Esercitazioni di Costruzioni navali. Claudio Chisari

Esercitazioni di Costruzioni navali Claudio Chisari 11 ottobre 6

Indice Indice i 1 Robustezza del grigliato del doppiofondo 1 1.1 Caso considerato........................... 1 1. Calcolo delle caratteristiche geometriche della sezione....... 1. Metodo di risoluzione del grigliato................. 1..1 Calcolo dei coefficienti di influenza............. 5 1.. Calcolo dei carichi applicati sulle travi........... 6 1.. Calcolo delle reazioni mutue................. 7 1.4 Risoluzione di una trave....................... 1.4.1 Il carico concentrato..................... 1.4. Il carico concentrato applicato in mezzeria......... 1.4. Carichi concentrati simmetrici rispetto alla mezzeria... 9 1.4.4 Momenti complessivi..................... 9 Metodo di Cross 11.1 Caso considerato........................... 11. Travi a sezione costante....................... 1..1 Momenti di incastro perfetto................ 1.. Fattori di ripartizione.................... 1.. Coefficienti di trasmissione................. 14. Travi a sezione variabile....................... 14..1 Costanti elastiche....................... 14.. Fattori di ripartizioni.................... 15.. Coefficienti di trasmissione................. 15..4 Momenti di incastro perfetto................ 15.4 Risoluzione del sistema........................ 1 i

Capitolo 1 Robustezza del grigliato del doppiofondo 1.1 Caso considerato Per mostrare il procedimento di risoluzione di un grigliato del fondo, si è applicato quest ultimo al grigliato della nave analizzata durante le esercitazioni del corso di Costruzioni Navali 1, nave cisterna, avente la seguente sezione sul diametrale: 75 mm 15 mm mentre la platea, cioè la parte che interessa in quest analisi, vista dall alto (eliminando le pareti) è: 1

75 75 1 4 5 6 7 9 75 75 75 75 Per poter analizzare il grigliato si sono dovute fare delle ipotesi: la prima riguarda il grado di incastro sui paramezzali viene posto pari ad 1, poiché si ipotizza una caricazione uniforme in tutte le stive; una seconda riguarda i madieri, sui quali si ipotizza un grado di incastro variabile con andamento parabolico, avente valore massimo pari ad 1 in corrispondenza delle paratie stagne e valore medio pari a.75. L equazione di questa parabola, centrata a centro stiva, sarà quindi: f (x) a x + c Per ottenere il valore dei coefficienti della parabola si pongono le seguenti relazioni: da cui si ottiene: quindi: f (x) l 1 l l f (x) d x.75 l c 1 a 75.6 75 a 5.64 1 11 6.65 1 9 grado di incastro sul madiere laterale f 1.7; grado di incastro sul madiere centrale f.6; I carichi sono i seguenti: un carico esterno dato dalla pressione idrostatica q w ρ s.water T 15 6.6 6765 kg m ; un carico interno dato dalla caricazione della stiva q f ρ fuel t 1.7 7 kg m ; un carico interno sul doppiofondo q d ; il che da un carico totale: P q w + q f + q d 194 Pa A.A. 5-6 Claudio Chisari

