Corso di Laurea Triennale in Matematica Corso di Calcolo delle Probabilità 1 A. A. 4/5 a prova in itinere 8/6/5docenti G. Nappo, F. Spizzichino La prova scritta consiste nello svolgimento degli Esercizi 1 e e di uno, a scelta dallo studente, fra gli esercizi e 4. tempo a disposizione: ore Scrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le risposte devono essere giustificate sui fogli protocollo e riportate nel foglio RISPOSTE. Esercizio 1. X è una variabile aleatoria tale che, per un opportuna costante α >, ammette una densità della forma a Determinare il valore di α. x α per α x fx = x α per x α per x > α b Calcolare il valore atteso e la varianza di X. c Calcolare P { X > α }. Esercizio. Un ristorante in cui è obbligatoria la prenotazione propone i tre menù M 1, M, M al costo di 14 Euro, 1 Euro e 4 Euro, rispettivamente. Si suppone che ciascun cliente scelga fra M 1, M e M con probabilità 1, 1 ed 1 6, rispettivamente; si suppone inoltre che vi sia indipendenza stocastica fra le scelte dei diversi clienti. Per la serata sono prenotati clienti ed indichiamo con S l incasso in Euro che verrà realizzato complessivamente dal ristorante nella serata. a Determinare il valore atteso e la varianza di S b Calcolare l approssimazione normale per le probabilità b1 P {5 S 7} b P {S > 8}. Esercizio. Riprendendo le posizioni del precedente Esercizio, indichiamo con X j il numero di clienti che scelgono il menù M j per j = 1,,. Scrivere le formule per il calcolo delle seguenti probabilità a P X 1 = 15, X = 4, X = 1 b P X 1 = 15 c P X = 4 X 1 = 15. 1
Esercizio 4. Consideriamo un gioco d azzardo eseguito con due monete non perfette: una moneta dà risultato testa con probabilità, 4 e l altra dà risultato testa con probabilità, 6. Viene scelta una moneta, e poi la moneta scelta sempre la stessa viene lanciata tre volte consecutivamente. Si vincono 1 Euro se si presentano almeno due risultati testa consecutivi; si vincono 5 Euro se si presentano esattamente due risultati testa non consecutivi; non si vince nulla negli altri casi. a1 Calcolare la probabilità di vincere 1 Euro nel caso in cui si scelga la moneta più favorevole b1 Calcolare il valore atteso della vincita, ancora nel caso in cui si scelga la moneta più favorevole. a Calcolare la probabilità di vincere 1 Euro nel caso in cui la moneta viene scelta a caso fra le due. b Calcolare il valore atteso della vincita, ancora nel caso in cui la moneta viene scelta a caso fra le due. c facoltativo Sempre nel caso in cui la moneta sia stata scelta a caso fra le due, si calcoli la probabilità che esca testa al secondo lancio, sapendo che il risultato del primo lancio è stato testa.
Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità 1 Seconda prova in itinere, mercoledì 8 giugno 5 - FOGLIO RISPOSTE NOME E COGNOME... docente G. Nappo F. Spizzichino Esercizio 1. a α=... b EX =... V arx =... c P { X > α } =... Esercizio. a ES =... V ars =... b1 P {5 S 7}... b P {S > 8}... Esercizio. a P X 1 = 15, X = 4, X = 1 =... b P X 1 = 15 =... c P X = 4 X 1 = 15 =... Esercizio 4. a1 Probabilità di vincere 1 Euro =...scelta la moneta più favorevole b1 Valore atteso della vincita =... scelta la moneta più favorevole a Probabilità di vincere 1 Euro =...scelta a caso delle monete b Valore atteso della vincita =... scelta a caso delle monete c facoltativo p c =...
