SINT DELLE TERRE CITOLO 13 SINT DELLE TERRE La determinazione della spinta esercitata dal terreno contro un opera di sostegno è un problema classico di ingegneria geotecnica che, ancora oggi, nonostante l enorme ampliamento delle conoscenze, viene affrontato utilizzando due teorie storiche, opportunamente modificate e integrate alla luce del principio delle tensioni efficaci: la teoria di Rankine (1857) e la teoria di Coulomb (1776). Entrambi i metodi assumono superfici di scorrimento piane, ma per effetto dell attrito fra la parete e il terreno, le reali superfici di scorrimento sono in parte curvilinee, ed risultati che si ottengono applicando i metodi classici, specie per le condizioni di spinta passiva (resistente) sono spesso non cautelativi. È pertanto opportuno riferirsi, almeno per il calcolo della spinta passiva, al metodo di Caquot e érisel (1948) che è il più noto e applicato metodo fra quelli che assumono superfici di scorrimento curvilinee. 13.1 Teoria di Rankine (1857) Si consideri un generico punto alla profondità in un deposito di terreno incoerente (c = 0), omogeneo e asciutto (o comunque sopra falda), avente peso di volume γ costante con la profondità, e delimitato superiormente da una superficie piana e orizzontale (Figura 13.1). er ragioni di simmetria lo stato tensionale (geostatico) è assialsimmetrico. La pressione interstiziale è zero (terreno asciutto), per cui le tensioni totali ed efficaci coincidono. = h0 0 = γ Figura 13.1 Tensioni geostatiche in un deposito di terreno omogeneo, incoerente, delimitato da una superificie piana e orizzontale Nel punto : - la tensione verticale σ è staticamente determinata dalla condizione di equilibrio alla traslazione in direzione verticale, e vale: σ = γ; - la tensione orizzontale σ h0 è eguale in tutte le direzioni, non è staticamente determinata, e vale: σ h0 = 0 σ. 5 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE Il coefficiente di spinta a riposo, 0, può essere misurato sperimentalmente o più spesso stimato con formule empiriche 1. oiché di norma 0 è minore di 1, la tensione verticale σ corrisponde alla tensione principale maggiore σ 1, mentre la tensione orizzontale σ h0 corrisponde alla tensione principale minore σ 3. er simmetria assiale la tensione principale intermedia σ è eguale alla tensione principale minore σ 3. Sia la tensione verticale che la tensione orizzontale h0 valgono zero in superficie (=0) e variano linearmente con la profondità, rispettivamente con gradiente γ e con gradiente 0 γ. ssumiamo che il terreno abbia resistenza al taglio definita dal criterio di rottura di Mohr- Coulomb: τ = σ tan φ (Eq. 13.1) τ h0 φ Cerchio O Figura 13. Stato tensionale geostatico nel punto In Figura 13. è rappresentato nel piano di Mohr il cerchio corrispondente allo stato tensionale geostatico nel punto e la retta inviluppo a rottura. Supponiamo ora di inserire, a sinistra e a destra del punto, due pareti verticali ideali, cioè tali da non modificare lo stato tensionale nel terreno (Figura 13.3). lla generica profondità z, sui due lati di ciascuna parete, si esercita la tensione orizzontale efficace σ h0 = 0 γ z. La spinta orizzontale S 0 (risultante delle tensioni orizzontali efficaci) presente sui due lati di ciascuna parete, dal piano di campagna fino ad una generica profondità, vale: S 1 0 = h0 dz = γ 0 0 σ (Eq. 13.) 1 er la stima del coefficiente di spinta a riposo, 0, sono state proposte diverse equazioni empiriche, come già visto nel Capitolo 3, le più note e utilizzate delle quali sono: per terreni NC: 0 (NC) ( 1 senφ ) 0, 5 e per terreni OC: 0 (OC) 0 (NC) OCR er avere un idea anche quantitativa dei valori di 0 si consideri che per φ =30, applicando le equazioni sopra scritte si stima: per OCR = 1 (terreno normalmente consolidato) 0 0,50 per OCR = (terreno debolmente sovraconsolidato) 0 0,71 per OCR = 4 (terreno mediamente sovraconsolidato) 0 1,00 per OCR = 10 (terreno fortemente sovraconsolidato) 0 1,58 ovvero, in un terreno NC la tensione geostatica orizzontale h0 è circa la metà di quella verticale, per OCR = 4 lo stato tensionale geostatico è isotropo, mentre per OCR > 4 la tensione geostatica orizzontale h0 diviene tensione principale maggiore. 6 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE La profondità 0 della retta di applicazione di S 0, vale: σ h0 z dz 0 (Eq. 13.3) 0 = = S0 3 che corrisponde alla profondità del baricentro dell area triangolare del diagramma di pressione orizzontale di altezza e base 0 γ. Supponiamo ora di allontanare gradualmente le due pareti (Figura 13.4). Nel punto permangono condizioni di simmetria, per cui le tensioni verticale ed orizzontali sono ancora principali. La tensione verticale = γ non varia, mentre la tensione orizzontale efficace si riduce progressivamente. h0 h0 S 0 = /3 0 ha 0 γ 0γ Figura 13.3 Spinta a riposo Figura 13.4 Condizione di spinta attiva Il cerchio di Mohr, rappresentativo dello stato tensionale in, si modifica di conseguenza: la tensione principale maggiore 1 = rimane costante, mentre la tensione principale minore 3 si riduce progressivamente dal valore iniziale h0 al valore minimo compatibile con l equilibrio, ha, detta tensione limite attiva, che corrisponde alla tensione principale minore del cerchio di Mohr tangente alla retta di inviluppo a rottura (Figura 13.5). Il raggio del cerchio di Mohr dello stato di