Copito di Fisica Generale I di Ingegneria CIVILE 009 Giugno 009 Esercizio : Un asse è disposto orizzontalente e passante per il punto O in figura L'asse è perpendicolare al piano della figura Una barretta di assa = 00 g e lungezza L = 30 c è libera di ruotare attorno all'asse passante per un estreo della barretta in presenza del capo di gravità diretto coe in figura Un proiettile di assa viene sparato con velocità di odulo v o = /s lungo l'asse x e urta contro la barretta nel punto a distanza = 0 c dall'estreo O della barretta Dopo l'urto il proiettile riane conficcato nella barretta y O x v o L g - Si calcoli la velocità angolare ω della barretta dopo l'urto ( punteggio: 3) - Si trovi la distanza del centro di assa del sistea barretta+proiettile dal punto O dopo l'urto (punteggio 3) 3 - Si trovi quale è il assio angolo di rotazione θ della barretta rispetto alla posizione iniziale nel oto successivo all'urto( punteggio 4) 4 - Si trovi l'ipulso della forza ( coponente x e coponente y )esercitata dalla barretta sull'asse passante per O durante l'urto ( punteggio 4) Esercizio Per estrarre acqua da un grosso serbatoio si utilizza un tubo di raggio interno r = c curvato ad U coe sceatizzato in figura ( sifone) Si aspira nel tubo fino a ce l'acqua non inizia ad uscire, dopodicè l'acqua continua ad uscire da sola Per seplicità si assua il flusso stazionario e si consideri trascurabile l'attrito viscoso - Se l'altezza in figura è = 3, dopo quanto tepo si riepie una bottiglia da un litro? ( punteggio 3 ) - Si trovi il valore assio dell' altezza ostrata in figura ce si può raggiungere se si vuole ce il flusso di acqua si possa antenere? ( la pressione in ogni punto del fluido non può ai diventare inferiore a 0 Pa) ( punteggio 3)
Si assua ρ = 000 kg/ 3 per la densità dell'acqua, e p o = 0 0 5 Pa per la pressione atosferica Esercizio 3 Un gas onoatoico ideale si trova inizialente nello stato a pressione P = 00 Pa e volue V = litro Il gas copie il ciclo C dove la trasforazione è isocora con p =p, quella C è isotera e quella C è isobara P C V 3 - Si trovi il volue V C occupato dal gas nello stato C ( punteggio 3) 3 - Si trovi il calore totale Q Tot assorbito dal gas nell'intero ciclo (punteggio 3) 33 - Si trovi il rendiento associato con il ciclo reversibile CD ( punteggio 4) TTENZIONE: LE RISPOSTE DEVONO ESSERE GIUSTIFICTE INDICNDO I PSSGGI LOGICI ESSENZILI UTILIZZTI PER RRIVRE L RISULTTO FINLE RISPOSTE SENZ LCUN GIUSTIFICZIONE, NCHE SE CORRETTE, NON SRNNO PRESE IN CONSIDERZIONE Soluzione Esercizio
- Durante l'urto si conserva il oento di quantità di oto del sistea costituito dal corpo di assa e dalla barretta rispetto all'asse passante per O ( l'unica forza ipulsiva agente sul sistea è la forza esercitata dall'asse ce a oento nullo rispetto ad O) v o = v + I O ω () dove v = velocità corpo, ω = velocità angolare barretta e I O = L /3 = oento di inerzia della barretta rispetto ad O Ricordando ce v = ω, dalla () si deduce: v o ω = = 50 rad/s () L + 3 - La barretta è equivalente ad un corpo puntifore di assa posto a distanza L/ da O Dunque, la distanza d CM del centro di assa da O è: L L + + d CM = = = 05 (3) 3- Non essendoci attriti, dopo l'urto si conserva l'energia eccanica del sistea ll'istante iniziale ( subito dopo l'urto), se prendiao O coe punto di energia gravitazionale nulla, l'energia eccanica è: Ei = gdcm + Iω (4) dove ω è la velocità angolare calcolata in () e I è il oento di inerzia del sistea barretta+proiettile rispetto all'asse