unità ostuzioni geometiche ostuzioni di ase nti geometici fondamentali efinizioni Punto nte geometico pivo di dimensioni; è definiile come isultato dell intesezione di due elementi lineai ettilinei o cuvilinei incidenti. Pe indicae un punto si usano sempe lettee maiuscole dell alfaeto (,,,...) o numei (,,,...). Linea ntità a una sola dimensione la cui misua si chiama lunghezza. Si definisce linea spezzata se è fomata da segmenti consecutivi non adiacenti; linea cuva quando nessuna pate è ettilinea; linea mista se è in pate cuva e in pate spezzata. Retta Paticolae tipo di linea nella quale tutti i punti sono allineati; la etta costituisce la linea più eve passante pe due punti; può anche essee definita come isultato dell intesezione di due piani incidenti. Pe indicae una linea etta, si usano le lettee minuscole dell alfaeto (a,, c,...). Semietta iascuna delle due pati in cui una etta è divisa da un punto, detto oigine, peso su di essa. Piano Supeficie illimitata definita da te punti non allineati, o da un punto e una etta, o da due ette paallele. Pe indicae un piano si utilizzano sempe le lettee minuscole dell alfaeto geco (, β, γ,...). Pependicolae È una etta che, intesecando un alta etta, foma angoli di 90. Sinonimi di pependicolae sono otogonale e nomale. Paallela È una etta che mantiene costante la distanza da un alta etta appatenente allo stesso piano. ue ette paallele si definiscono anche come ette che si incontano all infinito. istanza La distanza ta due punti è il segmento ettilineo che unisce i due punti. La distanza di un punto da una etta è il segmento di pependicolae condotto dal punto alla etta. La distanza ta due ette paallele è il segmento staccato sulla pependicolae comune. Segmento È la pozione di etta compesa ta due punti detti estemi del segmento. Simoli matematici Paallelo Maggioe di Simoli letteali,,,...,,... Punti,,...... Ô... Segmenti ngolo ngolo α... Misua di angolo a,, c,... Rette α, β, γ,... Piani cf tg Pependicolae / Inclinato Uguale iveso oincidente ica a... a... (compeso ta...) Minoe di Taella. Pincipali simoli utilizzati. iconfeenza Tangente
ostuzioni di ase unità sse del segmento È la pependicolae al segmento passante pe il suo punto di mezzo. L asse del segmento è un luogo di punti (insieme di punti che godono tutti e soli di una stessa popietà): i punti dell asse sono equidistanti dagli estemi del segmento. ngolo È la pozione di piano delimitata da due ette incidenti. Il punto di incidenza si chiama vetice, le semiette lati dell angolo. In geneale, un angolo si indica: con te lettee maiuscole dell alfaeto (ad esempio, ), semplicemente con la sola lettea del vetice (), oppue con una coppia di lettee minuscole (a), oppue ancoa con una lettea dell alfaeto geco (, β, γ). ngoli consecutivi Sono due angoli che hanno in comune il vetice e un lato. echio Insieme dei punti compesi all inteno della ciconfeenza. La ciconfeenza quindi è una linea, il cechio una supeficie. co di ciconfeenza Pozione di una cuva ciconfeenziale delimitata da due punti, che vengono denominati estemi dell aco. oda Segmento ettilineo che congiunge gli estemi di un aco (si dice coda sottesa all aco). Teoema di Talete ato un fascio di ette paallele tagliato da due tasvesali, i segmenti staccati dalle paallele su una tasvesale sono popozionali ai segmenti staccati sull alta tasvesale. : = : =... ngoli adiacenti Sono due angoli consecutivi in cui i lati non in comune stanno sulla stessa diezione; la somma di due angoli adiacenti vale quindi 80. ' ' ' ngoli opposti al vetice Sono due angoli con il vetice in comune e i lati sulla stessa diezione. li angoli opposti al vetice sono uguali. ' ' mpiezza di un angolo È la gandezza dell angolo, misuata solitamente in gadi. In ifeimento all ampiezza, un angolo può essee: gio (60 ), concavo (>80 ), piatto (80 ), convesso (<80 ), ottuso (>90 ), etto (90 ), acuto (<90 ). isettice È la semietta che divide un angolo in due pati uguali. La isettice è un luogo di punti: è l insieme di tutti e soli i punti del piano che hanno uguale distanza dai lati dell angolo. iconfeenza uva piana chiusa egolae. La ciconfeenza è un luogo di punti: è l insieme dei punti del piano che tutti e soli hanno uguale distanza da un punto, detto cento; la di-stanza è detta aggio. iconfeenza si aevia con cf. igua. Poligoni efinizioni Tiangolo Poligono composto da te lati e da te angoli inteni, la cui somma è 80. In ase ai lati che lo compongono, un tiangolo può essee: equilateo, se i te lati sono uguali (conseguentemente, anche gli angoli sono uguali); isoscele, se due lati (e due angoli inteni) sono uguali; scaleno, se i te lati (e i te angoli inteni) sono disuguali.
