Esercizio [puni 4] Prova scria di SEGNALI E SISTEMI 5 seembre 2003 Proff. L. Finesso, M. Pavon e S. Pinzoni (a.a. 2002-2003) Teso e Soluzione (redaa da L. Finesso) Si racci il grafico dei segnali a. x () = x( + 2), R, b. x 2 () = x( ), R, 2 sapendo che x() = { 2, se 2 < 3 0, alrimeni. Soluzione. x() 2 2 3 x () 2 2 3 x 2 () 4 2 2 4 6 8
Esercizio 2 [puni 4] Si calcolino i coefficieni della serie di Fourier per il segnale x(), di periodo 2, definio da Suggerimeno: Si ricordi che il segnale y() = seguene figura: x() =, <. k Z,dispari 2 jπk ejπk, R, è l onda quadra della y() 2 2 3 Soluzione. La seguene figura ripora il grafico di x(). x() 2 2 3 È immediao verificare che y() = d dx x(). Dei c k e c k i coefficieni di Fourier di x() e di y() rispeivamene, vale la relazione c k = jπkc k per ogni k 0. Il suggerimeno fornisce c k = 2 jπk per k dispari e c k = 0 per k pari. Si oiene quindi c k = 0 per k pari e, per k dispari, c k = jkπ c k = 2 (jπk) 2 = 2 π 2 k 2 Il coefficiene c 0 si oiene calcolando il valore medio di x() su un periodo e vale c 0 = 2. Lo sviluppo in serie di Fourier di x() è x() = 2 2 π 2 k Z,dispari k 2 ejπk, R.
Esercizio 3 [puni 4] Il segnale x() = cos 2, R, è l ingresso di un sisema LTI e BIBO-sabile, caraerizzao dalla risposa in frequenza H(jω) = Si calcoli la corrispondene uscia y(), R. 4 jω + 2, ω R. Soluzione. In corrispondenza all ingresso e jω 0 un sisema LTI, BIBO-sabile, produce l uscia H(jω 0 )e jω 0. Poichè in queso caso H( jω) = H (jω) (sisema reale) l uscia corrispondene al segnale x() = cos 2 = Re{e j2 } è daa da y() = Re{H(j2)e j2 }. Ovvero y() = Re{H(j2)e j2 } = Re{ 4ej2 cos 2 + j2 sin 2 } = Re{2 } = cos 2 + sin 2. j2 + 2 j + Esercizio 4 [puni 5] Si calcoli la risposa al segnale d ingresso x() = u() u( 2), R, per un sisema LTI con risposa impulsiva h() = 2δ() + e u(), R. Soluzione. L uscia è daa dalla convoluzione y() = h() x() = (2δ() + e u()) (u() u( 2)) Per la linearià della convoluzione e le proprieà della δ() vale y() = 2(u() u( 2)) + w() Dove w() = e u() (u() u( 2)). Per via direa si oiene: w() = 0, se 0 0 e τ dτ = e, se 0 2 2 e τ dτ = e +2 e, se 2 <. Esercizio 5 [puni 4] Si consideri il segnale ( ) π x() = u( + ) u( ) + cos 2, R. a. Si calcoli la rasformaa di Fourier di x(). b. Se possibile, si deermini un periodo di campionameno T che permea la ricosruzione esaa del segnale x(), a parire dai campioni {x(kt ), k Z}, mediane un filro passa-basso ideale.
