PPUNTI DI CLCOLO NUMERICO Rchm d lger lere Sstem ler Cosdermo mtrc qudrte U mtrce s dce dgole se se j U mtrce s dce trgolre superore se se > j U mtrce s dce trgolre ferore se se < j U mtrce D s dce dgole vertle se d se j e l su vers s ottee vertedo cscu terme sull dgole Moltplcdo u mtrce dgole D per u mtrce qulss s ottee u rsclmeto: prtcolre l prodotto D rscl le rghe, metre l prodotto D rscl le coloe Norm d vettor e d mtrc È u fuzoe : V R co V V, ; α α V α R; R per vettor e y y, y V (dsuguglz trgolre) per le sole mtrc: B B Vettor Norm :, B R V D R per le mtrc tle che: Norm o Norm euclde: Norm o Norm del mssmo m Tutte le orme soo equvlet
Esempo: 5 5 5 Mtrc Norm : m j Norm o Norm spettrle: T ( ) ρ dove ρ( B) m λ ( B) è l rggo spettrle dell mtrce B Norm : m j Norm d Froeus: F j Tutte le orme soo equvlet Esempo: 5 F 8
U orm è dett turle o dott se vle l seguete relzoe: M M m V sup V V V V dove co vettore s tede l orm d mtrce e co s dc l orm d M V S dmostr che per,, l orm è dott dll orm S dmostr che che l orm d Froeus o è turle quto, essedo I per og orm turle, s ottee I F dove è l umero d rghe (o d coloe) dell mtrce dettà I L orm d u vettore e l orm d u mtrce s dcoo comptl se vle:, V M U orm turle è sempre comptle co l orm vettore che l duce, per costruzoe Codzometo d u sstem lere V S u sstem lere Perturmo l dto (vettore de term ot) δ Il sstem dvet qud δ S δ l dsturo sul rsultto ( δ) δ δ δ Dto che, semplfcdo: δ δ Qud, formlmete, s può scrvere δ δ
Smo cert che l mtrce esst perché l prolem è e posto, qud l su mtrce de coeffcet è qudrt ed è vertle Usdo due orme comptl s può determre l umero d codzometo del sstem (o dell mtrce): δ δ δ δ δ moltplcdo le due ultme espresso s ottee δ δ chmmo K umero d codzometo del sstem d mtrce S evce che l codzometo d u sstem lere dpede solmete dll mtrce de coeffcet e o dl vettore de term ot, s che s vdo perturre dt gresso s che s ggug u dsturo term d NB: co le orme turl è verfcto che K perché Metod drett K I U prtcolre tpo d prolem soo cosddett prolem trgolr Ess soo prtcolrmete semplc U sstem d questo tpo h l mtrce de coeffcet trgolre, qudrt e o sgolre, coè vertle (qud l determte è dto dl prodotto de term sull dgole ed è o ullo) I cso d mtrce trgolre ferore l sstem rsult ell form Ly ed è possle rcvre dll prm equzoe l cogt ell secod equzoe è possle rcvre y l y y Sosttuedo y l e così v fo ll ultm l
equzoe I geerle sosttuzoe vt y l j l y Questo metodo d rsoluzoe s chm I cso d mtrce trgolre superore l metodo d rsoluzoe è del tutto logo, tuttv l equzoe d cu zre è l ultm, per po sostture l soluzoe d quest ultm elle equzo che l precedoo, fo ll prm Percò questo metodo è detto sosttuzoe ll detro I geerle, essedo l sstem U y, l soluzoe dell esm equzoe è y j u u j Nel cso cu u sstem lere o l mtrce trgolre, come è meglo procedere? Grze l metodo d elmzoe d Guss è possle rcodurre u sstem quluque (purché s qudrto) d u prolem equvlete trgolre, e prtcolre d uo trgolre superore (rsolvle gevolmete co l metodo sopr descrtto) I prtc s sosttusce u equzoe co u comzoe lere dell equzoe stess e d u ltr del sstem, rpetedo procedmeto tutte le volte che s ecessro (u equzoe ll volt) fo d otteere u sstem trgolre NB: per l uo rusct del procedmeto è ecessro prtre SEMPRE dll prm colo ed dre verso destr, e og colo procedere dll lto verso l sso Suppomo che, dett l mtrce de coeffcet del sstem, l elemeto s o ullo Chmmo r l prm rg ll secod rg r sosttumo r r I questo modo s ull l prmo elemeto dell secod rg Proseguedo ello stesso modo fo ll ultm rg, s trsform l mtrce u mtrce trgolre superore molto pù semplce d trttre I geerle l esm rg r vee sosttut co r m r,,, dove m Termto l processo sull prm rg, s pss ll secod S oper el medesmo modo, fcedo tuttv rfermeto ll rg r L rg esm r vee sosttut co r rm,,,, dove m Co s dc che s st lvordo el secodo step dell terzoe, l pce dcdo per covezoe co ( ) l sstem d prtez
