Probabilità, laurea triennale in Matematica I prova scritta sessione estiva a.a. 2008/09. Due roulette regolari vengono azionate più volte; sia T il numero di volte che occorre azionare la prima roulette per ottenere per la prima volta un multiplo di 2, ed S il numero di volte che occorre azionare la seconda roulette per ottenere per la prima volta un multiplo di 7 si ricordi che una roulette regolare fornisce ad ogni azione un numero N {0,..., 6} con P N i) p, i 0,,..., 6). i) Trovare le leggi delle v.a. T ed S e calcolare ET ) ed E T + 5S). Si può ritenere che S e T siano v.a. indipendenti? ii) Calcolare P T 2S 0). iii) Si consideri una terza roulette, truccata in modo che sia uguale a q 0 la probabilità che esca il numero 0, ogni volta che viene azionata. Se la si aziona 6000 volte e si indica con Z il numero delle volte che esce 0, calcolare P Z 2). 2. La v.a. X, Y ) ha la seguente densità congiunta: p X,Y ) 0, 0) p X,Y ) 0, ) p X,Y ) 2, 0) ; p X,Y ), 0) p X,Y ), ) 8 i) Trovare le densità marginali di X e Y ed i valori medi di X e Y ; ii) Trovare la densità discreta di Z X Y. iii) Calcolare la covarianza di X e Y. Dire, giustificando la risposta, se le v.a. X e Y sono stocasticamente indipendenti.. Una scatola contiene tre monete. Una ha due teste, la seconda è non truccata e la terza è una moneta sbilanciata che dà testa nel 75% dei casi. Si sceglie a caso una delle tre monete e la si lancia. i) Qual è la probabilità che esca testa? e che esca croce? ii) Sapendo che è uscita testa, qual è la probabilità che si tratti della moneta con due teste?. Un astuccio contiene gettoni verdi e blu. i) Vengono estratti a caso con rimpiazzo gettoni: sia X il numero dei gettoni verdi estratti. Si sa che EX) 8. Sono più numerosi i gettoni verdi o quelli blu? Calcolare P X 2). ii) Si consideri ora una scatola che contiene 2 gettoni, tra blu e verdi, con la stessa proporzione del punto i): si effettuano estrazioni senza rimpiazzo dalla scatola. a) Calcolare la probabilità che le prime due estrazioni forniscano un gettone blu e uno verde, esattamente in quest ordine ; b) sia Y il numero dei gettoni verdi ottenuti in di tali estrazioni, calcolare P Y 2); c) se ciascun gettone verde vale 50 cent e ciascuno blu vale, 00 euro, sia S la somma totale dei valori in euro dei gettoni estratti; quanto vale ES)? d) Indichiamo con Y i la v.a. che vale se viene estratto un gettone verde all i-esima estrazione, 0 altrimenti. Le v.a. Y e Y sono indipendenti? Giustificare la risposta.
Gli studenti degli anni precedenti esame con 5 CFU) devono svolgere anche i due esercizi seguenti, tralasciando l esercizio n. 5. Sia X una variabile aleatoria uniformemente distribuita in [0, ] e Y tanπx/2). i) Calcolare la densità di Y. ii)calcolare P 0 Y < ). iii) Esiste EY )? 6. Indichiamo con S n il numero di teste su n lanci di una moneta che dà testa con probabilità p. Usando l approssimazione normale: i) nel caso p 0.5 e n 00, stimare P 0 < S 00 < 60); ii) nel caso p 0.5 e n 600, stimare δ > 0 affinché P 800 δ < S 600 < 800 + δ) > 0.95; iii) nel caso p 0.25 stimare il numero di lanci affinché P 0.20 < S n /n < 0.0) > 0.95.
