G. Petrucci Lezioni di Cotruzione di cchine 0. ASSI E ALBERI L lbero è un eleento rotnte, uulente di ezione circolre, uto per trettere potenz e/o oto di rotzione e/o coppi; eo ornice l e di rotzione o di ocillzione d eleenti rotnti quli pulegge, ruote dentte, volni ecc Tipicente, è vincolto ll eterno edinte upporti cotituiti d cucinetti rotolento o triciento. L e è invece un eleento uto per upportre eleenti rotnti, enz trettere potenz o coppi, che può eere rotnte o eno (gli li erroviri, l e dell crriol). Il progetto Il progetto di un lbero deve eere preceduto d un nlii preliinre dell cchin in cui deve eere inerito l ine di deterinre l poizione degli eleenti che dovrnno eere clettti ull lbero teo (pulegge, ruote dentte, cucinetti, novelle) e tire le orze che verrnno tree. Il progetto dell lbero deve tener in coniderzione i eguenti ttori: ) le tenioni genti e l reitenz (ttic, tic, idbilità); ) le inleioni e l rigidezz: inleioni di leione e torione, rotzioni delle ezioni in corripondenz degli eleenti collegti, inleione di corriento negli lberi blzo; ) le ollecitzioni diniche; 4) il peo (in lcuni ci). È necerio tenere preente che l nlii delle tenioni in un ezione dell lbero non richiede l conocenz dell inter geoetri dell lbero teo (e è iottico), olo l geoetri dell ezione te (per ovvi otivi) e delle zone liitroe (per coniderre eventuli concentrzioni di tenione), oltre, coe già detto, ll poizione dei crichi e dei vincoli e l entità dei crichi. Al contrrio, le inleioni dipendono, oltre che d odulo di Young del terile, dll geoetri copleiv dell lbero, per cui è opportuno deterinre inizilente le dienioni necerie per l reitenz ed eetture, ucceivente un veriic rigurdnte le inleioni, increentndo, e necerio, le dienioni. D ricordre che, tipicente, le rotzioni in corripondenz di cucinetti ere o rulli non orientbili non devono uperre 0.04, l llontnento tr ruote dentte deve eere ineriore 0., l inclinzione reltiv degli i delle ruote ineriore 0.0. Nel progetto di un lbero è opportuno tenere preenti i eguenti principi generli: l lunghezz dell lbero deve eere liitt qunto più poibile, ponendo i vincoli vicino i crichi pplicti, l ine di diinuire le inleioni e i vlori dei oenti lettenti ed uentre il vlore delle velocità critiche leionli; in generle è opportuno cercre di evitre eetti di intglio nelle ezioni nelle quli le tenioni noinli ono più elevte ed utilizzre pi rggi di rccordo; e le eigenze di rigidezz riultno eere le più critiche, può eere poibile utilizzre ccii più econoici (eno reitenti), poiché tutti gli ccii hnno prticente teo odulo di elticità; è opportuno eetture buone initure upericili, uentndo nche l reitenz upericile del terile con opportuni trttenti; e il peo è un ttore critico, coniderre l opportunità di relizzre lberi cvi per ottenere bi rpporti r peo e rigidezz. L geoetri L geoetri più eplice dell lbero è quell di un cilindro con bi ortogonli ll e. Speo gli lberi vengono relizzti con geoetri dett grdino, cioè edinte egenti cilindrici di dietro cotnte opportunente rccordti (ig.). Tle geoetri perette di igliorre l ipiego del terile i ini dell reitenz, riducendo il peo e cilitndo il poizionento ile tbile dei coponenti d clettre ull lbero, in qunto le vrizioni di dietro poono ungere d pllento. Alcuni egenti ui quli non devono eere clettti eleenti poono eere cotruiti con dietro vribile con continuità in unzione dell ndento vribile delle ollecitzioni (ig.b). In deinitiv, dl punto di vit dell odellzione, gli lberi dritti poono eere iilti trvi rettilinee, con ezione vribile, vincolte con ppoggi, oggette crichi ili, leionli e torionli. In lcuni ci gli lberi poono eere goti in odo d coprendere lcuni eleenti detinti ll triione delle orze e del oto, coe in ig.b, dove ruote dentte ono ricvte di pezzo ull lbero. Clico eepio in tl eno ono gli lberi novell, goti in odo d generre le novelle. () (b) Fig.0. Eepi di lberi di triione. 0.