tensione limite attiva è R = ½ ( - ha ), ed il centro è ad una distanza dall origine OC = ½ ( + ha ). Considerando il triangolo rettangolo OFC (Figura 13.5), si ha: τ τ f F π/4+ ϕ / Cerchio Cerchio O φ R 1 = FC = OC senφ 1 ( σ σ ) = ( σ + σ ) senφ ha ha O R C ha h0 Figura 13.5 Stato tensionale attivo (limite inferiore) 7 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE σ ha (1 + senφ ) = σ (1 senφ ) 1 senφ π φ σ ha = σ = tan σ 1+ senφ 4 Il rapporto: 1 senφ π φ = = tan (Eq. 13.4) 1+ senφ 4 è detto coefficiente di spinta attiva. Dunque si può scrivere: σ ha = σvo (Eq. 13.5) La tensione tangenziale critica, il cui valore τ f è l ordinata del punto F di tangenza del cerchio di Mohr con la retta di inviluppo a rottura, agisce su un piano che forma un angolo di + con la direzione orizzontale (Figura 13.5).In condizioni di rottura per rag- π φ 4 giungimento dello stato di equilibrio limite inferiore (spinta attiva), il terreno inizia a scorrere lungo questi piani (Figura 13.6). π/4+ φ / π/4+ φ / τ f ha f Figura 13.6 iani di scorrimento nella condizione di spinta attiva La spinta orizzontale S presente sui lati interni di ciascuna parete ideale, dal piano di campagna fino ad una generica profondità (Figura 13.7), vale: S 1 = σ h dz = γ 0 (Eq. 13.6) S ha = /3 oiché anche in questo caso il diagramma di pressione orizzontale è triangolare, la profondità della retta di applicazione di S vale: Figura 13.7 Diagramma delle tensioni efficaci orizzontali in condizione di spinta attiva 8 γ J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE = = 3 0 (Eq. 13.7) Se si suppone ora di avvicinare le due pareti verticali ideali, alla destra ed alla sinistra del punto, la tensione verticale efficace non subisce variazioni mentre quella orizzontale progressivamente cresce fino al valore massimo compatibile con il criterio di rottura di Mohr-Coulomb (Figura 13.8). In tali condizioni la tensione verticale efficace, corrisponde alla tensione principale minore, = 3, e quella orizzontale, detta tensione limite passiva, hp, alla tensione principale maggiore, hp = 1 (Figura 13.9). hp rocedendo in modo analogo a quanto già fatto per la condizione di spinta attiva, si ottiene: Figura 13.8 Condizione di spinta passiva 1+ senφ σ hp = σ = σ vo (Eq. 13.8) 1 senφ Il rapporto: è detto coefficiente di spinta passiva. 1+ senφ π φ 1 = = tan + = (Eq. 13.9) 1 senφ 4 Le tensioni tangenziali critiche agiscono su piani che formano un ango- φ τ π/4- φ / π φ τf F lo di con la direzione orizzontale (Figura 13.9). In condizioni Cerchio O Cerchio 4 di rottura per raggiungimento dello stato di equilibrio limite superiore O C C (spinta passiva), il terreno inizia a h0 hp scorrere lungo questi piani (Figura Figura 13.9 Stato tensionale passivo (limite superiore) 13.10). La spinta orizzontale S presente sui lati interni di ciascuna parete ideale dal piano di campagna fino ad una generica profondità (Figura 13.11), vale: S 1 = σ h d = γ (Eq. 13.10) 0 9 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006) R
SINT DELLE TERRE π/4 - φ / π/4 - φ / hp τ f f Figura 13.10 iani di scorrimento nella condizione di spinta passiva hp = /3 S γ Figura 13.11 Diagramma delle tensioni efficaci orizzontali in condizione di spinta passiva oiché anche in questo caso il diagramma di pressione orizzontale è triangolare la profondità della retta di applicazione di S, vale: = = 0 (Eq. 13.11) 3 I coefficienti di spinta attiva,, e passiva,, rappresentano i valori limite, rispettivamente inferiore e superiore, del rapporto tra le tensioni efficaci orizzontale e verticale: σ h (Eq. 13.1) σ In particolare il valore del coefficiente di spinta a riposo, 0, è compreso tra il valore di e quello di. Utilizzando per la stima di 0 le equazioni empiriche viste in precedenza si può constatare che i valori di 0 sono molto più prossimi al limite inferiore che al limite superiore. titolo di esempio per φ = 30 si stima: = 0,333; 0 = 0,5; = 3 30 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE 13.1.1 Osservazioni sperimentali sull effetto del movimento della parete sul diagramma di pressione orizzontale La distribuzione delle pressioni orizzontali dipende dal movimento della parete. In Figura 13.1 sono qualitativamente mostrati i diagrammi di pressione orizzontale contro una parete rigida in funzione del movimento della parete. Inoltre, è stato sperimentalmente osservato (Tabella 13.1 e Figura 13.13) che le deformazioni di espansione necessarie per far decadere la pressione orizzontale dal valore h0, che corrisponde allo stato indeformato, al valore limite inferiore ha, sono piccole, e comunque molto inferiori alle deformazioni di compressione necessarie per far elevare la pressione orizzontale dal valore h0, al valore limite superiore hp. ertanto è buona norma riferirsi all angolo di resistenza al taglio di picco per il calcolo della spinta attiva, ed all angolo di resistenza al taglio a volume costante (ovvero per grandi deformazioni) per il calcolo della spinta passiva. 