S procede questo modo per tutte le coloe Ovvmete che l vettore de term ot deve essere trsformto Gl elemet moltplctor Esempo: ( ) soo dett elemet pvot, metre term m s chmo S dto l sstem co mtrc 8 8 ll secod rg s somm r L uov rg dvet Sommdo r ll terz rg s ottee E così v co tutte le rghe e tutte le coloe, compres quell de term ot U ltro metodo strettmete legto l precedete e l fttorzzzoe LU Og psso dell elmzoe guss può essere scrtto, otzoe mtrcle, come T ( ) ( ) M Percò l psso esmo è dto d M M M M M M e, llo stesso modo, M Il sstem lere d prtez è Sosttuedo l sstem equvlete s h dove è u mtrce trgolre superore Qud, per cò che s è precedetemete detto, M M Chmdo U M, s h U M L mtrce M è trgolte ferore, m o è semplce d scrvere, quto term o ull o soo ordt Sppmo però che è scurmete vertle, perché è dt dl prodotto delle mtrc M che soo tutte vertl, e l rsultto d u prodotto d mtrc vertl è cor vertle Pomo T L M Sccome U M, llor LU LM M M I Oss l sstem zle è equvlete l seguete sstem 5
LU S deduce che s è trovt u fttorzzzoe dell mtrce : LU cu L è u mtrce trgolre ferore e U è u mtrce trgolre superore Ioltre per cooscere l mtrce L o occorre cooscere M, ftt sull dgole h tutt e, l d fuor d ess, term o ull soo pr gl m, clcolt el metodo d elmzoe guss, cmt d sego Se chmmo y U, ottemo l sstem Ly che s rcoduce l cso d sstem trgolre ferore Coè y è l soluzoe del sstem Ly e, successvmete, è possle clcolre rsolvedo l sstem U y Questo metodo permette l rsoluzoe d prolem che preseto u sol mtrce de coeffcet e dvers vettor de term ot d esempo prolem fsc, cu l mtrce de coeffcet rppreset l modello mtemtco utlzzto per modellre l reltà, metre vettor de term ot soo dvers gress che potre vere L possltà d rutlzzre u prte de clcol qudo cmo solmete dt gresso, permette d rdurre l costo computzole del prolem Co costo computzole s tede l orde d grdezz del umero d operzo d effetture clcolto fuzoe dell dmesoe del prolem Il costo computzole d u sstem rsolto co fttorzzzoe LU è dell orde d moltplczo, metre quello d u sstem trgolre è dell orde d moltplczo Se è molto grde s vede che metod d fttorzzzoe soo prtcolrmete dct Esempo: S cosder l seguete mtrce de coeffcet: 8 8 Le mtrc L e U rsulto L, U 8
e s può verfcre che LU Ioltre l determte dell mtrce de coeffcet, per l teorem d Bet, rsult ( ) det( L) det( U ) 8 det È sempre possle esegure u elmzoe guss o u fttorzzzoe LU? I term deft come moltplctor el metodo d elmzoe guss porto, ell defzoe, deomtore u elemeto pvot Se uo d quest elemet pvot è ullo, l procedmeto s locc e o s resce rsolvere l sstem, che se esste u soluzoe U teorem, dmostrle, d esstez fferm ftt che se u mtrce d orde h tutt mor prcpl d test vertl, llor esste, ed è uc, u fttorzzzoe LU d Le mtrc dgole domte, per rghe o per coloe, e le mtrc smmetrche soddsfo le potes del teorem precedete S dcoo mtrc smmetrche quelle per cu vle T d esempo: S dcoo mtrc smmetrche defte postve se soo smmetrche e soddsfo l ulterore relzoe T > Quest relzoe h sgfcto quto, essedo u vettore, l quttà T rsult essere uo sclre S dmostr che u codzoe equvlete che, se verfct, c sscur che l mtrce co cu stmo lvordo s smmetrc e deft postv è che tutt suo utovlor so strettmete postv I formule λ > NB: le mtrc smmetrche ho sempre utovlor rel (teorem spettrle) Se s rchede che l mtrce s semdeft postv sgfc che s mpogoo le seguet dsuguglte elle precedet formule T, λ, S dcoo mtrc predomz dgole per rghe le mtrc che preseto sull dgole, per og rg, u elemeto d vlore ssoluto mggore dell somm de vlor ssolut de restt elemet:
> j j, Se s rgo modo del tutto logo sulle coloe, s può determre se u mtrce è predomz dgole per coloe Esempo: L seguete mtrce h predomz dgole per rghe, m o per coloe Il teorem d esstez dell fttorzzzoe LU fferm oltre che esste u fttorzzzoe LU dell mtrce che se quest ultm è sgolre I questo cso l mtrce U rsulterà sgolre e l sstem o potrà essere rsolto U ultmo spetto, per cò che rgurd l rsoluzoe d sstem ler co metod drett, rgurd l pvotg Voglmo rsolvere u sstem l cu mtrce de coeffcet è Per poter pplcre u quluque metodo dretto devo prm pplcre u mtrce d permutzoe P U mtrce d permutzoe semplce dettà scmdoe le rghe e j P è otteut prtre dll mtrce Il prodotto P scm le rghe e j d Il prodotto P scm le coloe e j d Il prodotto d pù mtrc d permutzoe semplce geer u mtrce d permutzoe l cu effetto su è quello d scmre tutte le rghe e le coloe ssocte lle mtrc d permutzoe semplce d prtez Esempo: 8
P P P, dove P P P Teorem: dt u mtrce quluque d orde, esste u mtrce d permutzoe P tle per cu è possle otteere u fttorzzzoe LU dell mtrce P : P LU Per trovre u d queste mtrc d permutzoe P è possle pplcre moltssme strtege U d queste è l pvotg przle: se durte l pplczoe del metodo d elmzoe d Guss s ottee u elemeto pvot ullo, è possle scmre due rghe tr quelle l d sotto dell rg co elemeto pvot ullo modo tle d poter prosegure co l elmzoe guss Quto vle l determte d u mtrce d permutzoe P? Se S è l umero d permutzo semplc esegute per otteere P, llor det ( P) S Dmostrzoe: l esmo psso dell elmzoe guss, pplcdo l ( ) ( ) pvotg przle, rsult M P Qud M P M P M P M P e, d coseguez, U M P M P M P, oss s trov u fttorzzzoe LU dell mtrce P, ftt modfcdo opportumete le mtrc M è possle rggruppre le mtrc P ed M e scrvere U MP D cu M U P e, poedo L M s ottee l rsultto cercto: LU P cvd pplczoe del metodo: dto u sstem s pplc prm l permutzoe due memr dell equzoe otteedo P P S rsolve successvmete questo uovo sstem co l solt tecc: Ly P, sstem trgolre ferore; U y, sstem trgolre superore L strteg del pvotg può che essere pplct per umetre l stltà dell elmzoe guss quto è utlzzle per fre modo d vere gl elemet pvot pù grd possle I questo modo moltplctor dveto pù pccol e cò umet l stltà del metodo NB: se scelgo l pvot mssmo, ottego moltplctor tutt mor o ugul ll utà Se l mtrce è predomz dgole per coloe, l pvotg o pport lcu modfc d ess, quto o s effettu lcuo scmo
Se l mtrce è smmetrc e deft postv, l elmzoe guss è gà stle ed è qud pù coveete utlzzre l fttorzzzoe d Cholesy che sfrutt l smmetr dell mtrce Come costrure L? Esempo: S LU P dove 8 Prm permutzoe: P P 8 P dove e soo moltplctor cmt d sego Secod permutzoe: P P P dove, e soo moltplctor cmt d sego Qud: U e L
L mtrce d permutzoe rsult P P P L fttorzzzoe d Cholesy, ctt precedez, s pplc se è qudrt d orde, smmetrc e deft postv S dmostr che esste u e u sol mtrce trgolre superore R co gl elemet sull dgole postv tle che dove dell orde d LU R T R T R è trgolre ferore Il costo computzole d quest fttorzzzoe è moltplczo, ed è qud pù coveete dell fttorzzzoe Ife u ltro tpo d fttorzzzoe, tuttv co costo computzole decsmete pù elevto dell fttorzzzoe LU, è l fttorzzzoe QR Questo metodo permette d scrvere l mtrce come l prodotto d u mtrce R trgolre superore e d u mtrce Q ortogole S dce ortogole u mtrce per cu vle T Metod tertv I metod