G. Petrucci Lezioni di Cotruzione di cchine Anlii dei crichi - deterinzione delle crtteritiche di ollecitzione Nelle triioni di potenz il dto di prtenz è cotituito dl oento torcente T [N] ottenibile dll potenz P [WttN /] e dll velocità ngolre ω [rd/ec] o n [giri/in] P P T 9. 55 (0.) ω n Speo i crichi trei dgli eleenti clettti ono cotituiti d orze ghebe ripetto ll e dell lbero. Tli orze provocno, oltre l oento torcente, ollecitzioni di tglio, orzo norle e oenti lettenti. In ig. è rppreentto un ite di i dtto ll nlii dei crichi genti u un lbero di triione di cui A e B ono gli etrei initro e detro: l origine o è poiziont nell etreo initro A dell lbero, l e x è dipoto prllelente ll e dell lbero, con vero poitivo detr, l e y è dipoto nel pino orizzontle, con vero poitivo ucente dl pino verticle, l e z è dipoto nel pino verticle, con vero poitivo in bo. In preenz di oenti lettenti genti nei pini verticle xz ( y ) ed orizzontle xy ( z ), il odulo del oento riultnte e l ngolo β orto dl vettore oento e l e y ono dti dlle eguenti relzioni: o A F F R B B x tn β z y (0.,) y z In ig. ono otrte le coponenti delle orze F e delle rezioni vincolri R nel co di un lbero collegto ruote dentte denti elicoidli e e vincolto gli etrei A e B con due cucinetti. Nell eepio, in prticolre, l lbero ruot in vero ntiorrio ripetto ll e x (gurdndo vero il pino yz), le ruote hnno entrbe elic initr e ono, ripettivente, ricevente e cedente, il cucinetto in A eplic un rezione orizzontle O A ed un verticle V A, il cucinetto in B eplic un rezione orizzontle O B, un verticle V B e un rezione ile A B. Nell ig.b ono otrte le orze reltive lle ollecitzioni di leione nei pini orizzontle e verticle e in ig.c ono otrte le orze reltive lle ollecitzioni ili e di torione. F t R A z V A z z v O A T F r y y y F F r v T F Fig.0. Sollecitzioni ugli lberi: ) il ite d i; b) ollecitzioni di leione nei pini orizzontle e verticle; c) ollecitzioni ili e torionli. F t O B V B A B x x Ftic per Torione cotnte e leione rotnte Un lbero rotnte ottopoto crichi di leione venti rett d zione i e oento torcente cotnte (ig.-4) è ollecitto leione rotnte cu dell rotzione te. Deinendo I z e I o i oenti di inerzi ile e polre dell ezione, l tenione lternt di leione e l tenione tngenzile cotnte in cicun ezione, poono eere ottenute coe: d T d 6T xy, I (0.4,5) x, I z Per ottenere le tenioni in P è opportuno introdurre i oenti eprei in N e le lunghezze in. Ovviente quet coppi di vlori non può eere utilizzt nel digr di High, poiché le tenioni ono di ntur diver (norli e tngenzili) e gicono econdo direzioni divere. È iportnte notre che, l vrire dell piezz dell tenione x durnte il tepo, le tenioni principli nel punto vrino i coe odulo che coe orientzione (ig.4). Eitono vrite teorie per l nlii di tic che cobinno le ollecitzioni (4,5) per l deterinzione del dietro dell lbero o del coeiciente di icurezz. L più eplice è probbilente quell di Gough e Pollrd. In lterntiv è poibile vlutre coponenti di tenione edi e lternt genti ull'eleento dello teo tipo in due odi: deterinndo i vlori dell tenione tngenzile edi ed lternt eettivente gente per ogni gicitur e coniderndo quell cui corriponde il più elevto (N più bo); vlutndo le tenioni edie e lternte equivlenti edinte l teori dell i tenione tngenzile o quell dell'energi di ditorione. o 0.