unità ostuzioni geometiche In ase agli angoli che lo compongono, un tiangolo si definisce: acutangolo, se i te angoli sono acuti; ettangolo, se un angolo è etto; i lati dell angolo etto si chiamano cateti, il lato opposto ipotenusa; ottusangolo, se un angolo è ottuso. ltezza di un tiangolo Segmento della pependicolae condotta da un vetice al lato opposto oppue al suo polungamento (5 distanza del vetice dal lato opposto). Mediana di un tiangolo È il segmento che congiunge un vetice del tiangolo con il punto di mezzo del lato opposto. Punti notevoli di un tiangolo Incento: è l intesezione delle isettici degli angoli di un tiangolo; otocento: è l intesezione delle altezze di un tiangolo; aicento: è l intesezione delle mediane di un tiangolo; cicocento: è l intesezione degli assi dei lati di un tiangolo. Teoema dei tiangoli inscitti in una semiciconfeenza Tutti i tiangoli inscitti in una semiciconfeenza, cioè che hanno l ipotenusa con il diameto della ciconfeenza, sono ettangoli (igua.). (Il simolo significa coincidente.) Poligono inscitto Un poligono è inscitto in una ciconfeenza quando tutti i suoi vetici sono punti della ciconfeenza. Poligono egolae inscitto Un poligono inscitto in una ciconfeenza è egolae se i vetici del poligono suddividono la ciconfeenza in pati uguali. ngolo al cento È un angolo piano inteno a una ciconfeenza con vetice nel cento di essa. L aco su cui insiste l angolo è l aco delimitato dai lati dell angolo. ngolo alla ciconfeenza È un angolo piano inteno a una ciconfeenza con vetice in un punto di essa. Teoema dell angolo al cento e dell angolo alla ciconfeenza Un angolo alla ciconfeenza misua la metà dell angolo al cento che insiste sullo stesso aco (igua.). Si ha cioè: V =. = = = 90. V igua. Poligono igua geometica piana a contono ettilineo chiuso. Un poligono è egolae se tutti i lati e gli angoli inteni sono uguali, iegolae se i lati e gli angoli inteni non sono tutti uguali. I poligoni pendono nome dal numeo dei lati: tiangolo ( lati), quadilateo (4 lati), pentagono (5 lati), esagono (6 lati) e così via. 4 igua.