Corso di Laurea Triennale in Matematica Corso di Calcolo delle Probabilità 1 A. A. 4/5 Soluzioni della a prova in itinere 8/6/5docenti G. Nappo, F. Spizzichino Esercizio 1. X è una variabile aleatoria tale che, per un opportuna costante α >, ammette una densità della forma x α per α x fx = x α per x α per x > α a Determinare il valore di α. Soluzione: α = 1 Infatti α va determinato in modo che f sia una densità di probabilità, ossia in modo che i fx per ogni x e questo è automaticamente soddisfatto, e che ii + fx dx = 1, ossia, nel nostro caso + fx dx = +α b Calcolare il valore atteso e la varianza di X. α +α 1 α x dx = 1 α x dx = 1 α α x = 1 α α = α = 1 Soluzione: EX = e V arx = 1 Infatti EX = in quanto la densità è simmetrica rispetto all origine e X ammette sicuramente valore atteso finito, in quanto X 1. Alternativamente + +1 EX = x fx dx = x x dx = x dx + 1 1 = 1 + 1 = 1 + 1 = Di conseguenza V arx = EX e quindi V arx = EX = c Calcolare P { X > α }. = + x fx dx = 1 4 4 = 1 Soluzione: P { X > α } = P { X > 1 } = 4 Infatti P { X > 1 } = 1 P { X 1 } = 1 1 1 +1 1 1 x x dx = x dx = 1 [ ] x x dx = 1 + [ x [ ] x 4 1 4 1 x dx = 1 x dx = 1 [x ] 1 = 1 1 = 4 ] 1 4
Esercizio. Un ristorante in cui è obbligatoria la prenotazione propone i tre menù M 1, M, M al costo di 14 Euro, 1 Euro e 4 Euro, rispettivamente. Si suppone che ciascun cliente scelga fra M 1, M e M con probabilità 1, 1 ed 1 6, rispettivamente; si suppone inoltre che vi sia indipendenza stocastica fra le scelte dei diversi clienti. Per la serata sono prenotati clienti ed indichiamo con S l incasso in Euro che verrà realizzato complessivamente dal ristorante nella serata. a Determinare il valore atteso e la varianza di S Soluzione: ES = 6 e V ars = 4 Infatti per iniziare si noti che S si può pensare come la somma di duecento variabili aleatorie V i, dove V i rappresenta il prezzo del menù scelto dal cliente i-simo. Dai dati del problema si ha che V i può assumere i valori 14, 1 e 4, con per cui P V i = 14 = 1, P V i = 1 = 1, P V i = 4 = 1 6, ES = EV 1 + + V = EV 1 + + EV = EV 1 = 14 1 + 1 1 + 4 1 6 = 7 + 7 + 4 = 18 = 6. Inoltre, sempre dai dati del problema sappiamo che le variabili V i sono indipendenti e quindi V ars = V arv 1 + + V = V arv 1 + + V arv = V arv 1 = EV1 EV 1 14 1 = + 1 1 + 4 1 6 18 14 = 7 + 1 7 + 4 4 18 = 5 7 + 96 81 4 = 5 49 + 96 4 = 45 + 96 4 = 41 4 = 17 = 4 b Calcolare l approssimazione normale per le probabilità b1 P {5 S 7} b P {S > 8}. Soluzione: P {5 S 7}, 918 e P {S > 8},. Infatti P {5 S 7} = P { 5 6 4 S 6 4 7 6 4 } = P { 1 4 S 6 4 1 Φ 1 5,8 Φ 1 5,8 4 } = Φ 1 5,8 1 Φ1, 71 1 =.9564 1 =, 918 5
Invece P {S > 8} = P { S 6 4 > 8 6 4 } = 1 P { S 6 4 4 } 1 Φ 5,8 = 1 Φ, 4 = 1.9997 =, Esercizio. Riprendendo le posizioni del precedente Esercizio, indichiamo con X j il numero di clienti che scelgono il menù M j per j = 1,,. Scrivere le formule per il calcolo delle seguenti probabilità a P X 1 = 15, X = 4, X = 1 Soluzione: Si tratta di prove indipendenti a tre esiti: quindi la distribuzione congiunta di X 1, X, X è una distribuzione multinomiale e P X 1 = 15, X = 4, X = 1 = b P X 1 =! 15! 4! 1! 1 15 1 4 1 1 6. Soluzione: Si tratta di prove indipendenti a due esiti menù da 14 Euro con probabilità 1 o no: quindi la variabile X 1 ha distribuzione binomiale di parametri n = e p = 1, così P X 1 = 15 = c P X = 4 X 1 = 15. Soluzione: P X = 4 X 1 = 15 = 5! 4! 1! Infatti 15 1 4 1 1. P X = 4 X 1 = 15 = P X 1 = 15, X = 4 P X 1 = 15! 1 15 1 4 1 1 15! 4! 1! = 6! 1 = 5! 4! 1! 15! 5! =! 15! 