Soluzioni della I prova scritta sessione estiva a.a. 2008/09. i) Siccome i multipli di 2 tra 0 e 6 sono e i multipli di 7 tra 0 e 6 sono 5, T ed S sono istanti di primo successo in serie di prove di Bernoulli indipendenti, in cui la probabilità del successo in ogni prova è p 7, rispettivamente q 5 7. Dunque, T ed S hanno distribuzione geometrica modificata di parametro p e q, rispettivamente. Pertanto: P T k) p p) k, k,..., P S h) q q) h, h,... Si ha ET ) /p 7 7 e ES) /q 5, dunque E T + 5S) ET ) + 5ES) 7 + 5 7 5 0. Le v.a. S e T possono ritenersi indipendenti. ii) P T 2S 0) P T 2S) P T 2k, S k) k siccome S e T sono indipendenti, tale probabilità vale: P T 2k)P S k) k Ora T X ha distribuzione geometrica di parametro p; ricordando che per una tale X, risulta P X h) p) h, si ha P T 2k) P T 2k ) P X 2k ) p) 2k. Dunque, riprendendo il calcolo P T 2S 0) q p) q) k p) 2k P S k) k p) 2k q q) k k [ p) 2 q) ] ) k q p) q) p) 2 q) q p) p) 2 q) iii) Per l approssimazione di Poisson, si ha P Z k) P W k), ove W ha distribuzione di Poisson di parametro λ nq 6000/000 6. Pertanto P Z 2) P Z 0) P Z ) P W 0) P W ) e 6 6e 6 7e 6. 2. La v.a. X prende valori in {0,, 2} e Y prende valori in {0, }. Dai dati del problema si ricava p X,Y ) 2, ) 0. i) La densità marginale di X è: p X 0) p X,Y ) 0, 0) + p X,Y ) 0, ) 2 p X ) p X,Y ), 0) + p X,Y ), )
Quindi EX) / + 2 / /. La densità marginale di Y è: p X 2) p X,Y ) 2, 0) + p X,Y ) 2, ) p Y 0) p X,Y ) 0, 0) + p X,Y ), 0) + p X,Y ) 2, 0) + 8 + 5 8 p Y ) p X,Y ) 0, ) + p X,Y ), ) + p X,Y ) 2, ) + 8 + 0 8 Quindi EY ) /8 /8. ii) Z X Y {0,, 2}. Si ha: P Z 0) p X,Y ) 0, 0) + p X,Y ), ) 8 P Z ) p X,Y ) 0, ) + p X,Y ), 0) 8 iii) XY {0,, 2} con probabilità: P Z 2) p X,Y ) 2, 0) P XY 0) p X,Y ) 0, 0) + p X,Y ) 0, ) + p X,Y ), 0) + p X,Y ) 2, 0) 7 8 P XY ) p X,Y ), ) 8 P XY 2) p X,Y ) 2, ) 0 Allora EXY ) /8 e dunque covx, Y ) EXY ) EX)EY ) 8 9 2 X e Y non sono indipendenti. 0. Pertanto. Indichiamo con M, M 2, M, gli eventi che vengano estratte la prima, seconda e terza moneta, rispettivamente. Sia T l evento: il lancio della moneta estratta dà testa e C l evento: il lancio della moneta estratta dà croce. i) Si ha: P T ) P T M)P M ) + P T M 2 )P M 2 ) + P T M )P M ) Abbiamo P M ) P M 2 ) P M ) /, inoltre P T M ), P T M 2 ) /2, P T M ) /. Inserendo tali valori nella formula di sopra, si ottiene P T ). Inoltre P C) P T ). i) Per la formula di Bayes: P M T ) P T M )P M ) P T ) / / 9 0..
