ALGEBRA E ANALITICA. Determina il resto della divisione fra il polinomio P ( ) e il binomio D ( ). [ R ( ) ] + + + ( ) Detto D() il polinomio divisore, Q() il polinomio quoziente, R() il resto, il polinomio P() si può scrivere P( ) D( ) Q( ) + ( ) + R( ) ( ). Determina il resto della divisione fra il polinomio P ( ) e il binomio. Uso il teorema del resto e quindi calcolo P()6- []. Per quale valore del parametro m il polinomio P( ) + m è divisibile per il binomio D ( ). [ m ] uso Ruffini m - 8 6+m 8+m +m Il resto della divisione deve risultare zero, dunque pongo + m cioe' m.. Per quale valore del parametro m la funzione f ( ) + m ha come fattore. è lo stesso quesito di prima formulato con linguaggio diverso. Si tratta di scomporre in fattori f(), allora si può usare Ruffini come nel quesito precedente [ m ]. Per quale valore del parametro k le radici dell equazione ( k ) (k ) + k + sono coincidenti k 9 8 è una equazione di grado quindi bisogna imporre b ac (k ) ( k + )( k ) di 8
6. Per quali valori del parametro k le radici dell equazione discordi? ( k ) (k ) k + + + sono distinte e [ k < ] il prodotto delle radici deve essere negativo. Ricordando che in una equazione di o grado del tipo a + b + c, dette b c e le sue radici, la relazione tra coefficienti e radici è la seguente: + e a a, segue che basta k + imporre che < ed escludere il valore k che annulla il denominatore e rende l equazione di primo grado. k 7. Per quale valore di k le radici dell equazione ( k ) (k ) k + + + hanno come somma? [ k ] b + quindi basta porre a cioè k + k con k. 8. Le equazioni della simmetria centrale di centro M di coordinate (a,b) sono ' a. Dato il punto y' b y P (, ) e il centro di simmetria M(,) determina le coordinate del suo trasformato P. [ P'(,) ] Due punti del piano si corrispondono in una simmetria centrale se il centro di simmetria è il punto medio del segmento che ha per estremi i punti stessi. (vedi figura) M, di un segmento di estremi P (, y) e + ' y + y' a, b. Le coordinate del punto medio ( a b) P '( ', y') sono: Ricavo da tali formule le coordinate del punto trasformato ' a. y' b y ' e y' Simmetria centrale di centro M Sostituendo i valori dati ' y' ( ) si ottiene P '(,). ' ( ) 9. Scrivi le equazioni di una simmetria centrale di centro C(-,). y' () y 8 y. Determina l equazione cartesiana della curva cost [( ) + ( y ) ] y + sent di 8
Per ottenere l equazione cartesiana della curva dobbiamo avere come variabili solo e y, quindi bisogna eliminare il parametro t. Il modo più veloce, in questo caso, consiste nell isolare il seno e il coseno, elevare al quadrato, sommare le equazioni ottenute e utilizzare la relazione fondamentale della trigonometria: cost ( ) cos t ( ) + ( y ) cos t + sen t y sent ( y ) sen t è l equazione di una circonferenza di centro C(,) e raggio r. Determina per quale valore del parametro m le rette di equazione ( ) ( m + ) y m e ( m + ) + y m + m sono perpendicolari tra loro. [ m 6 m ] a Ricordando che il coefficiente angolare della retta r è m r e che due rette sono tra loro se i loro coefficienti b m angolari sono l uno l antireciproco dell altro, ms, allora m 6 m m m + m + r t +. Date le equazioni parametriche del luogo geometrico con - t determina l equazione y t + cartesiana del luogo. [ y + 8 con - 7 ] Per ottenere l equazione cartesiana della curva dobbiamo avere come variabili solo e y, quindi bisogna eliminare il parametro t. In questo caso basta ricavare t dalla prima e sostituire nella seconda t y + y + 8 a questo punto occorre trovare le limitazioni sulla variabile note quelle sul parametro t: - t basta sostituire i valori estremi di t nella prima delle equazioni parametriche della curva t + ( ) + e + 7 si ha dunque - 7. Determina il coefficiente angolare della tangente all ellisse di equazione + y + y 6 nel suo punto di ascissa con y >. [ m ] sostituendo nell equazione dell ellisse si ottiene y y + 7 che ha come radici y 6 ± di 8
Il punto di tangenza cercato è T ( ; + ). + y + y Usando il metodo di sdoppiamento + yy + 6 si ottiene l equazione della tangente in T: + y + a il cui coefficiente angolare è m. b. L equazione della conica riportata in figura è: y y y y a ) + b) c) + d) 9 9 9 9 [b] È un iperbole riferita agli assi di simmetria, con asse trasverso lungo 6 e asse y come asse focale.. Ruotando di 9 l ellisse di equazione + y quale equazione si ottiene? [ + y ] 6. È data la funzione omografica di equazione y. A quale iperbole equilatera non traslata essa + 7 7 corrisponde? a ) y b) y c) y d) y [a] 7 7 Determino le coordinate del centro di simmetria d a C, C (, ) che sono anche le componenti del vettore di c c traslazione v (, ). Uso il cambio di variabile y y + corrispondente alla traslazione inversa y ( ) y + + ( ) + y + 7 7 y 7 y di 8