13.1. Effetto dell inclinazione della superficie del deposito assiva ressione orizzontale ttiva Rotazione rispetto alla testa p a 0 assiva Se il deposito di terreno incoerente (c = 0), omogeneo e asciutto, avente peso di volume γ costante con la profondità, è delimitato superiormente da una superficie piana, inclinata di un angolo β < φ rispetto all orizzontale, le tensioni principali non corrispondono più alle tensioni verticale ed orizzontali. Si consideri un concio di terreno di larghezza b e altezza, delimitato inferiormente da una superficie parallela al piano campagna e lateralmente da due superfici ideali verticali (Figura 13.14). er ragioni di simmetria, le risultanti delle tensioni che agiscono sulle due superfici laterali sono due forze S, eguali ed opposte, aventi la stessa retta d azione inclinata dell angolo β sull orizzontale. ressione orizzontale ttiva Rotazione rispetto al piede p a 0 assiva ressione orizzontale ttiva Traslazione uniforme p a 0 Figura 13.1 Diagrammi di pressione orizzontale contro una parete rigida. Dipendenza dai movimenti della parete 31 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE Tabella 13.1: Entità delle rotazioni della parete per raggiungere la rottura (con riferimento ai simboli di Figura 13.13) Terreno Rotazione Y / Decompressione (Stato attivo) Compressione (Stato passivo) Incoerente denso 0,001 0,00 Incoerente sciolto 0,004 0,060 Coesivo consistente 0,010 0,00 Coesivo molle 0,00 0,040 Consideriamo l equilibrio del concio: - le forze S si elidono l una con l altra e non intervengono nelle equazioni di equilibrio; - il concio ha peso W = γ b; la forza W è verticale; - la base del concio ha lunghezza l = b/cosβ; - la risultante delle tensioni normali alla base del concio vale: N = W cosβ ; - la risultante delle tensioni tangenziali alla base del concio vale: T = W sen β; - la tensione normale alla base del concio vale: n =N/l = γ cos β; - la tensione tangenziale alla base del concio vale: τ =T/l = γ sen β cos β. Rapporto tra pressione orizzontale e verticale, a Stato attivo Sabbia sciolta Sabbia compatta Sabbia densa 0 Rotazione del muro, Y/ p Sabbia densa Sabbia sciolta Stato passivo Figura 13.13 Effetti del movimento della parete sulla pressione orizzontale esercitata da sabbia Nel piano di Mohr il punto Q di coordinate n τ rappresenta la tensione agente sul piano di base del concio, alla profondità inclinato dell angolo β rispetto all orizzontale. Il punto Q appartiene ad una retta di equazione τ = tan β (Figura 13.15). b β τ S W S φ Q β N T τ = γ senβcosβ O = γ cos β n l Figura 13.14 Condizione di equilibrio in un semispazio omogeneo, incoerente e a- sciutto delimitato da una superficie piana e inclinata Figura 13.15 Stato di tensione sul piano alla base del concio 3 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE Il segmento OQ = γ cos β = rappresenta la tensione verticale sul piano alla base del concio. Tutti i cerchi di Mohr passanti per il punto Q e sottostanti alla retta di inviluppo a rottura di equazione τ = tanφ rappresentano stati di tensione alla profondità compatibili con l equilibrio. Lo stato di tensione limite inferiore (attivo) e lo stato di tensione limite superiore (passivo) alla profondità sono rappresentati dai cerchi e di Figura 13.16. τ φ Cerchio Cerchio β E Q B O C Figura 13.16 Stati di tensione limite in un deposito di terreno incoerente in pendio I segmenti O e O (essendo e il polo dei relativi cerchi) sono rispettivamente il valore minimo, in condizioni di spinta attiva, ed il valore massimo, in condizioni di spinta passiva, della tensione, inclinata dell angolo β sull orizzontale, agente sulla superficie verticale alla profondità (il piano verticale non è principale, su di esso insistono una tensione normale ed una tensione tangenziale). Le spinte attiva, S, e passiva, S, sono le forze limite di equilibrio agenti su una parete verticale e inclinate dell angolo β rispetto all orizzontale, corrispondenti alle rispettive a- ree dei diagrammi di pressione. Si consideri il cerchio : σ a = O = OB B OQ = γ cos β = OB + BQ = OB + B OB B σ a = γ cos β OB + B OB = OC cos β C = EC = R = OC senφ BC = OC senβ ( OC senφ ) ( OC senβ ) = OC senφ senβ B = C BC = OC cos β OC senφ senβ β σ cos γ cos β a = = OC cos β OC senφ senβ + cos β + cos β cos β cosφ = γ cos β cos β cos β cosφ + 33 1 cosφ 1+ cos β γ cos β = 1 cosφ 1+ cos β J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE Da cui: σ = σ (Eq. 13.13) a essendo: cos β cos β cosφ = cos β + cos β cosφ (Eq. 13.14) La spinta attiva, dal piano di campagna fino alla profondità, è data da: S = γ cos β (Eq. 13.15) nalogamente, considerando il cerchio, si ottiene: σ p = σ essendo: (Eq. 13.16) cos β + cos β cosφ = cos β cos β cosφ (Eq. 13.17) La spinta passiva dal piano di campagna fino alla profondità risulta: S = γ cos β (Eq. 13.18) er la condizione di spinta a riposo, staticamente indeterminata, si assume in genere: = (1 + senβ) = (1 senφ) (1 + sen ) (Eq. 13.19) 0,i 0 β 13.1.3 Effetto della coesione τ O c tan ϕ c F R C 3 1 + 1 3 Figura 13.17 Stato tensionale di equilibrio limite per un terreno dotato di coesione e di attrito φ Se il deposito di terreno asciutto, omogeneo e delimitato da una superficie orizzontale è dotato anche di coesione oltre che di attrito, ovvero ha resistenza al taglio definita dal criterio di rottura di Mohr-Coulomb: τ = c +σ tan φ (Eq. 13.0) la relazioni che legano le tensioni principali per uno stato tensionale di equilibrio limite sono le seguenti (Figura 13.17): π φ π φ σ = tan 1 σ 3 + + c tan + (Eq. 13.1) 4 4 π φ π φ σ = tan 3 σ1 c tan (Eq. 13.) 