1. Calcolo delle caratteristiche geometriche della sezione Si passa quindi a calcolare le caratteristiche geometriche (area, posizione dell asse neutro, momento d inerzia) delle travi del grigliato (paramezzali e madieri) dove per lo spessore delle lamiere si è considerato lo spessore delle lamiere corretto con i ferri spalmati, spessore che era stato già calcolato durante il corso di Costruzioni Navali 1 nella settima esercitazione. Si ottengono quindi le seguenti tabelle relative ai madieri e ai paramezzali; poiché il grigliato considerato è simmetrico, si considerano solo quattro tipi di travi, i due madieri (centrale e laterale) e i due paramezzali (centrale e laterale). t b A y I pr y pr I tr m m m m m 4 m m 4 Madiere laterale cielo.1.75.45 1. 5.4e-7.694.e-1 anima.15 1...65.7e-.44.9e-5 fondo.14.75.5..6e-7 -.66.e-1 Madiere centrale cielo.1.75.45 1. 5.4e-7.694.e-1 anima.15 1...65.7e-.44.9e-5 fondo.14.75.5..6e-7 -.66.e-1 Paramezzale laterale cielo.1.75.61 1. 1.6e-6.65.e-1 anima.1 1..17.65.4e-..e fondo.1.75.61. 1.6e-6 -.65.e-1 Paramezzale centrale cielo.17.75.64 1. 1.5e-6.6.e-1 anima.1 1..17.65.4e-. 1.5e-5 fondo.19.75.71..1e-6 -.6.e-1 Si riportano di seguito le posizioni dell asse neutro e il momento d inerzia rispetto all asse neutro dei madieri: i y AN A i y i i A.66 m I AN I tr,i + I pr,i.4 m 4 A T.11 m i i del paramezzale laterale: i y AN A i y i i A.65 m I AN i i e del paramezzale centrale: i y AN A i y i i A.6 m I AN i i I tr,i + I pr,i.6 m 4 A T.19 m I tr,i + I pr,i.6 m 4 A T.15 m 1. Metodo di risoluzione del grigliato Si espone di seguito il metodo di risoluzione del grigliato seguito; si consideri un nodo, incrocio di una trave longitudinale (s) e di una trave trasversale (r); la situazione è schematizzata nella figura seguente: A.A. 5-6 Claudio Chisari

1 r m 1 s p Per calcolare le sollecitazioni agenti su ogni trave del grigliato analizzato, lo si scompone nelle travi che lo formano e si risolve ogni trave singolarmente; per mantenere la congruenza, si ipotizza che nei punti di contatto, di seguito chiamati nodi, delle travi longitudinali e trasversali, la deformazione sia uguale in modulo e opposta in segno. Si ipotizza cioè che le travi si scambino delle reazioni mutue (X rs ), tali da generare nelle travi effetti opposti in verso, ma uguali in modulo, tali cioè da annullarsi. Si assegna una convenzione sui segni, cioè che le reazioni siano positive verso il basso sulle travi longitudinali, e positive verso l alto sulle travi trasversali. Si deve cioè avere per ogni trave: η r rs η s rs dove m sta per madieri e p sta per paramezzali. La deformazione del madiere r nel nodo rs sarà: dove: η r rs η r rs (Q r ) p ηrs r (X rj ) w r rs Q r j1 p wrs,rj r X rj w r rs : coefficiente d influenza nel nodo rs dovuto al carico distribuito; wrs,rj r : coefficiente d influenza nel nodo rs dovuto al carico concentrato in rj; Si procede allo stesso modo per quanto riguarda il paramezzale s: i1 j1 m m ηrs s ηs rs (Q s) + ηrs s (X is) w s rs Q s + wrs,is s X is e quindi per avere la congruenza deve essere: w r rs Q r o, equivalentemente: j1 m wrs,is s X is + i1 i1 p m wrs,rj r X rj w s rs Q s + wrs,is s X is i1 p wrs,rj r X rj w r rs Q r w s rs Q s j1 A.A. 5-6 4 Claudio Chisari

