Ottavio Serra Esercizi di calcolo Funzioni invertibili Una funzione f: A B iniettiva e suriettiva è biunivoca e perciò invertibile. Ricordo che f è iniettiva se per tutti gli, y di A, f() = f(y) implica = y; f è suriettiva se f(a) = B (l immagine del dominio uguaglia ilcodominio). Posto y = f(), l inversa di f, in simboli f -, applica B in A e risulta f - (y) = se f() = y. Esempio: y = f() = 3 è biunivoca su R e risulta = f - (y) = 3 y. L uso è di indicare la variabile indipendente con, perciò f - () = y = 3. Una condizione necessaria per l invertibilità di f è la sua monotonia ( f sempre crescente o sempre decrescente in A). Questa condizione è anche sufficiente se A è un intervallo. Per esempio, f() = tang() è monotona crescente nel suo dominio, A =R - n, tuttavia non è invertibile in A perché tang() = tang( + np). N La tangente non è una funzione iniettiva. Restrizione del dominio e invertibilità. Si consideri la funzione elevazione al quadrato. f() = applica R sul semiasse delle y non negative, però non è iniettiva ( opposte hanno lo stesso quadrato). Però lo è la sua restrizione al semiasse delle non negative. In tal caso la f() = è invertibile e f - () = 3. Y= Le funzioni circolari inverse. Y= L arcoseno è la restrizione della funzione seno al dominio [, ].
ArcSen : [-,] [, ]. Y=sen() Y=arcsen() Analogamente, la restrizione del cosenoall intervallo [0, ] permette l inversione : ArcCos() : [-, ] [0, ]. Y=cos()
Y=arcos() Per invertire la funzione tangente occorre restringerne il dominio all intervallo (aperto) ], [. L arcotangente applica R ], [. Y=tang() Y=arctang() Riporto infine il grafico dell arcocotantente dopo opportuna restrizione del dominio della cotangente. 3
Y=cotg() Y=arccotg() Si noti che i grafici di una f invertibile e della sua inversa sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante; ciò è ovvio, ove si pensi che si passa da una funzione alla sua inversa scambiando la con la y. Se poi il grafico di una funzione interseca l asse, per gli stessi punti deve passare il grafico della funzione inversa. Un modo alternativo di vedere le cose è il seguente: si passa dal grafico di f al grafico di f - ruotando il foglio ( la lavagna!!) di 90 in senso positivo (antiorario) e poi ribaltandolo rispetto rispetto al nuovo asse delle ordinate. Esercizi. ) Disegnare nello stesso riferimento cartesiano il grafico di una funzione esponenziale di base e della sua inversa (log ) dopo aver precisato dominio e codominio. ) Lo stesso esercizio con base ½. 3) Calcolare arcsen(/), arcsen(-/), arctan(), arctan(tang(3/7), arcsen(cos(3/4)). 4) Calcolare (senza calcolatrice) ArcSen(/3)+ArcCos(/3). sen( ) 5) Misurando gli angoli in gradi (sessagesimali), quanto fa lim? 0 Derivate delle funzioni inverse. Sia y=f() derivabile in 0 con f ( 0 ) diversa da zero. Se f è invertibile, f - è derivabile in d y 0 =f( 0 ) e risulta: f ( y 0). dy d f( 0 ) d f Infatti,. Siccome f è derivabile, è continua e perciò y tende a zero con. y y y Esempi. Sia y=arctang(); =tang(y) => d tang(y)/dy = +tang (y), da cui d(arctang())/d = /(+tang (y)) = /(+ ). 4
Analogamente si trova d arcsen ( ) d e d arccos( ) d. E ancora: d arc cot g ( ) d.. Esercizi. ) Il fatto che la somma delle derivate di arcsen() e arccos() sia zero, implica che nell intersezione dei loro domini, cioè in [0,/] arcsen()+arccos() sia costante. Calcolare il valore di tale costante, giustificando il risultato. ) Ripetere l esrcizio per arctang()+arccot(). 3) Dimostrare che arcsen() = arctan( ). 4) Esprimere in funzione di arctan anche arccos() e arccot(): 5) Esprimere in funzione di arcsen le altre funzioni circolari inverse. 6) Dimostrare che f()= 3 + è invertibile in R e calcolare la derivata di f - (y) per y= e per y=0. e e 7) Calcolare la derivata dell inversa di f()=, invertibile su tutto l asse reale. Verifica- re poi che y Ln ( ) è l inversa della funzione f e verificare la derivata trovata. 8) Verificare che f ( ) 3 non è invertibile nel suo dominio, pur essendo in esso sempre crescente per aver derivata positiva, mentre lo è la sua restrizione al semiasse positivo delle. Verificare poi che il grafico di f - ha tangente di flesso orizzontale nel punto (,). 9) La funzione f ( ) non è invertibile nel suo dominio ] 0, [. Lo è per, con compreso tra ½ e ¾. Calcolare la derivata di f - nel punto y=+. e e 0) La restrizione della f()= all intervallo [0, [ è invertibile. Calcolare esplicitamente f - () e verificare che vale il teorema di derivazione delle funzioni inverse. ) Se f - è l inversa di f: AB, che cosa rappresentano le funzioni composte f - f e f f -? 5