ostuzioni di ase unità ostuzioni di pependicolai, paallele e angoli Pependicolae a una etta pe un suo punto P () Scegli un punto P sulla etta, quindi punta il compasso in P con apetua a piacee e taccia due achi che intesechino la etta nei punti e. () Sempe con il compasso apeto con una misua qualunque, puché piuttosto gande ( P), punta in e taccia un aco sopa la etta e un aco sotto la etta. P P () Punta in e, con la stessa apetua di compasso, ipeti le opeazioni; gli achi di ciconfeenza, intesecandosi con i pecedenti, deteminano i punti e 4. (4) La etta passante pe i punti e 4 passa anche pe il punto P ed è la pependicolae cecata. P P 4 4 Nel disegno tecnico, i punti sono sempe individuati gaficamente come intesezioni ta due elementi lineai, in paticolae come intesezione ta due ette, o ta una etta e una cuva o ta due cuve. Le ette sono sempe deteminate definendo due punti di passaggio: affinché la diezione isulti pecisa, i due punti devono essee sufficientemente lontani ta loo. sse di un segmento ) pi il compasso con misua a piacee (puché maggioe della metà del segmento ), punta in e taccia un aco sopa e un aco sotto. () Punta in e, con la stessa apetua di compasso, ipeti l opeazione; gli achi, intesecandosi con i pecedenti, deteminano i punti e. () Unisci con. La diezione - è l asse ichiesto. L asse del segmento (come tutti gli assi di simmetia degli oggetti e delle figue geometiche) va tacciato con una linea convenzionale, detta mista fine. 5
unità ostuzioni geometiche Pependicolae a una etta da un punto esteno P () Scegli un punto P fuoi dalla etta. Punta il compasso in P con apetua a piacee (ma non infeioe alla distanza di P da ) e taccia un aco di ciconfeenza che intesechi la etta nei punti e. P () Sempe con il compasso apeto con una misua qualunque, puché piuttosto gande e comunque maggioe della pecedente, punta in e taccia un aco dalla pate opposta di P ispetto a. P () Punta in con la stessa apetua di compasso, e ipeti l opeazione; l aco di ciconfeenza, intesecandosi con il pecedente, detemina il punto. (4) La etta passante pe il punto P e pe il punto è la pependicolae cecata. P P Paallele a una etta distanti una misua data d () Pendi una etta qualunque e definisci la distanza d. () ostuisci la pependicolae alla etta pe un punto qualsiasi P e pe un alto punto P, sempe a piacee. d P P' ' () Sulle pependicolai, a patie da P e P, ipota con il compasso la misua d; detemina i punti, K,, K. Unisci con, K con K : sono le paallele ichieste. d d P P' d d K' K 6
ostuzioni di ase unità Suddivisione di un segmento in n pati uguali () Pendi un segmento e definisci n (ad esempio, n = 7). Taccia, a patie da uno dei due estemi (ad esempio, ) una semietta t. () pi il compasso di una misua aastanza piccola. Patendo da, ipota n volte su t la misua pescelta (nel nosto caso, 7 volte). t t 4 5 6 7 () Unisci il punto 7 con l estemo lieo del segmento (in questo caso, l estemo ). (4) Taccia con le squadette le paallele al segmento 7 dai punti 6, 5,... Le paallele, incidendo il segmento, lo suddividono in 7 pati uguali. t 4 5 6 7 t 4 5 6 7 Puoi eseguie una seconda costuzione, patendo questa volta da, con semietta t e con una misua di compasso divesa dalla pecedente; veifichi così che le suddivisioni del segmento coincidono nelle due costuzioni. isettice di un angolo () Pendi due ette a, qualunque, incidenti nel punto V. Punta in V con un compasso apeto a piacee e taccia un aco di ciconfeenza che intesechi a e nei punti e. () Punta in e con apetua qualunque, ma sufficientemente gande, taccia un aco dalla pate opposta di V. Punta in e con la stessa apetua ipeti l opeazione; gli achi si intesecano nel punto. La semietta condotta da V e passante pe è la isettice ichiesta. a a V V 7
