a.a. 2014/2015 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica Alcune funzioni elementari Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati, la cui consultazione è vivamente incoraggiata.
Funzioni affini Siano a R e b R. Definiamo f : R R ponendo f (x) = a x + b per ogni x R. Proprietà f è strettamente crescente decrescente se a > 0 a < 0 f è continua in R { lim x f (x) = se a > 0 + se a < 0 lim f (x) = x + { + se a > 0 se a < 0 imm(f ) = R f è invertibile; la funzione inversa è la funzione affine g : R R tale che g(x) = x b per ogni x R a 1
a > 0 a < 0 b > 0 b = 0 b < 0 2
Funzioni potenza Sia n N. Abbiamo già definito la funzione potenza con esponente naturale p n : R R ponendo p n (x) = x n per ogni x R. Proprietà per n pari funzione pari strett. crescente in R + strett. decrescente in R continua in R Proprietà per n dispari funzione dispari strett. crescente in R continua in R lim x ± p n(x) = + lim x ± p n(x) = ± imm(p n ) = R + imm(p n ) = R 3
n = 2, 4, 6 n = 3, 5, 7 4
Sia n N, n 2. La funzione radice n-esima è la funzione inversa della restrizione a R + della funzione potenza p n, se n è pari, funzione potenza p n, se n è dispari. Il valore di tale funzione in un elemento x del proprio dominio si denota con n x oppure con x 1 n. Proprietà per n pari dominio = immagine = R + Proprietà per n dispari dominio = immagine = R funzione dispari strett. crescente in R + continua in R + strett. crescente in R continua in R n 0 = 0, lim x + n x = + lim x ± n x = ± 5
n pari n dispari 6
Osservazioni Le uguaglianze n x n = x, ( n x) n = x valgono per ogni x R se n è dispari; per ogni x R + se n è pari. Se x R e n è pari: la scrittura ( n x) n = x è priva di significato; la scrittura n x n = x ha significato ma è falsa; l uguaglianza corretta è n x n = x. Per n pari: l uguaglianza n x n = x vale per ogni x R. 7
Sia n N. La funzione potenza con esponente intero negativo n è la funzione reciproco della funzione potenza con esponente naturale n. Il valore di tale funzione in un elemento x del proprio dominio si denota con x n ; per definizione: x n = 1 x n, o anche: x n = (x n ) 1. Osservazione Le proprietà e il grafico si ottengono per passaggio al reciproco dalle proprietà e dal grafico della funzione potenza con esponente naturale: dominio = R ; continua in R pari per n pari, dispari per n dispari strettamente decrescente in R + divergente positivamente per x 0 +, infinitesima per x + immagine = R + per n pari, immagine = R per n dispari 8
n pari n dispari 9
Siano m Z e n N. La funzione potenza con esponente frazionario m n composizione funzionale dalle funzioni potenza con esponente intero m, radice n-esima. si ottiene per Il valore di tale funzione in un elemento x del proprio dominio si denota con x m n ; per definizione: x m n = n x m, o anche: x m n = (x m ) 1 n. Osservazione La funzione potenza con esponente frazionario è continua nel proprio dominio. Dominio, simmetria, monotonia, limiti agli estremi del dominio dipendono dalle corrispondenti caratteristiche delle funzioni componenti, che cambiano a seconda che m sia positivo o negativo, oppure che m e n siano pari o dispari. Le sintetizziamo nei grafici della pagina seguente. 10
m dispari n dispari m dispari n pari m n < 0 0 < m n < 1 1 < m n m pari n qualsiasi 11
Completiamo la definizione delle funzioni potenza con esponente razionale: la funzione potenza con esponente nullo è la restrizione a R della funzione costante di costante valore 1. Proprietà algebriche delle potenze Per ogni p, q Q e per ogni x, y R per i quali esse hanno significato, sono valide le seguenti uguaglianze: x p+q = x p x q (x p ) q = x p q x p q = x p x q (x y) p = x p y p ( ) x p = x p y y p 12
Funzioni esponenziali Premessa Sia a (1, + ). Vogliamo definire il simbolo a x per ogni x R. (Già fatto per x Q.) Fissiamo x R. Consideriamo l insieme X = { a q q Q, q x }. X è non vuoto X è limitato superiormente. Poniamo a x := sup(x ). Nota: se x Q, la nuova definizione coincide con la vecchia. 13
Sia a (1, + ). La funzione x R a x R si chiama funzione esponenziale in base a. Proprietà La funzione esponenziale in base a > 1 è strettamente crescente in R; ha immagine (0, + ). La funzione inversa della funzione esponenziale in base a si chiama funzione logaritmo in base a. Il valore di tale funzione in un elemento x del proprio dominio si denota con log a (x). Proprietà La funzione logaritmo in base a > 1 ha dominio (0, + ) e immagine R; è strettamente crescente in R. 14
Sia a (0, 1). Definiamo la funzione esponenziale in base a come la funzione reciproco della funzione esponenziale in base a 1. Proprietà La funzione esponenziale in base a < 1 è strettamente decrescente in R; ha immagine (0, + ). La sua funzione inversa: si chiama ancora funzione logaritmo in base a; è strettamente decrescente in (0, + ); coincide con l opposto della funzione logaritmo in base a 1. E per a = 1? E per a negativo? 15