1..1 Calcolo dei coefficienti di influenza Si passa a questo punto a calcolare i coefficienti d influenza per la sezione in esame, considerando che questa è simmetrica sia rispetto al paramezzale centrale che al madiere centrale. I coefficienti d influenza che dovrebbero essere calcolati sono, considerando la simmetria, i seguenti: w p 1,1, wm 1,1, w 1,4, w 1,7, w 1,, w 1, w p,, wm,, w,5, w,, w,1, w,, w p 4,4, wm 4,4, w 4,1, w 4,7, w 4,5, w 4,6 w p 5,5, wm 5,5, w 5,, w 5,, w 5,4, w 5,6 Questi venti possono essere ridotti a sedici, considerando la simmetria: w p 1,1, wm 1,1, w 1,4, w 1,7, w 1,, w 1, w p,, wm,, w,5, w,, w,1 w 1,, w, w 1,, w p 4,4, wm 4,4, w 4,1 w 1,4, w 4,7 w 1,4, w 4,5, w 4,6 w p 5,5, wm 5,5, w 5, w,5, w 5, w,5, w 5,4 w 4,5, w 5,6 w 4,5 Questi vengono calcolati considerando che ogni deformazione della trave è causata da tre effetti: l effetto proprio del carico, w p ; l effetto dei momenti d incastro perfetti, scalati del grado d incastro, opposti ai precedenti, w m ; l effetto del taglio, non trascurabile, w t, concorde al carico. Per calcolare queste quantità, sono state usate le relazioni fornite durante le lezioni, che si riportano di seguito; per il carico concentrato vale: w p w m w t l 6 E J l x 1 x ( l x 1 x ) l 6 E J l x x [ ( x1 x l x 1 χ GAL x 1 x mentre per il carico distribuito vale: w p w m w t l 4 E J l 4 E J x 1 x 1 χ GA x 1 x 1 [ x1 ( l x1 l ) + x 1 x ( l x 1 )] ) ( x1 ) ] 4 + l Si riporta di seguito, in Tabella 1.1, i valori dei coefficenti d influenza ottenuti Ṡi può quindi calcolare la matrice dei coefficienti d influenza dovuti ai carichi concentrati. Questa sarà: w1,1 >< m + 9 wp 1,1 + w1, + w1,7 w1, w1,4 w,1 + w, w p, {w} + wm, + w, > w,5 w 4,1 + w 4,7 w >: p 4,4 + wm 4,4 + w4,6 w4,5 w 5, + w 5, w 5,6 + w 5,4 w p 5,5 + >; wm 5,5 A.A. 5-6 5 Claudio Chisari

cioè: w.11e 9 6.96E 1 1.71E 9.E + 1.9E 9.E 9.E + 1.71E 9.4E 9.E +.9E 9 6.9E 1.E +.4E 9 1.E 9 4.44E 9 Calcolati i coefficenti d influenza, si passa a calcolare i carichi agenti sulle travi considerate. 1.. Calcolo dei carichi applicati sulle travi Per fare questo calcolo si scompone la superficie della platea in tante parti quante sono le sezioni individuate dalle travi del grigliato, per ogni sezione si calcola la parte del carico sopportata dalla parte di madiere e di paramezzale, e si sommano le varie parti che definiscono le travi complessive. Mediante l ipotesi di Grashoff si scompone il carico agente sulla platea (P 194 Pa calcolato precedentemente) in due parti per ogni pezzo di lamiera: la parte assorbita dal madiere e la parte assorbita dal paramezzale. Ipotizzando: b si ha che il carico assorbito dal segmento a è pari a: P a a 4 a b a 4 + b 4 mentre la parte di carico assorbito dal segmento b è pari a: P b 4 a b a 4 + b 4 Si può quindi sommare tutti i contributi del grigliato, per quanto riguarda i paramezzali e i madieri. A.A. 5-6 6 Claudio Chisari

d 1 e 4 5 6 7 9 Si devono calcolare quindi, i carichi sulle lastre d e e; per la lastra d sarà: mentre per la lastra e vale: q p d P.75 4.75..75 4 +. 4 7.576E + 4 qd m P. 4.75..75 4 +. 4.1E + 4 q p e P.75 4.75.75.75 4 +.75 4 qe m 6.674E + 4 Mediante questi si può calcolare il carico agente sui madieri e sui paramezzali, per i quali vale: Q p1 4 q p d + 4 qp e 5.7E + 5 Q p q p e 5.9E + 5 Q m1 Q m 4 qd m + 4 qe m.911e + 5 Da questi si può calcolare i termini della matrice Q, che saranno: Q 1 w p 1 Q p1 w m 1 Q m1 1.7E 4 Q Q w p Q p1 w m Q m.9e 5 Q w p 4 Q p w m 4 Q m1 5.4E 4 Q 4 w p 5 Q p w m 5 Q m.5e 4 1.. Calcolo delle reazioni mutue Per trovare le reazioni (X i ) si deve quindi risolvere il seguente sistema: X 1 Q 1 X 1 Q 1 X {w} Q X w X 4 Q X 1 Q 4 Q X 5 Q 4 X 5 Q 4 94.69 44.19 146.1 6495.4 N A.A. 5-6 7 Claudio Chisari

