Meccanica dei FLUIDI

Meccanica dei FLUIDI Densità Portata Pressione Moto stazionario: equazione di continuità Legge di Stevino Pressione idrostatica Spinta di Archimede Teorema di Bernoulli Viscosità Moto laminare: equazione di Poiseuille Moto turbolento Applicazione al sistema circolatorio pag.1

Caratteristiche di un fluido FLUIDO sostanza senza forma propria (assume la forma del recipiente che la contiene) liquido volume limitato dalla superficie libera gas diffusione nell intero volume disponibile Un fluido può essere: omogeneo caratteristiche fisiche costanti per tutto il suo volume disomogeneo caratteristiche fisiche non costanti Fluido ideale : non comprimibile, omogeneo, senza attrito interno (non viscoso). Es. Sangue sospensione di cellule in soluzione acquosa di sali e molecole organiche omogeneo a livello macroscopico, disomogeneo a livello microscopico pag.2

Massa, peso, densita MASSA m kg grandezza fondamentale proprietà intrinseca dei corpi PESO p = mg N forza con cui ogni corpo dotato di massa viene attirato dalla Terra Unità di misura pratica: kg peso = kg massa 9.8 m/s 2 = 9.8 N DENSITA (o massa volumica) densità = massa volume relazione tra massa e dimensioni dei corpi, utile soprattutto per liquidi e gas ρ = m/v kg/m 3 (SI) Def. simile: concentrazione v. Chimica pag.3

Portata (di volume) di un fluido Portata (Q) = S v = x/ t V x v volume di liquido intervallo di tempo t Q= V/ t m 3 /s SI cgs pratico m 3 /s cm 3 /s l/min V = S x Q = V/ t = S x/ t Q = S v Es. Portata del sangue: 5 l/min = (5000 cm 3 )/(60 s) = 83.33 cm 3 /s Definizione : Portata di massa = Q ρ (in Kg/s nel SI) pag.4

pressione = S F n n F Pressione forza perpendicolare superficie Unita di misura (SI): pascal (Pa) ϑ Relazione tra pascal e baria: Non conta la forza in sè, ma la sua componente perpendicolare! P = F n / S Pa = N/m 2 SI cgs pratici pascal baria atm, mmhg 1 Pa = 1 N/m 2 = (10 5 dine)/(10 4 cm 2 ) = 10 dine/cm 2 = 10 barie Es. pag.5

Misure di pressione Pressione atmosferica Torricelli: a livello del mare la pressione esercitata dall aria equivale a quella di una colonna di mercurio alta 760 mm Unità di misura pratiche di pressione: 1 atm = 760 mmhg 1 mmhg (torr) = (1/760) atm Relazione tra atmosfera e pascal: (v. pressione idrostatica) p = ρgh = (13.6 10 3 kg/m 3 ) (9.8 m/s 2 ) (0.76 m) 101200 Pa 1 atm = 1.012 10 5 Pa = 1.012 bar = 1.012 10 6 barie 1 bar = 10 5 Pa Pressione sanguigna (sempre in mmhg): Es. 120 mmhg = (120/760) atm = 0.158 atm = = 0.158 (1.012 10 5 ) Pa 16000 Pa = 160000 barie pag.6

Pressione: alcuni esempi (HRW) pag.7

Pressione idrostatica Legge di Stevino: la differenza di pressione tra due punti in un fluido in equilibrio è pari alla pressione esercitata alla base da una colonna di fluido di altezza pari al dislivello tra i due punti P(h 2 ) = P(h 1 ) + ρg(h 1 h 2 ), con h 2 < h 1 Conseguenza (ponendo h 1 = 0 m e P(h 1 ) = 0 Pa): su un corpo immerso in un fluido agisce una pressione addizionale (pressione idrostatica) dovuta al peso della colonna di liquido di altezza h che sovrasta la sua superficie S. m S h P = F/ S = mg/ S = (ρv)g/ S = ρ( S h)g/ S = ρgh NB1: m = massa del liquido, non del corpo immerso! NB2: P NON dipende dall orientamento della superficie s (se s << h) pag.8

