Cinematica Posizione, spostamento, traiettoria Velocità media e istantanea Accelerazione media e istantanea Moto rettilineo uniforme Moto rettilineo uniformemente accelerato Oggetti in caduta libera Moto in due dimensioni Moto parabolico
Cinematica La cinematica è una branca della meccanica classica che si occupa dello studio del moto dei corpi senza preoccuparsi delle cause che lo determinano. Tecnicamente si parla di cinematica del punto materiale in quanto i corpi in movimento vengono considerati come punti senza dimensione (es. il baricentro di un corpo reale) in cui è concentrata tutta la massa del corpo. Grandezze fisiche coinvolte: Tempo Spazio percorso (lunghezza) Velocità Accelerazione
Sistemi di riferimento Per descrivere il moto di un corpo occorre innanzitutto definire un sistema di riferimento (SR): O unidimensionale x y bidimensionale tridimensionale x
Fissato il SR possiamo descrivere il moto di un corpo definendo: Il moto Posizione: vettore che localizza il punto rispetto all'origine del SR in un certo istante. Es.: i vettori Traiettoria r r 1 2 Δ! r = = r 1x r 2x i i + r 1y + r 2 y j + r 1z j + r 2z k k à posizione di P 1 à posizione di P 2 Spostamento: vettore che indica la variazione di posizione di un corpo in un certo intervallo di tempo Δt: Δ! r =! r 2! r 1 Traiettoria: linea formata dalle posizioni assunte nello spazio dal punto che si muove rispetto ad un SR. Velocità: vettore il cui modulo indica la rapidità con cui un corpo si muove. Accelerazione: vettore il cui modulo indica la rapidità con cui varia la velocità.
Distanza e spostamento Distanza: lunghezza complessiva del tragitto. È una grandezza scalare sempre positiva. Nel SI si misura in m. Spostamento: Posizione finale Posizione iniziale Δx = x finale x iniziale = x f x i È un vettore. Il suo modulo nel SI si misura in m. Casa amico à Drogheria à Casa tua Distanza = 2.1 km + 4.3 km + 4.3 km = 10.7 km = 10.7 10 3 m Spostamento = 2.1 km - 0 km = 2.1 km = 2.1 10 3 m
Velocità media velocità scalare media = distanza tempo impiegato È uno scalare sempre positivo >> Nel SI si misura in m/s velocità vettoriale media = spostamento tempo impiegato = Δx Δt =! x f! x i t f t i È un vettore: non ci informa solo su quanto rapidamente si sposta il corpo, ci dice anche la direzione e il verso in cui si muove. Ha sempre la stessa direzione e lo stesso verso dello spostamento. >> Nel SI si misura in m/s Le velocià vettoriale media fornisce più indicazioni della velocità scalare media à è la grandezza fisica usata più spesso
Legge oraria del moto Es.: Moto rettilineo; sistema di riferimento unidimensionale Il moto può essere rappresentato nel piano spazio-tempo La relazione che esprime la posizione in funzione del tempo x=f(t) si chiama legge oraria del moto
Velocità media: interpetazione grafica Es.: Moto rettilineo; sistema di riferimento unidimensionale Il moto può essere rappresentato nel piano spazio-tempo A B La velocità media del corpo in un certo intervallo di tempo Δt (es.: nei primi 3 s) è: v m = Δx Δt = x B x A t B t A Coefficiente angolare (=pendenza) della retta passante per i punti A e B La velocità media in un intervallo di tempo è la pendenza della retta che congiunge i due punti del grafico spazio-tempo corrispondenti agli estremi dell intervallo considerato.
Velocità istantanea La velocità media non descrive cosa avviene effettivamente tra i due istanti di tempo considerati. Per avere una descrizione più accurata del moto occorre calcolare la velocità media su intervalli di tempo Δt più piccoli. Matematicamente questo vuol dire! v = lim Δt 0 Δ! x Δt = d! x(t) dt La velocità istantanea è il limite per Δt à 0 della velocità media, calcolato in un genetico istante di tempo t, ovvero è la derivata nel tempo dello spazio percorso, calcolata in un determinato istante t.