1.4 Risoluzione di una trave Definite le reazioni mutue X i, si può passare a risolvere le travi del grigliato come travi singole, soggette a un carico distribuito, calcolato precedentemente, e ad carichi concentrati, le X i. Si riporta di seguito il caso del madiere centrale. X X 5 X Q m l m f.6 f.6 Per risolvere la trave scelta si ipotizza la sovrapposizione degli effetti, cioè si scompone il carico agente, e i suoi effetti, in una somma di un carico distribuito, di un carico applicato in mezzeria della trave e di due carichi applicati simmetricamente rispetto alla mezzeria della trave. Dai manuali di Scienze delle Costruzioni si ricavano quindi le relazioni per trovare il momento in mezzeria e agl incastri per i tre casi in cui si è scomposto il carico. 1.4.1 Il carico concentrato Un carico concentrato, di intensità Q, applicato su una trave incastrata ad entrambe le estremità, produce momenti in mezzeria e d incastro perfetto dati dalla relazione: M x 1 1 p l M xl 1 1 p l M x l p l 4 Nel caso considerato, la lunghezza della trave e il carico totale agente sulla trave sono: l 1.5 m Q m.911e + 5 N quindi il carico applicato è: Q Q m l Si hanno quindi i seguenti momenti: 97 N/m M x 49.99 kn m M xl 49.99 kn m M x l 1.4. Il carico concentrato applicato in mezzeria 19.99 kn m Un carico concentrato applicato in mezzeria, di intensità P, applicato su una trave incastrata ad entrambe le estremità, produce momenti in mezzeria e d incastro perfetto dati dalla relazione: M x 1 P l M xl 1 P l M x l 1 P l Nel caso considerato, il carico P sarà: P X 5 6495.4 N positivo verso l alto poiché ci si trova su di un madiere. Si hanno quindi i seguenti momenti: M x 15.46 kn m M xl 15.46 kn m M x l 15.46 kn m A.A. 5-6 Claudio Chisari

1.4. Carichi concentrati simmetrici rispetto alla mezzeria Due carichi concentrati applicati simmetricamente rispetto alla mezzeria, di intensità P, applicati a distanza a dalle estremità su una trave incastrata ad entrambe le estremità, produce momenti in mezzeria e d incastro perfetto dati dalla relazione: M x P a l (l a) M Nel caso considerato, il carico P sarà: xl P a l (l a) M x P a l l P X 44.19 N positivo verso l alto poiché ci si trova su di un madiere. Si hanno quindi i seguenti momenti: M x 7. kn m M xl 7. kn m M x l.95 kn m 1.4.4 Momenti complessivi Si hanno quindi i seguenti momenti d incastro perfetto, moltiplicati per il grado d incastro della trave: M x M xl [M (Q) + M (X ) + M (X 5 )] f 94.47 kn m mentre per quanto riguarda il momento in mezzeria abbiamo: M x l M (Q) + M (X ) + M (X 5 ).15 kn m Si deve quindi verificare se la trave ha tensioni massime inferiori alle norme del registro: σ M max W M max J AN y AN,cielo 4.9 N mm ben al di sotto del limite della normativa che è: La trave risulta pertanto verificata. σ amm 175 N mm A.A. 5-6 9 Claudio Chisari