. i) Se v è il numero di gettoni verdi e b il numero di gettoni blu nell astuccio, si ha X B, p), ove p v v+b è incognita. Però sappiamo che EX) p 8/, dunque p 2/, cioé la proporzione di gettoni verdi è maggiore di quella dei blu. Risulta: 0 P X 2) P X 0) P X ) ) 2 ) 0 ) ) 2 ) ) 8 9 0.88. ii) La v.a Y n ha distribuzione ipergeometrica di parametri n, v, b); siccome v + b 2 e p v/v + b) 2/, si ha v 2 2 8, e b 2 8 ; inoltre EY n) np. a) Indichiamo con B i l evento che si ottenga un gettone blu nell i esima estrazione, e con V i l evento che si ottenga un gettone verde nell i esima estrazione, i, 2. Allora: b) P B V 2 ) P V 2 B )P B ) 8 0.2. ) ) 8 ) ) 8 P Y 2) P Y 0) P Y ) 0 ) 2 ) 0.9. 2 c) Si ha S 0.5 Y + Y ) Y/2 euro). Allora ES) EY )/2 2 2 8 2.67 euro). d) Le v.a. Y e Y ono ovviamente dipendenti, poiché le estrazioni sono senza rimpiazzo. 5.i) Calcoliamo dapprima la funzione di ripartizione F Y t) di Y. A tale proposito osserviamo che la funzione fx) tan ) πx 2 è crescente per x [0, ] e che f[0, ]) [0, + ). Pertanto, detta F X t) la funzione di ripartizione di X, per t 0 si ha: ) ) ) πx πx F Y t) P Y t) P tan t P 2 2 arctan t P X 2π ) ) 2π arctan t F X arctan t 2 arctan t, π mentre, se t < 0 è F Y t) 0, poiché 2 π arctan t < 0 e F Xs) 0, s < 0. Dunque: { 0 se t < 0 F Y t) 2. π arctant) se t 0 Di conseguenza la densità f Y t) di Y è: f Y t) df Y t) dt 0 se t < 0. 2 π+t 2 ) se t 0
ii) Si ha: P 0 Y < ) F Y ) F Y 0) 2 π arctan) 2 π arctan0) iii) EY ) non esiste. Infatti: 2 π π 2. E Y ) Posto x t 2 l integrale di sopra diventa: + 0 + 0 2t π + t 2 ) dt. π + x) dx π [log + x)] 0 +. 6. Per i, 2,..., n, consideriamo la v.a. X i che vale se esce testa all i esimo lancio della moneta, 0 altrimenti. Le v.a. X i sono indipendenti e Bernoulliane di parametro p P T esta); quindi EX i ) p e V arx i ) p p). i) Per p 0.5 e n 00, si ha EX i ) 2, V arx i) e S 00 n i X i B00, 0.5). Allora: P 0 < S 00 < 60) P 0 00 0.5 < X +... + X 00 00 0.5 < 00 00 P 2 < S 00 00 0.5 < 2 ; 00 60 00 0.5 00 usando l approssimazione normale, se W N 0, ), tale probabilità è circa uguale a: P 2 < W < 2) Φ2) Φ 2) 2Φ2) 2 0.9772 0.95. ii) Per p 0.5 e n 600, si ha ancora EX i ) 2, V arx i) e S 00 n i X i B600, 0.5). Allora, utilizzando ancora l approssimazione normale: P 800 δ < S 600 < 800 + δ) P 800 δ 600 0.5 < S600 600 0.5 < 600 600 800 + δ 600 0.5 600
P δ 20 < S 600 600 0.5 < δ δ P 600 20 20 < W < δ ) 20 ) δ Φ Φ δ ) ) δ 2Φ. 20 20 20 Affinché questa probabilità sia maggiore di 0.95, deve essere Φ ) δ 20 > 2 + 0.95) 0.975. Dalla tavola della distribuzione normale standard, si ricava che il quantile di ordine 0.975 è.96, cioè 0.975 Φ.96); essendo Φ una funzione crescente, deve aversi quindi δ > 20.96 9.2. iii) Per p 0.25 e n generico, si ha EX i ), V arx i) 6 e S n n i X i Bn, 0.25). Allora, utilizzando l approssimazione normale, se W N 0, ) : P 0.20 < S ) n n < 0.0 P 0.20 n < S n < 0.0 n) P 0.20 n n 0.25 < X +... + X n n 0.25 /6 n < n 6 P 0.05 n < X +... + X n n 0.25 n/ n P 6 0.05 n n/ < W < 0.05 n n/ ) 0.0 n n 0.25 /6 n < 0.05 n n/ ) 0.20 n Φ Φ 0.20 ) ) n 0.20 n 2Φ. Se vogliamo che tale probabilità sia maggiore di 0.95, deve aversi: ) 0.20 n Φ > + 0.95 2 0.975 Φ.96). Quindi, essendo Φ una funzione crescente, occorre che sia: 0.20 n >.96, ovvero n > 9.8, da cui segue n > 288.2. Dunque il minimo numero di lanci affinché sia verificata la relazione data è 289.