Meccanica Vettori, Principio di Saint Venant, Legge di Hooke, fatica Grandezze scalari e vettoriali Grandezza scalare: numero reale, in fisica associato ad una unità di misura (senza direzione né verso) v Grandezza vettoriale: direzione, verso, modulo e si scrive Somma di scalari: è la normale somma aritmetica. Somma di vettori F 1+ F : si applica la regola del parallelogramma F1 F = risultante F Principio di De Saint Venant Il modello di trave di de Saint-Venant è un'approssimazione che consente la risoluzione del problema elastico per un corpo solido. Questa soluzione è stata dedotta soltanto per un solido di forma particolare, materiale particolare e soggetto a un'opportuna distribuzione di carichi esterni; tuttavia, grazie al principio di de SaintVenant, quasi tutti i problemi tecnici sono assimilabili a questo tipo di trattazione teorica. Se un sistema di forze in equilibrio agisce su una parte della superficie di un solido composto di materiale omogeneo, isotropo ed elastico lineare, i suoi effetti si smorzano allontanandosi dalla parte di superficie sollecitata. Se ho due forze che agiscono su un corpo: la prima forza è puntiforme, la seconda è distribuita su tutta la superficie: la deformazione del corpo è diversa nei due casi, anche se la risultante delle due forze è la stessa
Prendiamo una trave sollecitata da un sistema di forze. Cosa succede nella sezione interna? Devo considerare le risultanti delle forze esterne e vincolari; inoltre di solito c'è sempre anche un momento risultante. Considero un sistema di riferimento cartesiano x, y, z con origine in G, baricentro della sezione. La componente della risultante R sull'asse x si chiama trazione (se positiva) compressione (se negativa), e la si indica con la lettera N. La componente di R sull'asse y si chiama Taglio, Ty La componente di R sull'asse z si chiama Taglio, Tz Se proietto sull'asse x il momento, ottengo il Momento torcente, Mt La componente sull'asse y si chiama Momento flettente, My La componente sull'asse z si chiama Momento flettente, Mz Si ricorda che il verso di un momento è antiorario: il vettore momento crea una rotazione antioraria sul piano ad esso perpendicolare: Se la forza risultante è esterna alla superficie A0, posso sempre tornare al caso visto, trasportando
la risultante: Legge di Hooke Grafico risultante dalla prova di trazione su un provino cilindrico in acciaio lungo l 0 e di sezione A0 ; sull'asse x considero l'allungamento Δl mentre sull'asse y la forza F (analisi macroscopica): deformazioni permanenti Per rendere il grafico valido in generale, cioè per prescindere dalle dimensioni del provino, passo dalle sollecitazioni (forze) alle tensioni locali (analisi locale: non risente delle caratteristiche geometriche del provino): σal limite di proporzionalità e il grafico delle prove diventa quello riportato più avanti. σdi snervamento superiore F Δl e ε= A0 l σr (di rottura) σ= Legge di Hooke σdi snervamento inferiore Nel diagramma si distinguono quattro settori: - un primo settore, in cui l'allungamento è proporzionale alla sollecitazione, secondo una legge enunciata intorno al 1634 dall'inglese Hooke. Il fattore di proporzionalità E, che è caratteristico di ogni materiale, si chiama "modulo di elasticità" o "modulo
di Young": σ=e ε E=tg α= σε 6 (N / mm = MPa=10 Pa) (è come y=kx) - un settore in cui l'allungamento è maggiore di quello previsto dalla legge di Hooke, ma non tanto da deformare in modo permanente il materiale, che si conclude al punto di snervamento superiore; - un settore in cui la struttura interna del materiale comincia a perdere le proprie caratteristiche o, come si dice, a "snervarsi", che inizia al punto di snervamento inferiore; - infine, un settore in cui la struttura interna si disgrega fino a causare la rottura del campione. Grazie alla Legge di Hooke (quindi se siamo in campo elastico) posso applicare il Principio di sovrapposizione degli effetti. Non conviene andare a considerare forze e momenti, ma solo le tensioni e le deformazioni. Come faccio a sapere se un materiale si rompe o no? Considero la σ R (tensione di rottura), se ho un materiale fragile, oppure la σ snervamento inferiore tensione di snervamento inferiore, se ho un materiale elastico (duttile), e calcolo la tensione ammissibile, che è il valore massimo che può assumere la tensione, dividendo questi valori per un valore g (g dipende dai materiali): σ σ ammissibile= R g σ snervamento inferiore σ ammissibile= Si considera accettabile una deformazione permanente dello 0,% g (n=0,%). Fenomeno fatica Se le forze non sono costanti e cioè sono del tipo sinusoidale come quelle indicate dai grafici? Tensione alternata simmetrica: in sigma massima la forza tira, in sigma minima la forza comprime (es. albero che gira): σ σm σm t
Tensione alternata non simmetrica: Tensione pulsante: La tensione ammissibile si calcola con la seguente formula: C C σ ammissibile=σ LF 1 g k f C 3 La fatica è quel fenomeno secondo cui i materiali sottoposti a dei carichi variabili nel tempo tra un valore massimo (smax) e uno minimo (smin), e ripetuti nel tempo per un certo numero di volte (cicli), presenta una diminuzione della sollecitazione massima sopportabile. Si chiama limite di fatica (slf) la massima resistenza residua del materiale per un numero elevato di cicli. La curva di Wöhler riporta in ascissa il numero di cicli a cui si sottopone un materiale, e in ordinata il carico di fatica: il carico detto Limite di fatica è un asintoto a cui la curva tende quando il numero di cicli tende all'infinito e sotto il quale il materiale non si romperà per fatica. La curva di Wöhler è una curva che, per come viene calcolata, è al 50% di probabilità di rottura.
Esercizi 1. Corpo cilindrico di Al (alluminio), di diametro d=10mm. Viene sottoposto a trazione con una F=4500N. Calcola ε, sapendo che E=68700 N /mm. Utilizzo la Legge di Hooke: σ=e ε calcolo A0=π r =π d 10 100 mm =π =π =3,14 5 mm =78,5 mm 4 () F 4500 N = =57,3 N /mm A0 78,5 mm 57,3 N /mm ε= σ = =0,00083 E 68700 N /mm σ=. Calcola la F necessaria ad allungare di 1mm un filo di Cu (rame) lungo l=m e di diametro d=4mm. E Cu =1600 N /mm. d 4 mm 16 mm =π =π =3,14 4 mm =1,56 mm 4 Δl 1 mm 1 mm ε= = = =0,0005 l 1000 mm 000 mm σ=e ε=1600 N /mm 0,0005=61,3 N /mm F σ= F =σ A0 =61,3 N /mm 1,56 mm =769,9 N A0 Δ l=1 mm A0=π r =π ()