TRIGONOMETRIA E RISOLUZIONE DI TRIANGOLI

TRIGONOMETRIA E RISOLUZIONE DI TRIANGOLI I 3 lati ed i 3 lati di un triangolo si dicono ELEMENTI del triangolo (e ricordiamo che un lato ed un angolo si dicono opposti quando il vertice di un angolo non appartiene al lato) Il prolema principale della Trigonometria è la RISOLUZIONE dei triangoli, ovvero la determinazione dei 6 elementi di un triangolo essendo noti alcuni di essi Strumento ase nella risoluzione dei triangoli sono i cosiddetti TEOREMI SUI TRIANGOLI, che legano tra loro i 6 elementi di un triangolo mediante le funzioni goniometriche Nell'amito della risoluzione di un triangolo, poi, accade spesso di dover risalire al valori (o ai valori) di un triangolo di cui è noto il seno o il coseno o la tangente, ossia di dover risolvere un' EQUAZIONE GONIOMETRICA ELEMENTARE TEOREMI SUI TRIANGOLI c α γ Teorema dei seni (o di Eulero) In un triangolo qualsiasi, il rapporto tra la lunghezza di un qualsiasi lato ed il seno dell'angolo opposto è costante; in formule: β a a c = = sin α sin β sin γ Teorema del coseno (o di Fermat) In un triangolo qualsiasi, il quadrato di un qualsiasi lato è pari alla somma dei quadrati degli altri due lati, diminuita del doppio prodotto di questi moltiplicato per il coseno dell'angolo tra essi compreso In formule: a 2 = 2 +c 2-2cosα, 2 =a 2 + 2-2cosβ, c 2 =a 2 + 2-2cosγ Per i triangoli rettangoli il teorema i Fermat implica il teorema di Pitagora e dal teorema dei seni discendono i naturali risultati seguenti γ a β α c Teorema In un triangolo rettangolo, ogni cateto è pari all'ipotenusa moltiplicata per il seno dell'angolo opposto, ovvero moltiplicata per il coseno dell'angolo adiacente; in formule: = a sin β = a cos γ c = a sin γ = a cos β

Teorema In un triangolo rettangolo, ogni cateto è pari all'altro cateto moltiplicato per la tangente dell'angolo opposto al primo cateto, ovvero moltiplicato per la cotangente dell'angolo adiacente al primo cateto; in formule: = c tan β = c cotan γ c = tan γ = cotan β EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI Tutte le funzioni goniometriche sono periodiche, ciascuna con un proprio periodo: FUNZIONE sin cos tan PERIODO 2Π 2Π Π A parole, ciò si esprime dicendo che tali funzioni assumono lo stesso valore in corrispondenza a numeri reali che differiscono di un multiplo (interno) del loro periodo Analiticamente, si ha che x R sin x=sin x 2 =sin x 4 =sin x 6 ==sin x 28 == sin x=sin x 2 =sin x 4 =sin x 6 ==sin x 146 == Ovvero revemente: k Z sin x=sin x 2k cos x=cos x 2k tg x=tg x 2k Graficamente, ciò si traduce nel fatto che, suddiviso l'asse reale in intervalli di ampiezza pari al periodo e considerato il grafico della funzione su uno qualunque di tali intervalli, esso si ripete ugualmente su tutti gli altri

Dovendo risolvere un'equazione goniometrica elementare [ovvero, dovendo trovare tutti e soli i valori che dati dalla variaile x soddisfino ad esempio un'uguaglianza del tipo sin x=4/5,sin x= 1/2 cos x= 0,87, tan x=1, tan x= 184 è allora sufficiente cercare le soluzioni che cadono in un aritrariamente prescelto intervallo di ampiezza pari al periodo: tutte e sole le altre soluzioni si troveranno poi sommando a queste multipli (interi) del periodo ]

sin x = m È impossiile se m > 1 oppure m < -1 diversamente (cioè se 1 m 1 ) può essere comodo cercare le soluzioni nell'intervallo [ 2, 3 { sin x =m 2 ], ossia risolvere il sistema x [ 2, 3 2 ] Tale sistema ha due soluzioni: x 1 = arcsin m [ 2, 2 ] x 2 = arcsin m le quali si riducono ad una sola se m=±1 NB arcsin è immediatamente noto se m è il seno di qualche angolo particolare, altrimenti è fornito da una qualsiasi calcolatrice scolastica funzione sin -1

cos x = m È impossiile se m > 1 oppure m < -1 diversamente (cioè se 1 m 1 ) ricordiamo cos x =m { x [, ] che ha due soluzioni: x 1 = arccos m [0, ] x 2 = arccos m le quali si riducono ad una sola se m=±1 tan x = m Non è una impossiile e ritroviamo x 0 = arctan m { tan x =m x [ 2, 2 ], che ha un'unica soluzione

