Precorso di Matematica

Precorso di Matematica Maria Margherita Obertino mariamargherita.obertino@unito.it Davide Ricauda davide.ricauda@unito.ii Obiettivi del precorso: rapido ripasso degli argomenti di base, già trattati nelle scuole superiori, richiesti per seguire con profitto il corso di matematica. MATEMATICA CdS Scienze e Tecnologie Agrarie e Scienze Forestali ed Ambientali

Programma del precorso Cenni agli insiemi numerici Numeri naturali, naturali relativi, razionali, reali, complessi Potenze di dieci Proporzioni Percentuali Algebra dei polinomi Monomi e polinomi Operazioni elementari con monomi e polinomi Raccoglimento a fattor comune Algoritmo per la divisione di due polinomi Divisione con la regola di Ruffini Regola del resto Prodotti notevoli e triangoli di Tartaglia Scomposizione in fattori Equazioni algebriche di I e II grado Equazioni di I grado intere e fratte Equazioni di II grado intere e fratte M. Obertino Sistemi di equazioni Disequazioni algebriche e sistemi di disequazioni Disequazioni di I e II grado intere e fratte Sistemi di disequazioni Valore assoluto Radicali Radicali aritmetici ed algebrici Proprietà ed operazioni con i radicali Razionalizzazione del denominatore e radicali doppi Cenni alle equazioni e disequazioni irrazionali Logaritmi ed esponenziali Logaritmi, proprietà e operazioni Equazioni logaritmiche Equazioni esponenziali D. Ricauda Totale ore: 19 (prime 3 settimane del corso)

M.M.Obertino Matematica - Scienze e Tecnologie Agrarie, Scienze Forestali ed Ambinetali Testo di riferimento R. D Ercole: Precorso di matematica per Economia e Scienze, Pearson à MyMathlab: piattaforma e-learning con numerosi esercizi da svolgere per ciascuno degli argomenti trattati N.B.1: questo testo non è obbligatorio, se avete già altri libri (universitari o delle scuole superiori) che trattano gli argomenti in programma usate quelli! N.B.2: questo non è il testo per il corso di Matematica!

M.M.Obertino Matematica - Scienze e Tecnologie Agrarie, Scienze Forestali ed Ambinetali Piattaforma Moodle Sono disponibili sulla piattaforma Moodle, corso Matematica (AGR0047) le slide utilizzate a lezione la soluzione degli esercizi svolti in classe http://elearning.moodle2.unito.it/disafa/course/view.php?id=64

Programma della prima lezione Cenni sugli insiemi numerici: Numeri naturali, naturali relativi, razionali, reali, complessi à 1.1, 1.2, 1.6 del testo Proprietà delle potenze Potenze di 10 e notazione scientifica

Gli insiemi Un insieme è una collezione di elementi: ben definiti à gli elementi devono obbedire ad un preciso criterio che indica la loro appartenenza all insieme; il criterio deve essere preciso in modo tale da stabilire senza ambiguità l appartenenza all insieme ben separati à non devono esserci elementi non distiguibili l uno dall altro L insieme delle persone alte à non soddisfa la prima condizione, NON è un insieme L insieme delle persone di altezza maggiore di 1.8 m à è un insieme! Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole, i loro elementi con le lettere minuscole Insieme vuoto: insieme privo di elementi [ ]

Rappresentazioni degli insiemi Forma estensiva à si elencano gli elementi dell insieme Es. I = {3,4,5,6} Forma intensiva à si specifica la proprietà caratteristica dell insieme Es. I = {x 2 < x < 7, x N } Rappresentazione grafica à diagrammi di Eulero-Venn I. 4. 3. 6. 5 4 I! 2 I à Appartiene à Non appartiene à Per ogni à Esiste à Esiste ed è unico à Non esiste

Sottoinsiemi Dati due insiemi A e B si dice che B è sottoinsieme di A se. ogni elemento di B appartiene a A B è incluso in A A contiene B Se esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B, B è un sottoinsieme proprio di A

Operazioni fra insiemi Intersezione tra due insiemi A e B: A B = {x x A e x B} insieme di tutti e soli gli elementi appartenenti ad entrambi gli insiemi. Unione tra due insiemi A e B: A B = {x x A o x B} insieme di tutti e soli gli elementi appartenenti ad almeno uno dei due insiemi.