G. Petrucci Lezioni di Cotruzione di cchine n θ θ x, xy x xy y n x yx xy x θ yx xy x 0, yx Fig.0. Stto tenionle del punto più ollecitto dell lbero (vito dll lto). x direzione ile, y circonerenzile, θ direzione generic. Criterio di Gough e Pollrd - criterio di Soderberg Il criterio di reitenz tic ultiile di Gough e Pollrd, vlido per ollecitzioni cotituite d tenioni norli e tngenzili genti in e, nel co in cui i riteng che il oento torcente e quello lettente pono vrire proporzionlente ripetto i dti di progetto, ornice l eguente relzione tr le tenioni genti, le tenioni che rppreentno l reitenz del terile e il coeiciente di icurezz n: n Nel co in nlii ( 0) l (6) può eere ricritt coe (0.6) n (0.7) Utilizzndo l teori dell i tenione tngenzile, i può crivere / per le ollecitzioni ttiche, e, in odo pproito, / per quelle di tic. In be ciò, introducendo le (4,5) nell (7), ed eplicitndo l relzione ripetto d e d n i ottiene ripettivente T d n π T (0.8,9) Nelle (8,9) il liite di tic dipende dll initur upericile in be l coeiciente k (o C ) e dlle dienioni dell lbero in be l coeiciente k b (o C g ) cioè k k b. In queto co è opportuno eetture il clcolo coniderndo inizilente unitrio tle coeiciente, odiicre in be l dietro ottenuto e clcolre nuovente il dietro. Per ggiore preciione è poibile eeguire un procedur itertiv, ripetendo più volte l operzione decritt. È interente conrontre l (8) con l epreione reltiv l dienionento per crichi ttici ottenibile con il criterio di Trec - vedi eq.(70) nel ucceivo prgro reltivo lle ollecitzioni ttiche - critt coe egue T d n π (0.0) x, xy 0.8 0.6 0.4 0. 0-0. -0.4-0.6-0.8 - x xy t 0 4 5 6 7 8 9 0,, α.5 0.5 0-0.5 - -.5 α [RAD] t 0 4 5 6 7 8 9 0 Fig.0.4 Eepio di ndento delle tenioni durnte un rotzione dell lbero (co in cui x xy): initr le coponenti crteine x e xy; detr le tenioni principli e l ngolo α orto tr l tenione e l e x (epreo in rdinti). 0.
G. Petrucci Lezioni di Cotruzione di cchine Coe i vedrà nel eguito, le relzioni (8,9) poono eere dedotte nche utilizzndo il criterio di Soderberg (6.8,b), coniderndo le tenioni tngenzili edi ed lternt ul digr di High. Generlente il oento lettente ue vlori dierenti in cicun ezione dell lbero, e, prte il co di coppie concentrte, è vribile con continuità, entre il oento torcente peo gice u porzioni liitte dell lbero copree tr gli eleenti detinti ll triione dell coppi (ruote dentte, ecc..). In coneguenz di queto tto, l (8) ornice dietri vribili d ezione ezione. I vlori del dietro ottenuti utilizzndo l (8) e l curv che li rppreent vengono deiniti di uniore reitenz. Solitente il dietro viene tto vrire olo in lcune ezioni, cioè l lbero viene relizzto in egenti di dietro cotnte opportunente rccordti. Poiché le vrizioni di dietro provocno epre concentrzioni di tenione (ig.5), le (8,9) devono eere opportunente odiicte. D d R L concentrzione di tenione Fig.0.5 - Vrizione di ezione. Tenuto conto del tto che per l relizzzione degli lberi i utilizzno generlente terili duttili, nel co in cui in lcune ezioni eitno concentrzioni di tenione dovute vrizioni di dietro, gole o cve per l lloggiento di coponenti, il ttore di concentrzione può eere introdotto in odo d pliicre olo l coponente lternt. In reltà in lettertur i trovno olte relzioni nelle quli il ttore di concentrzione viene pplicto nche ll coponente ttic dovut l oento torcente. Nel prio co, le (8) e (9) i odiicno coe egue: T d n π T (0.,) Utilizzndo quete relzioni, ovviente, nel liite di tic del terile l non deve eere coniderto il coeiciente dell eetto di intglio (k ). In ig.5, in prticolre, ono otrti i pretri geoetrici che decrivono l vrizione di ezione tr un egento dietro cotnte ed un