a. Il segnale x() è la somma di un reangolo uniario di supporo [, ] e di un segnale sinusoidale. Dalla abella si ricava: F{u( + ) u( )} = 2 sin ω ω { ( )} π F cos 2 = π[δ(ω + π 2 ) + δ(ω π 2 )] Per la linearià della rasformaa di Fourier F{x()} = 2 sin ω + π[δ(ω + π ω 2 ) + δ(ω π 2 )] b. Poichè la banda di x() non è limiaa (infai 2 sin ω ha supporo pari a R) il eorema del ω campionameno non è applicabile. Non è possibile ricosruire esaamene il segnale x() a parire dai suoi campioni. Esercizio 6 [puni 5] Si consideri l equazione differenziale y () 4y() = 4x(). a. Si deermini la soluzione y(), > 0, corrispondene all ingresso x() = u() ed alle condizioni iniziali y(0 ) = 0, y (0 ) = 2. b. Si discua la sabilià BIBO del sisema LTI causale associao. Soluzione. Poichè cerchiamo la soluzione dell equazione differenziale per > 0 applichiamo la rasformaa unilaera di Laplace ai due membri oenendo s 2 Y (s) sy(0 ) y (0 ) 4Y (s) = 4X(s) ovvero, sosiuendo le condizioni iniziali assegnae, ed applicando l ingresso x() = u() che si riduce a Y (s) = 4 2s s(s 2 4) (s 2 4)Y (s) + 2 = 4 s = 2(s 2) s(s 2)(s + 2) = 2 s(s + 2). Per anirasformare procediamo alla decomposizione in frazioni parziali 2 s(s + 2) = A s + B s + 2 I coefficieni si possono ricavare con il meodo usuale oppure, in queso caso elemenare, sommando e soraendo s al numeraore. Troviamo 2 s(s + 2) = s s + 2 La soluzione richiesa è y() = u() e 2 u(). b. Il sisema LTI causale associao all EDO ha funzione di rasferimeno (la rasformaa di Laplace della risposa impulsiva) pari a H(s) = 2 s 2 4 = 2 (s 2)(s + 2) la presenza di un polo nel semipiano desro, in s = 2, rende il sisema non BIBO sabile.
Esercizio 7 [puni 4] Per queso esercizio NON è necessario giusificare le rispose. Per ciascuno dei segueni sisemi:. y() = x( + 5) x( ), R, 2. y() = x(s) ds, R, 3. y() = cos( 2) x(), R, verificare se valgono le proprieà di: a. causalià, b. linearià, c. empo invarianza, d. BIBOsabilià. Soluzione.. Non è causale poichè y() dipende da x( + 5). Non è lineare. È empo invariane infai l ingresso x() = x( T ) produce l uscia y() = x( + 5) x( ) = x( T + 5) x( T ) e vale y() = y( T ). È BIBO sabile infai se x() B allora y() B2. 2. È causale poichè y() dipende solo da {x(τ), < τ }. È lineare. È empo invariane poichè applicando ingresso x() = x( T ) l uscià è y() = x(τ)dτ = x(τ T )dτ = T x(τ )dτ = y( T ). Non è BIBO sabile e basa considerare la risposa ad un ingresso cosane per sincerarsene. 3. È causale. È lineare. Non è empo invariane. È BIBO sabile, infai y() x(). Esercizio 8 [facolaivo, vale 2 puni in più, da fare per ulimo!] Si consideri un sisema LTI a empo coninuo di risposa in frequenza Il segnale (periodico) d ingresso è H(jω) = x() = { se ω W 0 alrimeni k= α k e jk(π/4), dove α è un numero reale con 0 < α <. Quano grande deve essere W affinchè l uscia del sisema y() abbia almeno il 90% dell energia media sul periodo di x()? Soluzione. L energia media in un periodo del segnale x() si ricava con la formula di Parseval e vale E x = α 2 k = + α2 α. 2 k= Il sisema H(jω) è un passa-basso ideale, dunque y() si ricava semplicemene sommando le armoniche di x() in banda passane. Indichiamo con K il massimo numero d armonica in banda passane. L energia del segnale y() sarà allora E y = K k= K α 2 k = 2α2K+2 + α 2 α 2 Imponendo che E y = 0.9E x si ricava K in funzione del paramero assegnao α. Noo K è semplice ricavare W imponendo che W K π 4.