La trasformata Z (Metodi Matematici e Calcolo per Ingegneria) Enrico Bertolazzi DIMS Università di Trento anno accademico 2008/2009 La trasformata Z 1 / 33
Outline 1 La trasformata Z 2 Trasformazioni di segnali elementari Impulso unitario ed Heaviside discreta Esponenziale Shift Il segnale n k e il coefficiente binomiale convoluzione di due segnali I segnali cos ωn e sin ωn I segnali polinomiali 3 Tabella delle trasformate 4 Altre proprietà notevoli 5 Antitrasformata Z 6 Esempio: successione di Fibonacci La trasformata Z 2 / 33
La trasformata Z Definizione La trasformata Z si applica a segnali discreti causali. Un segnale discreto si denota con varie notazioni: f n : n = 0, 1, 2,... f[n] : n = 0, 1, 2,... f(n) : n = 0, 1, 2,... La trasformata è definita come: Z {f n } (z) = f n z n Una notazione più leggera della Z-trasformata è la seguente: Z {f n } (z) f(z) La trasformata Z 3 / 33
La trasformata Z La trasformata Z Utilità: è usata nell analisi dei segnali digitali; trasforma Equazioni alle differenze Equazioni algebriche Analogia con il logaritmo: a log a a b log a + log b cioè il logaritmo trasforma i prodotti in somme che sono più facili da maneggiare. La trasformata Z 4 / 33
La trasformata Z Linearità della Z-trasformata Siano f n e g n due segnali discreti ed α e β due scalari Z {αf n + βg n } (z) = (αf n + βg n )z n = α f n z n + β g n z n = αz {f n } (z) + βz {g n } (z) La trasformata Z 5 / 33
Impulso unitario Impulso unitario ed Heaviside discreta L impulso unitario è definito come segue { 1 se n = 0, δ n = 0 se n > 0, La sua trasformata si calcola immediatamente Z {δ n } (z) = δ n z n = 1 La trasformata Z 6 / 33
Heaviside discreta o gradino Impulso unitario ed Heaviside discreta Il gradino unitario è definito come segue 1 = {1} La sua trasformata si calcola immediatamente Z {δ n } (z) = 1 n z n = = z n 1 1 z 1 = z z 1 La trasformata Z 7 / 33
Esponenziale Esponenziale Trasformata del segnale esponenziale a n Z {a n } (z) = = a n z n = ( a ) n z 1 1 a/z = z z a Trasformata del prodotto per l esponenziale a n Z {a n f n } (z) = f n a n z n = ( z = Z {f n } a) ( z f n a ) n La trasformata Z 8 / 33
Shift Shift (Anticipo temporale) (1/2) La trasformata Z 9 / 33
Shift Shift (Anticipo temporale) (2/2) Trasformata del segnale traslato f n+k con k > 0 intero Z {f n+k } (z) = f n+k z n = z k f n+k z (n+k) k 1 = z k f n z n z k f n z n ) k 1 = z (Z k {f n } (z) f n z n Osservazione: In analogia con la derivazione nella trasformata di Laplace ci sono le condizioni iniziali nella trasformata. La trasformata Z 10 / 33
Shift Shift (Ritardo temporale) (1/2) La trasformata Z 11 / 33
Shift Shift (Ritardo temporale) (2/2) Trasformata del segnale traslato f n k con k > 0 intero Z {f n k } (z) = f n k z n = z k f n k z (n k) = z k f n z n = z k Z {f n } (z) Osservazione: A differenza della trasformata di Laplace qui non ci sono le condizioni iniziali nella trasfromata. Perche? La trasformata Z 12 / 33
Il segnale n k Il segnale n k e il coefficiente binomiale (1/2) Il segnale n k è definito come segue: Casi particolari: n 0 = 1; n 1 = n. Osservando che n k = n(n 1)(n 2) (n k + 1) d k dw k wn = n(n 1)(n 2) (n k + 1)w n k Possiamo scrivere Z {n k } (1/w) = n k w n = w k dk dw k w n La trasformata Z 13 / 33
Il segnale n k Il segnale n k e il coefficiente binomiale (2/2) La trasformata vale: Z {n k } (1/w) = w k dk 1 dw k 1 w = w k dk 1 (1 w) 2 = dwk 1 = w k dk (1 w) 1 dwk w k 2 dk 2 (1 w) 3 dwk 2 = w k 2 3 dk 3 dw k 3 (1 w) 4 = = = w k k! (1 w) k+1 e sostituendo z = 1/w otteniamo Z {n k } (z) = z k! (z 1) k+1 La trasformata Z 14 / 33