Velocità istantanea: interpetazione grafica Si consideri l intervallo di tempo tra t 0 e t f ( indicato con Δt ) e la rispettiva velocità media. Se si riduce progressivamente Δt (Δt à 0) x Q la retta che originariamente definiva la velocità media diventa tangente alla curva nel punto t 0. x 0 P t 0 t 1 t 2 t 3 Δt La velocità istantanea è la pendenza della retta tangente al grafico spazio-tempo nel generico istante t. t f t
Riassumendo. Data la curva che rappresenta la posizione di un corpo in moto in funzione del tempo: La relazione che esprime lo spazio in funzione del tempo x=f(t) si chiama legge oraria del moto la pendenza della retta che congiunge due punti della curva è la velocità media con cui il corpo si è mosso nell intervallo di tempo corrispondente ai due punti considerati la pendenza della retta tangente alla curva in un punto è la velocità del corpo nell istante di tempo considerato
Il grafico velocità-tempo x v=0 v>0 v<0 La velocità istantanea può essere positiva, negativa o nulla. v t t 0 t 1 t f t 1 t f t Il vettore velocità istantanea è sempre tangente alla traiettoria. t 0
Spazio percorso e velocità istantanea Se la velocità istantanea è la derivata nel tempo dello spazio percorso calcolata in un determinato istante t allora, nota la velocità, lo spazio percorso in un intervallo di tempo Δt = t-t 0 si può calcolare come: v t 0 t t f t x x 0 t = t 0 v( t) dt x 0 = posizione del corpo all istante t 0 L integrale corrisponde all area compresa tra la curva velocità in funzione del tempo e l asse del tempo.
Accelerazione media e istantanea Se la velocità di un corpo varia nel tempo, si dice che il corpo è sottoposto ad un accelerazione. Accelerazione media! a m = Δ! v Δt = Accelerazione istantanea! v finale -! v iniziale t finale - t iniziale =! v f -! v i t f - t i >> Unità di misura nel SI: m/s 2 In un moto unidimensionale: Se il vettore accelerazione ha lo stesso verso del vettore velocità allora la velocità aumenta (accelerazione). Se il vettore accelerazione ha verso opposto al vettore velocità allora la velocità diminuisce (decelerazione).
Accelerazione: interpetazione grafica
Accelerazione tangenziale e centripeta L accelerazione istantanea può assumere qualunque direzione rispetto alla traiettoria. Il vettore accelerazione si può sempre scomporre in una componente tangente alla traiettoria (accelerazione tangenziale a t ) e una componente ortogonale alla traiettoria (accelerazione centripeta a c ) perpendicolari tra loro y a c a t a x Accelerazione TANGENZIALE à variazione del modulo della velocità a t = 0 à MOTO UNIFORME Accelerazione CENTRIPETA à variazione della direzione della velocità a c = 0 à MOTO RETTILINEO
I MOTI che studieremo Moto rettilineo uniforme Moto rettilineo uniformemente accelerato Moto parabolico Moto circolare uniforme e uniformemente accelerato Moto armonico
Rettilineo Moto rettilineo uniforme à Traiettoria rettilinea [a c =0] Si descrive in un sistema di riferimento unidimesionale parallelo alla direzione del moto O x 0 x(t) x Uniforme à a t =0 à V Media = V Istantanea = cost Proviamo a ricavare la legge oraria: V = x x 0 x x 0 = V ( t t ) 0 t t 0 x = x 0 +V ( t t ) 0 Spesso si assume t 0 =0 x = x 0 +V t x 0 = posizione iniziale del corpo
Leggi del moto rettilineo uniforme a=0 v=cost x= x 0 + v t v x x 0 θ t t x 0 à posizione al tempo t=0 v à coefficiente angolare v = tgθ
Moto rettilineo uniformemente accelerato Rettilineo à traiettoria rettilinea [a c =0] Uniformemente accelerato à a = cost E la velocità? Varia in modulo nel tempo a MEDIA = a ISTANTANEA Siano t 0 =0 l istante di tempo in cui il corpo inizia ad accelerare v 0 la velocita all istante t 0 v la velocita del corpo all istante t a = V V 0 t t 0 V V 0 = a (t t 0 ) V = V 0 + a (t t 0 ) Se t 0 = 0 V = V 0 + a t Se il corpo che si muove di moto uniformemente accelerato si trova nel punto x 0 all istante (t 0 =0) in cui inizia ad accelerare, in quale posizione si trova nell istante t?
Legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato d v d t = a d x d t = v(t) v(0)=v 0 x(0)=x 0 v(t) = = at + c adt Risolviamo l equazione differenziale del I ordine + c = a dt + c = Imponiamo la condizione iniziale x(t) = v(t)dt + c 2 = (a t + v 0 )dt + c 2 = 1 2 at 2 + v 0 t + c 2 v(0) = a 0 + c = v 0 c = v 0 v(t) = a t + v 0 x(0) = 1 2 a 0 + v 00 + c 2 = x 0 c 2 = x 0 x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2
Leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato v a=cost x a>0 v 0 DISTANZA PERCORSA TRA GLI ISTANTI t=0 E t x 0 v = v 0 + a t t x = x 0 + v 0 t + 1 2 a t 2 t a à coefficiente angolare v 0 velocità all istante t=0 ATTENZIONE: Se l accelerazione è opposta al senso del moto, cioè opposta al vettore velocità, va inserita col segno meno all interno delle espressioni.
Oggetti in caduta libera Il più famoso esempio di moto uniformemente accelerato è la caduta libera, ossia il moto di un oggetto che cade sotto l influenza della sola forza di gravità (ovvero in assenza di attrito). Caduta libera da fermo L accelerazione prodotta dalla forza di gravità sulla superficie terrestre vale: g = 9.8 m/s 2 a = g V = g t x = 1 2 g t 2
Oggetti in caduta libera Quanto tempo impiega un corpo che parte da fermo da un altezza h ad arrivare al suolo? t 0 = 0 x 0 = 0 v o = 0 x = 1 2 a t 2 h = 1 2 g t 2 h h g t h 2 = 2h g t h = 2h g x t =? x = h v =? Con che velocità impatta? v = gt h = g 2h g = 2gh
Una precisazione sulla caduta libera Un oggetto in caduta libera è un oggetto che si muove liberamente sotto l azione della forza di gravità, INDIPENDENTEMENTE dal suo stato di moto iniziale. Quindi sono corpi in caduta libera quelli: Lasciati cadere da fermi (velocità Iniziale nulla) Lanciati verso il basso (velocità Iniziale NON nulla verso il basso) Lanciati verso l alto (velocità Iniziale NON nulla verso l alto) Tutti i corpi in caduta libera sono soggetti ad una stessa accelerazione costante diretta verso il basso g = 9,8 ms -2. Moto verso il basso à Moto uniformemente accelerato Moto verso lʼ alto à Moto uniformemente decelerato
Corpo lanciato verso l alto Es: corpo lanciato verso l alto v 0 = 29.4 m/s Legge oraria x = v 0 t 1 2 g t 2 A intervalli di tempo uguali prima e dopo l istante corrispondente al punto di massima altezza il corpo si trova alla stessa altezza e con velocità uguali in modulo e direzione, e opposte in verso. v(m/s) 40$ 30$ 20$ 10$ 0$!10$!20$!30$!40$ v = v 0 g t 0$ 1$ 2$ 3$ 4$ 5$ 6$ t(s) 7$
Moto rettilineo uniforme in 2 dimensioni Una tartaruga si muove dall origine con una velocità scalare v 0 = 2,6 cm/s nella direzione che forma un angolo di 25 con l asse x. d y Di quanto si sposta nelle direzioni x e y in 5s? d x d = v 0 t = 2,6 cm/s * 5 s = 13 cm = 0,13 m d x = d cos(θ) = 0,13 m * 0,91 = 0,118 m d y = d sen(θ) = 0,13 m * 0,42 = 0,055 m