Insiemi numerici

Insieme dei numeri naturali (I) N = {0,1,2,3, n } N 0 = N-{0} Operazioni sempre possibili: addizione moltiplicazione (insieme discreto). m, n N (m + n) N m, n N (m n) N N è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione Sottrazione m, n N (m n) N solo se m n Es. 4 2 N 2 4 N Divisione m, n N (m / n) N solo se m multiplo di n Es. 4 / 2 N 4 / 3 N

Insieme dei numeri naturali (II) Proprietà di addizione e motiplicazione Commutativa: m, n N m + n = n + m m n = n m Associativa m, n, p N (m + n)+ p = m + (n + p) (m n) p = m (n p) Distributiva del prodotto sulla somma m, n, p N (m + n) p = m p + n p Esistenza dello zero m N m + 0 = 0 + m = m Esistenza dell unità m N m 1=1 m = m m, n, p N m + p = n + p m = n Leggi di cancellazione m, n, p N, p 0 m p = n p m = n

N è un insieme totalmente ordinato m, n N, m n,! p N 0 tale che m = n + p o n = m + p m, n N è vera una sola delle seguenti relazioni: m<n m=n m>n N è un insieme induttivo 0 N Insieme dei numeri naturali (III) n N n +1 N m>n m<n L elemento n+1 si dice successivo del numero naturale n

Insieme dei numeri interi relativi (Z) Volendo eseguire la sottrazione senza limitazioni sugli operandi occorre introdurre l insieme dei numeri interi relativi. Z = {.-2, -1, 0,1,2,3, n } N Z (insieme discreto) Valgono le proprietà di somma e prodotto viste in precedenza m, n Z m n Z m Z!m* : m + m* = 0 m* = m Z è un ampliamento di N Modulo o valore assoluto di m [ m ] il numero che si ottiene trascurando il segno Es. -5 = 5 m* è l opposto di m Due numeri opposti hanno lo stesso modulo: es. -5 = 5 = 5

Insieme dei numeri razionali (Q) Volendo eseguire la divisione senza limitazioni sugli operandi occorre introdurre l insieme dei numeri razionali o frazionari Q = { m n m n > 0 m n positivo m n Q : m n opposto m, n Z, n 0 } Q è un insieme denso: fissati arbitrariamente due numeri razionali esiste sempre un numero razionale fra essi compreso n m inverso m n < 0 m n negativo Un numero razionale si può sempre rappresentare come un numero decimale limitato o un numero decimale illimitato periodico: 3 4 = 0.75 65 14 = 4,64285714285714...=4,64285714

Insiemi dei numeri irrazionali I numeri decimali illimitati non periodici costituiscono l insieme dei numeri irrazionali. Numeri irrazionali algebrici: si ottengono come radice di un equazione algebrica a coefficienti interi: a 0 x n + a 1 x n-1 + a n-1 x + a n = 0 Es. 2 =1,4142135623731... con Numeri irrazionali trascendenti: non sono radici di alcuna equazione algebrica Es. π = 3,14159265358 e = lim (1+ 1 n n )n = 2,71828... rapporto tra la circonferenza e il suo diametro numero di Nepero a 0,...a n Z, n N, a 0 0 Il numero di Nepero è collegato con la funzione esponenziale e con la funzione logaritmo naturale.

Insiemi dei numeri reali (R) L unione dell insieme dei numeri razionali Q e dei numeri irrazionali costituisce l insieme dei numeri reali R R= Q + {Irrazionali} Se su una retta si fissano: un orientamento un punto O (origine) a cui si associa il valore 0 a destra di O, un altro punto U (punto unità) a cui si associa il valore 1 0 U 2U 3U viene definita una corrispondenza biunivoca fra tutti i punti della retta ed i numeri reali: à ad ogni punto di tale retta corrisponde uno e un solo numero reale. Tale numero (detto ascissa del punto) in valore assoluto individua la distanza dall'origine nell'unità di misura scelta, inoltre è positivo se il punto si trova a destra di O e negativo altrimenti. à ad ogni numero reale corrisponde uno e un solo punto della retta R è un insieme completo

Insiemi dei numeri complessi (C) L operazione di estrazione di radice non ha sempre soluzione in R Es. R C 2 R non esiste b R b 2 = 2 Parte reale C = {a + ib a, b R} Unità Immaginaria: i = 1 R Parte immaginaria

Le potenze Si dice potenza di un numero il prodotto di più fattori tutti uguali al quel numero. a n = a a a... a Es. 2 3 = 2x2x2 = 8 a à base n à esponente a 0 =1 a 1 = a a n = 1 a n n volte Es. 6 0 = 1 10 0 = 1. Es. 6 1 = 6 10 1 = 10. Es 6 3 = 1 6 3 = 1 6 6 6 = 1 216 N.B. Quando si porta una potenza da sopra a sotto la linea di frazione (e viceversa) si deve cambiare segno all esponente!