Il segnale coefficiente binomiale Il segnale n k e il coefficiente binomiale Il segnale è definito come segue: ( ) n n! = k (n k)!k! Casi particolari: ( n ) 0) = 1; = n. ( n 1 Osservando che ( ) n = n k k k! Possiamo scrivere Z {( )} n (z) = k z (z 1) k+1 La trasformata Z 15 / 33
convoluzione di due segnali Z-trasformata della convoluzione (1/2) La convoluzione di due segnali f n e g n è definita come segue (f g) n = n f k g n k k=0 Per la trasformata della convoluzione (f g)(z) = Z {(f g) n } (z) vale la seguente notevole proprietà: (f g)(z) = f(z) g(z) La trasformata Z 16 / 33
convoluzione di due segnali Z-trasformata della convoluzione (2/2) La trasformata vale n Z {(f g) n } (z) = f k g n k z n k=0 = 1 n k f k g n k z (n k) z k = = k=0 ( ) f k z k 1 n k g n k z (n k) k=0 ( ) f k z k g n z n k=0 = f(z) g(z) La trasformata Z 17 / 33
Il segnale cos ωn I segnali cos ωn e sin ωn Usando l uguaglianza 2 cos α = e iα + e iα dove i è l unità immaginaria nel campo complesso, possiamo calcolare: Z {cos ωn} (z) = = 1 2 cos ωn z n = 1 2 (e iω z 1 ) n + 1 2 (e iωn + e iωn )z n (e iω z 1 ) n = 1 1 2 1 e iω z 1 + 1 1 2 1 e iω z 1 = z z e iω + z e iω 2 (z e iω )(z e iω ) = z 2 z cos ω z 2 2z cos ω + 1 La trasformata Z 18 / 33
Il segnale sin ωn I segnali cos ωn e sin ωn Usando l uguaglianza 2i sin α = e iα e iα dove i è l unità immaginaria nel campo complesso, possiamo calcolare: Z {sin ωn} (z) = sin ωn z n = 1 2i = 1 2i (e iω z 1 ) n 1 2i (e iωn e iωn )z n (e iω z 1 ) n = 1 1 2i 1 e iω z 1 1 1 2i 1 e iω z 1 = z z e iω z + e iω 2i (z e iω )(z e iω ) = z sin ω z 2 2z cos ω + 1 La trasformata Z 19 / 33
Il segnale n k I segnali polinomiali (1/2) Usando l uguaglianza z d dz z n = nz n e applicandola k volte otteniamo ( z d ) k ( z n = z d ) dz dz ( } {{ } k volte z d ) z n = n k z n dz usando questa uguaglianza nella trasformata Z { f n n k} (z) otteniamo { Z f n n k} ( (z) = f n n k z n = f n z d ) k z n dz = ( z d dz ) k f n z n = ( 1) k ( z d dz ) k Z {f n } (z) La trasformata Z 20 / 33
Il segnale n k I segnali polinomiali (2/2) Usando la regola Z {f n n k} ( (z) = ( 1) k z d ) k Z {f n } (z) dz e applicandola con f n = 1 n otteniamo Z {n k} ( (z) = ( 1) k z d ) k Z {1 n } (z) dz = ( 1) k ( z d dz ) k z z 1 La trasformata Z 21 / 33
I segnali polinomiali Una trasformata importante (1/2) Riconsideriamo il segnale n k = n(n 1) (n k + 1) ed osserviamo che ( ) d k z (n k+1) = ( 1) k n k z n 1 dz usando questa uguaglianza possiamo scrivere Z {f n k n k } (z) = = f n k n k z n ( ) d k f n k ( 1) k z z (n k+1) dz ( d = ( 1) k z dz ) k [ 1 z ] f n k z (n k) La trasformata Z 22 / 33
I segnali polinomiali Una trasformata importante (2/2) Osservando che f n = 0 per n < 0 otteniamo Riconsideriamo il segnale n k = n(n 1) (n k + 1) ed osserviamo che ( ) [ ] d k Z {f n k n k } (z) = ( 1) k 1 z f m z m dz z m= k ( ) d k [ ] 1 = ( 1) k z dz z Z {f n} (z) La trasformata Z 23 / 33
Tabella delle trasformate Tabella delle Trasformate (1/2) δ n 1 z 1 n z 1 a n z z a ( z a n f n f a) ( ) n a n a k z k (z a) k+1 n k f n ( 1) k( z d ) k f(z) dz La trasformata Z 24 / 33
Tabella delle trasformate Tabella delle Trasformate (2/2) ( k 1 ) f n+k z k f(z) f j z j j=0 f n k z k f(z) (f g) n f(z) g(z) a n sin ωn a n cos ωn f n k n k za sin ω z 2 2za cos ω + a 2 z 2 za cos ω z 2 2za cos ω + a 2 ( 1) k z dk ( 1 dz k z f(z) ) La trasformata Z 25 / 33
