ELETTROTECNICA T - A.A. 2014/2015 ESERCITAZIONE 1 ESERCIZIO 1 Dopo aver risolto il circuito lineare tempo-invariante mostrato Fig. 1.1, calcolare la potenza erogata/assorbita da ogni componente. Fig. 1.1 Circuito da risolvere Il circuito in esame è costituito solo da resistenze ed è quindi una rete di tipo passivo. Per risolvere circuiti di questo tipo occorre calcolare la resistenza equivalente complessiva di tutta la rete. Come si può osservare, R 5, R 6 e R 7 sono in parallelo a un cortocircuito (V = 0). Poiché la tensione ai loro capi è nulla, anche la corrente che circola in esse è nulla per la legge di Ohm. Si ha quindi i 5 = i 6 = i 7 = 0 Le resistenze R 5, R 6 e R 7 possono essere eliminate e si può quindi andare a risolvere il circuito semplificato mostrato in Fig. 1.2. Fig. 1.2 Circuito semplificato dopo l eliminazione delle resistenze cortocircuitate In Fig. 1.3 sono riportate le incognite del problema. I versi della tensione e della corrente sono stati assegnati arbitrariamente applicando però la convenzione degli utilizzatori per i componenti passivi e la convenzione dei generatori per i componenti attivi.
Fig. 1.3 Correnti e tensioni incognite Le resistenze R 4, R 5 e R 8 sono collegate in serie tra di loro ed è quindi possibile sostituirle con la resistenza serie equivalente R 0 data da R 0 = R 4 + R 8 = 40 Ω Fig. 1.4 Circuito semplificato dopo aver sostituito R 4 e R 8 con la resistenza serie equivalente R 0 Il nuovo circuito semplificato da risolvere è quello riportato in Fig. 1.4. Le resistenze R 2, R 3 e R 0 sono collegate in parallelo tra di loro ed è quindi possibile sostituirle con la resistenza parallelo equivalente R 00 data da R 00 = ( 1 + 1 + 1 1 ) = 4.44 Ω R 2 R 3 R 0 Il nuovo circuito semplificato da risolvere è quello mostrato in Fig. 1.5. Le resistenze R 1, R 00 e R 9 sono collegate in serie tra di loro ed è quindi possibile sostituirle con la resistenza serie equivalente R eq data da R eq = R 1 + R 00 + R 9 = 44.44 Ω Fig. 1.5 Circuito semplificato dopo aver sostituito R 2, R 3 e R 0 con la resistenza parallelo equivalente R 00
Fig. 1.6 Circuito equivalente a quello di partenza Si ottiene così il circuito equivalente riportato in Fig. 1.6. Ora è possibile calcolare la corrente i E che attraversa R eq attraverso la legge di Ohm e si ottiene i E = E R eq = 2.25 A Per risolvere completamente il circuito di partenza è necessario ripercorre a ritroso le varie trasformazioni effettuate per ottenere i circuiti semplificati. Come visto in precedenza, R eq è costituita da R 1, R 00 e R 9 collegate in serie perciò la corrente che le attraversa è la stessa e si ha quindi i 1 = i 00 = i 9 = i E = 2.25 A Ora è quindi possibile calcolare le cadute di tensione su R 1 e R 9 attraverso la legge di Ohm ottenendo V 1 = R 1 i 1 = 45 V V 9 = R 9 i 9 = 45 V Come visto in precedenza, R 00 è costituita da R 2, R 3 e R 0 collegate in parallelo perciò la corrente i 00 che la attraversa si ripartisce in modo inversamente proporzionale alla resistenza del singolo elemento (partitore di corrente). Attraverso l equazione generale del partitore di corrente si ottiene i 2 = R 00 R 2 i 00 = 1 A i 3 = R 00 R 3 i 00 = 1 A i 0 = R 00 R 0 i 00 = 0.25 A Ora è quindi possibile calcolare le cadute di tensione su R 2 e R 3 attraverso la legge di Ohm ottenendo V 2 = R 2 i 2 = 10 V V 3 = R 3 i 3 = 10 V Come visto in precedenza, R 0 è costituita da R 4, R 5 e R 8 collegate in serie perciò la corrente che le attraversa è la stessa e si ha i 4 = i 8 = i 0 = 0.25 A Ora è quindi possibile calcolare le cadute di tensione su R 4, R 5 e R 8 attraverso la legge di Ohm ottenendo