Proprietà delle potenze 1. Prodotto di potenze con stessa base e diverso esponente Es. 2 3 x 2 5 x 2-4 x 2 2 = 2 3+5-4+2 = 2 6 a n a m a p = a n+m+p a n b n c n = (a b c) n Es. 3 3 x 2 3 x 7 3 x 5 3 = (3x2x7x5) 3 = 210 3 N.B. La somma degli esponenti è algebrica! 2. Prodotto di potenze con base diversa e stesso esponente 3. Potenza di potenza Es. (2 4 ) 3 = 2 12 (a n ) m = a nm

Proprietà delle potenze 4. Rapporto di potenze con stessa base e diverso esponente Es. a n a m = an a m = a n m 5 4 5 = 7 54 5 7 = 5 4 7 = 5 3 = 1 5 = 1 3 125 5. Rapporto di potenze con base diversa e stesso esponente Es. 14 3 7 3 = (14 7 )3 = 2 3 = 8 a n b n = (a b )n

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 3 4 1 1 2 2 ( )( ) 2 2 + 2 = ( ) 3 + ( ) 3 2 3 = 4 8 1 1 2 2 1 3 3 5 ( 3) = 1 2 1 2 3 = = = 1 3 3 [ 53 5 5 5 2 5 4 + 3 23 2 (2 2 ) 2 ] Esercizi 1 R. = 128 [ R. = 8] [ R. = 216] [ R. =16] [ R. = 9] [ R. = 64] [ R. =1]

È l operazione inversa dell elevamento a potenza: n a a = radicando n = indice Radice di un numero è quel numero la cui potenza n-esima è uguale ad a: ( n ) n n n a = a a! ( n volte) = a la radice di indice pari di un numero negativo non esiste la radice di indice dispari di un numero esiste ed è unica esistono sempre due radici di indice pari di un numero positivo 4 3 3 8 = 2 ; 27 = 3 25 = ±5 Una potenza con esponente frazionario è uguale ad un radicale che ha per indice il denominatore della frazione: m a n = a n/m

Parte numerica: numero compreso tra 1 e 9,999.. Notazione scientifica Un qualunque numero reale può essere scritto in notazione scientifica, ossia come un numero compreso tra 1 (incluso) e 10 (escluso) moltiplicato per una potenza di 10. 10 0 = 1 10 1 = 10 10 2 = 10 10 = 100. 10 6 = 1000000 5.213 10-7 à 5.213 10-7 = 5.213 0.0000001 = 0.0000005213 Potenza di 10: lʼ esponente rappresenta il numero di posti decimali di cui occorre spostare la virgola 10-1 = 1/10 1 = 0,1 10-2 = 1/10 2 = 0,01 10-3 = 1/10 3 = 0,001. 10-6 = 0,000001.

Convertire da notazione scientifica a notazione ordinaria Il prodotto di un numero per una potenza 10 n con esponente positivo si ottiene dal numero iniziale spostandone la virgola di n posizioni verso destra Esempi: 3 10 = 3,000 10 1 = 30 1,5 10 2 = 1,5000 10 2 = 150 1,543 10 4 = 1,54300 10 4 = 15430 Il prodotto di un numero per un potenza 10 -n con esponente negativo, si ottiene invece spostando la virgola del numero iniziale di n posizioni verso sinistra. Esempi: 3 10-1 = 3/10 1 = 3/10 =0,3 1,5 10-2 = 1,5/100 = 0,015 1,5 10-4 = 0,00015

Convertire da notazione ordinaria a notazione scientifica Se il numero è M 10: sposto la virgola verso sinistra fino ad ottenere un numero m tale che 1 m<10 scrivo M = m 10 n con n numero di posizioni di cui ho spostato la virgola Esempio: 160000 = 1,6 10 5 Se il numero è M <1: sposto la virgola verso destra fino ad ottenere un numero m tale che 1 m<10 scrivo M = m 10 -n con n numero di posizioni di cui ho spostato la virgola Esempio: 0,00000175 = 1,75 10-6

Esercizi Convertire da notazione decimale a notazione scientifica (o viceversa) i seguenti numeri: 0,035 = 324000 = 0,000742 = 9450000 = 7,16 10 7 = 3.2 10-5 =