Differenziazione sistemi dinamici

Obiettivo: analisi e sintesi dei sistemi di controllo in retroazione in cui è presente un calcolatore digitale Il controllo digitale è ampiamente usato, grazie alla diffusione di microprocessori e microcalcolatori, sia nelle applicazioni high-tech (come l automazione industriale) che per applicazioni di piccola-media taglia (automobili, robot e macchine automatiche, forni a microonde ) Differenziazione sistemi dinamici Sistemi ibridi Sistemi ad Avanzamento Temporale (SAT) Sistemi ad Eventi Discreti (SED) SAT a tempo continuo SAT a tempo discreto SED logici SED temporizzati 1

Schema di anello di controllo analogico r - e Amplificatore di segnale e reti correttrici Amplificatore di potenza Attuatore Sistema da controllare y Trasduttore di misura Schema di anello di controllo digitale r - e A/D Calcolatore digitale D/A Attuatore Sistema da controllare Clock (T) y Trasduttore di misura 2

Schema di anello di controllo digitale r A/D Calcol. digitale D/A Attuatore Sistema da controllare A/D Trasduttore di misura Segnale continuo - segnale campionato Segnale tempo continuo: la variabile tempo è definita su tutto l asse reale. ampiezza assume valori continui segnale analogico ampiezza assume insieme finito di valori segnale quantizzato a tempo continuo Segnale tempo discreto: la variabile tempo è definita su un insieme di valori discreti, tipicamente equispaziati ampiezza assume valori continui segnale a dati campionati ampiezza assume insieme finito di valori segnale digitale 3

Segnale continuo-campionato Analogico A dati campionati Quantizzato a tempo continuo Digitale Convertitori A/D e D/A A/D D/A 4

Convertitore A/D A/D Il campionamento è l operazione che, data una funzione del tempo, fornisce la successione ottenuta valutando f(t) agli istanti t k =kt dove T > 0 è un valore fissato detto periodo di campionamento Operazione di campionamento Pulsazione di campionamento Convertitori D/A D/A Genera un segnale continuo a partire dal segnale discreto Il convertitore D/A più diffuso è la Tenuta di ordine zero o Zero- Order Hold (ZOH) f(t)=f(kt) kt t < (k+1)t 5

Campionatore Controllore Ricostruttore Il campionatore (Convertitore A/D) converte un segnale tempo continuo in una sequenza di campioni prelevati negli istanti t = 0, T, 2T, 3T, dove T è il passo di campionamento Il controllore digitale elabora la sequenza di valori campionati dell errore e(t) e fornisce in uscita una sequenza di valori da cui si deve generare un segnale continuo da fornire in ingresso all attuatore Il ricostruttore (Convertitore D/A) trasforma una sequenza di valori numerici in un opportuno segnale continuo e(t) e( kt ) u( kt ) u(t) A/D Controllore Ricostruttore Schema di anello di controllo digitale r - e A/D Calcolatore digitale D/A Attuatore Sistema da controllare Clock (T) y Trasduttore di misura 6

Controllo digitale VS Controllo analogico Vantaggi: Maggior capacità e precisione di elaborazione Maggiore flessibilità Maggiore affidabilità e ripetibilità Maggiore sensibilità e trasmissibilità dei segnali Svantaggi Progettazione più difficile ed articolata Stabilizzabilità più precaria Possibilità di arresti non previsti dovuti ai disturbi Necessità di utilizzare energia elettrica Modelli matematici Tempo Discreto Modello Implicito Ingresso-Stato-Uscita Modello Implicito Ingresso-Uscita Equazioni alle differenze 7

Z-Trasformata Z-Trasformata permette di passare dal dominio discreto al dominio della variabile complessa z, e viceversa. Le equazioni alle differenze vengono convertite in equazioni algebriche Z-Trasformata: Equivalente nel domini discreto della trasformata di Laplace per il tempo continuo Z-Trasformata Impulso: Gradino : Esponenziale: 8

Z-Trasformata Linearità: Anticipo: Ritardo: Valor finale: Valore iniziale: Convoluzione: Esempio Anti-trasforamta Antitrasformata di Le trasformate di funzioni elementari hanno z al numeratore; conviene decomporre in fratti semplici 9