Modo alternativo per studiare il problema Una tartaruga si muove dall origine con una velocità scalare v 0 = 2,6 cm/s nella direzione che forma un angolo di 25 con l asse x. Di quanto si sposta nelle direzioni x e y in 5s? Lungo asse x à moto rettilineo uniforme con v=v 0x =v 0 cos(θ) x = x 0 + v 0x Lungo asse y à moto rettilineo uniforme con v=v 0y =v 0 sen(θ) y = y 0 + v 0y t t
Modo alternativo per studiare il problema Una tartaruga si muove dall origine con una velocità scalare v 0 = 2,6 cm/s nella direzione che forma un angolo di 25 con l asse x. Di quanto si sposta nelle direzioni x e y in 5s? Lungo asse x à v 0x = v 0 cos(θ) = 2,6 cm/s * 0,91 = 2,37 cm/s x = v 0x t = 2,37 cm/s * 5 s = 11.8 cm = 0.118 m = d x
Modo alternativo per studiare il problema Una tartaruga si muove dall origine con una velocità scalare v 0 = 2,6 cm/s nella direzione che forma un angolo di 25 con l asse x. Di quanto si sposta nelle direzioni x e y in 5s? Lungo asse y à v 0y = v 0 sen(θ) = 2,6 cm/s * 0,42 = 1,1 cm/s y = v 0y t = 1,1 cm/s * 5 s = 5,5 cm = 0,055 m = d y
Modo alternativo per studiare il problema Una tartaruga si muove dall origine con una velocità scalare v 0 = 2,6 cm/s nella direzione che forma un angolo di 25 con l asse x. Di quanto si sposta nelle direzioni x e y in 5s? Il moto rettilineo uniforme si può scomporre in due moti RETTILINEI UNIFORMI simultanei e indipendenti nelle direzioni x e y La composizione di due moti rettilinei uniformi lungo due direzioni ortogonali x e y da luogo ad un moto rettilineo uniforme
Moto rettilineo uniformemente accelerato in 2 dimensioni y Traiettoria a x = a cos(θ) a y = a sen(θ)! v 0 y! v 0! v 0 x θ! a y! a x θ! a = cost x v 0 x = v 0 cos(θ) v 0 y = v 0 sen(θ) Moto lungo asse x Moto lungo asse y
Moto parabolico o del proiettile Con proiettile si intende un qualunque corpo che, avendo una certa velocità iniziale, sia sottoposto esclusivamente all azione della forza di gravità. Ipotesi: si ignora la resistenza dell aria (piuma vs. ferro) si assume l accelerazione di gravità costante (quota) si trascura la rotazione della Terra à Il moto del proiettile è determinato solo dall accelerazione di gravità che sulla Terra è g = 9,8 ms -2, diretta verso il basso
Lancio ad angolo zero: leggi del moto Proiettile lanciato orizzontalmente con velocità iniziale v 0 Il moto si può scomporre nelle direzioni verticale e orizzontale. y y 0 v 0 (v 0 ) x = v 0 (v 0 ) y = 0 g a x = 0 a y = -g Lungo asse x à Moto uniforme x 0 x a x = 0 v x = v 0 x = x 0 + v 0 t Lungo asse y à Moto uniformemente accelerato con v iniziale nulla a y = -g v y = - gt y = y 0 1 2 gt2
Lancio ad angolo zero: leggi del moto Proiettile lanciato orizzontalmente con velocità iniziale v 0 Il moto si può scomporre nelle direzioni verticale e orizzontale. y y 0 v 0 g Nel SR scelto si ha: x 0 = 0 y 0 = h (altezza da cui viene lanciato il corpo) Lungo asse x à Moto uniforme a x = 0 v x = v 0 x x = v 0 t Lungo asse y à Moto uniformemente accelerato con v iniziale nulla a y = -g v y = - gt y = h 1 2 gt2
