Esercitazione I - Ripasso di matematica Potenze Le proprietà fondamentali delle potenze sono Da queste proprietà segue che a 0 = 1, a n a m = a n+m, a n a m = an m. Esercizio 1 (a n ) m = a n m, a n = 1 a n. Si verifichi che 10 3 10 = 10 5, ( 10 3 ) = 10 6, 10 3 10 = 10, (3 10 6 ) (8 10 ) ( 10 17 ) (6 10 5 ) = 10 18, 30 0,0048 0,3 400 = 10 3. Esercizio L età dell universo è circa 13, 7 miliardi di anni. Si dimostri che essa equivale a 4,3 10 17 secondi. 1 anno = 365 giorni, 1 giorno = 4 ore, 1 ora = 60 minuti, 1 minuto = 60 secondi. Perciò 1 anno = 365 4 60 60 secondi = 3,15 10 7 secondi, da cui 13,7 miliardi di anni = 13,7 10 9 3,15 10 7 secondi = 4,3 10 17 secondi. 1
Logaritmo Si definisce logaritmo in base a di x (scriviamo log a x) la quantità da dare come esponente ad a per ottenere x. Ad esempio log 4 = infatti = 4, log 8 = 3 infatti 3 = 8, log 10 100 = infatti 10 = 100. Sulle calcolatrici il tasto log è una abbreviazione di log 10 mentre il tasto ln indica log e, dove e =,718... Le proprietà fondamentali del logaritmo sono log a 1 = 0, log a (x y) = log a x + log a y, ( ) x log a = log y a x log a y. Da queste proprietà segue che log a x n = nlog a x. delle equazioni di secondo grado Per risolvere l equazione ax + bx + c = 0, come prima cosa si calcola, = b 4ac. Dopodiché Se < 0 non esiste alcun numero reale che sia soluzione dell equazione. Se > 0 l equazione ha due soluzioni distinte x + = b + a x = b a,. Se = 0 l equazione ha una sola soluzione x = b a.
Esercizio 3 Si studino le soluzioni delle seguenti equazioni 1) x 4x + 3 = 0, ) x 4x + = 0, 3) x 4x + 1 = 0. Per la prima equazione si calcola che = 8. Perciò la prima equazione non ha soluzioni. Per la seconda equazione si calcola che = 0. Perciò la seconda equazione ha una sola soluzione, x = 1. Per la terza equazione si calcola che = 8. Perciò la terza equazione ha due soluzioni, Esercizio 4 x + = 1 + 1, x = 1 1. Se al tempo t 0 = 0 si lancia verticalmente un sasso in aria da una quota iniziale x 0 e con una velocità iniziale v 0 allora al tempo t la quota x raggiunta dal sasso è x = x 0 + v 0 t g t, dove g = 9,8m/s. Ammesso che x 0 = 1m e v 0 = 5m/s, si calcoli a quale istante x = 0m e x = m. Nel caso in cui x = 0m dobbiamo risolvere l equazione 4,9 m s t + 5 m s t 19m = 0, dove ora la nostra incognita è t. Si calcola che = 347,4 m s < 0. Perciò l equazione non ha soluzioni. Fisicamente ciò significa che il sasso non arriverà mai alla quota di 0m. Ma se abbassiamo la quota che il sasso deve raggiungere al livello x = m l equazione da risolvere diviene 4,9 m s t + 5 m s t 1m = 0. Si calcola che = 5,4 m s > 0. Perciò si hanno le due soluzioni seguenti 3
t + = 0,7s, t = 0,75s. Esse rappresentano i due istanti in cui il sasso si trova alla quota di m: il tempo minore è relativo alla fase di ascesa del sasso mentre quello maggiore è relativo alla fase di discesa del sasso. Trigonometria Si consideri il triangolo rettangolo in figura I lati a e b sono detti cateti mentre il lato c è detto ipotenusa. Definiamo sinϑ = a c cos ϑ = b c a = csin ϑ, b = ccos ϑ. In particolare definaimo tangente dell angolo ϑ il rapporto fra il suo seno e il suo coseno, tan ϑ = sin ϑ cos ϑ = a b. Un angolo può essere espresso in gradi oppure in radianti: definiamo angolo di 1 grado (scriveremo 1 ) quell angolo che sottende un arco la cui lunghezza è 1/360 della lunghezza della circonferenza. definiamo angolo di 1 radiante (scriveremo 1rad) quell angolo che sottende un arco la cui lunghezza è pari al raggio della circonferenza. L angolo che sottende l intera circonferenza è pari a 360 o equivalentemente a πrad, dove π = 3,1415... L angolo di 1rad equivale a circa 57,3. Ammettiamo che l angolo ϑ sottenda un arco di lunghezza l della circonferenza di raggio r, allora ϑ = l 180 l rad o equivalentemente ϑ = r π r. 4
Esercizio 5 Un osservatore si trova alla distanza d = km da un palazzo alto h = 380m. Determinare l angolo ϑ sotteso dal palazzo. L osservatore, la cima del palazzo e la sua base formano un triangolo rettangolo. L angolo sotteso dal palazzo è quello dove c è l osservatore. Quindi tan ϑ = h d = 380m km = 380m 10 3 m = 190 10 3 = 0,19 ϑ = 10,76. Esercizio 6 Il Sole ha un diametro di circa d S = 1,39 10 9 m e dista dalla Terra l TS = 1,496 10 11 m. La Luna ha un diametro di d L = 3,474 10 6 m e dista dalla Terra l TL = 3,844 10 8 m. Calcolare in gradi e in radianti la larghezza angolare del Sole e della Luna visti dalla Terra. In generale, l angolo ϑ sotteso da un corpo di diametro d distante l dall osservatore è dato da ( ) ϑ tan = d l. Nel caso del Sole si ha ( ) ϑts tan = 0,465 10 ϑ TS = 0,53 = 0,93 10 rad Nel caso della Luna si ha ( ) ϑtl tan = 0,45 10 ϑ TL = 0,5 = 0,90 10 rad Si osservi che ϑ TS ϑ TL, infatti il Sole ci appare nel cielo di dimensioni del tutto simili a quelle della Luna. 5