ltro. I pretri dienionli che decrivono l concentrzione di tenione ono δd/d e ρr/d. Per i ci di leione e torione i ttori di concentrzione poono eere ottenuti d vri digri e relzioni epiriche, quli d eepio le eguenti: tf 0.6 0.77 δ 4 4.4 0.5 0.40 0.6 δ 0.50 δ ρ 4.9 δ.68 δ (0.) t T 0.780 0.00 δ 4 0 0.46 0.00 0.5 δ 0. δ ρ 4.750 δ.550 δ (0.4) Nturlente, poiché il coeiciente dipende dl dietro teo, l () deve eere riolt in odo itertivo, introducendo inizilente un vlore di tito, o interedio, o unitrio e utilizzndo nelle ucceive iterzione il coeiciente clcolto con il dietro ottenuto dll iterzione precedente. Il procediento i rret qundo i dietri nelle ucceive iterzioni hnno vrizioni nulle o trcurbili. Il criterio di Goodn Le relzioni (8,9) poono eere odiicte in eno eno conervtivo introducendo l tenione r l poto di, coe ccde per il criterio di Goodn (6.7,b): T d n π r T r (0.5,6). 0.4
G. Petrucci Lezioni di Cotruzione di cchine Deterinzione del pino critico e delle tenioni tngenzili genti L relzione (8) può eere ottenut nche ricercndo il pino nel qule gice l coppi di tenioni tngenzili edi e lternt più pericolo deterint ul digr di High in be l criterio di Soderberg. Il pino u cui gice tle coppi di tenioni è detto pino critico. Deterinzione di (θ) L tenione tngenzile gente nel pino di generic gicitur n nel co di tto di tenione pino può eere ottenut dll relzione (.47) qui ricritt: x y n in θ xy co θ (0.7) nell qule θ è l ngolo che il pino di norle n or con l e x. Ponendo 0 l y, otituendo l poto di x e xy l (4) e l (5) e oltiplicndo l x per coωt, l (7) può eere ricritt coe: 6T 6 θ co θ in θ coωt. (0.8) Quet equzione otr che l tenione tngenzile poiede coponente edi e lternt dierenti u ogni pino ornte un ngolo θ con il pino orizzontle: 6T θ 6 θ co θ in θ (0.9,0) Ovviente per θ0 (dir. x) l tenione tngenzile lternt è null, entre per θ45 è null l coponente edi. Il rpporto tr l (9) e l (0) è il coeiciente ngolre r dell rett di crico ul digr di High. Deterinzione dell gicitur più ollecitt Le (9,0) otrno che ogni gicitur h uno tto di ollecitzione - dierente. Quello più pericoloo può eere trovto utilizzndo il digr di High. L equzione dell rett di Soderberg ul digr di High è l (6.8) qui ricritt: (0.) lternt θ45 α' θ' P P Line di Soderberg Line di icurezz Line di crico l cui l pendenz è pri l rpporto /. L line di Soderberg può eere odiict in odo pproito per tenioni di tic tngenzili (ig.6) utilizzndo l teori dell i tenione tngenzile ( /, /). L inclinzione dell rett di Soderberg nel pino - è ugule quell nel pino -, eendo / /. L unzione ( ) per 0 θ 45 è rppreentt d un qurto di ellie (ig.6). L line di icurezz è un line tngente ll ellie e prllel ll line di Soderberg. L gicitur più ollecitt di orientzione θθ è quell per l qule l derivt d θ /d θ dy/dx è ugule l coeiciente ngolre dell line di Soderberg. Tenendo preente che dy dy dx dx dθ dθ, (0.) derivndo le (9,0) ripetto d θ i ottiene: d θ T dy d in θ θ dx dθ dθ d cui co θ (0.,4) dθ dθ dy (0.5) dx T tn θ θ0 edi Fig.0.6 - Digr di High e ndento delle tenioni tngenzili l vrire dell ngolo θ. 0.5
G. Petrucci Lezioni di Cotruzione di cchine Ponendo tle derivt pri ll inclinzione dell rett di Soderberg i ottiene il vlore di θ : tn θ T T. (0.6) Deterinzione del dietro o del coeiciente di icurezz Se i uppone che l vrire del crico eterno le tenioni edie e lternte vrino in odo proporzionle, il coeiciente di icurezz nel pino - è epreo dll eguente relzione: n (0.7) ricordndo che,, otituendo le tenioni tngenzili edi (9) e lternt e (0), nelle quli i θθ, l (7) divent n T coθ in θ Eplicitndo ripetto d i ottiene (0.8) in co θ T θ d n π. (0.9) Utilizzndo l (6) per eliinre θ, con vri pggi riportti in ppendice A, i oerv che l (9) ue l te or dell (9). 0.6