Z-Trasformata segnale campionato Obiettivo: calcolare la Z-trasformata F(z) della successione f k ottenuta campionando con periodo T un segnale f(t) Da sviluppo in fratti semplici (F(s) con solo poli semplici) Z-Trasformata segnale campionato Se F(s) ha poli con molteplicità non unitaria DA NOTARE: per ogni polo p di F(s), la Z[F(s)] ha un polo in e pt I poli di F(s) si trasformano in poli di F(z) 10

Mappatura z=e st Tramite la mappatura z=e st, un polo in s: si trasforma in un polo in z: Mappatura z=e st Poli compl. coniug. in s Poli compl. coniug. in z mappa z=e st biunivoca per ed è periodica di Im[s] striscia primaria asse immaginario in s cerchio di raggio unitario in z poli con s<0 z <1 rette verticali in s circonferenze in z rette orizzontali in s rette radiali in z punti in punti in 11

Mappatura z=e st Mappatura z=e st 12

Sistema II ordine tempo discreto Sistema del 2 ordine nel tempo discreto Sistema del 2 ordine in Z Evoluzione libera Evoluzione forzata Modi di evoluzione sistemi tempo discreto Evoluzione libera Poli: radici del polinomio caratteristico Modi di evoluzione: impulsivi (poli nulli) aperiodici (poli reali positivi) alternati (poli reali negativi) pseudoperiodici (coppia poli comp coniug.) 13

Modi di evoluzione tempo discreto Modi di evoluzione aperiodici (poli reali positivi) k k Modi di evoluzione tempo discreto Modi di evoluzione aperiodici (poli reali positivi) k Costante di tempo discreta Il modo di evoluzione si estingue in un numero di passi dell ordine di 3-5 costanti di tempo 14

Modi di evoluzione tempo discreto Modi di evoluzione alternati (poli reali negativi) k k Modi di evoluzione tempo discreto Modi di evoluzione pseudoperiodici k k k 15

Modi di evoluzione tempo discreto Risposta del sistema- Evoluzione forzata Evoluzione forzata: Risposta ad ingressi standard: Risposta impulsiva Risposta indiciale Risposta ad ingressi polinomiali Risposta ad ingressi sinusoidali Funzione di trasferimento 16

Risposta indiciale Risposta indiciale W(z) Risposta armonica Funzione di risposta armonica è periodica di ν di periodo 2π Si calcola per un intervallo di pulsazioni limitato: -π<ν< π I diagrammi di Bode si disegnano solo per π/t<ω< π/t Non esistono i tracciamenti asintotici. Si disegna punto per punto. 17

Esempio diagrammi di Bode F=1/(z 2 -.9) con passo di campionamento T=.5 0<ν< π 0<ω< π/.5=6.28 ν=.1 ω=.1/t=.2 F(e.1j )=1.74-4.33j F(e.1j ) =4.67=13.4dB F(e.1j )=-68 Schemi simulink sistema tempo discreto 18

Stabilità sistemi tempo discreto Lo studio della stabilità di un sistema lineare stazionario si riconduce allo studio della posizione delle radici del polinomio a denominatore della funzione di trasferimento rispetto ad una regione del piano complesso. Nel caso a tempo discreto, tale regione è rappresentata dal cerchio unitario aperto. Metodi: Criterio di Jury (analogo del criterio di Routh): Trasformazione bilineare (trasformazione in s e applicazione di Routh) Criterio di Jury Criterio di Jury (analogo del criterio di Routh): Assegnato un il polinomio p(z) Il polinomio p(z) ha tutte radici con modulo strettamente minore di uno se e solo se i primi elementi delle righe di indice dispari della tabella sono tutti diversi da zero ed hanno segno positivo. 19

Sistema a tempo discreto in retroazione Stretta analogia con il caso tempo continuo per: regole schemi a blocchi, effetto retroazione su sensibilità a variazioni parametriche, allargamento di banda, errore a regime (polo origine polo in (1,j0) ) Progetto del controllore Stabilità poli sistema ciclo chiuso a modulo<1 Precisione a regime (equivalente a tempo continuo) guadagno statico integratore con polo in z=1 (equivalente del polo s=0 in t.c. ) Risposta nel transitorio legame s-z Specifiche frequenziali e stabilità relativa Bode, Nyquist e Nichols in t.d. sono funzioni trascendenti Si progetta in s e poi si vede l equivalente in z 20