RISOLUZIONE DI TRIANGOLI QUALUNQUE Utilizzando i teoremi di Eulero e di Carnot, è possiile, in certi casi, determinare tutti i 6 elementi di un triangolo essendo noti solo 3 di essi c α γ I casi sono 3 e corrispondono ai 3 casi di congruenza dei triangoli β a Caso1 Sono noti i TRE LATI a,,c I prolema è determinato (*) se e solo se a,,c sono tali che ciascuno sia unione della somma degli altri due (**), altrimenti è impossiile Applicando 3 volte il teorema del coseno, si ricavano i 3 coseni degli angoli α,β, e γ a 2 = 2 c 2 2ccos cos = 2 c 2 a 2 } 2c 2 =a 2 c 2 2 ac cos cos = a2 c 2 2 ] 1, 1[ 2ac c 2 =a 2 2 2a cos cos = a2 2 c 2 2a Risolvendo le 3 equazioni goniometriche ottenute, si determinano i valori di α,β, e γ in ]0, [, due esistono e sono unici * Qui si intende che il prolema è DETERMINATO: ammette un'unica soluzione IMPOSSIBILE: non ammette soluzioni INDETERMINATO: ammette due soluzioni ** ed sufficiente controllare che valga per il maggiore tra a,,c

Caso 2 Sono noti DUE LATI e l'angolo COMPRESO Per fissare le idee, siano noti a, e γ Il prolema è sempre determinato Applicando il teorema del coseno, ricaviamo il terzo lato c c 2 =a 2 2 2 a cos c= a 2 2 2 a cos Ora che conosciamo a,,c possiamo procedere come nel CASO 1 (semplificando, perché γ è già noto) Caso 3 Sono noti UN LATO e DUE ANGOLI Per fissare le idee, supponiamo noti β, γ ed a Il prolema è determinato se e solo se β+γ<π; altrimenti è impossiile Ricaviamo immediatamente α=π (β+γ) Applicando il teorema dei seni, determinano una altro lato, ad esempio sin = a =a sin sin sin Conoscendo a,,γ possiamo procedere come nel caso2 per determinare c (dopodiché il prolema è risolto perché gli angoli sono tutti noti Gli altri possiili modi di assegnare 3 elementi di un triangolo (3 ANGOLI, 2 LATI E 1 ANGOLO NON COMPRESO tra essi) non corrispondono a nessun criterio di congruenza; quindi il fatto che il prolema sia determinato, impossiile o indeterminato dipende dai casi Caso 4 Sono noti i TRE ANGOLI α,β,γ Se α+β+γ=π, il prolam è sempre indeterminato: esiste tutta una serie di triangoli simili con gli stessi angoli! (criteri di similitudine)

Se =, il prolema è, ovviamente, impossiile Caso 5 Sono noti DUE LATI e l'angolo OPPOSTO a uno di essi Per fissare le idee, siano noti a, ed α Dal teorema dei seni, otteniamo Se sin = a sin alpha sin = a sin ; (ricordiamo che α è noto dai dati del prolema) Si tratta di risolvere l'equazione nell'intervallo ]0, [ (perché l'incognita β rappresenta un angolo di un triangolo, deve essere 0<β<π a sin 1, il prolema è ovviamente impossiile; Se invece con due soluzioni a sin 1, il prolema può essere impossiile, determinato, o indeterminato Infatti, l'equazione sin = a sin in ] 0, [ ha in generale due soluzioni (tranne nel caso a sin =1, in cui si ha solo = 2 ) β 1 e β 2 ; a partire da ciascuna di esse; si possono ricavare il terzo angolo (per differenza) ed il terzo lato (come nel CASO 2): si ottengono quindi, in generale, due soluzioni: 1 triangolo: a,,, 1 1, c 1 2 triangolo: a,,, 2 2, c 2 Non essendoci però un criterio di congruenza a garantire la uona risoluilità del prolema che una di tali soluzioni non sia accettaile: dunque, a posteriori, occorre controllare che i risultati soddisfino le condizioni caratteristiche dei triangoli somma angoli = 180 lato maggiore < somma altri due e scartare l'eventuale soluzione che non le soddisfi

Esempio CASO 1 Dati: a=13, =12, c=5 Il prolema è determinare, poiché a c [13 12 5=17] (da cui, essendo a il lato maggiore, segue che ciascun lato è unione della soma degli altri due) Per il teorema del coseno: 13 2 =12 2 5 2 2 12 5 cos 169=169120 cos =0 =90 (il triangolo è rettangolo) Per il teorema del coseno: 12 2 =13 2 5 2 2 13 5cos 144=169 15 130cos cos = 50 =0,384615 =arccos 0,384615 67, 67 130 Per il teorema del coseno: 5 2 =12 2 13 2 2 12 13 cos 25=144 169 312cos cos = 288 =0, 923076 =arccos 0,923076 23, 23 132 Esempio (CASO 1) Dati: a=14, =12, c=1 il prolema è impossiile, perché non è vero che a c[14 < 12 1=13]impossiile (a,,c non possono essere i lati di uno stesso triangolo!)

