LA TRIGONOMETRIA 1. Che cosa è? 2. Perché è importante studiarla? Lo scorso anno scolastico abbiamo affrontato la goniometria La goniometria si occupa della misura degli angoli e delle relative funzioni, (seno, coseno, tangente, cotangente )
LA TRIGONOMETRIA La trigonometria studia i procedimenti di calcolo che permettono di determinare la misura degli elementi di un triangolo (lati e angoli), noti alcuni di essi. La trigonometria è quindi lo studio dei triangoli. Lato angoli Lato Lato
LA TRIGONOMETRIA Perché studiarla? Nasce da problemi di natura concreta quali: 1. Determinare la posizione di un aereo in volo Aeroporto di Roma Aeroporto di Parigi 2. Determinare la posizione di una nave in navigazione Porto di Palermo In tali problemi si fa ricorso, scegliendo opportuni sistemi di riferimento, ad un sistema di rilevazione basato sulla figura del triangolo Faro
ALTRE APPLICAZIONI DELLA TRIGONOMETRIA: 3. TOPOGRAFIA: Quando di vuole misurare l estensione di una foresta, si ricopre idealmente questa superficie con tanti triangoli dei quali si riescono a misurare soltanto alcuni elementi; poi con il calcolo trigonometrico si valutano le loro aree e, di conseguenza, anche quella della foresta. OSSERVAZIONE: Oggi in questo lavoro siamo molto aiutati dai computer, i quali rilevano velocemente la posizione di qualsiasi nave o aereo, ma anticamente i naviganti e gli astronomi dovevano necessariamente studiare in modo diretto le relazioni esistenti fra gli elementi dei triangoli che riproducevano quelli che la nave o la stella formavano con i punti di riferimento scelti Lo studio della trigonometria nasce quindi con gli antichi astronomi egiziani e babilonesi nel primo secolo A.C.
Tutti i problemi presentati possono essere ricondotti a uno solo: Se di un triangolo conosciamo alcuni elementi (angoli e lati), è possibile ricavare gli altri? E se sì come? Per rispondere a questa domanda è necessario conoscere le funzioni trigonometriche seno, coseno, tangente e cotangente e imparare a utilizzarle per risolvere problemi
LA TRIGONOMETRIA Il punto di partenza della trigonometria sono i triangoli rettangoli (più semplici) Per il triangolo rettangolo valgono i seguenti due teoremi. Primo Teorema. In ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale: al prodotto della misura dell ipotenusa per il seno dell angolo opposto (al cateto che si deve trovare), oppure al prodotto della misura dell ipotenusa per il coseno dell angolo adiacente (al cateto che si deve trovare). a: ipotenusa b: cateto c: cateto
Secondo Teorema. In ogni triangolo rettangolo, la misura di ciascun cateto è uguale: al prodotto della misura dell altro cateto per la tangente dell angolo opposto (al cateto che si deve trovare), al prodotto della misura dell altro cateto per la cotangente dell angolo adiacente (al cateto che si deve trovare).
8 Con questi due teoremi possiamo risolvere qualunque problema di misura in cui sono coinvolti triangoli rettangoli. ESEMPIO 1 In un triangolo ABC, rettangolo in A, l ipotenusa CB è lunga 20 cm e l angolo Ĉ ha ampiezza 47. Vogliamo risolvere il triangolo. Risolvere un triangolo significa trovare le misure dei suoi lati e dei suoi angoli. Nel nostro caso: ˆ B = 90-47 = 43 AC = BC cos47 =13,640 C 47 20 cm AB = BC sin47 = 14,627 A B RICORDA: La somma degli angoli interni di un triangolo è di 180
ESEMPIO 2 Risolviamo il triangolo rettangolo ABC, noti il cateto dell angolo ˆ C = 65 acuto opposto C AB = 7cm e l ampiezza 65 ˆB 90 65 25 AC AB tan 25 3,264 A 7 cm B AB CB sin65 CB AB 7, 724 sin65 9
Area di un poligono I teoremi sui triangoli rettangoli permettono di risolvere il problema del calcolo dell area di un poligono. Il calcolo dell area di un poligono può sempre essere ricondotto al calcolo dell area di un triangolo, per esempio tracciando le diagonali uscenti da un vertice. La misura dell area di un triangolo è data dal semiprodotto delle misure di due suoi lati per il seno dell angolo fra essi compreso. 10
ESEMPIO Calcoliamo l area del triangolo ABC sapendo che e e che A ˆ = 70 AB = 8 cm A AC = 10 cm area 1 2 8 10 sin70 37,588 8 cm 70 10 cm B C 11
Triangoli qualsiasi Teorema della corda. In ogni circonferenza, ciascuna corda è uguale al prodotto del diametro per il seno di uno qualunque degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda. Applicando il teorema della corda a un triangolo qualsiasi: Uguagliando i rapporti otteniamo: Teorema dei seni. In ogni triangolo i lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti. 12
Triangoli qualsiasi Teorema di Carnot (Teorema del coseno). In ogni triangolo, il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati, diminuita del loro doppio prodotto moltiplicato per il coseno dell angolo fra essi compreso. 13
ESEMPIO L applicazione del teorema dei seni e del teorema di Carnot permette di risolvere qualunque triangolo. Risolviamo il triangolo sapendo che c a Calcoliamo β = 180 (60 + 45 ) = 75 Usiamo poi il teorema dei seni per calcolare le misure degli altri due lati a e c: 15 sin 75 = a sin 60 a = 15 sin 60 sin 75 = 13,45 15 sin 75 = c sin 45 c = 15 sin 45 sin 75 = 10,98 14
APPLICAZIONE PRATICA DELLA TRIGONOMETRIA. ESEMPIO Vogliamo calcolare la distanza in linea d aria per una futura galleria tra due località A e B, separate da una collina, ma collegate tra loro da una strada che passa per la località C. Del triangolo ABC sono noti a, b e l angolo compreso γ, che misurano 2,5 km, 5,2 km e 80. Per il teorema del coseno A B AB = a 2 + b 2-2ab cosg b γ a AB = 2,5 2 + 5,2 2-2 2,5 5,2 cos80» 5,36Km C 15