4 4 ertanto, in condizioni di spinta attiva, quando la tensione orizzontale corrisponde alla tensione principale minore e la tensione verticale a quella maggiore, si ha: 34 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE π φ π φ σ h,a = γ tan c tan = γ c (Eq. 13.3) 4 4 oiché il terreno non ha resistenza a trazione, l equazione soprascritta è valida per > c, essendo c la profondità critica per la quale risulta ha = 0: c c = (Eq. 13.4) γ mentre per < c si assume h = 0. er il calcolo della spinta attiva e della profondità di applicazione si fa riferimento al diagramma di Figura 13.18 3. In condizioni di spinta passiva, quando la tensione orizzontale corrisponde alla tensione principale maggiore e la tensione verticale a quella minore, si ha: π φ π φ σ h,p = γ tan + + c tan + = γ + c (Eq. 13.5) 4 4 er il calcolo della spinta passiva e della profondità di applicazione si fa riferimento al diagramma di Figura 13.19: 1 S ( ) = S + S = c + γ (Eq. 13.6) ( S S ) =,1,1, + S, S ( ) 3 (Eq. 13.7) c a c p /3 ( - ) C c = C γ a γ w Ζ c S W / S,1 /3 S S, () ha () hp Figura 13.18 Diagramma di spinta attiva in un terreno dotato di coesione e attrito Figura 13.19 Diagramma di spinta passiva in un terreno dotato di coesione e attrito 3 Nella fascia di spessore c il terreno sarà interessato da fessure verticali di trazione che possono riempirsi di acqua, ad esempio per la pioggia. Si tiene conto di tale possibilità considerando, per il calcolo della spinta, anche un triangolo di pressione idrostatica di altezza c e base γ w c. 35 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE Nel caso in cui, in presenza di un terreno coesivo, si faccia riferimento a condizioni non drenate (come quelle che possono verificarsi immediatamente dopo l esecuzione di uno scavo o la costruzione di un opera di sostegno), per determinare la spinta attiva e passiva bisogna applicare il criterio di rottura di Mohr-Coulomb (Eq. 13.0) in termini di tensioni totali (ϕ = 0, c = c u ) e la tensione limite attiva e passiva diventano rispettivamente (Figura 13.0): = σ c c u τ f σ σ σ ϕ = 0 h,a h,p Figura 13.0 Stati pensionali limite attivo e passivo per un terreno coesivo in condizioni non drenate σ (Eq. 13.8) ha u σ σ = σ + c (Eq. 13.9) hp u 13.1.4 Terreni stratificati Se il deposito di terreno è costituito da strati orizzontali omogenei, la spinta totale esercitata sulla parete verticale è la somma dei contribuiti di ciascuno strato. Il generico strato i- esimo, di spessore i, fra le profondità i-1 e i, costituto da un terreno avente peso di volume γ i e resistenza al taglio: τ = ci + σ tan φi, eserciterà contro la parete verticale ideale una spinta S i pari all area del diagramma delle pressioni orizzontali nel tratto di sua competenza, applicata alla quota del baricentro di tale area (Figura 13.1). ha hp 1 1 i-1 ( ) ha i-1 ( ) hp i-1 i i S,i S,,i i+1 ( ) ha i ( ) hp i Figura 13.1 Spinta attiva e passiva in un terreno a strati orizzontali omogenei 36 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE La tensione verticale agente al tetto dello strato i-esimo, alla profondità i-1, vale: i 1 i 1 j= 1 σ ( ) = γ (Eq. 13.30) La tensione verticale agente alla base dello strato i-esimo, alla profondità i, vale: Il diagramma delle pressioni orizzontali in condizioni di spinta attiva è un trapezio avente: altezza i, base minore σ ) = σ ( ) c 0 ha ( i 1 i 1,i i, i, e base maggiore σ ha ( i ) = σ (i ),i ci, i 0 oiché il terreno non ha resistenza a trazione: - se i valori di ha ( i-1 ) e di ha ( i ), calcolati con le formule precedenti, risultano entrambi minori di zero lo strato non esercita alcuna spinta, - se il valore di ha ( i-1 ), calcolato con la formula precedente, risulta minore di zero per il calcolo della spinta si considera il diagramma di pressione positiva triangolare 4 (ovvero si assume ha ( i-1 ) = 0). Il diagramma delle pressioni orizzontali in condizioni di spinta passiva è un trapezio a- vente: altezza i, base minore σ ( ) = σ ( ) + c e base maggiore j j σ ( ) = σ ( ) + γ (Eq. 13.31) i i 1 σ i hp hp i i 1 i 1,i i, i, ( ) = σ ( ) + c i i,i i, i 13. Teoria di Coulomb (1776) Molto prima di Rankine, il problema della determinazione della spinta esercitata dal terreno su un opera di sostegno era stato affrontato dall ingegnere militare francese Coulomb con un metodo basato sull equilibrio delle forze in gioco. Si consideri una parete di altezza che sostenga un terrapieno di sabbia omogenea e a- sciutta. er semplicità di esposizione assumiamo, per il momento, le seguenti ipotesi: 1. assenza di attrito tra parete e terreno,. parete del muro verticale, 3. superficie del terrapieno orizzontale, 4. terreno omogeneo, incoerente e asciutto, con peso di volume γ e resistenza al taglio: τ = tanφ 5. superficie di scorrimento piana. 4 In entrambi i casi, nelle zone non compresse in direzione orizzontale si dovrà tenere conto della spinta e- sercitata dall acqua di percolazione. 