Progetto del controllore Sensitività parametrica guadagno d anello (equivalente t.c.) Reiezione ai disturbi integratore nel controllo assicura astatismo (equivalente t.c.) Azione di controllo si tengono in considerazione i limiti fisici degli attuatori tecniche di controllo ottimo Stabilità del sistema a ciclo chiuso Criterio di Nyquist è come per caso tempo continuo ma il diagramma è costruito come l immagine attraverso L(z) del percorso di Nyquist costituito dalla circonferenza unitaria piuttosto che dall asse immaginario. Un sistema in retroazione è asintoticamente stabile se e solo se il vettore rappresentativo del numero complesso 1+L(e jν )al variare di ν da -π a +π compie intorno al proprio punto di applicazione un numero di giri, valutati positivamente in verso antiorario, pari al numero di poli a modulo maggiore di uno della funzione di trasferimento ad anello aperto 21

Effetto del ritardo Tempo continuo: ritardo di L secondi Tempo discreto: ritardo di n campioni Ritardo in catena diretta t.c. Ritardo in catena diretta t.d. Effetto del ritardo sul piano di Nyquist Sfasamento aumenta al crescere di ν 22

Schema di anello di controllo digitale r - e A/D Calcolatore digitale D/A Attuatore Sistema da controllare Clock (T) y Trasduttore di misura Campionatore Controllore Ricostruttore Il campionatore (Convertitore A/D) converte un segnale tempo continuo in una sequenza di campioni prelevati negli istanti t = 0, T, 2T, 3T, dove T è il passo di campionamento Il controllore digitale elabora la sequenza di valori campionati dell errore e(t) e fornisce in uscita una sequenza di valori da cui si deve generare un segnale continuo da fornire in ingresso all attuatore Il ricostruttore (Convertitore D/A) trasforma una sequenza di valori numerici in un opportuno segnale continuo e(t) e(kt ) u(kt ) u(t) A/D Controllore Ricostruttore 23

Convertitore A/D (campionamento a impulsi) A/D Il campionamento è l operazione che, data una funzione del tempo, fornisce la successione ottenuta valutando f(t) agli istanti t k =kt dove T > 0 è un valore fissato detto periodo di campionamento Operazione di campionamento Pulsazione di campionamento Richiami impulso di Dirac (o delta di Dirac) Il delta di Dirac è una distribuzione che soddisfa le proprietà: Trasformata di Lapace 24

Modellazione campionamento ad impulsi Si consideri un segnale a tempo continuo f(t) ed il segnale f * (t) che si ottiene modulando f(t) per una portante impulsiva δ T (t) costituita da un treno di impulsi di Dirac attivi agli istanti t=kt Modellazione campionamento ad impulsi La trasformata di Laplace del segnale f * (t) si ottiene: 25

Convertitori D/A (ricostruttore) D/A Genera un segnale continuo a partire dal segnale discreto Il convertitore D/A più diffuso è la Tenuta di ordine zero o Zero- Order Hold (ZOH) f(t)=f(kt) kt t < (k+1)t Modello della conversione D/A con ZOH Lo ZOH può essere modellato come un sistema lineare stazionario descritto da una funzione di trasferimento la cui risposta impulsiva è si supponga di eccitare questo sistema con il segnale f (t) modulato impulsivamente che rappresenta una certa sequenza f k pari alla versione ricostruita con ZOH della sequenza f k 26

Modello della conversione D/A con ZOH Nel modello a modulazione impulsiva, il segnale f h (t) che si ottiene ricostruendo f k con ZOH può essere rappresentato come il segnale impulsivo f (t) filtrato dal sistema lineare la cui risposta impulsiva è g ZOH (t) Lo ZOH può essere modellato come un sistema lineare con funzione di trasferimento La trasformata di Laplace del segnale ricostruito è data da Modello della conversione D/A con ZOH Risposta armonica della ZOH è data da dove sinc(x)= sin(x)/x Risposta in frequenza di TG(jω) per T=0.01 N.B. La conversione digitale-analogico mediante ZOH introduce un ritardo pari a T/2 e una distorsione in ampiezza. 27