Proposizione La funzione esponenziale e la funzione logaritmo sono continue nei rispettivi domini. Per a > 1: lim x ax = 0 lim log a(x) = x 0 + lim x + ax = + lim log a(x) = + x + Per 0 < a < 1: lim x ax = + lim log a(x) = + x 0 + lim x + ax = 0 lim log a(x) = x + Verifica 16
a > 1 0 < a < 1 esponenziale logaritmo esponenziale logaritmo 17
Proprietà algebriche di esponenziali e logaritmi a 0 = 1 log a (1) = 0 a 1 = a log a (a) = 1 a x+y = a x a y log a (x y) = log a (x) + log a (y) (x, y > 0) a x y = ax a y a x = 1 a x ( x ) log a = log y a (x) log a (y) (x, y > 0) ( 1 ) log a = log x a (x) (x > 0) (a x ) y = a x y log a (x y ) = y log a (x) (x > 0, y R) ( x, y R) 18
Alcune basi significative a = 10 a = 2 a = e numero di Nepero o costante di Eulero, che si definisce come limite della successione (limitata e strettamente crescente) { ( 1 + 1 ) } n n Notazioni Log := log 10 log := log 2 ln := log e exp(x) := e x Cambiamento di base Per ogni a, b R +, a, b 1: b x log b (x) = = a log a (b) x log a(x) log a (b) 19
Osservazioni Possiamo definire la funzione potenza con esponente irrazionale α come la funzione x (0, + ) e α ln(x). Essendo composta di funzioni continue, essa è continua in (0, + ). Le proprietà algebriche delle potenze sono valide per esponenti qualsiasi (purché le espressioni abbiano significato). Se f e g sono funzioni continue, con f strettamente positiva, la funzione x f (x) g(x) è continua. 20
Funzioni goniometriche Preliminari: misura in radianti di un angolo distanza tra due punti la circonferenza come luogo geometrico l equazione della circonferenza corrispondenza tra R e la circonferenza unitaria Per x R: l ascissa del punto che corrisponde a x sulla circonferenza unitaria si chiama coseno di x e si denota con cos(x); l ordinata del punto che corrisponde a x sulla circonferenza unitaria si chiama seno di x e si denota con sin(x). Osservazione Per ogni x R si ha cos(x) 2 + sin(x) 2 = 1. 21
La funzione x R cos(x) si chiama funzione coseno. La funzione x R sin(x) si chiama funzione seno. Proprietà Periodicità Per ogni x R: cos(x + 2π) = cos(x), sin(x + 2π) = sin(x) Limitatezza Per ogni x R: 1 cos(x) 1, 1 sin(x) 1 Simmetria Per ogni x R: cos( x) = cos(x), sin( x) = sin(x) Monotonia, zeri e segno... Limiti agli estremi del dominio... 22
Nota: i grafici di coseno e seno coincidono a meno di ( una traslazione orizzontale; ciò è dovuto all uguaglianza cos(x) = sin x + π ), 2 vera per ogni x R. 23
La funzione { π } x R \ 2 + kπ k Z sin(x) =: tan(x) cos(x) si chiama funzione tangente. Interpretazione geometrica... Proprietà Periodicità Per ogni x dom(tan): tan(x + π) = tan(x) Simmetria Per ogni x R: Monotonia, zeri e segno... Asintoti verticali... tan( x) = tan(x) 24
Proposizione Le funzioni coseno, seno e tangente sono continue nei rispettivi domini. Verifica... Corollario L immagine delle funzioni coseno e seno è [ 1, 1]. L immagine della funzione tangente è R. 25
Le funzioni arcocoseno, arcoseno e arcotangente sono, rispettivamente, le funzioni inverse della restrizione della funzione coseno all intervallo [0, π]; [ della restrizione della funzione seno all intervallo π 2, π 2 della restrizione della funzione tangente all intervallo ] ; ( π 2, π 2 Il valore di tali funzioni in un elemento x del proprio dominio si denota, rispettivamente, con arccos(x), arcsin(x), arctan(x). ). Osservazione Le funzioni arcocoseno, arcoseno e arcotangente non vanno confuse con le funzioni reciproche delle funzioni coseno, seno e tangente, che sono chiamate secante, cosecante e cotangente, rispettivamente. Esercizio Tracciare i grafici di secante, cosecante e cotangente. 26
Proprietà della funzione arcocoseno dominio = [ 1, 1]; immagine = [0, π] continua in [ 1, 1] non simmetrica strettamente decrescente 27
Proprietà della funzione arcoseno dominio = [ 1, 1]; immagine = [ π 2, π ] 2 continua in [ 1, 1] dispari strettamente crescente 28
Proprietà della funzione arcotangente ( dominio = R; immagine = π 2, π ) 2 continua in R dispari strettamente crescente asintoti orizzontali... 29
V E R I F I C H E 30
Verifica: continuità e limiti di esponenziali e logaritmi È sufficiente dimostrare la continuità di x a x con a > 1 Passo 1: x n 0 = a xn 1 Fisso ε > 0: log a (1 ε) < 0 = x n > log a (1 ε) definit. log a (1 + ε) > 0 = x n < log a (1 + ε) definit. ) = log a (1 ε) < x n < log a (1 + ε) definit. = a log a (1 ε) < a xn < a log a (1+ε) definit. 1 ε < a xn < 1 + ε definit. Passo 2: x R, x n x = a xn a x a xn = a xn x+x = a xn x a x 1 a x = a x 31
È sufficiente calcolare i limiti di x ax con a > 1 Fisso {x n } successione test per + ; provo che: a xn +. Fisso M > 0: x n + = x n > log a (M) definit. = a xn > a log a (M) definit. a xn > M definit. Fisso {x n } successione test per ; provo che: a xn 0. Pongo y n := x n : x n = y n + = a yn + = a xn = a yn = 1 a yn 0 32