37 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE er determinare il valore della spinta attiva,, limite inferiore dell equilibrio, supponiamo di traslare gradualmente la parete verso l esterno fino a produrre la rottura del terreno. La rottura si manifesta, nell ipotesi di Coulomb, con il distacco di un cuneo di terreno BC che scorre verso l esterno e verso il basso su una superficie di rottura piana e inclinata di un angolo η sull orizzontale, incognito (Figura 13.). Il cuneo BC trasla nella posizione B C. In condizioni di equilibrio limite le forze che agiscono sul cuneo, rappresentate nel poligono delle forze di Figura 13.3, sono: 1 - il peso proprio W = γ cot η, che agisce in direzione verticale, - la risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie di scorrimento, che è inclinata di un angolo φ rispetto alla normale alla superficie C, con componente tangente diretta verso l alto, ovvero tale da opporsi al movimento incipiente del cuneo, - e la spinta attiva, che agisce in direzione orizzontale per l ipotesi di assenza di attrito tra parete e terreno. tan η B C B C W R η φ W η φ R Figura 13. Cuneo di spinta attiva di Coulomb Figura 13.3 oligono delle forze relativo al cuneo di spinta attiva di Coulomb er l equilibrio è: 1 = W tan( η φ) = γ cot η tan( η φ ) = f ( η) (Eq. 13.3) er determinare il valore di η che corrisponde alla condizione di equilibrio limite attivo, η crit, e quindi, occorre fare la ricerca di massimo 5 della funzione f(η), che può essere condotta per via grafica o numerica, imponendo la condizione: = 0. η 5 Si tratta di una ricerca di massimo (e non di minimo) della funzione f(η), poiché si ricerca il valore di η corrispondente al cuneo critico, ovvero al cuneo che richiede il valore più alto di per l equilibrio limite inferiore. Se si immagina, partendo ad esempio dalla condizione a riposo, di ridurre progressivamente la forza, quando si perviene al valore si manifesta la rottura con la formazione del cuneo inclinato dell angolo η crit sull orizzontale. 38 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE Così facendo si ricava il valore critico dell angolo η, che risulta: π φ η crit = + (Eq. 13.33) 4 Sostituendo il valore critico di η nell equazione di si ottiene infine: 1 π φ 1 = γ tan = γ (Eq. 13.34) 4 L espressione trovata coincide con quella di Rankine. nalogamente, per determinare il valore della spinta passiva,, limite superiore dell equilibrio, supponiamo di traslare gradualmente la parete verso l interno fino a produrre la rottura del terreno. La rottura si manifesta, nell ipotesi di Coulomb, con il distacco di un cuneo di terreno BC che scorre verso l interno e verso l alto su una superficie di rottura piana e inclinata di un angolo η sull orizzontale, incognito (Figura 13.4). Il cuneo BC trasla nella posizione B C. In condizioni di equilibrio limite le forze che agiscono sul cuneo, rappresentate nel poligono delle forze di Figura 13.5, sono: B B tan η W C C W η+φ R η φ R Figura 13.4 Cuneo di spinta passiva Coulomb 39 Figura 13.5 oligono delle forze relativo al cuneo di spinta passiva di Coulomb 1 - il peso proprio W = γ cot η, che agisce in direzione verticale, - la risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie di scorrimento, che è inclinata di un angolo φ rispetto alla normale alla superficie C, con componente tangente diretta verso il basso, ovvero tale da opporsi al movimento incipiente del cuneo, - e la spinta attiva, che agisce in direzione orizzontale per l ipotesi di assenza di attrito tra parete e terreno. er l equilibrio è: 1 = W tan( η + φ) = γ cot η tan( η + φ ) = f ( η) (Eq. 13.35) J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE er determinare il valore di η che corrisponde alla condizione di equilibrio limite passivo, η crit, e quindi p, occorre fare la ricerca di minimo della funzione f(η), che può essere condotta per via grafica o numerica, imponendo la condizione: = 0. η Così facendo si ricava il valore critico dell angolo η, che risulta: π φ η crit = (Eq. 13.36) 4 Sostituendo il valore critico di η nell equazione di si ottiene infine: 1 π φ 1 = γ tan + = γ (Eq. 13.37) 4 L espressione trovata coincide con quella di Rankine. Le ipotesi semplificative inizialmente introdotte, eccetto l ipotesi di superficie di scorrimento piana, possono essere rimosse, a costo di una soluzione analitica più complessa o a costo di rinunciare alla soluzione analitica per una soluzione grafica o numerica. Si considerino, ad esempio gli schemi delle Figure 13.6 e 13.7, che rappresentano i cunei di spinta attiva e passiva nelle seguenti ipotesi: - parete di altezza inclinata di un angolo λ sulla verticale, - terrapieno omogeneo e incoerente delimitato da una superficie inclinata di un angolo β sull orizzontale, - presenza di attrito tra parete e terreno, con coefficiente d attrito tanδ, - superficie di scorrimento piana. λ δ φ W η Figura 13.6 Cuneo di spinta attiva di Coulomb (terrapieno e parete inclinati,presenza di attrito tra terreno e muro, terreno incoerente) R β β δ λ W φ R η Figura 13.7 Cuneo di spinta passiva di Coulomb (terrapieno e parete inclinati, presenza di attrito tra terreno e muro, terreno incoerente) 40 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE Sviluppando il calcolo analitico, con riferimento ai simboli delle figure, si ottiene per la condizione di spinta attiva: 1 = γ (Eq. 13.38) cos ( φ λ) = sen ( ) ( δ + φ ) sen( φ β ) (Eq. 13.39) cos λ cos λ + δ 1 + cos( λ + δ ) cos( λ β ) e per la condizione di spinta passiva: 1 = γ (Eq. 13.40) cos ( φ + λ) = sen ( ) ( δ + φ ) sen( φ + β ) cos λ cos λ δ 1 cos( λ δ ) cos( λ β ) (Eq. 13.41) In Figura 13.8 è schematicamente rappresentato il caso per la condizione di spinta attiva nell ipotesi, ancor più generale, di : - parete non verticale, - terreno dotato di coesione e di attrito (τ = c + tanφ ), - superficie del terrapieno inclinata, - resistenza per adesione ed attrito all interfaccia parete-terreno (τ = c a + tanδ), - fessure di trazione nella fascia superiore di terreno (per la condizione di spinta attiva) 6. La soluzione può essere ricercata per via grafica, con la costruzione di Culmann rappresentata in Figura 13.9, o numerica. β D c E R W C a F W C δ B η φ R C = c BC C = c abc C C a Figura 13.8 Cuneo di spinta attiva di Coulomb (terrapieno e parete inclinati,presenza di attrito tra terreno e muro, terreno coesivo)e poligono delle forze 6 Come già detto, nelle fessure di trazione può infiltrarsi acqua di percolazione, per cui è opportuno considerare anche la conseguente spinta idrostatica aggiuntiva. 