ESERCIZI SUL DOMINIO DI UNA FUNZIONE A UNA VARIABILE REALE PREMESSA Ai fini dello studio di una funzione la prima operazione da compiere è quella di determinare il suo dominio, ovvero l' insieme valori per cui la funzione è definita. Si ricordano qui alcune regole per la determinazione del dominio (detto anche campo di esistenza di una funzione): Le FUNZIONI RAZIONALI INTERE (i polinomi) hanno come insieme di definizione R. Le FUNZIONI RAZIONALI FRATTE hanno per dominio tutto R escludendo quei valori che rendono il divisore nullo. Una RADICE DI INDICE PARI ha significato soltanto se il radicando è positivo o nullo Una RADICE DI INDICE DISPARI è sempre definita se il radicando esiste Il LOGARITMO ha significato se l' argomento è positivo e la base del logaritmo è diversa da 1 L' ESPONENZIALE con base (costante) positiva esiste purché esista l' esponente (variabile) La POTENZA con base variabile ed esponente costante irrazionale positivo si considera solo per valori positivi o nulli della base LA POTENZA con base ed esponente variabili si considera solo per valori positivi della base Le funzioni goniometriche y = senx e y = cosx esistono su tutto R, y = tgx (tangente di x) esiste solo per x π + kπ e y = cotgx esiste per x kπ (k numero intero) y = arcsenx e y = arccosx sono definite per 1 x 1, invece y = arctgx e y = arccotgx esistono x R Alcuni semplici esempi: 1) Determinare il dominio di y = 1 x5 x + 1 Questa funzione è una funzione algebrica razionale intera, il suo dominio è x R (tutto l' insieme dei numeri reali) ) Determinare il dominio di y = x 3 x + Per valutare il dominio della funzione, algebrica razionale fratta, si determinano tutti quei valori che rendono il divisore nullo e li si esclude dal Dominio. Per cui x x + 3 = 0 si ha per: 1± 1+ 3) Determinare il dominio di y = x x + 6 = 1±5 ossia per x = 1 e x = 3 Questa è una funzione irrazionale ad indice pari. La condizione di esistenza del radicale è che il medesimo sia positivo o nullo. Per determinare il dominio si pone x x + 6 0 per cui avendo 1
questo trinomio discriminante è negativo, e coefficiente 1 nel termine al quadrato, la disequazione è sempre soddisfatta, per cui il campo di esistenza della funzione è x R ) Si vuole determinare il dominio di y = ln x Nel caso di una funzione logaritmica si pone l' argomento del logaritmo positivo, per cui x x x > 0, per cui risolvendo questa disequazione si trova che il dominio è per x < 0 x > 5) Si vuole determinare il dominio di y = (x + 1) x Qui si opera usando l' equivalenza x = e lnx per cui si può scrivere che y = e xln (x+1), applicando le proprietà dei logaritmi. Per cui il dominio è x > 1
ESERCIZI DI VARIO TIPO SUI DOMINI 1) Determinare il dominio di y = 9 x 3 x+1 + 8 La radice è di indice pari, per cui poniamo il radicando maggiore o uguale a zero: 9 x 3 x+1 + 8 0 ossia 3 x 6 3 x + 8 0. Utilizzando la sostituzione 3 x = t otteniamo t 6t + 8 0 Questa disequazione è verificata per t e t. Sostituendo 3 x avremo 3 x e 3 x per cui x ln3 ln xln3 ln e il risultato finale x ln x ln ln 3 ln 3 ) Determinare il dominio di y = ln (3 ) Per determinare il dominio basta risolvere la disequazione 3 > 0 ovvero < 3 che significa 3 < < 3. Basterà quindi risolvere il sistema di disequazioni: > 3 < 3 ossia + 3 > 0 3 < 0.Svolgendo i calcoli si ottiene x+6 > 0 < 0. x 1 La prima disequazione del sistema risulta soddisfatta per x < 3 x > 3 La seconda per x < 6 x > 3. La soluzione del sistema è costituita dalle soluzioni comuni, ossia x < 6 x > 3 3)Determinare il dominio di y = x 3 x Qui si pone maggiore uguale a zero sia il radicando esterno, sia quelli interni: x 3 0 x 0 x 3 x che fornisce x 3 x x 3 x ossia xln ln3 x x 7 x ln 3 ln x x 7 x ln3 ln x xln ln7 ln x ln3 ln x ln7 ln x ln Essendo ln 3 ln ln 7 ln ln si verifica facilmente che il sistema è verificato per ln 7 ln ln x per cui il dominio della funzione sarà costituito da questo intervallo di valori. 3