Principi legati alla Legge di Stevino Legge di Stevino: P(h 2 ) = P(h 1 ) + ρg(h 1 h 2 ) In un fluido all equilibrio: 1) La pressione è costante in tutti i punti che si trovano alla stessa quota (legge di Pascal). 2) Se più recipienti contengono lo stesso liquido e sono in comunicazione tra di loro, allora le loro superfici libere sono allo stesso livello qualunque sia la forma e la capacità dei recipenti (principio dei vasi comunicanti). 3) Una pressione applicata in qualsiasi punto di un fluido confinato è trasmessa inalterata ad ogni porzione del fluido e alle pareti del recipiente che lo contiene (principio di Pascal). pag.9

Principio di Pascal: energia di pressione Principio di Pascal: se ad un fluido confinato si applica una pressione esterna P, in ogni punto del fluido si avrà una variazione di pressione pari a P. Applicazioni: martinetto idraulico. P = F S F = PS Lavoro compiuto dalla forza di pressione: L = F l = Fl = PSl = P V F Energia di pressione: E pres = P V Lavoro cardiaco: l S Es. P = 100 mmhg = (100/760) 10 5 Pa ~ 1.3 10 4 Pa V = 60 cm 3 = 6 10-5 m 3 (gittata pulsatoria) L = P V = (1.3 10 4 N/m 2 ) (6 10-5 m 3 ) = 0.8 J pag.10

Spinta di Archimede Principio di isotropia: la pressione in un punto di un fluido non dipende dall orientamento della superficie, ma solo dalla quota in cui si trova il punto Corpo immerso in un liquido due pressioni diverse: sulla superficie superiore P 1 = ρgh 1 sulla superficie inferiore P 2 = ρgh 2 h 2 >h 1 P 2 >P 1 h 1 F 1 h 2 V=S h S F 2 h Forza risultante verso l alto: F = F 2 -F 1 = (P 2 -P 1 )S = ρg(h 2 -h 1 )S = ρg hs = ρgv = ρvg = mg peso del liquido spostato, non del corpo immerso! pag.11

Spinta di Archimede: esempi (HRW) (HRW) pag.12

in movimento: eq. di continuità Nel caso generale di fluidi in movimento, si ha che la velocità v del fluido dipende da x e da t: v = v(x,t). MOTO STAZIONARIO: v(x) = cost. in t (dip. solo da x) La portata Q è costante nel tempo in ogni sezione (conservazione della massa) senza SORGENTI senza BUCHI densità = costante S v t Nello stesso intervallo di tempo t: Sv t = S v t v v' t v' S' Q = V t = S v t = S v = costante t Equazione di continuità pag.13

Equazione di continuità - 2 Se il condotto si apre in più diramazioni, bisogna considerare la superficie totale. In ogni tratto n si avrà sempre Q = S n v n Q = 100 cm 3 /s A B S 2 = 1.25 cm 2 C S 3 = 0.5 cm 2 S 1 = 5 cm 2 S 1 = 5 cm 2 v 1 = 20 cm/s S 2 = 1.25 cm 2 v 2 = 80 cm/s S 3-tot = 2.5 cm 2 v 3 = 40 cm/s pag.14

(Gia) Equazione di continuità: esempio di applicazione al flusso sanguigno pag.15

Moto di un fluido in un condotto Tipo di moto: stazionario portata costante nel tempo pulsatile portata variabile in modo periodico Tipo di condotto: rigido non cambia forma sotto qualunque forza deformabile cambia forma sotto una forza ideale reale deformaz.elastica deformaz.non elastica arterie e vene Tipo di fluido: senza attriti (non viscoso) con attriti (viscoso) pag.16

L energia nel moto di un fluido ideale Liquido in moto sotto l azione di: - differenza di pressione - forza peso 1 S 1 V1 p 1,v 1,h 1,S 1 p 2,v 2,h 2,S 2 v 2 V h suolo 2 2 h 1 v 1 p 1 S 2 l 2 p 2 h 2 fluido perfetto (attrito nullo: viscosità η=0) condotto rigido moto stazionario (Q=costante S 1 v 1 = S 2 v 2 ) pag.17