Modello della funzione di trasferimento t.d. Modello di un sistema t.d. con ingresso u k, uscita y k e funzione di trasferimento G(z) Per calcolare la f.d.t. G * (s) partiamo da e sostituiamo z=e st con Modelli di sistemi interconnessi Anello di controllo digitale Anello di controllo digitale: modello a modulazione impulsiva 28

Modelli di sistemi interconnessi Esempio 1 Esempio 2 Il campionamento della convoluzione di due segnali continui non è uguale alla convoluzione discreta dei campioni dei singoli segnali Analisi sistemi a dati campionati Dato un sistema di controllo digitale in retroazione, o comunque un sistema interconnesso in cui sono presenti elementi a tempo discreto, elementi a tempo continuo e campionatori/mantenitori, si desidera calcolare l espressione della risposta in tutti i segnali (continui e discreti) del sistema, noti gli ingressi calcolare, quando è possibile, le funzioni di trasferimento a tempo discreto tra i segnali d ingresso, campionati, ed i segnali di uscita, anch essi campionati In un sistema in cui siano presenti segnali a tempo continuo e segnali campionati, non è possibile in generale determinare la funzione di trasferimento a tempo continuo tra eventuali segnali di ingresso continui ed eventuali segnali di uscita continui. Le relazioni che legano questi segnali sono infatti in genere non stazionarie (tempo varianti) e quindi non esprimibili come funzioni di trasferimento. 29

Sistema t.c. interfacciato a dispositivo digitale Impulsiva si porta fuori da [] * Anello di controllo digitale Posso studiare alcuni problemi di controllo nel tempo discreto elaborando la P d (z) 1. 2. 3. 30

Anello di controllo digitale Posso studiare alcuni problemi di controllo nel tempo discreto elaborando la P d (z) Aliasing L Aliasing (dal latino alias, altrove) è il fenomeno per il quale due segnali analogici diversi possono diventare indistinguibili una volta campionati Causa: mediante il campionamento, si generano nuove componenti spettrali (armoniche) alla stessa frequenza della componente spettrale di partenza. Tali armoniche impediscono la corretta ricostruzione del segnale Quando il segnale da ricostruire ha un contenuto informativo significativo oltre la frequenza ω s /2 la replica in frequenza causa una sovrapposizione di queste bande con quelle a bassa frequenza causando così la perdita di informazione del segnale stesso. 31

Aliasing Se il segnale analogico ha delle componenti centrate in kω s queste componenti vengono perse nel campionamento; cioè, non sono visibili dai dati digitali. Si parla quindi di oscillazioni nascoste sin(ω 2 t+θ) sin( (ω 2 +ω s n) t +θ) Spettro di Fourier di un segnale Lo spettro (trasformata) di Fourier di un segnale f(t) è una funzione F(jω) : R C definita Per segnali tali che f(t) = 0 t < 0, lo spettro F(jω) coincide con la trasformata di Laplace F(s) del segnale valutata sull asse immaginario, i.e. per s = jω, ω R. Sotto ipotesi opportune, la trasformata di Fourier determina univocamente il segnale, Antri-trasformata di Fourier 32

Spettro di Fourier di un segnale Se si suppone che f(t) sia un segnale reale Il segnale f(t) risulta quindi dalla sommatoria integrale rispetto a ω di sinusoidi infinitesime di pulsazione ω ed ampiezza F(jω) dω. Il modulo dello spettro di Fourier, F(jω), può essere interpretato come densità di ampiezza (rispetto a ω) del continuo di sinusoidi che compongono f(t) ed è detto contenuto frequenziale o spettro di ampiezza di f(t). Spettro di un segnale campionato Si consideri la sequenza f k = f(kt) che risulta dal campionamento con periodo T di un segnale continuo f(t) nullo per t < 0, ed il segnale a modulazione impulsiva f (t) equivalente a f k. Sviluppando in serie complessa di Fourier il segnale periodico si ottiene il segnale 33

Spettro di un segnale campionato Tra la trasformata di Laplace F(s) di un segnale f(t) nullo per t < 0 e la trasformata di Laplace F (s) di f (t) sussiste la relazione Poiché f * (t)=0 per t<0 Si noti come l andamento dello spettro del segnale f (t) sia costituito da infinite repliche (alias) dello spettro del segnale originale f(t) spaziate tra loro della pulsazione di campionamento ω s e scalate di un fattore 1/T. Spettro di ampiezza di un segnale campionato Spettro di ampiezza di un segnale f(t) e spettro di ampiezza del segnale campionato equivalente f * (t) 34

