Soluzioni dei quesiti della maturità scientifica AS 009/010 Nicola Gigli Sun-Ra Mosconi giugno 010 Quesito 1 Un generico polinomio di grado n si può scrivere nella forma p(x) a 0 + a 1 x + + a n x n dove a 0,, a n sono numeri reali Poiché la derivata di una somma è la somma delle derivate, possiamo calcolare la derivata di ciascun monomio separatamente: d dx a kx k ka k x k 1, d dx a kx k k(k 1)a k x k, d k dx k a kx k k(k 1) 1a k e questo è valido per qualsiasi k Se k è minore di n, la derivata n-esima di a k x k sarà zero, essendo la derivata n k-esima di una costante L unico addendo non nullo è quindi d n dx n a nx n 1a n ed il prodotto 1 è per definizione n! Quesito Poiché la retta BP è ortogonale al piano del triangolo, essa è ortogonale a tutte le rette che giacciono su tale piano e passanti per B Dunque i triangoli P AB e P BC sono rettangoli in B Università di Bonn Università di Catania 1
Vogliamo dimostrare ora che il triangolo P AC è rettangolo in A È noto che ciò è vero se e solo se vale CP AC + AB Dal teorema di Pitagora applicato ai triangoli rettangli P AB e P BC e ABC si ottiene, nell ordine e quindi P B AP AB, CP CB + P B, CB AC + AB, CP CB + P B AC + AB + AP AB AC + AP Quesito La pendenza della retta tangente in x è la derivata della funzione f in x In questo caso f (x) e x Risolvendo l equazione e x si ottiene log log x Quesito 4 Cambiamo variabile ponendo y 1 x (indipendentemente dal segno) Si ha allora lim 4x sin 1 x x lim 4sin y y 0 y e osserviamo che y 0 se x per un noto limite notevole Quesito 5 Consideriamo un generico cono circolare retto di apotema l 80 cm, e chiamiamo h la sua altezza e r il raggio del cerchio di base Abbiamo quindi h + r l, e il volume del cono espresso in base all apotema e all altezza è 1 hπr π h(l h ) 4
Studiamo la funzione V (x) π x(l x ) per x > 0 Si ha V (x) π (l x ) ed il segno della derivata è positivo se 0 < x < l e negativo se x > l Il massimo si ha perció per x l, e per tale valore di h si ha il volume V max π l (l l ) π 9 l 104000π 9 cm 0litri Quesito Affinché la funzione f(x) cos(x) sia ben definita, è necessario e sufficiente che l argomento della radice sia maggiore o uguale di 0 (si ricordi che il dominio del coseno è l intera retta reale) Imponendo quindi la condizione cos(x) 0 si ottiene che il dominio di f è l insieme degli x R tali che π + kπ x π + kπ, per un qualche k intero relativo Quesito 7 Perché h sia continua in 4 è necessario e sufficiente che i limiti destro e sinistro esistano, siano uguali e coincidano col valore della funzione in 4 È ovvio dalla definizione di h che il limite sinistro esiste ed è uguale a h(4) 0 Calcoliamo il limite destro: lim h(x) lim kx x 1 1k 9 x 4 + x 4 + In particolare il limite destro esiste Possiamo quindi concludere che la funzione è continua in 4 se e solo se 1k 9 0, che è vero se e solo se k 9 1 Questito 8 Il quesito richiede di trovare gli n > interi tali che ( ) ( ) ( ) n n n n n 1 n A tal fine, osserviamo che vale n 1 1!(n 1)! n, n!(n )! n!(n )!, ( n n ) (n )
Dunque dobbiamo risolvere l equazione n (n ) Poiché n è maggiore di, sarà certamente diverso da 0, dunque dividendo per n otteniamo n 1 1 (n 1)(n ) che con semplici passaggi algebrici si riduce a n 9n + 14 0 n 1, Applicando la nota formula risolutiva delle equazioni di secondo grado otteniamo che i valori possibili di n sono n 9 ± 81 5 9 ± 5, dunque le soluzioni sono n e n 7 Di queste, solo n 7 è ammissibile, dunque 7 è l unica soluzione del problema Quesito 9 prima parte Ragioniamo per assurdo e supponiamo che un triangolo ABC come nelle ipotesi esista Chiamiamo H il piede dell altezza tracciata da A sulla retta BC Se H C allora AC AH Altrimenti il triangolo AHC è rettangolo in H, dunque la sua ipotenusa AC è certamente più lunga del suo cateto AH In definitiva abbiamo che in ogni caso vale AC AH (1) Calcoliamo ora il valore di AH Poiché AHB è rettangolo in H e l angolo in B è 45 gradi, sappiamo che AH AB sin(45 ) > 1, 5, 4
avendo usato il fatto che < 1, 5 La disuguaglianza AH > AC contraddice la (1), quindi abbiamo trovato l assurdo seconda parte Sia r una delle rette che passano per B e formano un angolo di 0 gradi con AB Sia H la proiezione di A su di essa Allora vale AH AB sin(0 ) 1 1, 5 Sia ora γ la circonferenza di centro A e raggio Poiché la distanza tra A e r è minore di, la retta r e la circonferenza γ si intersecano in due punti, diciamo C 1 e C Per costruzione, i triangoli ABC 1 e ABC soddisfano le richieste del problema Quesito 10 Sfruttiamo la formula di integrazione di Pappo per calcolare il volume di un solido di rotazione attorno all asse y della regione R data da Vale R { a y b, g(y) x h(y) } Volume π b a h (y) g (y) dy Nel caso in analisi abbiamo 0 y e y x 4, quindi Volume π 1 y 4 dx π ( 15 ) π 18 5 0 5