Fluido ideale in condizioni stazionarie (v(x) e P(x) = cost. in t): teorema di Bernoulli Conservazione dell energia totale: Ecinetica + Epotenziale + Epressione = costante E tot = ½ mv 12 + mgh 1 + p 1 V = ½ mv 22 + mgh 2 + p 2 V Ponendo m = ρ V e dividendo per V: E tot = ½ρ Vv 12 + ρ Vgh 1 + p 1 V = ½ρ Vv 22 + ρ Vgh 2 + p 2 V V V V V V V V Energia totale per unità di volume: E tot / V = ½ρv 2 + ρgh + p = costante termine cinetico + potenziale + piezometrico pag.18

Teorema di Bernoulli: esempio (Gia) pag.19

Fluido reale: regime laminare (stazionario) con attrito Modello di liquido come lamine che scorrono le une sulle altre A v 2 δ v 1 Forza di attrito: si oppone al moto F A - v F A = η A v δ A v=v 1 -v 2 = velocità relativa tra lamine A = area lamine δ = distanza tra lamine η = coefficiente di viscosità pag.20

Fluido reale: viscosità F A = η A v η coefficiente di viscosità δ Unita di misura cgs: poise (P) = dyna s/cm 2 = g/(s cm) Unita di misura MKS: N s/m 2 = Pa s = 10P La viscosita diminuisce al crescere della temperatura. Acqua a 0 o η acqua = 0.0178 poise a 20 o η acqua = 0.0100 poise Sangue Plasma η plasma = 1.5 η acqua Sangue con ematocrito (% eritrociti) 40% η sangue = 5 η acqua Es. pag.21

Q = Fluido reale in regime laminare: Equazione di Poiseuille Condizione per il moto di un liquido: differenza di pressione Equazione di Poiseuille: π R 4 P 1 Q P 1 > P 2 P 2 L (P 1 P 2 ) 8 ηl Q p Q = p/rmec La portata è direttamente proporzionale alla differenza di pressione asse del condotto v La velocità è maggiore al centro del condotto (profilo parabolico) Il moto è silenzioso R Rmec: Resistenza meccanica di un condotto dipende da: raggio, lunghezza del tubo, viscosità del liquido pag.22

Fluido reale: regime turbolento Quando la velocità del liquido supera una certa velocità critica (Vc), il modello laminare non funziona più: il moto si fa disordinato, si creano vortici. Vc dipende dal fluido (ρ, η) e dal raggio R del tubo: Vc ~ 1200 (η/rρ) v>v c velocità critica La portata non è più direttamente proporzionale alla differenza di pressione Q p Per ottenere la stessa portata serve una pressione decisamente maggiore! La velocità non ha più un profilo regolare, il moto è rumoroso e l equazione di Poiseuille non è più valida pag.23

Moto dei fluidi reali: sintesi MOTO STAZIONARIO di un LIQUIDO REALE e OMOGENEO in un CONDOTTO RIGIDO approx. iniziale v < v c REGIME LAMINARE v > v c - lamine e profilo velocità parabolico - Q p - silenzioso (~ conservazione dell energia) REGIME TURBOLENTO - vortici - Q p - rumoroso (alta dissipazione di energia per attrito) pag.24

Esempio: sistema circolatorio (fluido non ideale diminuzione di pressione) Vaso sanguigno a sezione costante (S 1 =S 2 ) in posizione orizzontale (h 1 =h 2 ): Eq. continuità: Q=Sv 1 =Sv 2 =cost. v 1 = v 2 = costante v = costante h = costante BERNOULLI p 1 v 1 p 2 v 2 S 1 S 2 p = costante forze di attrito viscoso dissipazione di energia ½ρv 12 + ρgh 1 + p 1 = ½ρv 22 + ρgh 2 + p 2 + A A: energia dissipata per attrito nel tratto 1 2 p 1 = p 2 + A p 1 -p 2 = A p 2 < p 1 pag.25

Aneurisma e stenosi Vaso sanguigno in posizione orizzontale (h 1 =h 2 ): Bernoulli ½ρv 12 + ρgh 1 + p 1 = ½ρv 22 + ρgh 2 + p 2 Eq.continuità Q = S 1 v 1 = S 2 v 2 S 1 S 2 v v 2 1 S 1 v 1 S 2 v 2 ANEURISMA v2<v1 p2>p1 STENOSI v2>v1 p2<p1 Fenomeni irreversibili, tendono a cronicizzare: l aneurisma tende a espandersi, la stenosi a restringersi pag.26