G. Petrucci Lezioni di Cotruzione di cchine Teori dell i energi di ditorione L utilizzzione dell teori dell i energi di ditorione prevede che i vlutino eprtente le tenioni lternt e edi equivlenti trite le relzioni di Von ie che, in queto co di tto di tenione pino rierito coordinte crteine, ornice: e, x xy ( 0 ) (0.0) 6T e, x xy ( 0) T (0.) I vlori ottenuti poono eere introdotti nei vri criteri di dnneggiento per tenioni edie ed lternte per ottenere il coeiciente di icurezz o il dietro. Soderberg Se i u l pproccio di Soderberg, otituendo le due equzioni precedenti nell equzione del coeiciente di icurezz del criterio i h: T (0.) n Riolvendo ripetto d ed n i ottiene: T d n π L pendenz dell line di crico ul digr di High riult: r e, e, T T (0.,4) (0.5) ASE Se i u l relzione ellittic ASE, le relzioni di progetto e veriic diventno: T d n π 4 T 4 (0.6,7) Gerber Se i u l pproccio di Gerber per l reitenz tic, le corripondenti equzioni riultno: d 6 T n π 6 T n π (0.8,9) 0.7
G. Petrucci Lezioni di Cotruzione di cchine Co generle Un co più generle ripetto l precedente è quello in cui l lbero è oggetto d un cobinzione di oenti lettenti e torcenti tzionri e lternti con ugule requenz e e: x, xy, x, xy, tt 6 T (0.40,4) 6 (0.4,4) Ci più generli prevedono l preenz di crichi ili luttunti e/o ollecitzioni genti con divere requenze e i. Criterio di Gough e Pollrd Utilizzndo il criterio di Gough e Pollrd (6) o l teori dell i tenione tngenzile cobint con l pproccio di Soderberg, i ottengono le eguenti epreioni di progetto e veriic: T T d n t π T T t L pri di quete equzioni è not coe codice di Wetinghoue. (0.44) (0.45) Teori dell i energi di ditorione Utilizzndo il criterio di Von ie lle tenioni lternte e edie i ottengono le eguenti epreioni per le tenioni equivlenti lternte e edie: 6 4 T e, t che poono eere otituite nell relzione di Soderberg ottenendo: 6 4 T (0.46,47) πd e, T T d n t π 4 4 T T t 4 4 (0.48) (0.49) 0.8
G. Petrucci Lezioni di Cotruzione di cchine Alberi cvi Negli lberi cvi l ezione reitente h l or di un coron circolre. Ei vengono utilizzti principlente per il conteniento del peo, grzie ll igliore utilizzzione del terile dovut l tto che le ie tenioni dovute ll leione e ll torione i trovno in proiità del dietro eterno. Deinendo d i il dietro interno dell ezione e βd i /d il rpporto tr il dietro interno e quello eterno (β0 per cilindro pieno), i oenti di inerzi ile e polre dell ezione coron circolre riultno ripettivente: I z 4 4 4 4 ( d d ) ( i d ) π π β I o 4 4 4 4 ( d d ) ( i d ) π π β (0.50,5) 6 6 Utilizzndo le (50,5) per il clcolo delle tenioni norli e tngenzili (4,5), le (8,9) i trorno in T d n 4 π ( β ) T ( β ) 4 n che perettono l deterinzione del dietro eterno e del coeiciente di icurezz nel co di lberi cvi. Se il dietro eterno d è egnto, l (5) può eere eplicitt ripetto β: (0.5,5) T β n oppure, direttente ripetto l dietro interno 4 (0.54) T di d n 4 (0.55) A prità di reitenz (cioè di coeiciente di icurezz) e terile utilizzto, il peo dell lbero cvo riult inore di quello dell lbero pieno, nche e il dietro eterno riult ggiore (ig.7). Deinendo d c, d p, P c, e P p ripettivente dietri e pei degli lberi cvo e pieno, vlgono le eguenti relzioni: d c d p β 4 ( β ) c p 4 ( β ) P P (0.56,57) A prità di peo il dietro eterno dell lbero cvo riult ggiore, l lbero riult più reitente per vi dell igliore utilizzzione del terile (ig.7b). In queto co le relzioni tr i dietri d c, e d p e i coeicienti di icurezz n c ed n p per lbero cvo e pieno ono dte dlle eguenti epreioni:.6.4. d c/d p P c/p p d c ) d p β 4.5 4.5 n c n p β d c/d p n c/n p β b) (0.58,59) 0.8 0.6.5 0.4.5 β β 0. 0 0. 0. 0. 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 0. 0. 0. 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Fig.0.7 - ) rpporti d c/d p e e P c/p p prità di reitenz; b) rpporti d c/d p ed n c/n p prità di peo. 0.9
