QUADRILATERO DI AREA MASSIMA ASSEGNATI I LATI

1 QUADRILATERO DI AREA MASSIMA ASSEGNATI I LATI Margherita Moretti (3D P.N.I.) Viviana Scoca (3D P.N.I.) Simone Moretti (3H P.N.I.) Abstract Si affronta il problema ella eterminazione el quarilatero i area massima note le misure ei lati, utilizzano contemporaneamente strumenti analitici e sintetici. 0. Introuzione In questo lavoro si affronta un tipico esempio i massimo: la ricerca i quarilateri i area massima tra quelli aventi le stesse misure ei lati. Tale problema oltre che interesse in sé può avere anche risvolti pratici [1]. Stabilite all inizio alcune conizioni i compatibilità a cui evono soisfare quattro numeri affinché essi siano le misure ei lati i un quarilatero, si conurrà la ricerca nell insieme ei quarilateri che hanno almeno una iagonale interna. Si arriverà quini alla verifica ella proprietà i massimalità per i quarilateri ciclici. Per essi si porranno le questioni i esistenza, unicità e costruibilità. L apparato teorico e pratico usato si colloca nell ambito ella trigonometria e ell analisi matematica. 1. Costruibilità ella figura Assegnate le misure i un numero finito i segmenti non è garantita in generale l esistenza i un poligono avente essi come lati. In caso affermativo iremo che il poligono è costruibile. Di seguito stuiamo il problema ella costruibilità i un triangolo e i un quarilatero. 1.1 Proposizione. Costruibilità i un triangolo Dati a, b, c esiste un triangolo (anche egenere) ABC con: sse Dim. E sufficiente notare che Casi egeneri

2 oppure 1.2 Proposizione. Costruibilità i un quarilatero Dati a, b, c e R + esiste un quarilatero ABCD con: sse Dim. ( ) Consieriamo il quarilatero ABCD: La iagonale AC (ove ) formerà un triangolo ABC i lati a, b, e un triangolo ACD i lati c,, che uniti lungo il lato AC formeranno il quarilatero ABCD i lati a, b, c e a b c

3 allora per la conizione i costruibilità ei triangoli (prop 1.1) si avrà: e a cui: ( ) Viceversa se allora esiste almeno un tale che e quini tale che: e E allora ancora per la prop 1.1 esiste un triangolo ABC i lati a, b, e un triangolo ACD i lati c,, che uniti lungo il lato AC formeranno il quarilatero: ABCD i lati a, b, c e a b c Osservazione Nel caso in cui: lati a,b,c,. Infatti in se esiste un unico quarilatero (egenere) i si ha:

4 oppure In tutte e ue i casi si ottiene che una elle misure a,b,c, è la somma elle altre tre, e il quarilatero che si ottiene è un segmento. Es: a b c In questi caso il problema i massimo si banalizza. Quano invece egeneri) i lati a,b,c,. esistono infiniti quarilateri (alcuni ei quali Nel seguito ci occuperemo solo i questi quarilateri che inicheremo con QUAD. 2 Quarilateri i lati assegnati al variare i una iagonale. Nel caso in cui: esistono infiniti valori tali che: 2.1 Descrizione 1 caso: Per la prop. 1.1 il quarilatero è formato a un triangolo egenere e a uno non egenere. Inicato con l angolo e con l angolo, si ha in generale: Es: oppure A a B C b c D

5 2 caso: Per la prop. 1.1 il quarilatero è formato a un triangolo egenere e a uno non egenere: Inicato con l angolo e con l angolo, si ha in generale: Es: oppure A a B b C c D 3 caso: per ognuno i questi valori i esistono (a meno i simmetrie) ue quarilateri con lati assegnati (e orinati) i lunghezza a,b,c e : uno con la iagonale AC interna al quarilatero: a b c e uno con la iagonale AC esterna al quarilatero a b c