A.A. 5-6 1 Claudio Chisari nodo A tot A an E G J AN χ l f x i x j x i x j w p w m w t w ij nodo [ ] [m ] [m ] [Pa] [Pa] [m 4 ] [ ] [m] [ ] [m] [m] [m] [m] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] w p 1,1.19.17.1E+11.E+1.6.1 15. 1..75.75 11.5 11.5.4E-9.47E-9.9E-11 6.1E-1 w p 1,1 w1,1 m.11..1e+11.e+1.4.169 1.5.6.. 1.5 1.5.71E-9.4E-9 4.19E-11 1.4E-9 w1,1 m w 1,4.11..1E+11.E+1.4.169 1.5.6. 6.75 1.5 6.75.54E-9.94E-9.69E-11 1.71E-9 w 1,4 w 1,7.11..1E+11.E+1.4.169 1.5.6. 1.5 1.5..E-9 1.E-9 1.E-11.E-1 w 1,7 w 1,.19.17.1E+11.E+1.6.1 15. 1..75 7.5 11.5 7.5.71E-9.4E-9.6E-11 6.96E-1 w 1, w 1,.19.17.1E+11.E+1.6.1 15. 1..75 11.5 11.5.75.6E-9.9E-9 1.E-11.5E-1 w 1, w p,.19.17.1e+11.e+1.6.1 15. 1. 7.5 7.5 7.5 7.5 5.4E-9 4.5E-9 4.1E-11 1.9E-9 w p, w, m.11..1e+11.e+1.4.169 1.5.6..75 1.5 9.75.1E-9.56E-9.9E-11 1.56E-9 w, m w,5.11..1e+11.e+1.4.169 1.5.6. 6.75 1.5 6.75.54E-9.94E-9.69E-11 1.71E-9 w,5 w,.11..1e+11.e+1.4.169 1.5.6. 1.5 1.5..E-9 1.E-9 1.E-11.E-1 w, w p 4,4.15.17.1E+11.E+1.6.11 15. 1..75.75 11.5 11.5.4E-9.47E-9.59E-11 5.95E-1 w p 4,4 w4,4 m.11..1e+11.e+1.4.169 1.5.6 6.75 6.75 6.75 6.75 5.6E-9 4.6E-9 6.6E-11.5E-9 w4,4 m w 4,5.15.17.1E+11.E+1.6.11 15. 1..75 7.5 11.5 7.5.71E-9.4E-9 1.7E-11 6.9E-1 w 4,5 w 4,6.15.17.1E+11.E+1.6.11 15. 1..75 11.5 11.5.75.6E-9.9E-9.6E-1.E-1 w 4,6 w p 5,5.15.17.1E+11.E+1.6.11 15. 1. 7.5 7.5 7.5 7.5 5.4E-9 4.5E-9.45E-11 1.E-9 w p 5,5 w5,5 m.11..1e+11.e+1.4.169 1.5.6 6.75 6.75 6.75 6.75 5.6E-9 4.6E-9 6.6E-11.5E-9 w5,5 m w p w m w t w i [ ] [ ] [ ] [ ] w p 1 w m 1.19.11.17..1E+11.1E+11.E+1.E+1.6.4.1.169 15. 1.5 1..6.75. - - 11.5 1.5 - -.4E-9.E-9.E-9 1.96E-9.E-1.E-1 6.1E-1 1.5E-9 w p 1 w m 1 w m.11..1e+11.e+1.4.169 1.5.6. - 1.5 -.E-9 1.96E-9.E-1 1.5E-9 w p.19.17.1e+11.e+1.6.1 15. 1. 7.5-7.5 -.E-9.7E-9.9E-1 9.4E-1 w p w m 4 w m 4.11..1E+11.E+1.4.169 1.5.6 6.75-6.75 -.55E-9.4E-9 4.9E-1.17E-9 w p.15.17.1e+11.e+1.6.11 15. 1..75-11.5 -.4E-9.E-9 1.94E-1 5.74E-1 w p 4 w m 4 w p 5.15.17.1E+11.E+1.6.11 15. 1. 7.5-7.5 -.E-9.7E-9.59E-1 9.4E-1 w m 5.11..1E+11.E+1.4.169 1.5.6 6.75-6.75 -.55E-9.4E-9 4.9E-1.17E-9 w p 5 w m 5 Tabella 1.1: Coefficienti d influenza del grigliato del fondo