V 4 = R 4 i 4 = 5 V V 8 = R 8 i 8 = 5 V Abbiamo calcolato tutte le correnti che attraversano i componenti del circuito in esame e tutte le tensioni a cui essi sono soggetti. È quindi possibile valutare la potenza erogata/assorbita da ognuno dei componenti ottenendo P E = Ei E = 225 W P 1 = V 1 i 1 = R 1 i 1 2 = 101.25 W P 2 = V 2 i 2 = R 2 i 2 2 = 10 W P 3 = V 3 i 3 = R 3 i 3 2 = 10 W P 4 = V 4 i 4 = R 4 i 4 2 = 1.25 W P 5 = V 5 i 5 = R 5 i 5 2 = 0 W P 6 = V 6 i 6 = R 6 i 6 2 = 0 W P 7 = V 7 i 7 = R 7 i 7 2 = 0 W P 8 = V 8 i 8 = R 8 i 8 2 = 1.25 W P 9 = V 9 i 9 = R 9 i 9 2 = 101.25 W Infine, per il teorema di additività delle potenze (Boucherot) deve valere la seguente relazione 9 P E P k = 0 k=1
ESERCIZIO 2 Dopo aver risolto il circuito lineare tempo-invariante mostrato in Fig. 2.1 applicando il metodo di Kirchhoff, calcolare la potenza erogata/assorbita da ogni componente. Fig. 2.1 Circuito da risolvere Il circuito in esame è costituito da r = 5 rami e n = 3 nodi. Per la sua risoluzione è quindi necessario scrivere un sistema di r equazioni composto da n 1 = 2 LKC e r (n + 1) = 3 LKT. In Fig. 2.2 sono mostrate le incognite principali (una per ogni ramo) del problema i 1, i 2, i 4, V A1, V A2 e sono indicati anche i nodi (lettere maiuscole) e le maglie (lettere minuscole) ai quali verranno scritte le LKC e LKT rispettivamente. Il verso di percorrenza è stato scelto orario per tutte e tre le maglie. Il verso delle tensioni e delle correnti incognite è determinato arbitrariamente applicando però la convenzione degli utilizzatori per i componenti passivi e la convenzione dei generatori per i componenti attivi. Fig. 2.2 Incognite principali, nodi e maglie Il sistema da risolvere è quindi costituito dalle seguenti equazioni LKC A i 1 + A 1 i 2 = 0 LKC B A 1 + A 2 i 4 = 0
LKT a E V 2 V 1 = 0 LKT b V A2 + V 2 V A1 + V 3 = 0 LKT c V 4 V A2 = 0 In aggiunta alle LKC e LKT occorre considerare anche le relazioni di definizione dei resistori per le quali possiamo scrivere In definitiva il sistema da risolvere è il seguente Dalla LKC B si ricava direttamente Nota i 4 dalla LKT c si ricava Dalla LKC A si ricava V 1 = R 1 i 1 V 2 = R 2 i 2 V 3 = R 3 i 3 = R 3 A 1 V 4 = R 4 i 4 LKC A i 1 + A 1 i 2 = 0 LKC B A 1 + A 2 i 4 = 0 LKT a E R 2 i 2 R 1 i 1 = 0 LKT b V A2 + R 2 i 2 V A1 + R 3 A 1 = 0 LKT c R 4 i 4 V A2 = 0 i 4 = A 1 + A 2 = 20 A V A2 = R 4 i 4 = 80 V i 2 = i 1 + A 1 e sostituendola nella LKT a si ottiene E R 2 (i 1 + A 1 ) R 1 i 1 = 0 da cui si può ricavare che Infine dalla LKC A si ha e dalla LKT b i 1 = E R 2A 1 R 1 + R 2 = 2.5 A i 2 = i 1 + A 1 = 7.5 A V A1 = R 2 i 2 + V A2 + R 3 A 1 = 135 V È ora quindi possibile calcolare le tensioni ai capi dei 4 resistori attraverso la legge di Ohm ottenendo V 1 = R 1 i 1 = 5 V V 2 = R 2 i 2 = 15 V V 3 = R 3 i 3 = R 3 A 1 = 40 V
V 4 = R 4 i 4 = 80 V Abbiamo calcolato tutte le correnti che attraversano i componenti del circuito in esame e tutte le tensioni a cui essi sono soggetti. È quindi possibile valutare la potenza erogata/assorbita da ognuno dei componenti ottenendo P E = Ei E = Ei 1 = 25 W P A1 = V A1 A 1 = 1350 W P A2 = V A2 A 2 = 800 W P 1 = V 1 i 1 = R 1 i 1 2 = 12.5 W P 2 = V 2 i 2 = R 2 i 2 2 = 112.5 W P 3 = V 3 i 3 = R 3 i 3 2 = 400 W P 4 = V 4 i 4 = R 4 i 4 2 = 1600 W Infine, per il teorema di additività delle potenze (Boucherot) deve valere la seguente relazione P E + P A1 + P A2 P k = 0 Per concludere, osserviamo come il valore calcolato di i 1 sia negativo. Questo non ci deve spaventare, ma significa solamente che il verso da noi attribuito arbitrariamente a i 1 in Fig. 2.2 è sbagliato e che la corrente circola nel verso opposto, andandosi a iniettare nel generatore di tensione. Per lo stesso motivo otteniamo quindi P E < 0, il che vuol dire che in realtà il generatore di tensione si comporta da carico in questa configurazione. 4 k=1