Lancio ad angolo zero: la traiettoria Proiettile lanciato orizzontalmente con velocità iniziale v 0 Il moto si può scomporre nelle direzioni verticale e orizzontale. y v 0 g PARABOLA y=ax 2 +c a = -g/(2v 02 ) c = h x Moto lungo asse x à Moto lungo asse y à x = v 0 t y = h 1 2 gt2 t = x v 0 y = h 1 2 g x2 v 0 2 y = h g 2v 0 2 x2
Lancio ad angolo zero: la velocità Proiettile lanciato orizzontalmente con velocità iniziale v 0 Il moto si può scomporre nelle direzioni verticale e orizzontale. y v 0! v =! v x +! v y v = v x 2 + v y 2 g θ tg(θ) = v y v x Lungo asse x à Lungo asse y à v x = v 0 v y = - gt x 0 costante aumenta in modulo nel tempo La velocità istantanea risultante varia in modulo e direzione, ma in ogni punto è tangente alla traiettoria. x
Gittata e tempo di volo Gittata: distanza percorsa orizzontalmente dal proiettile prima di toccare terra. Tempo di volo: intervallo di tempo tra l istante del lancio e quello in cui il proiettile tocca terra y v 0 Ricavo il tempo di volo t V come l istante in cui la coordinata y si annulla: g G x y(t V ) = h 1 2 gt 2 V = 0 1 2 gt 2 V = h t V 2 = 2h g t v = Ricavo la gittata come la distanza percorsa lungo x durante il tempo di volo t V: 2h G = v 0 t V = v 0 g 2h g
Gittata e tempo di volo Due biglie di accaio sono liberate simultaneamente da un supporto posto ad un altezza h dal suolo. La prima biglia è lanciata orizzontalmente con una molla; la seconda è lasciata cadere verticalmente da ferma. Quale biglia toccherà per prima il suolo? 1. Il moto della prima biglia si può pensare come la composizione di un moto orizzontale uniforme e un moto verticale uniformemente accelerato 2. I due moti sono indipendenti, cioè non si influenzano l un l altro 3. Lungo la direzione verticale le due palline cadono dalla stessa altezza, partono con la stessa velocità iniziale (nulla) e sono soggette alla stessa accelerazione (g) Le equazioni che descrivono il moto verticale delle due biglie sono identiche per cui le biglie toccano il suolo nello stesso istante
v 0y g y v 0 θ0 v 0x Lancio ad angolo non nullo à La velocità iniziale v 0 del corpo forma un angolo θ 0 qualsiasi con l asse orizzontale x Studiare il problema tenendo conto che il moto del proiettile è dato dalla composizione dei due moti, orizzontale e verticale, che sono simultanei e indipendenti 1. Determinare le componenti x ed y di v 0 v 0x = v 0 cosθ 0 v 0y = v 0 senθ 0 2. Scrivere le equazioni per il moto orizzontale (rettilineo uniforme) a x = 0 v x = v 0x = v 0 cosθ 0 x = v 0x t = v 0 cosθ 0 t 3. Scrivere le equazioni per il moto verticale (rettilineo uniformemente accelerato) a y = -g v y =v 0 y - gt=v 0 senθ 0 - gt y = v 0y t 1 2 gt2 = v 0 senθ 0 t 1 2 gt2
Caratteristiche del moto del proiettile con v 0 non orizzontale Traiettoria: parabola y = tg(θ 0 )x g 2v o 2 cos 2 (θ 0 ) x2 Se T è il tempo totale di volo, la massima altezza è raggiunta nell istante T/2. A una data altezza il modulo della velocità è lo stesso in salita e in discesa. La direzione del moto in salita è inclinata sopra l orizzontale dello stesso angolo di cui è inclinata la direzione del moto in discesa sotto l orizzontale.