) Determinare il dominio di: y = log x 1 + log x + 1 In questo caso risolviamo il sistema log x 1 0 log x + 1 0 ossia log x 1 log x 1 log x + 1 soluzioni!), per cui il sistema è così composto: log x 1 log x + 1 che equivale a scrivere: (la prima disequazione è un modulo, VANNO UNITE le log x 3 log x 1 3 log x 1 Determiniamo le soluzioni comuni di questo sistema di tre disequazioni: x x 8 1 x. Le soluzioni comuni del sistema sono quelle 1 x, che rappresenta il 8 8 dominio della funzione. 5) Determinare il dominio di y = log 5 (3cosx sen x) su [0, π] Qui occorre modificare l' argomento del logaritmo sfruttando l' equazione sen x + cos x = 1, in modo da avere nel dominio solo coseni, per cui avremo: y = log 5 (3cosx 1 cos x ) vale a dire y = log 5 (cos x + 3cosx ) (cos x + 3cosx ) > 0 trinomio di secondo grado in coseno. Determiniamo le radici del trinomio di secondo grado in coseno: 3± 9+16 cosx = = e 1 Per cui, tenendo conto che il primo coefficiente del polinomio è positivo e il discriminante positivo, la disequazione sarà verificata per valori "esterni", ovvero = 3±5 cosx e cosx 1. Tenendo conto che 1 cosx 1 e non può raggiungere altri valori, consideriamo soltanto cosx 1. Utilizzando una circonferenza goniometrica, nel dominio[0, π] si conosce che cosx 1 equivale a 0 x π 5 π x π. Questi valori costituiscono il dominio 3 3 della funzione. 6) Determinare il dominio di y = senx cosx +1 sull' intervallo [0, π] In questo caso si risolve la disequazione senx cosx +1 0, studiando il segno di numeratore e denominatore come in qualsiasi altra disequazione fratta (si ricordi che il denominatore non può essere uguale a zero).
Il denominatore sarà sempre positivo, eccetto per cosx = 1 dove non esiste, il seno sarà positivo o nullo sulla metà superiore della circonferenza goniometrica, ossia per i valori 0 x π Non esistendo la funzione per cosx = 1 ovvero x = π il dominio sarà l' intervallo dei valori 0 x < π 7) Determinare il dominio di y = senx + 1 (cosx + senx) in [0,π] Ricordando le formule di duplicazione, ossia senx = senxcosx, possiamo procedere y = senxcosx + 1 cosx senx = 1 senx cosx(1 senx) = 1 senx 1 (1 cosx) Dobbiamo trovare i valori per cui 1 senx (1 cosx) 0 Si studiano quindi i singoli fattori sotto radice mediante le disequazioni senx 1 0 (1 cosx) 0 (come di consueto), che producono rispettivamente senx 1 e cosx 1 ossia il secondo fattore è quasi sempre positivo o nullo. Per cui studiando il prodotto dei fattori emerge che per senx 1 la disequazione è soddisfatta e quindi gli intervalli 0 x π 5 π x π 6 6 rappresentano il dominio della funzione. 8) Si voglia ora determinare il dominio di y = 1 senx +cosx con x [0,π] Questa è una funzione fratta goniometrica, per cui basterà porre il denominatore diverso da zero. Ossia il dominio sarà senx cosx. Scrivendo la circonferenza goniometrica cos x + sen x = 1 come X + Y = 1 e senx = cosx come Y = X (si ricordi: coseno indica l' ascissa dell' estremo dell' arco, e il seno rispettivamente l' ordinata! Questo è come se fosse un diverso sistema di riferimento!) e la disegniamo sotto determinandone le intersezioni, vediamo subito i valori di x per cui la funzione non è definita. Le intersezioni della retta con la circonferenza sono i punti x = π e 5 π, per cui la funzione non è definita in quei punti per cui il dominio sarà x π e x 5 π. Vedi sotto per il grafico. I punti in cui la retta interseca la circonferenza non sono parte del dominio. 5