unità ostuzioni geometiche Suddivisione di un angolo etto in te pati uguali () Taccia una etta e costuisci la pependicolae p pe un suo punto. onsidea uno degli angoli etti di vetice. Puntando in con apetua aastanza gande, taccia un aco di ciconfeenza che intesechi e p nei punti e. () Punta in e, con la stessa apetua pecedente, taccia un aco che passi pe e intesechi l aco nel punto. Ripeti l opeazione pecedente puntando in e deteminando il punto. ongiungi con e con : si ottengono le suddivisioni ichieste ( = = = 0 ). p p isettici di un angolo con vetice non noto () Taccia un angolo compeso ta a e senza indicae il punto di intesezione. Inteseca a e con una etta qualsiasi c. () onsidea i quatto angoli inteni fomati dall intesezione di c con a e. ostuisci le isettici dei quatto angoli. a c a c K () Le isettici si intesecano in due punti, e K. Unisci con K: questa è la isettice ichiesta. a c 8
ostuzioni di ase unità ngolo uguale a un angolo dato () Taccia un angolo α qualsiasi compeso ta le ette a e incidenti in V. () Punta in V con il compasso apeto a piacee, e taccia un aco di ciconfeenza che intesechi a e nei punti e. a a V V () Pendi una diezione qualsiasi a e un punto a piacee V su essa. (4) Punta il compasso in V e, con la stessa apetua pecedente, taccia un aco che intesechi a nel punto. ' a' a' V' V' (5) pi il compasso con misua pai alla distanza - (ampiezza dell angolo α). Punta il compasso in e, con l apetua impostata, taccia un aco che intesechi l aco già disegnato nel punto (cioè, ipota la misua dell ampiezza dell angolo α). (6) ongiungi con V ottenendo la diezione ; l angolo compeso ta e a è α = α. ' ' a' ' ' ' ' a' V' V' a V 9
unità ostuzioni geometiche ostuzioni di poligoni Tiangolo equilateo dato il lato () Pendi la misua del lato sulla etta. () Punta il compasso in, con apetua, e descivi un aco di ciconfeenza. () Punta in e ipeti l opeazione. I due achi si intesecano in, tezo vetice del tiangolo cecato. (4) Unendo con e, ottieni il tiangolo equilateo. Tiangolo scaleno date le misue dei lati a,, c () Pendi le misue a,, c dei te lati e taccia un segmento = a. a c () entando in con aggio e in con aggio c, descivi due achi che si intesecano in, tezo vetice del tiangolo cecato. () Unendo, ottieni il tiangolo scaleno. 0
ostuzioni di ase unità Tiangolo isoscele date le misue della ase e dell altezza h () opo ave definito le misue ed h, taccia un segmento =. ostuisci l asse del segmento deteminando. () a ipota sull asse la misua h dell altezza del tiangolo, deteminando, tezo vetice del tiangolo cecato. h () Unendo, ottieni il tiangolo isoscele. Tiangolo equilateo data l altezza h () Taccia una etta e fissa un punto, che saà un vetice del tiangolo cecato. ostuisci la pependicolae alla etta nel punto. () Ripota sulla pependicolae la misua h dell altezza, deteminando il punto. h h () on le squadette taccia pe la etta paallela a, che costituià la diezione della ase del tiangolo. (4) Suddividi gli angoli etti in in te angoli uguali, deteminando e nella suddivisione di 0 adiacente alla pependicolae. ' ' h h
unità ostuzioni geometiche (5) ongiungi con e con e polunga, deteminando nell intesezione con i punti e che costituiscono gli alti due vetici del tiangolo. (6) Unendo, ottieni il tiangolo cecato. ' ' h h Pentagono egolae dato il lato () Pendi la misua su e costuisci la pependicolae a pe il punto. on il compasso, ipota sulla pependicolae =. () ostuisci l asse di deteminando il punto. () Puntando in con aggio, taccia un aco che intesechi nel punto.
ostuzioni di ase unità (4) Punta in e in con aggio deteminando. (5) enta in e in con aggio deteminando. (6) enta in e in con aggio deteminando ; unendo,,,,, ottieni il pentagono.