Altre proprietà notevoli Teorema del valore iniziale e finale Teorema (Teorema del valore finale) Se un segnale f n raggiunge un limite costante, cioè lim n f n = f allora vale z f = lim n (z) z 1 z 1 f Teorema (Teorema del valore iniziale) f 0 = lim f n (z) z La trasformata Z 26 / 33
Antitrasformata Z Forma standard della Z-trasformata In molte applicazioni la Z-trasformata si può normalmente scrivere nella forma: G(z) z = P (z) Q(z) = dove p i p j se i j. b 0 + b 1 z + b 2 z 2 + + b m z m (z p 1 ) m 1 (z p2 ) m 2 (z pn ) mn Possiamo sempre assumere che P (z) < Q(z). Come nel caso sella trasformata di Laplace possiamo decomporre la trasformata in fratti semplici: G(z) z = m n j j=1 k=1 α jk (z p j ) k La trasformata Z 27 / 33
Antitrasformata Z Formula esplicita della soluzione Avendo scritto G(z) come somma di fratti semplici come segue G(z) = m n j j=1 i=1 α ji z (z p j ) i formalmente l inversa diventa consultando la tabella delle trasformate: G n = m n j α ji n i 1 p n j j=1 i=1 Il problema di questa espressione è che se p j è un numero complesso il termine corrispondente è una funzione a valori complessi della quale non abbiamo definito la Z-trasformata. In ogni caso essendo le radici complesse coniugate si può comunque usare questa espressione che produce una successione reale. La trasformata Z 28 / 33
Esempio: successione di Fibonacci Esempio: successione di Fibonacci (1/3) La successione è definita ricorsivamente da F n+2 = F n+1 + F n, F 0 = F 1 = 1 Attenzione, se non si vogliono perdere le condizioni iniziali usare sempre lo shift in avanti Applicando la Z-trasformata e la regola dello shift z 2 F (z) F0 z 2 F 1 z = z F (z) F 0 z + F (z) Risolvendo rispetto alla trasformata F (z) = F 0z 2 + (F 1 F 0 )z z 2 z 1 ponendo le condizioni iniziali: F 0 = F 1 = 1 F (z) = z 2 z 2 z 1 La trasformata Z 29 / 33
Esempio: successione di Fibonacci Esempio: successione di Fibonacci (2/3) dalla decomposizione z 2 z 1 = (z z 1 )(z z 2 ), z 1 = 1 + 5, z 2 = 1 5 2 2 Dalla espansione in fratti semplici F (z) z = z z 2 z 1 = A z z 1 + B z z 2 dove A = (5 + 5)/10 e B = (5 5)/10, si ottiene F (z) = Az z z 1 + Bz z z 2 La trasformata Z 30 / 33
Esempio: successione di Fibonacci Esempio: successione di Fibonacci (3/3) Usando la trasformazione Z {a n } (z) = z/(z a) otteniamo sostituendo z 1 = 1 + 5 2 si ottiene F n = 5 + 5 10, z 2 = 1 5 2 ( = 1 5 ( F n = Az n 1 + Bz n 2, A = 5 + 5, B = 5 5 10 10 1 + ) n 5 + 5 ( 5 1 ) n 5 2 10 2 1 + ) n+1 ( 5 1 2 5 1 ) n+1 5 2 La trasformata Z 31 / 33
Esempio: successione di Fibonacci Perchè bisogna usare lo shift in avanti? Consideriamo la successione di fibonacci definita come F n = F n 1 + F n 2, F 0 = F 1 = 1 Qualunque sia la soluzione F n gli shift G n = F n 1 e H n = F n 2 sono tali che G 0 = 0 e H 0 = 0. Questo implica che F 0 = G 0 + H 0 = 0 cioè le condizioni iniziali di fatto sono fissate e sono poste a zero. In pratica lo shift in avanti si può usare se le condizioni iniziali si sa già che sono tutte nulle. Una alternativa è usare la trasformata Z bilatera Z {f n } (z) = n= f n z n lim N N n= N f n z n La trasformata Z 32 / 33
Riferimenti Riferimenti Joel L. Schiff The Laplace Transform, theory and applications Springer-Verlag, 1999. U. Graf Applied Laplace Transforms and z-transforms for Scientists and Engineers Birkhäuser, 2004. Anthony C. Grove An Introduction to the Laplace Transform and the Z Transform Prentice Hall, 1991. La trasformata Z 33 / 33