Sistema circolatorio - 1 4 mmhg CUORE AD VD 25 mmhg AS VS 8 mmhg 100 mmhg Circuito chiuso 5 litri/ min 10 mmhg POLMONI GRANDE CIRCOLO CAPILLARI 40 mmhg 5 litri/ min Portata costante (no immissioni, no fuoruscite) pag.27

Sistema circolatorio 2 pressione media velocità media CUORE AORTA ARTERIE ARTERIOLE CAPILLARI VENULE VENE VENA CAVA (nel tempo) (nel tempo) velocità media (cm/s) 50 40 40 10 10 0.1 <0.1 <0.3 0.3 5 5 25 deve sempre diminuire diminuisce poi aumenta pressione media (mmhg) 100 100 40 40 25 25 12 12 8 8 3 2 pag.28

Velocita del sangue - 1 160 ARTERIE 140mila ARTERIOLE 4 miliardi CAPILLARI 300 milioni 200 VENULE VENE cm 2 S totale cm 2 5000 4500+ 5000 4000 4000 4000 3000 2000 1000 25 400 60 3000 2000 1000 Dall equazione di continuità: la velocità è bassissima nei capillari perche il loro numero e altissimo! cm/s v 50 40 30 20 10 CAPILLARI ARTERIE ARTERIOLE VENULE VENE cm/s 50 40 30 20 10 pag.29

Velocita del sangue - 2 Es. Portata del sangue: Q= 5 l/min = (5000 cm 3 )/(60 s) = 83.33 cm 3 /s Velocita del sangue nei vari distretti: AORTA (r=0.8 cm) S = π r 2 2 cm 2 v = Q/S 40 cm/s ARTERIOLE S 400 cm 2 v = Q/S 0.2 cm/s CAPILLARI S 4000 cm 2 v = Q/S 0.02 cm/s VENA CAVA (r=1.1 cm) S = π r 2 4 cm 2 v = Q/S 20 cm/s Es. La bassissima velocita del sangue nei capillari (0.2 mm/s) permette gli scambi di sostanze (reazioni chimiche) necessari alla vita. pag.30

(HRW) Esercizi (I) (Gia) - Esercizi pag.31

(Gia) Esercizi (II) (HRW) - Esercizi pag.32

Esercizi (III) Es. 1 Un contenitore chiuso sotto vuoto (P atm = 0) ha la forma di un cilindro di raggio di base pari a 1 m e altezza 15 m e contiene 15 Kl di acqua. (a) Quale è la pressione esercitata dall acqua sulla base del cilindro? (b) Come cambia il risultato se il contenitore è aperto superioremente (P atm = 1.01 bar)? Es. 2 Determinare come varia la pressione nel mare in funzione della profondità. Si consideri per l acqua del mare ρ = 1.024 10 3 Kg/m 3. Es. 3 Un corpo di massa 1Kg e volume 500 cm 3 viene completamente immerso in acqua pura (ρ = 10 3 Kg/m 3 ). Quale sarà il suo peso apparente in acqua? Es. 4 Un rubinetto è aperto in modo che la portata d acqua rilasciata sia Q = 10 l/min. All uscita del rubinetto la sezione del filo d acqua sia A 0 = 1.5 cm 2.. Determinare la sezione del filo d acqua ad una altezza posta 20 cm più in basso rispetto a questo punto. - Esercizi pag.33

Esercizi (IV) Es. 5 Supponiamo che, a causa del colesterolo, il diametro di un tratto di un arteria si riduca da 0.8 a 0.78 cm. Quale deve essere la variazione della differenza di pressione alle estremità di questo tratto affinché la portata del flusso sanguigno rimanga invariata? Es. 14.37 (HRW) Calcolare il lavoro svolto su 1.4 m 3 di acqua spinta in un tubo di diametro interno 13 mm da una differenza di pressione tra le estremità di 1 bar. Es. 10.54 (Gia) Calcolare il calo di pressione per cm lungo l aorta, sapendo che il suo raggio è circa 1.2 cm, il sangue vi circola con velocità pari a circa 40 cm/s e che la viscosità del sangue è circa 4 10-2 poise. Si trascurino gli effetti di attrito. Es. 10.55 (Gia) Considerando un gradiente di pressione costante, di quale fattore deve decrescere il raggio di un capillare per ridurre la portata del flusso sanguigno del 75%? - Esercizi pag.34