passante per O: L I = + = 800 0-3 kg (5) 3 Se la barretta si fera durante il oto successivo all'urto, allora nel punto in cui si fera individuato dall'angolo θ, la sua energia è solaente potenziale e pari a: E = cosθ (6) f gd CM Iponendo la conservazione dell'energia eccanica ( E i = E f ),si trova: Iω cosθ = (7) 4gdCM La (7) aette soluzione solaente se cos θ > - ( il coseno è sepre copreso fra- e ) Dunque, la barretta si fererà solaente se Iω < 4gd CM Se questa condizione è verificata, la barretta si fera all'angolo: Iω θ = arccos = 8 (8) 4gd CM 4- L'unica forza ipulsiva esterna agente sul sistea barretta+proiettile può essere esercitata solaente dall'asse passante per O Dunque, l'ipulso di tale forza è pari alla variazione della quantità di oto del sistea durante l'urto ( p f -p i dove p f = quantità di oto finale e p i =quantità di oto iniziale) Per il principio di azione e reazione, l'ipulso I esercitato dalla barretta sull'asse è uguale ed opposto al precedente cioè: I = p i p f (9) dove p i = (v o, 0) e p f = v CM = (d CM ω, 0) (0) dove v CM = velocità del centro di assa del sistea barretta+proiettile subito dopo l'urto e d CM e ω sono calcolati in (3) e (), rispettivaente L'ipulso cercato è, perciò: I = ( v o - d CM ω, 0) =(0075 N,0 N) () Soluzione Esercizio :
- pplicando il teorea di ernulli ad un tubo di flusso ce parte dal punto sulla superficie dell'acqua, entra nel tubo ed esce in, si trova: ρ ρ ρ g + v + po = v + po () dove p o = pressione atosferica Inoltre, poicè il serbatoio è olto apio, per l'equazione di continuità, la velocità del fluido in è trascurabile ( v =0 in eq()), dunque: ρ v = ρg la portata del tubo è P = π r v = πr g = 4 0-3 3 /s () Dunque, il tepo per riepire la bottiglia di volue V = 0-3 3 è t = V/P = 045 s (3) - La pressione del fluido diinuisce all'auentare della sua altezza rispetto a, dunque, la pressione è inia e pari a p in nel punto più alto del tubo dove la velocità del fluido è la stessa del punto Il valore della pressione inia si ottiene ancora applicando il Teorea di ernulli al punto e al punto più alto del tubo ( C in figura): C ρ ρ v + po = v + pin + ρg( Dunque, p = po ρ g + ) + in ( ) (4) Dunque, p in > 0 se p o ax = = 73 (5) ρg Soluzione Esercizio 3 3- Per la legge dei gas perfetti, tenendo conto ce V =V e P =P, si scrive: P V = nrt () P V = nrt () facendo il rapporto ebro a ebro fra la () e la (), si trova T = T (3) D'altra parte, applicando ancora la legge dei gas perfetti al punto C e tenendo conto ce P C =P e T C =T = T, si trova: P V C = nrt (4) Facendo il rapporto ebro a ebro fra la (4) e la () si trova: V C = V = 0-3 3 (5) 3- Poicè la variazione di energia in un ciclo è nulla, il calore totale assorbito dal gas è pari al lavoro totale fatto dal gas Tale lavoro è la soa algebrica del lavoro positivo fatto nell'espansione isotera e del lavoro negativo fatto nella copressione isobarica, cioè:
Q Tot = nrt ln(v C /V ) - P (V C - V ) (6) Tenendo conto delle relazioni precedenteente trovate: T = T, V C = V, V = V e P V = nrt, si trova: Q Tot = P V ( ln-) = 386 0 - J (7) 33- Il rendiento è pari a L/Q SS = Q Tot /Q SS, dove Q SS è il calore assorbito dalle sorgenti terice Il calore viene assorbito dalle sorgenti nel tratto e in quello C, entre esso viene ceduto alle sorgenti nel tratto C ( calore negativo) Q = U = 3nR(T - T )/ = 3nRT / = 3P V /= 5 0 - J (8) Q C = L C = nrt ln(v C /V ) = P V ln= 39 0 - J (9) Dunque, il rendiento del otore terico è: L QTot η = = = 34 0 - Q + Q Q + Q C C