Modello del ricostruttore ideale Si consideri un segnale f(t) a banda limitata, il cui spettro di ampiezza sia nullo per ω > ω f dove ω f è un dato valore. Data la sequenza f k = f(kt) di campioni di f(t), si considera il problema di ricostruire, se possibile, il segnale originale f(t) a partire da f k. Data la forma dello spettro del segnale impulsivo f (t), si osserva che lo spettro di f(t) può essere ricostituito a partire da quello di f (t) mediante un operazione ideale di filtraggio passa-basso che (a parte un fattore d ampiezza T) elimini il contenuto frequenziale di f (t) esterno alla pulsazione Tale operazione equivale ad elaborare f (t) attraverso un filtro la cui risposta in frequenza sia Modello del ricostruttore ideale L operazione precedente può dare due esiti diversi a seconda della relazione che esiste tra la pulsazione di taglio ω N del filtro e la banda ω f del segnale f(t): se ω N > ω f, il filtro rivela lo spettro corretto del segnale originale se ω N < ω f, il filtro isola lo spettro del segnale originale sovrapposto a componenti spurie dovute alle repliche 35

Teorema di Shannon Dato un segnale f(t) a banda limitata ω f (F(jω)=0 ω >ω f ) esso è ricostruibile a partire dalla sequenza di campioni f k =f(kt) se e solo se risulta ω f < ω N. Il segnale risulta essere: Il segnale analogico può essere ricostruito dai suoi campioni se la pulsazione di campionamento ω s è almeno pari al doppio della pulsazione più alta del segnale Teorema di Shannon Il teorema di Shannon richiede che la banda del segnale sia strettamente inferiore della pulsazione di Nyquist Nessun segnale reale ha banda finita, quindi, il fenomeno dell aliasing, per quanto attenuato, è sempre presente Un modo per ovviare in parte a questo problema è quello di porre un prefiltro analogico passa-basso sul segnale prima che venga campionato. La banda del pre-filtro (anti-aliasing) è inferiore a ω N 36

Esempio numerico Shannon Si supponga di campionare una sinusoide a 1 Hz affetta da rumore a 60 Hz con frequenza f s = 28 Hz. Prefiltrando il segnale con un passa-basso che taglia alla frequenza di 3.2 Hz Progetto della legge di controllo digitale Metodo indiretto (o per discretizzazione) Progetto preliminare del regolatore nel dominio di Laplace Successiva trasformazione per discretizzazione nel digitale Metodo diretto Calcolo dell equivalente discreto del processo. Dato P(s) trovo P d (z) nel dominio della trasformata Z Progetto il controllore direttamente in Z (piano w,luogo radici, metodi analitici) Regolatori a struttura fissa PID 37

Progetto per discretizzazione Dato un impianto lineare stazionario P(s), si supponga di aver progettato un regolatore analogico C(s) a fronte di opportune specifiche Vogliamo approssimare le caratteristiche dinamiche di C(s) con un regolatore a tempo discreto C(z) in modo che, una volta inserito C(z) nell anello di controllo digitale, si ottengano prestazioni del sistema analoghe a quelle del corrispondente sistema di controllo analogico Progetto per discretizzazione Il regolatore digitale ottenuto per discretizzazione introduce variazioni delle prestazioni del sistema in retroazione che dipendono dal passo di campionamento e dalla tecnica di discretizzazione utilizzata Si cerca di fare la discretizzazione in modo che specifiche temporali e frequenziali si discostino poco da quelle originali Può essere utile mantenere: numero poli e zeri, andamento della risposta impulsiva o gradino, guadagno statico, margini fase ed ampiezza, banda passante Non tutte le specifiche possono essere mantenute inalterate 38

