La funzione f: R R + dove f(x) = b x b>0, b 1, è invertibile. La funzione inversa si chiama logaritmo in base b log b : R + R, essendo la funzione inversa si ha log b (b x ) = x b log b x = x In particolare log b 1 = log b (b 0 ) = 0 log b b = log b (b 1 ) = 1 Il grafico della funzione inversa si ottiene da f mediante una simmetria rispetto alla retta y=x.
, base >1
, base <1
Proprietà delle funzioni logaritmiche: Se b>1, log b è strettamente crescente, negativa nell intervallo (0, 1), positiva in (1, + ) lim x + log b x = + lim x 0 + log b x = Se b<1, log b è strettamente decrescente, positiva nell intervallo (0, 1), negativa in (1, + ) lim x + log b x = lim x 0 + log b x = +
Proprietà delle funzioni logaritmiche: Dall identità b x b y = b x+y si ottiene log b (b x b y ) = log b (b x+y ) = x+y Poniamo c = b x e d = b y allora x= log b c, y= log b d Per ogni c, d > 0 si ha log b (c d) = log b c + log b d
In particolare, se c=d log b (c 2 ) = 2log b c In generale, si ha log b (c n ) = n log b c Essendo 0=log b 1 = log b (c 1/c) = log b c + log b 1/c da cui otteniamo log b 1/c = log b c Per ogni c, d > 0 si ha log b (c/d) =log b (c 1/d) = log b c log b d
Dati b,c >0 possiamo scrivere c=b log bc e quindi c x = b (log bc)x per ogni x R quindi ogni potenza in una data base c può essere scritta nella forma b kx, dove k = log b c Applichiamo ad ambo i membri log c ed otteniamo (*) log b c x = (log b c)x
Vediamo come ottenere il cambiamento di base nei logaritmi Possiamo scrivere x = b log b x Applichiamo all identità log c log c x = log c ( b log b x ) da cui, per la proprietà (*) (vedi slide precedente) log c x = log c b log b x ed infine log b x = log c x / log c b
La relazione log b x = log c x / log c b ci dice che tutti i logaritmi sono multipli di una stessa funzione, quindi è sufficiente fissare una base e lavorare con quella. In ambito matematico viene prevalentemente utilizzata la base e (costante di Nepero) e si indica semplicemente log oppure ln, viene anche detto logaritmo naturale. In ambito applicativo la base più comune è 10, si indica con Log, viene anche detto logaritmo decimale.
Il logaritmo in base 10 funziona molto bene per numeri scritti in notazione scientifica infatti se x= a 10 b con 1 a<10 e b N, si ha Logx = Loga + b Loga è la mantissa di Logx e b è la caratteristica di Logx
Torniamo ai batteri, indichiamo con N 0 il numero di batteri all inizio delle nostre osservazioni. Abbiamo visto che se supponiamo uno sdoppiamento sincrono si ha la relazione N k = N 0 2 k che ci dice quanti batteri avremo al tempo k. Ci poniamo il problema di determinare quanto tempo ci vorrà affinchè la popolazione diventi circa 100 volte il numero iniziale. Vale dire determinare k tale che N 0 2 k = 100 N 0 da cui 2 k = 100 Per ricavare k, applichiamo ad ambo i membri Log klog2 =2, dunque k=2/log2 k 7
Nel caso di sdoppiamento asincrono, abbiamo visto che la popolazione batterica cresce secondo la legge N(t) = (1+q) t N 0 Quanto tempo impiega per diventare circa 100 volte la popolazione iniziale? Si deve determinare t tale che (1+q) t N 0 =100 N 0 Applichiamo Log e troviamo tlog(1+q) = 2, da cui t=2/log(1+q) Se q = 20% risulta t 25.26
Ricordate il problema del farmaco somministrato e del tempo di coagulo? (Vedi esercitaz8). Avevamo indicato con X la quantità di farmaco somministrata (misurata in mg) e con Y il tempo di coagulo (in minuti). Ci domandavamo se fosse ragionevole ipotizzare una legge a potenza Y=cX p Come potremmo ricondurci ad una analisi di regressione lineare? Applicando il log alla relazione Y=cX p otteniamo logy = logc + plogx
logy = logc + p logx Dunque prendendo i log dei dati possiamo condurre una analisi di regressione lineare determinando la retta di regressione z=mw + q, dove z=logy, w=logx Il coefficiente angolare m sarà determinato nell analisi di regressione da m= Cov(w,z)/Var(w), mentre q =z* -mw*, dalla conoscenza di q ed m possiamo stimare i valori c e p della legge a potenza, infatti m=p e q=logc, quindi c=e q. A te i calcoli, basandoti sulla tabella seguente:
Y lnx (lnx) 2 X 2 lnxlny Y 2 XY lny (lny) 2 33.1 4.39 19.27 6561 15.36 1095.61 2681.1 3.50 12.25 2.0 3.04 9.24 441 2.10 4.0 42.0 0.69 0.48 11.2 4.22 17.8 4624 10.21 125.44 761.6 2.42 5.86 4.0 3.55 12.6 1225 4.93 16.0 140.0 1.39 1.93 1.6 2.7 7.29 225 1.27 2.56 24.0 0.47 0.22 5.1 3.7 13.69 1640.25 6.03 26.01 206.55 1.63 2.66 1.9 2.94 8.64 361 1.88 3.61 36.1 0.64 0.41 7.2 3.88 15.05 2352.25 7.64 51.84 349.2 1.97 3.88 1.8 2.86 8.18 306.25 1.69 3.24 31.5 0.59 0.35 9.1 4.05 16.4 3306.25 8.95 82.81 523.25 2.21 4.88 15.3 4.28 18.32 5184 11.68 234.09 1101.6 2.73 7.45 3.2 3.38 11.42 870.25 3.92 10.24 94.4 1.16 1.35 y* 7.96 lnx* 3.58 (lnx) 2 * 13.16 x 2 * 2258.02 lnxlny)* 6.31 y 2 * 137.95 (xy)* 499.275 lny* 1.62 (lny) 2 * 3.48
E se avessimo ipotizzato una legge esponenziale, vale a dire una legge del tipo Y=ce kx?