unità ostuzioni geometiche sagono egolae di lato () Pendi la misua su. () Punta in con aggio e descivi un aco. () Ripeti l opeazione puntando in ; l intesezione dei due achi detemina, cento della ciconfeenza cicoscitta all esagono. Le intesezioni della ciconfeenza con i due achi deteminano i punti e. (4) Ripota da e da la misua del lato deteminando i punti,. (5) Unendo ta loo tutti e sei i punti, ottieni l esagono cecato. 4
ostuzioni di ase unità ttagono egolae dato il lato () Pendi la misua su e costuisci l asse di tovando. () Punta in con aggio = e taccia una semiciconfeenza; detemina nell intesezione con l asse. Il tiangolo è inscitto in una semiciconfeenza, peciò è ettangolo; l angolo è etto. () Punta il compasso in con aggio = e taccia una ciconfeenza; detemina nell intesezione con l asse. (4) L angolo è un angolo alla ciconfeenza che sta sullo stesso aco dell angolo al cento, quindi ne vale la metà (45 ). è il cento della ciconfeenza cicoscitta all ottagono (60 :8 = 45 ). ' ' (5) Punta in con aggio =, taccia una ciconfeenza e ipota alte 7 volte la misua. (6) Unendo ta loo tutti gli otto punti L, ottieni l ottagono cecato. ' ' L L Quest ultima costuzione, anche se coetta da un punto di vista geometico, gaficamente può dae isultati deludenti; ad esempio, una lievissima impecisione nella deteminazione del punto si ipecuote anche sul punto e, di conseguenza, sulla dimensione della ciconfeenza, geneando infine un eoe piuttosto consistente. 5
unità ostuzioni geometiche Poligono di n lati data la misua del lato (costuzione appossimata) () isegna un segmento uguale al lato l e costuisci l asse. Puntando in e con aggio, detemina. () on cento, taccia una ciconfeenza di aggio. ividi il aggio veticale in 6 pati uguali. Pe descivee la ciconfeenza cicoscitta, ad esempio, all ettagono, centa in 7 con apetua 7; pe descivee la ciconfeenza cicoscitta all ottagono, centa in 8 con apetua di 8, e così via fino al dodecagono. _ 0 9 8 7 l 6 _ () Pe costuie poligoni con più di lati, è sufficiente ipotae sulla pependicolae, a patie dal punto, alti segmenti di lunghezza uguale a quelli individuati. Nell esempio sono ipotate le costuzioni di poligoni egolai di 9,, 4 lati. 6 5 4 0 9 8 7 6 _ 6 M
ostuzioni di ase unità ostuzione di poligoni inscitti Suddivisione di una ciconfeenza in te pati uguali (inscizione di un tiangolo equilateo) () Taccia una ciconfeenza di cento e di aggio qualunque. () Punta il compasso in con aggio e descivi un aco che tagli la ciconfeenza nei punti e ( = / cf). () Unisci a e a ; è il tiangolo equilateo inscitto. Suddivisione di una ciconfeenza in cinque pati uguali (inscizione di un pentagono egolae) () Taccia una ciconfeenza di cento e di aggio qualunque. () ostuisci l asse del segmento deteminando (punto medio di ). 7
unità ostuzioni geometiche () Punta in con aggio e taccia un aco che tagli in. (4) Punta in con aggio e taccia un aco che tagli la ciconfeenza nel punto ( 5 /5 cf). (5) Pe disegnae il pentagono, ipota la misua a patie da alte 4 volte sulla ciconfeenza, deteminando i punti, L, M e itonando in. (6) Unendo ta loo tutti i cinque punti LM, ottieni il pentagono inscitto. M M L L Suddivisione di una ciconfeenza in sei pati uguali (inscizione di un esagono egolae) () Taccia una ciconfeenza di cento e di aggio qualunque. () Punta in con aggio e taccia un aco che intesechi la ciconfeenza nei punti e ( = = /6 cf). 8
ostuzioni di ase unità () Punta in con aggio e taccia un aco che intesechi la ciconfeenza nei punti e ( = = /6 cf; quindi, pe diffeenza, anche = = /6 cf). (4) Unendo ta loo tutti i sei punti, ottieni l esagono inscitto. Suddivisione di una ciconfeenza in otto pati uguali (inscizione di un ottagono egolae) () Taccia una ciconfeenza di cento e di aggio qualunque. () ostuisci le isettici e degli angoli etti ( = /8 cf). () Pe ottenee l ottagono inscitto, unisci tutti i punti icavati dall intesezione di assi e isettici con la ciconfeenza. 9
unità ostuzioni geometiche Suddivisione di una ciconfeenza in n pati uguali (costuzione appossimata) () Taccia il diameto e dividilo in tante pati uguali quante sono quelle desideate pe la divisione della ciconfeenza data (nell esempio, 7 pati). 4 5 6 7 _ () Taccia il polungamento del diameto pependicolae. Punta in e, con aggio, inteseca il diameto oizzontale nel punto. 4 5 6 7 _ () La etta passante pe il punto e pe il punto fisso inconta la ciconfeenza data nel punto 8. La misua 8 è il lato dell ettagono cecato. La congiungente 4 detemina il punto 9, la congiungente 6 detemina il punto 0. 8 4 5 9 6 0 0 7 _