Capitolo Metodo di Cross.1 Caso considerato q CD C D q BF P B E F q A A La sezione considerata ha le seguenti caratteristiche: lunghezza del segmento AB 5 m; lunghezza del segmento BC.5 m; lunghezza del segmento CD BE m; lunghezza del segmento BF m; carico P 45 t 441.7 kn; 11

carico q A 5.5 t/m 5.9 kn/m; carico q CD.5 t/m 4.1 kn/m; carico q BF.5 t/m.51 kn/m; momento d inerzia del segmento AB: J AB 6 cm 4.6 1 4 m 4 ; momento d inerzia del segmento BC: J BC 15 cm 4.15 1 4 m 4 ; momento d inerzia del segmento CD: J CD 95 cm 4.95 1 4 m 4 ; momento d inerzia del segmento BE: J BE 1 cm 4 1. 1 4 m 4 ; momento d inerzia del segmento AB: J EF 165 cm 4 1.65 1 4 m 4 ; modulo di Young del materiale: E 1 1 6 kn/m ; Per poter applicare il metodo di Cross alla sezione considerata, si devono dividere le travi in due gruppi, formati rispettivamente da travi a sezione costante (AB, BC, CD) e travi a sezione variabile (BF). Si passa quindi a considerare per ogni trave o nodo le seguenti quantità: momenti di incastro perfetto µ i ; fattori di ripartizione k ij ; coefficienti di trasmissione τ ij. Per poter calcolare queste quantità, limitatamente al caso della sezione variabile, si deve calcolare anche le: costanti elastiche α ij, α ji e β.. Travi a sezione costante..1 Momenti di incastro perfetto I momenti di incastro perfetto per la sezione considerata sono di due tipi: quelli dovuti ad un carico distribuito costante e quelli dovuti ad un carico distribuito triangolare; si ha quindi: q A A B Dal manuale di Scienza delle Costruzioni si ottiene: µ A q A l AB 67.416 kn m µ B q A l AB 44.944 kn m Per quanto riguarda invece il caso della trave CD si ottiene: A.A. 5-6 1 Claudio Chisari

q CD C D µ C µ D q CD l CD 1 1.45 kn m.. Fattori di ripartizione I fattori di ripartizione, per la sezione in esame appartengono a due gruppi, quelli calcolati nel nodo B e quelli calcolati nel nodo C; nel nodo C concorrono esclusivamente travi a sezione costante, quindi possiamo già calcolare i fattori di ripartizione delle travi, mentre nel nodo D concorre anche una trave a sezione variabile (BF) quindi il calcolo potrà essere fatto per ora solo in maniera teorica. Si ottiene quindi: nodo C: BC ρ BC 4 E J BC l BC CD ρ CD 4 E J CD l CD 54 kn m 9975 kn m da cui si ottiene la somma delle rigidezze nel nodo: ρ C ρ BC + ρ CD 1515 kn m e i fattori di ripartizione delle aste BC e CD: nodo B: k BC ρ BC ρ C.6 k CD ρ CD ρ C.664 BC ρ BC 4 E J BC l BC AB ρ AB 4 E J AB BF ρ BF l CD 1 α BF β α F B 54 kn m 1 kn m da cui si ottiene la somma delle rigidezze nel nodo: ρ B ρ BC + ρ AB + ρ CD e i fattori di ripartizione delle aste BC, AB e BF: k BC ρ BC ρ B k AB ρ AB ρ B k BF ρ BF ρ B A.A. 5-6 1 Claudio Chisari

.. Coefficienti di trasmissione Per le travi a sezione costante il valore del coefficiente di trasmissione varia dal valore al valore.5, rispettivamente se la trasmissione del momento è diretta ad una cerniera o ad un incastro; nel nostro caso, limitatamente al caso della travi a sezioni costanti, essendo tutti i vincoli degli incastri, abbiamo per tutte le estremità delle aste τ.5.. Travi a sezione variabile Come prima cosa si deve procedere al calcolo delle costanti elastiche, utili successivamente per il calcolo dei fattori di ripartizione, del coefficiente di trasmissione e dei momenti di incastro perfetto...1 Costanti elastiche Per il calcolo delle costanti elastiche si procede risolvendo l integrale indicato precedentemente, scomponendo la trave BF in due sotto-travi (BE e EF), in ognuna delle quali la sezione ed il momento d inerzia sono costanti. B E F Si ottiene quindi: α BF Z l Z (l x) l 1 E J (x) d x (l BF x) 1 d x + E J BE l BF 1 1 l BF E J BE.145 1 [kn m] 1 Z 11»l BF x x l BF + x (l BF x) 1 dx E J EF l BF + 1 J EF»l BF x x l BF + x 11! α FB l x l 1 E J (x) d x x l BF 1 l BF E 1 d x + E J BE ( [ ] 1 x J BE.11 1 [kn m] 1 11 x l BF + 1 J EF 1 d x E J EF [ ] x 11 ) A.A. 5-6 14 Claudio Chisari