6 In certi casi il quarilatero con la iagonale AC esterna può essere intrecciato: B A D C A C D B 2.2 Quarilateri con iagonale interna Osserviamo che mentre il quarilatero con iagonale esterna è sempre concavo, quello con iagonale interna può essere sia concavo che convesso: la iagonale AC interna. Inicheremo con QUAD AC i quarilateri i lati a,b,c, con Poiché ogni quarilatero convesso ha entrambe le iagonali interne, inicano con Q CONV i quarilateri i lati a,b,c, convessi, si ha: QUAD CONV QUAD AC 3 Problema el massimo 3.1 Definizione Dato un insieme INS i quarilateri i lati a,b,c,, chiamiamo quarilatero i area massima in INS un quarilatero Q INS tale che Q INS Area(Q) Area(Q )

7 3.2 Osservazione Ogni quarilatero Q i lati assegnati a,b,c, concavo è strettamente contenuto in un quarilatero convesso Q avente lati ella stessa lunghezza: ato il quarilatero concavo ABCD basta infatti consierare il quarilatero convesso A BCD con A simmetrico i A rispetto alla retta BD. Il quarilatero concavo ABCD i lati a,b,c, è strettamente contenuto in quello convesso A BCD anch esso i lati a,b,c, Per i ue quarilateri vale quini: Area(Q)<Area(Q ) 3.3 Proposizione Una quarilatero Q i lati assegnati a,b,c, ha area massima in QUAD se e soltanto se ha area massima in QUAD AC Dim. Se Q ha area massima in QUAD non può essere concavo (vei oss.3.2) quini Q QUAD CONV ma esseno QUAD CONV QUAD AC si ha Q QUAD AC, e esseno la sua area maggiore i quelle i tutti i quarilateri in QUAD, lo è anche per quelli i QUAD AC Viceversa se Q ha area massima in QUAD AC allora esseno QUAD CONV QUAD AC si ha che: Q QUAD CONV Area(Q) Area(Q ) Sia ora Q concavo, per l oss 3.2 esiste un Q QUAD CONV tale che Area (Q ) Area (Q ) ma Area (Q) Area (Q ) quini Area (Q) Area (Q ) 3.4 Osservazione Per la prop 3.3 per la ricerca el quarilatero i area massima in QUAD massimo è sufficiente limitarsi a consierare i quarilateri in QUAD AC.

8 3.5 Proposizione. Area ei quarilateri con una iagonale interna Per ogni Q QUAD AC ABCD, inicano con l angolo e con l angolo a b c Si ha: Dim. a cui : e quarano e moltiplicano per 4: ora per il teorema i Carnot applicato ai ue triangoli si ha

9 a cui e quarano: Sommano le ue uguaglianze a cui: e infine 3.6 Proposizione. Per ogni Q i QUAD AC si ha: Q ciclico Q i area massima in QUAD AC Dim Se Q è ciclico si ha + =, allora esseno la quantità 8abc cos( + ) massima quano cos( + )= 1 (cioè proprio per + = ), grazie alla prop. 3.5 per ogni altro Q QUAD AC

10 si ha: 3.8 Prop. Quarilatero i area massima. Per ogni Q QUAD AC si ha: Q ciclico Q i area massima in QUAD Dim Segue immeiatamente alla prop 3.3 3.9 Osservazione La prop. 3.8 ancora non risolve ancora il problema i massimo che ci siamo posti. Occorre infatti provare che in QUAD AC ci sia almeno un quarilatero ciclico. Dimostreremo ora che tale quarilatero esiste e che esso è unico. 4. Esistenza el quarilatero ciclico 4.1 Angoli in funzione ella lunghezza ella iagonale. Inicati con 1 = e con 2 = consieriamo per ogni [ 1, 2 ] il quarilatero Q in QUAD AC i iagonale AC lunga

11 a b c E inichiamo con l angolo e con l angolo al variare i. Per il teorema i Carnot applicato ai ue triangoli ABC e ACD si ha: Si hanno così le ue funzioni i : [ 1, 2 ] R : [ 1, 2 ] R

12 4.2 Propoposizione Esiste Q QUAD AC tale che Q è ciclico Dim. Inichiamo con () la funzione: : [ 1, 2 ] R () + () ove () e () sono state efinite in 4.1 Ora () è continua in [ 1, 2 ] inoltre per quanto visto in 2.1 quano = 1 oppure quini ( 1 ) ESEMPIO mentre quano = 2 oppure quini ( 2 ) ESEMPIO Per il teorema ei valori intermei si ha quini che esiste in ( 1, 2 ) tale che ()= () + () = e quini un Q QUAD AC ciclico.

