = ovvero A = τ LV sen θ e τ SV - τ SL = τ LV cos θ dalla 1, conoscendo 3 valori di τ si possono ricavare l adesione A e θ. Qualsiasi impurezza o corpo estraneo modifica anche considerevolmente questo equilibrio. > 9 Hg < 9 Ioduro di metile
EffeB di r sulla capillarità r ESEMIO: Quale sarà l altezza del liquido di densità ρ in capillari di differente diametro. h Soluzione er l equilibrio la forza peso del liquido deve essere uguale alla componente della forza adesiva della tensione superficiale. La forza peso è F p = ρ gv = ρ g(hπ r ) La forza che spinge in alto il liquido sarà F u = π r γ cos θ. Quindi dovendo essere F p = F u ρ ghπ r = π r γ cosθ h = γ cosθ rρ g E si vede che l altezza dipende da r ovvero dal raggio del capillare
Equazione di con=nuità Supponiamo di studiare un liquido vincolato a scorrere in un tubo di flusso in cui, durante il moto, le particelle non possono ne entrare ne uscire. E supponiamo che il moto sia: 1. Stazionario,. Irrotazionale, 3. Incompressibile, 4. non viscoso. Definizione dell equazione di continuità: in un tubo di flusso a sezione variabile per ogni fissato intervallo di tempo, la quantità di materia che entra è uguale alla quantità di materia che esce. ΔV 1 = ΔV = AΔx = AvΔt à A 1 v 1 = A v ovvero R v = Av = costante
Equazione di Bernoulli Supponiamo un tubo di flusso che abbia l ingresso e l uscita a due diverse quote. er l equazione di continuità i volumi di entrata e di uscita devono essere uguali, quindi possiamo, il più generalmente possibile, dire che : p p 1 1 + ρv 1 + ρv 1 + ρgy 1 + ρgy = = p + cost 1 ρv + ρgy Questa equazione ha interessanti implicazioni: 1. Se il fluido è a riposo v 1 = v ovvero v = p 1 - p = ρg (y y 1 ). Se il flusso è orizzontale y 1 = y p 1 p = ½ρ (v v 1 ) Si può notare che l equazione di Bernoulli non ha le dimensioni dell energia, ma si deriva da questa e vedremo come.
Equazione di Bernoulli: dimostrazione In un certo intervallo di tempo Δt ai due estremi del tubo le superfici che si spostano sono Δs 1 e Δs e per il principio di continuità dovrà essere: ΔV = Δs 1 A 1 = Δs A. Il lavoro fatto sarà A s y p w = p 1 A 1 Δs 1 - p A Δs = w = (p 1 -p ) ΔV. (In s la pressione è opposta alla pressione in s 1, quindi segno in s ) Il lavoro fajo corrisponde alla variazione dell energia meccanica. w = E+U ½ mv = ½ ρ ΔV v 1 è l E k (s 1 ) di una massa m che entra in s 1 nel tubo di flusso e nello stesso Δt la stessa massa dovrà lasciare il tubo da s portandosi dietro una energia cinevca E k (s ) tale che ΔE k = E k (s ) E k1 (s 1 ) = ½ ρ ΔV (v - v 1 ) L energia potenziale della massa m entrante in s 1 sarà Δmgy 1 = ρ ΔVgy 1 e quella uscente in s nello stesso Δt sarà Δmgy = ρ ΔVgy à ΔU = ρδv g(y y 1 ) er il teorema del Lavoro e dell Energia (p 1 - p ) ΔV =½ ρ ΔV (v - v 1 ) + ρδv g(y y 1 ) o più semplicemente p + ½ ρv + ρgy = cost [M - 1 KS - ] y 1 A 1 p 1 s 1
Esempio classico Trovare la velocità dell acqua che esce dal foro? 1. Bisogna pensare ad un tubo con diametro del serbatoio. Quindi per l equazione della continuità Av = av v = (a/a) v. p + ½ ρ v + ρ gh = p + ½ ρ v + ρ g() e per v <<v v = (gh) ½ (velocità di un grave)