β l 1 l BF E x(l x) l 1 E J (x) d x x(l BF x) 1 l d x + BF E J BE ( 1 x [l BF x J BE.69 1 [kn m] 1.. Fattori di ripartizioni 11 ] x(l BF x) 1 l d x BF E J EF + 1 x [l ] 11 ) BF J EF x Si può quindi calcolare la rigidezza della trave, mediante la formula: ρ BF 1 α BF β α F B 9465 kn m Da questa si possono trovare i fattori di ripartizione per il nodo B; si ottiene la somma delle rigidezze: ρ B ρ BC + ρ AB + ρ CD 455 kn m e i fattori di ripartizione delle aste BC, AB e BF: k BC ρ BC ρ B.5 k AB ρ AB ρ B.41 k BF ρ BF ρ B.5.. Coefficienti di trasmissione Il coefficente di trasmissione è pari a: τ BF β α FB.57..4 Momenti di incastro perfetto Per trovare i momenti di incastro perfetto dovuti al carico concentrato più il carico distribuito si ipotizza la sovrapposizione degli effetti e si analizzano separatamente i due tipi di carico; le formule per calcolare i momenti d incastro sono le seguenti: µ ij γ i (q) α ji γ j (q) β α ij α ji β µ ji γ j (q) α ij γ i (q) β α ij α ji β Iniziamo considerando il carico distribuito. Si procede sfruttando l analogia di Mohr, quindi la linea elastica del sistema iniziale, diventa il carico di un sistema fittizio che ci permette di trovare le curvature alle estremità (il dato mancante nelle equazioni precedenti) come reazioni nei vincoli. Il sistema equivalente studiato è: q BF B E F A.A. 5-6 15 Claudio Chisari

L espressione del momento è: M (x) q BF ( l x x ) da cui il carico applicato al sistema fittizio sarà: M (x) E J (x) q BF ( l x x ) E J (x) Per trovare la rotazione nell estremo B, si ricerca la forza RB che dia l equilibrio alla rotazione dell asta: R B l l M (x) (l x) dx E J (x) dove l integrale viene ancora una volta diviso nei due tronconi dell asta che hanno sezione e momento d inerzia costante. Si ha quindi: R B Z l Z M (x) (l x)dx E J (x) l q BF `lbf x x (l BF x) d x + l BF E J BE» 1 x l BF + x4 4 x lbf q BF l BF E.1 J BE Z 11 q BF `lbf x x (l BF x) dx l BF E J EF» x l BF + x4 4 x 11! lbf + 1 J EF mentre per la reazione in F si pone l equilibrio verticale: R F Q R B l M (x) E J (x) d x R B q BF q BF E.16 l BF x x d x + E J BE ( 1 x [l BF x J BE 11 ] q BF l BF x x d x RB E J EF x [l ] 11 ) BF x + 1 J EF R B Una volta trovate le reazioni fittizie (cioè le rotazioni dovute al carico distribuito q BF ) si possono calcolare i momenti d incastro perfetto con le formule indicate in precedenza: µ BF (q BF ) γ B (q BF ) α FB γ F (q BF ) β α BF α FB β 79.1 µ FB (q BF ) γ F (q BF ) α BF γ B (q BF ) β α BF α FB β 94.7 Si passa quindi al calcolo dei momenti d incastro perfetto dovuti al carico concentrato P. B E P F A.A. 5-6 16 Claudio Chisari