41 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE c C Linea di Culmann C a φ C C oligono delle forze (su una sezione) Figura 13.9 Costruzione di Culmann Diagramma delle forze er lo spessore della zona di trazione si assume: c ca c 1 + c = γ La teoria di Coulomb è più versatile della teoria di Rankine, poiché permette di risolvere condizioni geometriche e di carico generali ed è alla base del più diffuso metodo pseudostatico di calcolo della spinta in condizioni sismiche. 13.3 Teoria di Caquot e érisel (Eq. 13.4) Sia la teoria di Rankine che quella di Coulomb ipotizzano superfici di scorrimento piane. Tale ipotesi non è verificata a causa dell interazione fra la parete dell opera di sostegno ed il terreno. In Figura 13.30 sono mostrati gli effetti dell attrito parete-terreno sulla forma della superficie di scorrimento, per i casi di: a) C π/4 - φ / b) C π/4 + φ / /3 B δ π/+ φ D δ D π/ - φ /3 Figura 13.30 Effetto dell attrito parete-terreno sulla forma della superficie di scorrimento, nel caso di spinta passiva (a) e attiva (b) B 4 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE a) spinta passiva, con movimento del cuneo di terreno verso l interno e verso l alto rispetto al movimento del muro (δ < 0). b) spinta attiva, con movimento del cuneo di terreno verso l esterno e verso il basso rispetto al movimento del muro (δ > 0); I casi a) e b) possono essere confrontati con le soluzioni di Coulomb per la spinta attiva e passiva. La soluzione fu ottenuta per via numerica da Caquot e érisel (1948) accoppiando le teorie di Rankine e di Boussinesq, ed è riportata in grafici e tabelle in termini di coefficienti di spinta al variare degli angoli di resistenza al taglio φ, di attrito parete-terreno δ, di inclinazione della parete rispetto alla verticale λ, e di inclinazione del piano che delimita il terrapieno rispetto all orizzontale β, con la convenzione sui segni indicata in Figura 13.31. +λ +δ +β Figura 13.31 Convenzione sui segni delle variabili angolari nelle Tabelle di Caquot and érisel 13.3.1 Dipendenza di e dall angolo δ Il valore di δ non può superare il valore di φ, poiché in tal caso si formerebbe una pellicola di terreno solidale alla parete e lo scorrimento avverrebbe internamente al terreno con coefficiente di attrito tanφ. I coefficienti di spinta e crescono con continuità da δ = +φ a δ = -φ. Il segno di δ dipende, come abbiamo detto, dal movimento verticale relativo fra la parete e il terreno. In generale: - in condizioni di spinta attiva, il terreno si abbassa rispetto alla parete e δ risulta compreso tra +φ e 0, - in condizioni di spinta passiva, il terreno sale rispetto alla parete e δ risulta compreso tra 0 e -φ. In genere, ma in modo più o meno arbitrario, si assume δ = φ /4 per pareti in muratura o in cemento armato intonacate, e δ compreso tra /3φ e φ / per pareti in muratura o in cemento armato non lisciate. titolo di esempio in Tabella 13. sono riportati i valori di e di al variare di δ per φ =30, β = 0 e λ = 0. Si può osservare che in condizioni di spinta attiva il coefficiente varia poco, ovvero è poco influenzato dalla rugosità della parete. In condizioni di spinta passiva invece la dipendenza del coefficiente da δ è molto sensibile. Tabella 13. - Soluzione di Caquot e érisel: Coefficienti di spinta e al variare di δ per φ =30, β = 0 e λ = 0 δ 30 0 10 0 0,31 0,30 0,30 0,33 6,56 5,5 4,0 3,00 43 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE 13.3. Dipendenza di e dall angolo β Il valore dei coefficienti di spinta sia attiva che passiva cresce con β, poiché aumenta il volume di terreno coinvolto nella rottura. titolo di esempio in Tabella 13.3 sono riportati i valori di e di al variare di β per φ =30, λ = 0, δ = φ in condizioni di spinta attiva e δ = -φ in condizioni di spinta passiva. Si osservi che il caso β = +φ = 30 in condizioni di spinta attiva (δ = φ ) corrisponde al caso particolare dell equilibrio limite inferiore di Rankine, poiché la spinta risulta parallela alla superficie libera e, analogamente, in condizioni di spinta passiva (δ = -φ ) corrisponde al caso particolare dell equilibrio limite superiore di Rankine. Tabella 13.3 - Soluzione di Caquot e érisel: Coefficienti di spinta e al variare di β per φ =30, λ = 0,, δ = +φ in condizioni di spinta attiva e δ = -φ in condizioni di spinta passiva. β -30-18 0 +18 +30 0,3 0,57 0,308 0,409 0,866 0,84,85 6,56 11,8 16,1 13.3.3 Dipendenza di e dall angolo λ In condizioni di spinta attiva, il coefficiente si riduce fino ad annullarsi quando π φ l angolo λ decresce gradualmente dal valore λ =, corrispondente all inclinazione 4 π dei piani di scorrimento di Rankine, al valore λ = φ, che corrisponde all angolo di naturale declivio. In condizioni di