drett soo molto effcet se s trtto mtrc d pccole dmeso e dese, coè co poch elemet ull Se l mtrce d u sstem è sprs ed è d orde elevto, llor metod drett soo pressoché pplcl Iftt l feomeo del fll rsch d fr sprre uo prte degl elemet ull E qud l sstem s complc grdemete I metod tertv o modfco l mtrce d prtez, m geero u ( ) successoe ft d vettor che coverge ll soluzoe del sstem lere per, sotto opportue potes U successoe d vettor u quluque orm per cu ( ) { } R coverge d u vettore R se esste e tl cso s poe lm lm S ot che c s rcoduce llo studo dell covergez d u successoe d umer, quto l fuzoe orm resttusce u umero Questo rgometo vle per quluque orm veg cosdert perché tutte le orme soo equvlet: se u successoe coverge u orm, coverge che co tutte le ltre; logmete, se u successoe o coverge u orm, llor o coverge co essu ltr
S può trdurre l codzoe d covergez che compoet: og compoete esm coverge ll compoete del lmte dell successoe I formule ( ) lm,,,, L stess cos s può dre per le successo d mtrc Teorem: s u mtrce qudrt e ρ l suo rggo spettrle llor lm ρ < dove è u prtcolre successoe d mtrc cu term soo mtrc elevte Osservzoe: per og orm d mtrce comptle co u orm d vettor, ρ prtcolr modo per le orme turl, s h Che cos è u metodo tertvo? ( ) Dt u stm zle dell soluzoe del sstem lere e posto, ( ) s costrusce u successoe d vettor { } che coverg rsolvedo, d og psso, de sstem ler molto pù semplc d quello d prtez Come s costrusce l successoe? Dett l mtrce del sstem, l possmo dvdere lmeo due compoet co u processo d splttg Suppomo d dvderl due fttor: M N llor: ( M N ) M N potzzdo d essere ll terzoe, cooscedo percò ( ) clcolre, possmo porre ( ) e desderdo M ( ) ( ) N ffché questo sstem s e posto l mtrce M deve essere vertle, oss deve essere vero che det( M ) Questo pprocco è utle se M è molto semplce, d esempo dgole o trgolre mo qud ( ) ( ) M N M, chmmo B M N e c M
( ) ( ) B c prtre d quest relzoe possmo costrure l successoe ( ) { } : ( ) B B B dove l mtrce B è chmt mtrce d terzoe ed è l uc resposle dell covergez del metodo I prtc, u metodo tertvo è covergete secod d come è ftt l mtrce d terzoe Propretà d cosstez: per sstem ler, se s costrusce co u metodo tertvo u successoe covergete, llor l lmte dell successoe è u soluzoe del sstem lere cosderto ( ) Ovvmete l successoe dpede dll stm dell soluzoe Per sstem ler s dmostr che l successoe coverge, o meo, dpedetemete dll scelt dell stm zle U metodo tertvo s dce covergete se l successoe geert coverge ( ) dpedetemete d Come stlre se ( ) { } coverge? c c c Defmo errore commesso l psso l dfferez e ( ) ( ) e se, llor Sosttuedo e ( ) Queste due codzo soo equvlet e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) Be B B c B c B c ( ) ( Be ) B e B e B ( ) Be e, rssumedo, s ottee ( ) fssto u e ( ) ( ) B e L successoe coverge se B e : lm ( ) ( ) ( ) lme lm B e lm B e coè l successoe coverge se e solo se ( B) < scelt d ρ, dpedetemete dll
Teorem: u metodo tertvo defto dll mtrce B coverge solo se ρ ( B) < (codzoe ecessr e suffcete) R se e Questo teorem o è fclmete dmostrle: sog ftt cooscere B M N e clcolre l rggo spettrle, e questo o è geerlmete semplce U codzoe suffcete d covergez è: s B u orm d mtrce turle Se < B, llor l metodo tertvo coverge perché ( B) B o è possle ffermre ull sul rggo spettrle ρ Se B > Il rggo spettrle dà che formzo sull veloctà d covergez dell successoe, coè su quto velocemete l errore tede zero Pù l rggo spettrle è prossmo zero, mggore è l veloctà d covergez NB: ρ ( B) < Uo de due metod tertv pù semplc è l metodo d Jco o metodo delle sosttuzo smultee Dvdmo l mtrce tre prt: E l prte d sotto l dgole; D l dgole d ; F l prte d sopr l dgole Pomo M D e N E F ssoct questo metodo Qud B J D ( E F ) è l mtrce d terzoe Il metodo d Jco è pplcle solmete se l mtrce D è vertle, oss se l dgole d o cotee elemet ull Scrvmo l lgortmo compoete per compoete: M form comptt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N j j ( ) ( ) D ( ) ( ) ( ) D ( E F ) j E F j Esempo: 5, 8 5, D 5 e ( E F ) 8
