Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari Matematica e Statistica I Prova scritta del 22/07/2009 NOME COGNOME N. Matr. DOMANDE: Dare una sola risposta per ogni domanda, senza giustificarla. La risposta corretta vale 1 1/2 punti. Ogni risposta sbagliata alle domande a scelta multipla toglie 1/4 punto. ESERCIZI: Rispondere alla domanda nel modo più completo possibile, cercando di giustificare i passaggi. DOMANDA 1 Siano le funzioni f(x), f (x), g(x) e g (x) date dalle seguenti tabelle: x 1 2 3 f(x) 3 5 2 g(x) 2 3 7 x 1 2 3 f (x) 7 1 5 g (x) 2 4 1 Si consideri la funzione u(x) = (f g)(x) = f(g(x)). Quanto valgono u(1) e u (2)? u(1) = 7 e u (2) = 4 u(1) = 5 e u (2) = 20 u(1) = 5 e u (2) = 4 u(1) = 7 e u (2) = 8 DOMANDA 2 Viene effettuato un test diagnostico su un nutrito numero di individui di cui, per altra via, è noto lo stato rispetto a una certa malattia. Risulta che 30 individui su 100 sono positivi al test; sono malati i 5 15 dei positivi al test ed i dei negativi al test. 6 34 Con che probabilità un individuo estratto a caso dal campione è malato? 26% 0.34 circa il 70% 19 34 DOMANDA 3 Siano Allora A = ( ) 0 1 4 1 0 2 e B = 3 4 2 1 0 1. 2 4 0 AB = BA = ( ) 7 16 1 e BA non esiste AB = 12 1 4 3 e BA non esiste 7 4 2 4 2 ( ) 12 4 4 e AB non esiste BA = 0 4 8 1 0 2 e AB non esiste 1 3 2 2 0 0 DOMANDA 4 L area di piano compresa tra f(x) = 2x 4, l asse delle ascisse e le rette x = 5 e x = 7 è rappresentata dal seguente integrale Quanto vale? 2 6( 5 4 3 7 5 2x 4dx 1) 12 10 10 3 2 6 1 3 (7 7 5 5)
DOMANDA 5 Quale delle seguenti funzioni è l infinito di ordine superiore per x? f(x) = e 10x p(x) = x 4 + 5x 2 + 1 h(x) = log( x 2 2x + 5 ) g(x) = e x/2 DOMANDA 6 Supponiamo che una popolazione cresca con un tasso annuo costante del 20%. Determinare quale dei grafici in figura rappresenta l andamento di tale popolazione. A B C D ESERCIZIO 7 (4 punti) In una classe ci sono 30 studenti, dei quali 15 hanno i capelli neri, 10 hanno i capelli biondi, 10 sono castani e 5 hanno i capelli rossi. Da una statistiche risulta che l 80% delle persone con i capelli neri e il 60% delle persone con i capelli castani hanno anche gli occhi scuri. Viceversa, l 80% delle persone con i capelli rossi e il 60% delle persone con i capelli biondi hanno gli occhi chiari. Calcolare: (a) la probabilità che uno studente scelto a caso abbia i capelli neri e gli occhi scuri. (b) la probabilità che uno studente scelto a caso abbia gli occhi chiari. (c) la probabilità che uno studente scelto a caso non abbia i capelli neri e abbia gli occhi scuri. (d) la probabilità che uno studente abbia i capelli rossi sapendo che ha gli occhi chiari.
ESERCIZIO 8 (4 punti) Una compagnia biotecnologica intende realizzare un batterio di forma cilindrica di volume uguale a 2 µm. Vuole inoltre minimizzare la dispersione di calore verso l esterno, che è proporzionale alla superficie del batterio. Posta r il raggio della base del cilindro, quanto dovrà esserne l altezza? Scrivere la superficie totale S (due basi + superficie laterale) del cilindro in funzione di r. Calcolare lim r S(r) e lim r 0 + S(r). Trovare il raggio che rende minima la superficie totale S.
ESERCIZIO 9 (4 punti) In un allevamento di galline ovaiole, gli animali vengono distinti in tre fasce di età (pulcini, giovani e adulte) e il passaggio da una fase all altra richiede almeno un mese. Il vettore (di 3 componenti) N t rappresenta la popolazione (in migliaia) di galline al tempo t, calcolato in ; per la precisione, le tre componenti di N t rappresentano (in migliaia) pulcini, giovani e adulte. L evoluzione della popolazione viene descritta dalla legge N t+1 = AN t dove A = 0 0 0 1/2 1/8 0. 0 3/4 8/9 (a) Interpretare dal punto di vista biologico tutti gli elementi della matrice A. [Notare che non si hanno nascite; l introduzione di nuovi animali avviene solo per acquisto dall esterno e non è rappresentata nel modello]. (b) Siano le componenti di N 0 (1, 1, 1); calcolare N 1 e N 2. (c) Scrivere la matrice A 2 che permette il passaggio da N t a N t+2, ossia tale che N t+2 = A 2 N t.
ESERCIZIO 10 (6 punti) Quest anno Luca andrà in vacanza in Africa per un safari di 10 giorni. L agenzia che lo organizza ha stimato che la probabilità di avvistamento di un leopardo in un escursione di un giorno è del 20% e che ogni escursione è indipendente dalle altre, in quanto si visiterà una diversa area. (a) Con che probabilità Luca vedrà il primo leopardo il quarto giorno? (b) Con che probabilità vedrà leopardi in esattamente 3 dei 10 giorni di safari? (c) Con che probabilità vedrà leopardi in più di 2 dei 10 giorni di safari? (d) In media in quante escursioni nei 10 giorni vedrà leopardi? (e) Intuitivamente, come vi aspettate che cambierebbero i risultati se le escursioni si svolgessero tutte nella stessa area? Giustificate, pensando al caso di sole 2 escursioni.
ESERCIZIO 11 (7 punti) Una popolazione evolve secondo la legge logistica N(t) = KN 0 N 0 + (K N 0 )e at dove K = 1000, N 0 = 10, a = 2 e il tempo t è misurato in anni. 1. Trovare N(0), lim t N(t) e lim t N(t). 2. Calcolare la derivata N (t), studiarne il segno e dire qual è l andamento della popolazione nel tempo. ( ) 3. Mostrare che N(t) risolve l equazione differenziale N (t) = an(t) 1 N(t) K. 4. Trovare il valore t tale che per t > t, N(t) differisce dal limite per meno di 50 unità. [Sugg.: come primo passo, definite u = e at e usate u, invece di t, come incognita]