spinta passiva, il coefficiente cresce molto rapidamente quando π φ l angolo λ diminuisce dal valore λ = +, corrispondente all inclinazione dei piani di 4 π scorrimento di Rankine, al valore λ =, che corrisponde ad una fondazione superficiale. titolo di esempio, in Tabella 13.4 sono riportati i valori dei coefficienti di spinta e al variare di λ per β = 0, φ = 30, δ = + φ in condizioni di spinta attiva e δ = - φ in condizioni di spinta passiva. Tabella 13.4 - Soluzione di Caquot e érisel: coefficienti di spinta e al variare di λ per φ =30, β = 0, δ = +φ in condizioni di spinta attiva e δ = -φ in condizioni di spinta passiva. λ 60 45 30 15 0-15 -30-45 -60-90 - - 0,5 0,41 0,308 0,03 0,109 0,039 0-0,8 1,65,80 4,4 6,56 9,5 13,6 19, 7 5 13.3.4 Dipendenza di e dall angolo φ e dal rapporto δ/φ In Tabella 13.5 sono riportati i valori dei coefficienti di spinta (prima riga) e (seconda riga) al variare dell angolo di resistenza al taglio φ e del rapporto δ/φ per terrapieno orizzontale (β = 0 ) e parete verticale (λ = 0 ). Come già detto, nella maggior parte dei casi pratici, si assume che il rapporto δ/φ sia positivo in condizioni di spinta attiva e ne- 44 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE gativo in condizioni di spinta passiva. Si osserva che al crescere dell angolo di resistenza al taglio φ il coefficiente di spinta attiva decresce lentamente, mentre il coefficiente di spinta passiva cresce molto rapidamente. Tabella 13.5 - Soluzione di Caquot e érisel: Coefficienti di spinta (prima riga) e (seconda riga) al variare dell angolo di resistenza al taglio φ e del rapporto δ/φ per terrapieno orizzontale (β = 0 ) e parete verticale (λ = 0 ) φ 5 10 15 0 5 30 35 40 45 50 δ 0,81 0,65 0,53 0,44 0,37 0,31 0,6 0, 0,19 0,16 = 1 1,6 1,66,0 3,04 4,6 6,56 10,7 18, 35,0 75,0 φ δ 0,81 0,66 0,54 0,44 0,36 0,30 0,5 0,0 0,16 0,13 = 1,4 1,59,06,7 3,61 5,5 8,00 1,8 1,0 41,0 φ 3 δ 1 0,8 0,67 0,56 0,45 0,37 0,30 0,5 0,0 0,16 0,13 = 1, 1,5 1,89,38 3,03 4,0 5,55 8,10 1,0 19,0 φ 3 δ 0,84 0,70 0,59 0,49 0,41 0,33 0,7 0, 0,17 0,13 = 0 1,19 1,4 1,70,04,46 3,00 3,70 4,60 5,80 7,50 φ 13.3.5 Confronto con la soluzione di Coulomb Il metodo di Coulomb ipotizza e impone la forma della superficie di scorrimento piana. ertanto i valori di e di, rispettivamente ottenuti dalle condizioni di massimo e di minimo, limitatamente alla forma imposta della superficie di scorrimento, non sono il massimo ed il minimo assoluti, ovvero per qualunque ipotetica forma della superficie di scorrimento. ertanto i valori dei coefficienti di spinta attiva che si stimano con il metodo di Coulomb sono sempre inferiori ai valori stimati con il metodo di Caquot e érisel, che ipotizza una superficie di scorrimento curvilinea, e analogamente i valori dei coefficienti di spinta passiva che si stimano con il metodo di Coulomb sono sempre superiori ai valori stimati con il metodo di Caquot e érisel. Le differenze minori si osservano proprio quando risulta minore la differenza fra le superfici ipotizzate. Nel caso di spinta attiva, nella maggior parte dei casi pratici, ovvero per β, λ e δ positivi, le differenze sono modeste. Nel caso di spinta passiva invece le differenze possono essere molto sensibili, e poiché in genere la spinta passiva è una forza resistente, non è cautelativo calcolarla con il metodo di Coulomb. Inoltre, come già fatto osservare, poiché le deformazioni necessarie per mobilitare la spinta passiva sono molto grandi, il valore di progetto dell angolo di resistenza al taglio non è, come nel caso di spinta attiva, il valore di picco, ma piuttosto il valore critico, a volume costante. 13.4 Spinta dovuta all acqua interstiziale in pressione (pressione interstiziale) Le teorie sulla spinta delle terre che abbiamo esaminato si riferiscono a terreni asciutti o comunque non sotto falda e quindi con acqua nei pori non in pressione (si ricorda che convenzionalmente e per semplicità si assume in genere che l acqua nei pori possa avere 45 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE pressione solo positiva, ovvero maggiore della pressione atmosferica. Si assume che l acqua presente nei terreni sopra falda sia a pressione zero). Se un terreno è anche solo parzialmente sotto falda, la spinta totale esercitata contro una parete sarà somma di due forze: la prima forza è la spinta esercitata dal terreno, valutata con le formule sopra citate, utilizzando le tensioni verticali efficaci 7, la seconda forza è la spinta esercitata dall acqua interstiziale. Quest ultima si calcola integrando il diagramma delle pressioni interstiziali. La presenza di acqua in pressione contro una parete di sostegno del terreno determina un forte incremento della spinta totale, pertanto, ove possibile, è sempre opportuno realizzare opere di drenaggio a tergo dell opera allo scopo di abbattere il livello di falda. w 1 ( + ) w 3 Nel caso particolare, ma frequente, di falda freatica alla profondità w (Figura 13.3) si ottiene: u () = 0 per < w S w γ w(- w) Figura 13.3 Spinta idrostatica u() per = γ w ( w w ) 1 S ( ) w () = γ w w (Eq. 13.43) 1 1 (Sw ) = ( w ) = ( + w ) (Eq. 13.44) 3 3 Se vi è differenza tra il livello dell acqua a monte e a valle dell opera di sostegno, e vi è filtrazione sotto e intorno alla parete, la pressione interstiziale dovrebbe essere determinata in base al reticolo idrodinamico, come descritto nel Capitolo 4. Tuttavia, nel caso di terreno omogeneo, un approccio ragionevole e semplificato consiste nell assumere che il carico idraulico vari linearmente come mostrato in Figura 13.33. La differenza di carico piezometrico tra monte e valle è: h = (h + k j), il percorso di filtrazione è L = (h + d j) + (d k) = (h + d j k), il gradiente idraulico è: i = h/l = (h + k j) / (h + d j k) (Eq. 13.45) 7 Le tensioni verticali efficaci, per il principio delle tensioni efficaci, si ottengono sottraendo le tensioni interstiziali alle tensioni verticali totali. 