G. Petrucci Lezioni di Cotruzione di cchine Anlii per crichi ttici Le equzioni di progetto e veriic per crichi ttici ono di utilità per lberi che trettono il oento torcente enz rinere in rotzione. Fleione, orzo norle e torione Le tenioni genti in un punto dell upericie di un lbero ezione circolre pieno, di dietro d, oggetto leione, orzo norle e torione ono: 4F 6T x xy (0.60,6) L coponente ile dell tenione norle può eere dditiv o ottrttiv. Nel co di terili duttili quete tenioni poono eere cobinte per ottenere le tenioni equivlenti di Trec e Von ie: e x 4 xy (0.6,6) e x xy eendo le due tenioni principli non nulle ottenibili edinte l (.44). Sotituendo le (60,6) detr nelle (6,6) i ottiene: 4 e F d T 4 e F d T (0.64,65) ( ) 8 64 ( 8 ) 48 Quete equzioni poono eere ute per deterinre il dietro d o il coeiciente di icurezz n iponendo l uguglinz con l tenione iibile /n ed eplicitndo ripetto ll grndezz deidert: 4 n d F d T π ( ) 8 64 ( ) d 8 F d 48T 4 n (0.66,67) π 4 8 64 4 8 F d 48T ( F d ) T ( ) (0.68,69) Le relzioni (66,67) poono eere riolte con un procedur itertiv decritt in ppendicea. Fleione e torione Qundo il crico ile può eere trcurto, le (66,67) poono eere riolte cilente per ricvre il dietro; otituendo i vlori delle tenioni iibili nell epreione dell teori dell i tenione tngenzile o in quell del lvoro di ditorione i ottiene: n d T π Se il dietro è noto può eere ricvto il coeiciente di icurezz: πd T 6 n d 4 T π πd 6 4 T (0.70,7) (0.7,7) 0.0
G. Petrucci Lezioni di Cotruzione di cchine Appendice Si pone: T co θ in θ Elevndo l qudrto i ottiene: T T co θ in θ in θ co θ Utilizzndo l identità trigonoetric ondentle reltiv en θ e co θ (A) (A) T T T in θ co θ in θ co θ e eprndo i terini enz unzioni trigonoetriche, i ottiene T T T in θ co θ in θ co θ, (A) Per diotrre l unto è uiciente diotrre che il terine detr dell (A4) è nullo. L (A4) può eere ricritt coe: T T in θ co θ Ricordndo che tn θ in be ll (6) i può porre: T T tn θ (A6) Sotituendo quet relzione nel econdo terine in prentei qudre detr nell (A4) i ottiene: T in θ co θ d cui l (A4) i epliic in T T inθ inθ (A4) (A5) 0 (A7) T T co θ in θ e inine T T co θ in θ (A8) (A9) 0.
G. Petrucci Lezioni di Cotruzione di cchine Appendice Procedure itertive Nei ci in cui l grndezz d vlutre ppre i initr che detr dell equzione riolutiv, il riultto può eere ottenuto in odo itertivo, egnndo di volt in volt ll grndezz detr dell equzione il riultto ottenuto l po precedente. Nturlente ll pri iterzione il vlore deve eere ipotizzto e, in olti ci, può eere poto epliceente 0, e ppre nell orul coe ddendo, o, e ppre coe ttore. L iterzione terin qundo il vlore corrente e quello ottenuto l po precedente riultno preoché coincidenti, oppure e è veriict un cert condizione. Nel co delle (66,67), d eepio per l (66), i può porre d 0 e pplicre itertivente l epreione 4 n i > ( ) 8 64 di F di T π (A.) L iterzione può eere rrett e i veriic un qulii delle due condizioni d i d i oppure e,i e,i. L e,i può eere vlutt con l (64) 4 (A.) e, i i e le condizioni poono eere ipote con relzioni del tipo: e, i ( ) 8 F d 64T i δ di di < δd (A.,4) eendo δ e δ d vlori piccoli ripetto lle grndezze d conrontre (e.: δ 0.0, δ d 0.0). In queto co il nuero di iterzioni dipende dll iportnz del prodotto Fd, ripetto d e T. Eettundo l iterzione con un otwre di clcolo i not che dopo lcune iterzioni i vlori di d i e e,i diventno cotnti. 0.