Progetto per discretizzazione Definito il regolatore C(s) la tecnica di progetto consiste in: Definizione del periodo di campionamento e verifica che l inserimento di campionatore/ricostruttore non destabilizzi il sistema; Discretizzazione della C(s) con una delle tecniche di discretizzazione Verifica del comportamento dinamico del sistema con controllore discreto. Discretizzo il processo (calcolando la P d (z)) e verifico la risposta con C d (z) Da notare che nel progetto della C(s) si deve considerare il ritardo introdotto dal ricostruttore Progetto per discretizzazione Si consideri un controllore lineare a tempo continuo che rappresenta l equazione differenziale In digitale, l equazione differenziale deve essere approssimata con una equazione alle differenze e quindi dalla funzione di trasferimento in Z 39

Metodi di discretizzazione Esistono diversi metodi di discretizzazione: Metodo delle differenze all indietro (Eulero all indietro) Metodo delle differenze in avanti (Eulero in avanti) Trasformazione bilineare Trasformazione bilineare con precompensazione frequenziale Invarianza della risposta all impulso Invarianza della risposta al gradino Corrispondenza poli-zeri Nei primi 4 si approssima l operatore integratore con un equivalente discreto. Nella 5-6 la risposta ad un particolare ingresso del controllore discreto approssima quella del controllore analogico. Metodo delle differenze all indietro Derivato da metodo usato per il calcolo approssimato dell integrale di una funzione e(t) conoscendo la funzione integranda in un insieme discreto di punti t = kt. Sia consideri la funzione integrale di e(t) La relazione tra i(t) ed e(t) può essere espressa con la trasformata di Laplace nel seguente modo 40

Metodo delle differenze all indietro L operatore integrale è approssimato come: Metodo delle differenze all indietro In base alla relazione i poli stabili in s (Re(s)<0) si trasformano in: 41

Metodo delle differenze in avanti L operatore integrale è approssimato come: Metodo delle differenze in avanti In base alla relazione i poli stabili in s (Re(s)<0) si trasformano in Re(z)<1 42

Trasformazione bilineare (Tustin) L operatore integrale è approssimato come: Trasformazione bilineare In base alla relazione i poli stabili in s (Re(s)<0) si trasformano in z <1: 43

Mappatura dei poli Eulero all indietro Eulero in avanti Tustin Eulero in avanti mappa una parte del semipiano sinistro in s in punti esterni alla circonferenza unitaria in z. A seconda del passo di campionamento, C(s) con poli tutti stabili può venire approssimato con un C(z) che ha poli instabili. Eulero all indietro mappa la regione stabile nel continuo in un sottoinsieme della regione stabile nel discreto Con Tustin le regioni di stabilità continua e discreta vengono mappate l una sull altra Tustin con precompensazione frequenziale Tustin non genera sovrapposizioni frequenziali (come con z=e st ) ma compressione alle alte frequenze Per conservare la risposta in frequenza del controllore alla pulsazione di attraversamento, si introduce la trasformazione di Tustin modificata (con prewarping, o predistorsione in frequenza). 44

Tustin con precompensazione frequenziale Tustin modificata (con prewarping, o predistorsione in frequenza): permette di conservare la pulsazione di attraversamento ed il margine di fase del guadagno di anello e dunque, auspicabilmente, anche le caratteristiche del transitorio del sistema ad anello chiuso. Invarianza della risposta all impulso/gradino Invarianza risposta all impulso Invarianza risposta al gradino 45

Mappatura poli zeri (MPZ) Basata sull osservazione, assolutamente empirica, che le tecniche di approssimazione già analizzate (ad es. Tustin) trasformano sia i poli sia gli zeri del controllore da continuo a discreto secondo leggi che approssimano la nota relazione z=e st. La tecnica MPZ prevede il calcolo di un controllore C(z) che abbia come zeri e poli rispettivamente gli zeri e i poli di C(s) trasformati esattamente secondo z=e st. Procedura MPZ Si parte da C(s) in forma fattorizzata Si trasformano poli e zeri secondo z=e st Si introducono zeri in z=-1 quanti sono gli eccessi poli zeri al finito di C(s) Si compensa il guadagno alle basse o alle alte frequenze 46

Realizzazione e passo di campionamento La scelta del passo di campionamento deve essere fatta in modo da degradare il meno possibile le prestazioni del controllore Tempo di elaborazione Tempo di campionamento Frequenza di campionamento verifichi il Teorema di Shannon Il ricostruttore introduce un ritardo ω s >10ω B Altri problemi di realizzazione: Quantizzazione Filtro antialiasing Rappresentazione dati in precisione finita 47