Esempio CASO 2 Dati: =12, c=10, α=30 Per il teorema del coseno: a 2 =12 2 10 2 2 10 12 cos 30 a 2 =244 240 3 2 a= 4 61 30 3 a=2 61 30 3 Aiamo i tre lati: procediamo come nel CASO 1 per determinare,ad esempio, β, per il teorema del coseno: 12 2 =4 61 30 3 10 2 2 61 30 3 10cos 144=244 120 3 100 40 61 30 3 cos cos = 200 120 3 40 61 30 3 = 5 3 3 61 30 3 0,065 5 3 3 =arccos arccos 0,065 94, 94 61 30 3 Per differenza: =180 180 30 94, 56 Esempio CASO 2 Dati: a=11, =75, =105 Il prolema è ovviamente impossiile, perché la somma degli angoli β e γ assegnati è già pari a 180!!! Esempio CASO 3 Dati: a=12, =60, =45 Il prolema è determinato, perché β + γ < 180 Per differenza: =180 =180 105, =75 Per il teorema dei seni: 12 60 = 75 =12 60 sin sin sin 75 120866 10,8, 10,8 0,966

Esempio CASO 5 Dati: a=20, =40, =60 Per il teorema dei seni: 40 sin = 20 sin 60 sin = 40 sin 60 20 =2 3 1,732 > 1!!! 2 Il prolema è allora impossiile, perché l'operazione sin = 3 non ha soluzioni, essendo 3 1 (è impossiile che il seno di un angolo sia > 1, in qianto sarà sempre sin x [ -1, 1 ] ) Esempio CASO 5 Dati: a=40, =20, =20 Per il teorema dei seni: 20 40 = sin sin 20 sin = 20sin 20 = 1 sin 20 0,324 40 2 2 =0,171 : <1, dunque il prolema può non essere impossiile sin 20 L'equazione sin = 2 1 =arcsin sin 20 arcsin 0,171 10, 2 2 =180 1 180 10 =170 ha due soluzioni in ] 0, [ : β 1 è accettaile (perché 1 180 10 =170 ) e condurrà ad una soluzione del prolema; β 2 è accettaile (perché 1 180 10 =190!!) e dunque da scartare Risolviamo allora il triangolo a partire da β 1 c 2 =40 2 20 2 2 40 20 cos 2000 1600 cos150 =2000 1600 3 2 3385,6 c 3385,6=58,2 Il triangolo è risolto con: 10 150 c 58,2 (Si noti che il lato c così ottenuto soddisfa, con i lati a e dati, alla condizione caratteristica dei triangoli : c < a+, con c lato maggiore)

Esempio CASO 5 Dati: a=20, =40, =20 Per il teorema dei seni: 40 sin = 40 sin 20 sin = 40sin 20 =2 sin 20 2 0,342=0,684 20 Il risultato è < 1, dunque il prolema può essere impossiile oppure avere 1 o 2 soluzioni L'equazione sin =2sin 20 ha allora due soluzioni in ] 0, [ : 1 =arcsin 2sin 20 arcsin 0684 43 2 =180 1 180 43 =137 Soluzioni che sono entrame accettaili ( 1 63 180 e 2 157 180 ) Risaliamo al triangolo a partire da β 1 1 =180 1 180 20 43=117 c 2 1 =20 2 40 2 2 20 40cos 1 2000 1600cos117 2000 1600 0,454 = c 1 2726,4 52,2 Il triangolo è risolto da 1 43 1 117 c 1 52,2 (Si noti che a,,c 1 soddisfano la condizione caratteristica dei lati del triangolo) Risolviamo il triangolo a partire da β 1 2 =180 2 180 20 137 =23 ; c 2 =20 2 40 2 2 20 40 cos 2 2000 1600 0,92=528 ; c 2 528 23 Il triangolo è pure verificato da 2 137 2 23 c 2 23 (Si noti che a,,c 2 soddisfano la condizione caratteristica dei lati del triangolo)

Esempio CASO 5 Dati: a=20, =40, =153 Per il teorema dei seni: 40 sin = 20 sin 153 sin = 40 20 sin 153 2 0,454=0,908 ; Il risultato è < 1, dunque potreero esserci 1, 2 o nessuna soluzione L'equazione sin =2sin 153 ha due soluzioni in ] 0, [ : 1 =arcsin 2 sin 153 arcsin 0,908 65 2 =180 1 115 che sono entrame non accettaili 1 218 180 2 268 180 Il prolema è dunque impossiile