5 Clcolmo : F E D 8 5 5 8 5 5 Clcolmo : 5 8 5 5 8 5 Questo metodo o coverge Se lmeo u elemeto sull dgole d è ullo, l metodo d Jco o può essere pplcto È comuque sempre possle rordre le equzo del sstem modo tle d vere sull dgole tutt elemet o ull ( ), se l mtrce è o sgolre L ltro metodo tertvo prtcolrmete semplce è quello d Guss Sedel Prtzodo l mtrce ello stesso modo del metodo d Jco, s defscoo dversmete le mtrc M e N I questo cso D E M, F N e qud l mtrce d terzoe rsult F D E B GS I compoet,,, vle:
( ) ( ) ( ) j j j j mo mo che s clcolo le uove pprossmzo delle compoet, le s utlzzo per clcolre le pprossmzo delle compoet restt ( ) ( ) ( ) I form comptt D E F I metod f qu descrtt soo metod tertv che covergoo per È chro che o s rrverà m fo ll fto per rsolvere u sstem lere C s poe qud l prolem d cpre qudo è possle fermrs È l cosddetto test d rresto È ecessro stlre u crtero d rresto delle terzo Per fre questo s h sogo d u stm dell errore e loccre l processo o ppe s soddsf u delle due seguet codzo cotrollo sull dstz reltv fr due terte successve: deft u ( ) ( ) cert tollerz s locc l processo qudo tollerz I ( ) modo logo, m scosglto, s può operre co l dstz ssolut, ( ) ( ) fermdo le terzo qudo tollerz cotrollo sul resduo dell equzoe: s defsce resduo l espressoe ( ) ( ) r S smette d terre qudo, deft u cert tollerz, ccde che ( ) tollerz L tollerz vee scelt se rgomet su tempo dsposzoe e precsoe del rsultto desdert No è possle sceglere come tollerz vlor troppo vc ll precsoe d mcch, d esempo se l precsoe d mcch è, o s possoo mporre tollerze mor d NB: geerle u resduo pccolo, sotto l sogl d tollerz, o mplc utomtcmete u errore pccolo Iftt: e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r r e dto che s h che: e ( ) r ( ) K r ( )
dove e è l errore reltvo, codzometo d Qud r tollerz e ( ) r è l resduo reltvo e K r ( ) K tollerz K è l umero d Determmo or le codzo d covergez per metod d Jco e d Guss Sedel Soo sostzlmete de teorem che rsulto pù spedl dell defzoe geerle d covergez I cso d mtrc predomz dgole, per rghe o per coloe, metod d Jco e d Guss Sedel soo coverget L mtrce d cosderre è, coè quell del sstem Quest è u codzoe suffcete, ftt se o c è predomz dgole o s può dre ull sull covergez I cso d mtrc smmetrche defte postve l metodo d Guss Sedel è covergete I geerle se uo de due metod è covergete, o è detto che che l ltro coverg L uc cos che s può dre è che, se etrm metod covergoo, llor l metodo d Guss Sedel coverge pù velocemete d quello d Jco Quest rsultt soo rssut d seguet teorem Teorem d Ste Roseerg: s verfc uo e uo solo de seguet rsultt: ρ ( B ) < ρ( B ) < R co j e > llor s < GS J, etrm covergoo e Guss Sedel è mglore d Jco; < ρ B < ρ, etrm dvergoo; ( J ) ( B GS ) ρ ( B ) ρ( B ) GS J ρ ( B ) ρ( B ) GS J, etrm covergoo ll medesm veloctà;, etrm dvergoo Teorem: s u mtrce trdgole co elemet sull dgole o ull, llor vle ρ ( B GS ) ρ ( B J ) e coè due metod covergoo, o dvergoo, smultemete Quest due teorem s uso prtc per cpre se l metodo d Guss Sedel coverge, o meo, cso d mtrce o semplce S rgo sul metodo d Jco e po, pplcdo teorem, s deduce l rsultto su Guss Sedel