13 5. Unicità el quarilatero i area massima 5.1 Proposizione E unico Q QUAD AC tale che Q è ciclico. Dim. La funzione () è continua in [ 1, 2 ] e è erivabile in ( 1, 2 ) con erivata: Osserviamo ora che per ogni ( 1, 2 ) si ha ()>0. Se ora esistessero ue quarilateri ciclici con iagonali AC lunghe e [ 1, 2 ] si avrebbe: ( ) = = ( ) e per il teorema i Rolle ovrebbe esistere (, ) tale che ( )=0 ma questo è assuro perché ()>0 in ( 1, 2 ). 6. Costruzione el quarilatero i area massima Una volta stabilito che il quarilatero i area massima è quello ciclico cerchiamo gli elementi che permettano la sua costruzione. In sostanza ci chieiamo come costruire il quarilatero ciclico i lati assegnati. 6.1 Proposizione Dati a, b, c e R + con

14 Il quarilatero ciclico ABCD i lati è tale che b a c Dim. Per il teorema i Carnot applicato ai ue triangoli ABC e ACD si ha: E risolveno il sistema: si ottiene:

15 6.2 Osservazione La proposizione 6.1 ci permette i calcolare l angolo (e quini anche = - ) e la lunghezza ella iagonale AC. La conoscenza i uno ei ue permette i iniviuare univocamente i ue triangoli ABC e ACD, e quini il quarilatero ciclico (nel primo caso grazie al primo criterio i congruenza ei triangoli e nel secono caso grazie al terzo). 6.3 Casi particolari Terminiamo applicano le formule in 6.1 in alcuni casi particolari. 1 caso: a=b=c= Il quarilatero ciclico è un quarato

16 2 caso: a=b=c, =2a Il quarilatero ciclico è un semi esagono regolare 3 caso: a=c Applicano le formule a entrambe le iagonali AC e BD e agli angoli = = si ha Il quarilatero ciclico è un trapezio isoscele

17 Osservazione: appartengono a questa famiglia i quarilateri tutti quelli trattati nei casi preceenti 4 caso: a 2 +b 2 =c 2 + 2 Il quarilatero ciclico è formato a ue triangoli rettangoli aventi come ipotenusa la iagonale AC D Osservazione: appartiene a questa famiglia i quarilateri l aquilone nel quale a= e b=c D

18 7.Conclusioni Un risultato generale afferma [3] che il poligono i n lati i area massima è ancora quello ciclico, si potrebbe unque ripetere ciò che si è fatto qui per i quarilateri, anche per i pentagoni, gli esagoni,..ecc. Cercano lì ove è possibile risultati generali. Si potrebbe inoltre inagare sui quarilateri ottenuti come somma i triangoli rettangoli (vei caso 4 par.6.3) sfruttano la ricchezza i proprietà che tali triangoli possieono. Nell articolo [4] è riportata una costruzione geometrica el quarilatero ciclico note le misure ei quattro lati. Sarebbe interessante stuiare tale costruzione alla luce ei risultati elencati nel par. 6. 8. Bibliografia e sitografia [1] http://ruimatematici-lescienze.blogautore.espresso.repubblica.it/2011/01/31/il-problema-i-gennaio- 509-armi-i-costruzione-i-massa/ [2] http://www.mf.unisalento.it/~scienze/downloa/tolomeo.pf [3] http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=13554 [4] http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/constructions/cyclicquarilateral.shtml