5! 1 = P X1 = 15, X = 4, X = 1 P X 1 = 15 1 4 1 1 6 1 5 = 5! 4 1 1 4! 1! Esercizio 4. Consideriamo un gioco d azzardo eseguito con due monete non perfette: una moneta dà risultato testa con probabilità, 4 e l altra dà risultato testa con probabilità, 6. Viene scelta una moneta, e poi la moneta scelta sempre la stessa viene lanciata tre volte consecutivamente. Si vincono 1 Euro se si presentano almeno due risultati testa consecutivi; si vincono 5 Euro se si presentano esattamente due risultati testa non consecutivi; non si vince nulla negli altri casi. 6
a1 Calcolare la probabilità di vincere 1 Euro nel caso in cui si scelga la moneta più favorevole Soluzione: La probabilità cercata vale.54. Infatti, posto X la variabile aleatoria che rappresenta la vincita, T i = {esce testa all i-simo lancio}, per i = 1,,, ed infine posta P 1 la probabilità nel caso in cui venga scelta la moneta più favorevole P 1 X = 1 = P 1 T 1 T T + P 1 T 1 T T + P 1 T 1 T T = P 1 T 1 P 1 T P 1 T + P 1 T 1 P 1 T P 1 T + P 1 T 1 P 1 T P 1 T =.6.4 +.4.6 +.6 =.6.4 +.4 +.6 =.6 1.4 =.54 b1 Calcolare il valore atteso della vincita, ancora nel caso in cui si scelga la moneta più favorevole. Soluzione: Il valore atteso cercato vale 5.76. Infatti in modo analogo si ha che 1 e quindi P 1 X = 5 = P 1 T 1 T T = P 1 T 1 P 1 T P 1 T =.6.4.6 =.6.4 =.6.4 =.144 E 1 X = P 1 X = + 5 P 1 X = 5 + 1 P 1 X = 1 = 5.144 + 1.54 =.7 + 5.4 = 5.76 a Calcolare la probabilità di vincere 1 Euro nel caso in cui la moneta viene scelta a caso fra le due. Soluzione: La probabilità cercata vale.8. Infatti posto A 1 = {viene scelta la moneta più favorevole} e A = {viene scelta la moneta meno favorevole} si ha P X = 1 = P A 1 P X = 1 A 1 + P A P X = 1 A, 1 In modo analogo si può calcolare anche P 1X = : P 1X = = P 1T 1 T T + P 1T 1 T T + P 1T 1 T T + P 1T 1 T T = P 1T 1P 1T P 1T + P 1T 1P 1T P 1T + P 1T 1P 1T P 1T + P 1T 1P 1T P 1T =.4.6 +.4 =.4.6 +.4 =.16. =.5 Tuttavia va notato che questo calcolo non è necessario per due motivi: prima di tutto perché il valore di P 1X = non interviene nel calcolo per ottenere il valore atteso di X, e poi perché comunque il valore di P 1X = si può ottenere P 1X = = 1 P 1X = 5 P 1X = 1 = 1.144.54 = 1.648 =.5 7
con P A 1 = P A = 1 e con P X = 1 A 1 = P T 1 T T A 1 + P T 1 T T A 1 + P T 1 T T A 1 = P T 1 A 1 P T A 1 P T A 1 + P T 1 A 1 P T A 1 P T A 1 + P T 1 A 1 P T A 1 P T A 1 =.6.4 +.4.6 +.6 =.6.4 +.4 +.6 =.6 1.4 =.54 del resto P X = 1 A1 = P 1 X = 1, mentre P X = 1 A = P T 1 T T A + P T 1 T T A + P T 1 T T A e quindi = P T 1 A P T A P T A + P T 1 A P T A P T A + P T 1 A P T A P T A =.4.6 +.6.4 +.4 =.4.6 +.6 +.4.16 1.6 =.56 P X = 1 = P A 1 P X = 1 A 1 + P A P X = 1 A = 1.54 + 1.56 = 1.76 =.8 b Calcolare il valore atteso della vincita, ancora nel caso in cui la moneta viene scelta a caso fra le due. Soluzione: Il valore atteso cercato vale 4.4. Infatti si deve calcolare EX = P X = + 5 P X = 5 + 1 P X = 1 = 5.1 + 1.8 =.6 +.8 = 4.4 in quanto P X = 5 = P A 1 P X = 5 A 1 + P A P X = 5 A = 1 P T 1 T T A 1 + 1 P T 1 T T A = 1 P T 1 A 1 P T A 1 P T A 1 + 1 P T 1 A P T A P T A = 1.6.4 + 1.4.6 = 1.4.6.6 +.4 = 1.4 =.1 c facoltativo Sempre nel caso in cui la moneta sia stata scelta a caso fra le due, si calcoli la probabilità che esca testa al secondo lancio, sapendo che il risultato del primo lancio è stato testa. Soluzione: La probabilità cercata vale.5. Infatti P T T 1 = P T T 1 P T 1 = = P A 1P T 1 T A 1 + P A P T 1 T A P A 1 P T 1 A 1 + P A P T 1 A 1.6 + 1.4 1.6 + 1.4 =.6 +.16 =.5 8