ANALISI 7. Date le parabole di equazione y a + con a, dimostra che i punti in cui la tangente è parallela alla bisettrice del II e IV quadrante sono + 8a P, a a Si tratta di trovare il punto di tangenza noto il coefficiente angolare della tangente. La tangente citata, infatti, deve avere coefficiente angolare -. Conviene, allora, calcolare la derivata e porla uguale a - per trovare l ascissa del punto di tangenza. La funzione derivata è f '( ) a impongo che nel punto di tangenza essa sia uguale al coefficiente angolare della bisettrice del II e IV quadrante: a a sostituisco nell equazione della parabola per trovare l ordinata del punto di tangenza y a a + + 8a a 8. Date le parabole di equazione y a + con a, dimostra che l equazione parametrica del luogo geometrico dei punti delle parabole che hanno tangente parallela alla bisettrice del II e IV quadrante è: a + 8a y a È il quesito precedente espresso con altre parole! 9. L equazione cartesiana del luogo geometrico del quesito precedente è: a ) y + + b) y + c) y + + d) y + [d] Le equazioni parametriche del luogo geometrico sono espresse in funzione del parametro a che deve essere eliminato per ottenere l equazione cartesiana del luogo + 8 a ricavo a dalla prima a e sostituisco nella seconda y + 8a y a ottengo quindi y equazione di una retta.. Le due funzioni f ( ) ln( ) e g( ) ln( ) + ln( + ) sono uguali? Hanno lo stesso grafico? (motiva adeguatamente la risposta senza disegnare il grafico). [no, perché non hanno lo stesso dominio] di 8
. Se f '( ) qual è l angolo che la retta tangente al grafico di f ( ) nel suo punto di ascissa forma π con l asse? α 6. La funzione f ( ) sen sen ha massimo assoluto nell intervallo [,π ]? [sì, perché vale il teorema di Weierstrass, infatti ]. Siano a e b due costanti reali. Sapendo che f ( )? f ( ) a sen b ln + e che () f puoi calcolare la funzione data è pari poiché f ( ) f ( ), dunque f ( ) f () 6. Il lim sen vale: 8 a ) non esiste b) c) d) + 8 (motiva adeguatamente la risposta) [c] 6 pongo t, per si ha che t. Qundi sent avendo usato il limite notevole lim t t lim 6 sent sen lim 8 t 8 t 8 +. Determina gli asintoti della funzione f ( ) ln [due asintoti orizzontali ed un asintoto verticale,, y ln ] 6. Determina gli asintoti della funzione f ( ) + [due asintoti y, ] 7. Determina gli asintoti della funzione + f ( ) [tre asintoti y ±, ] calcolo + + + lim lim lim lim ± 6 di 8
+ con 8. Determina il valore del parametro che rende la funzione f ( ) continua in. La a con > funzione così trovata è anche derivabile in? [a, è continua ma non è derivabile ] 9. La quantità di carica, espressa in coulomb, che attraversa la sezione di un conduttore filiforme metallico ha la seguente legge oraria q( t) t t +, con t espresso in secondi. Determina l intensità di corrente che attraversa il conduttore nell istante t s. [ i( t) q'( t) 6t ; i() 6A ] GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA. L area di un triangolo qualunque ABC in cui ( 6 + ) c) 6( + ) d) ( ) a 6 b γ 7 è a ) 6 b) 6 + [c] o o o 6 + A absenγ sen7 sen( + ). Quale delle seguenti funzioni è uguale a f ( ) sen + cos π π π π a) sen b) sen + c) cos d) cos 6 6 6 6 si usa il metodo dell angolo aggiunto con r a + b + e α arctg π 6 [b]. Dimostra che + cosα cos α. La lunghezza della diagonale di un pentagono regolare il cui lato misura d è a ) d sen b) d cos c) d sen π π π π d) d cos [d] angolo al centro o DO E 7 π 7 di 8
o nel triangolo HDC: H DC 6 π DB DH d cos π. Siano AB, AC, AD tre spigoli di un cubo di lato scm. Considera il piano α passante per D, B, C, come risulta diviso il cubo da questo piano? Quanto valgono i volumi del cubo e delle parti in cui esso è suddiviso dal piano α? Il piano divide la base del cubo in due parti uguali. La piramide ha la stessa altezza del cubo, qundi il volume è V SABC AD l l l cm 6 6. Calcola la distanza tra il piano α e il vertice A del cubo dell esercizio precedente. Bisogna determinare l altezza della piramide. Dal volume si può calcolare l altezza h invertendo la formula: V V SDBCh h SDBC Il triangolo DBC è equilatero, il lato DB è la diagonale di una faccia del cubo, dunque DB s cm. SDBC s s sen6 o s cm cm V 6 h cm cm S cm DBC 6. Dimostra la formula α tg ± + cosα cosα 8 di 8