L equazione del momento dovuto al carico concentrato P è diverso a seconda che ci si trovi nel segmento BE o nel segmento EF; questo è: 11 P x x l BE ( P ) 11 x + l BE l BE x l BF da cui il carico applicato al sistema fittizio sarà: P x M (x) x l BE E J (x) ( 11 E J BE ) P 11 x + l BE l BE x l BF E J EF Per trovare la rotazione nell estremo B, si procede come fatto per il carico distribuito; si calcola la reazione RB mediante l equilibrio del momento rispetto all estremità F, mentre la reazione RF si trova mediante l equilibrio allo spostamento verticale. La reazione RB sarà allora: R B Z l Z M (x) (l x)dx E J (x) l P x(l BF x) d x + 11 E J BE l BF P E l BF 11 J BE.6»l BF x Z 11 x 11 x + lbe «P (lbf x) + 1» x J EF d x E J EF l BF 11 «lbf lbe + x + lbf lbe x 11 11! mentre la reazione fittizia R F è data da: R F Q R B l M (x) E J (x) d x R B P x d x + 11 E J BE ( P [ ] x E 11 J BE.1 11 + 1 J EF ( ) P 11 x + l BE d x RB E J EF [ x ] 11 ) 11 + l BE x RB I momenti d incastro perfetto dovuti al carico concentrato sono allora: µ BF (P) γ B (P) α FB γ F (P) β α BF α FB β.9 µ FB (P) γ F (P) α BF γ B (P) β α BF α FB β 761.7 che danno i momenti d incastro perfetto totali pari a: µ BF µ BF (q BF ) + µ BF (P) 11.7 µ FB µ FB (q FB ) + µ FB (P) 1696.7 A.A. 5-6 17 Claudio Chisari

.4 Risoluzione del sistema Calcolati i momenti d incastro perfetto, per l intera struttura si può quindi procedere metodo di Cross al calcolo dei momenti all equilibrio, senza considerare il momento generato dall applicazione dei carichi. Si ha la seguente situazione iniziale: C 1.5 1.5 τ.5 τ.5 11.7 1696.7 44.94 B τ.57 67.4 τ.5 k.5 k.41 Nodo B k.5 k.6 k.664 Nodo C Si è poi cambiato la convenzione sui segni, poiché finora si sono considerate le travi come isolate le une dalle altre, mentre per poter eseguire il metodo di Cross conviene avere una convenzione comune; la convenzione usata è stata quella di ritenere positivi i momenti orari, indipendentemente dalla trave a cui si riferiscono. Segue il diagramma in cui sono indicati i vari passaggi dell iterazione (dove D indica il momento distribuito, mentre T indica il momento trasmesso). A.A. 5-6 1 Claudio Chisari

D -.94 D -54. 1.5 IV II II IV T -11.14 D -7.5 T 1.41 D -. T -.16 D. T -1.76 D -9.9 III I II IV -1.5 T -7.19 T -.47 I III -44.94 D -44.57 D 5.64 11.7 D -79.9 D 5. I III I III -1696.7 T -16.54 T. T. T -.9 67.4 III I + Sommando per ogni vertice i valori del momento nelle varie approssimazioni, si ottiene: 17.57 17.7 1.5 4.9 44.7 657.1 199.59 + 1.71 A.A. 5-6 19 Claudio Chisari

A questi momenti si devono sommare i momenti dovuti al carico, di cui si indica l equazione; per quanto riguarda un carico distribuito q, il momento sulla trave è dato dalla relazione: M (x) P l x P x Per quanto riguarda un carico concentrato p, posto a distanza a dall origine del sistema di riferimento, il momento è dato dalla relazione: l a p x x a M (x) l p ( a ) l x + a a x l Per un carico triangolare, avente valore massimo p, il momento è dato dalla relazione: M (x) p 6 l x p x + p l x Si riporta di seguito il risultato grafico ottenuto mediante il programma Ftool sviluppato dalla Pontifical Catholic University of Rio de Janeiro, software che conferma l analisi fatta in termini di valori del momento agli estremi e segno di questo. 4.4 kn/m.9 kn/m 441.4 kn.9 kn/m 5.95 kn/m Figura.1: Condizione di caricazione A.A. 5-6 Claudio Chisari

-191. -17.7-1.9-17.7-656.7 1. 17. -44.5 64.1 95.4 11. Figura.: Momenti del sistema A.A. 5-6 1 Claudio Chisari