46 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE j h k d ercorso di filtrazione u b u b ressione dell acqua totale ressione dell acqua netta Figura 13.33 Schema semplificato della pressione dell acqua su una parete in presenza di filtrazione Nel tratto di monte del percorso la filtrazione è discendente e comporta una riduzione della pressione interstiziale rispetto alla condizione idrostatica. Nel tratto di valle la filtrazione è ascendente e comporta un aumento della pressione interstiziale rispetto alla condizione idrostatica. l piede della parete (supponendo che il suo spessore sia trascurabile rispetto alla lunghezza del percorso di filtrazione) la pressione interstiziale vale: u = γ (h + d j) (1 i) = γ (d k) (1 i) (Eq. 13.46) b w w + 13.5 Incremento della spinta attiva dovuta a carichi applicati sul terrapieno 13.5.1 ressione verticale uniforme ed infinitamente estesa sulla superficie del deposito. Una pressione q verticale, uniforme ed infinitamente estesa sulla superficie di un deposito delimitato da un piano orizzontale produce in ogni punto del semispazio un incremento costante della tensione verticale = q ed un incremento costante della tensione orizzontale h = q (Figura 13.34), avendo indicato con il coefficiente di spinta che, a seconda dello stato di deformazione orizzontale, assume valori compresi tra e. Ne consegue che: - le tensioni verticale ed orizzontali continuano ad essere le tensioni principali, - il diagramma delle tensioni orizzontali è trapezio, - la spinta orizzontale S presente su una parete ideale dal piano di campagna fino ad una generica profondità, è l area del diagramma di pressione orizzontale e può essere 47 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE calcolata come somma dell area rettangolare di base q e altezza, e dell area triangolare di base γ e altezza : 1 S = S(q) + S( γ) = q + γ (Eq. 11.47) - la profondità della retta di applicazione della componente S(q) è /, la profondità della retta di applicazione di S(γ) è /3, dunque la profondità della retta di azione di S è: S(q) + S( γ) (S) 3 (Eq. 11.48) = S q q σ σ h q γ q Κ γ Figura 13.34 Effetto di una pressione verticale uniforme ed infinitamente estesa 13.5. Carichi concentrati sulla superficie del deposito Se, in condizioni di spinta attiva, sulla superficie del deposito delimitato da un piano orizzontale agiscono carichi che possono essere schematizzati come puntuali o come distribuiti su una linea parallela al muro, di intensità piccola (minore del 30%) rispetto alla spinta attiva, l incremento di pressione orizzontale può essere valutato con le formule indicate in Figura 13.35, ottenute da Terzaghi (1954) modificando empiricamente le equazioni di Boussinesq. Se i carichi sono molto elevati o hanno una diversa distribuzione, occorre utilizzare il metodo del cuneo di Coulomb. 13.6 Effetto del costipamento meccanico del terrapieno Molto spesso, ad esempio per la costruzione di strade, il terrapieno retrostante un opera di sostegno è costituito da un terreno incoerente asciutto, messo in opera in strati successivi, costipati con rullo compressore per aumentarne la densità e quindi la rigidezza e la resistenza. Tale tecnica produce uno stato di coazione nel terreno ed un conseguente aumento delle pressioni orizzontali nella condizione di spinta attiva. Se l azione esercitata dal rullo compressore può essere schematizzata con un carico di intensità p distribuito lungo una linea parallela alla parete, e se il terreno viene messo in o- pera in strati di piccolo spessore, per tenere conto dell effetto di costipamento, si può as- 48 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE sumere come diagramma di pressione orizzontale sul muro quello indicato in Figura 13.36. Valori di n = z/ Carico lineare Carico puntiforme Valori di σ (/Q ) h L Valori di σ h ( /Q ) Carico lineare Q L er Carico puntiforme Q er er Risultante er Diagramma delle pressioni relativo al caso di carico lineare Q L (equazione di Boussinesq modificata sperimentalmente) La profondità critica è: Sezione a - a Diagramma delle pressioni relativo al caso di carico puntiforme Q (equazione di Boussinesq modificata sperimentalmente) Figura 13.35 ressioni orizzontali su una parete in condizioni di spinta attiva dovute a carichi concentrati sulla superficie orizzontale del terrapieno p c = (Eq. 13.49) π γ 49 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)
SINT DELLE TERRE Il valore del carico p, dipende dai mezzi impiegati per il costipamento, e in particolare dal peso statico e dalle dimensioni del rullo, e dalla eventuale azione vibratoria che si assume equivalente ad un incremento di peso. c h = hp v h c = Figura 13.36 Effetto del costipamento sul diagramma di spinta attiva ha v 50 J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Settembre 006)