ANALISI MATEMATICA I - AA 03/04 LIMITI E CONTINUITÀ / ESERCIZI PROPOSTI L asterisco contrassegna gli esercizi più difficili Simboli di Landau Provare che: a) cos = o (sin ) b) 3 = o + 3 e + 3 = o 3 c) 3 = o + 4 e 3 = o + 4 d) cot e) +sin +3 Provare che tan per 0 ecalcolare sin 6 tan 3 [] 3 Sia a>0, a = Usando i iti notevoli, ricavare i seguenti sviluppi accorciati per le funzioni log a ( + ) e a : log a ( + ) = ln a + o (), a =+(lna) + o () Utilizzare tali risultati per calcolare 3, log 3 ( + ) log ( 3), 5 log / ( ) ln /3 ln, ln 3 ln 3, ln5ln 4 Tramite lo sviluppo accorciato di e per 0, ricavare i seguenti sviluppi delle funzioni iperboliche: sinh = + o (), cosh =+ + o, tanh = + o () (si ricordi che sinh =(e e ) / echecosh =+sinh per ogni ) Utilizzare i risultati ottenuti per calcolare ( + sinh ) 3 + cosh, ( + sinh ) 3 + tanh 6, 3 5 Tramite opportune equivalenze, determinare il segno delle seguenti funzioni nell intorno bucato del valore c indicato: a) f () =log(cos)+ +, c =0 b*) f () = 5 3, c =+ +log sinh (/) c) f () = cos, c =+ d*) f () = + π π +sin(cos), c =
MGUIDA, SROLANDO 6 Provare tramite un controesempio che le proposizioni seguenti sono FALSE in generale: a) se f () f () e g () g () per c, alloraf ()+g() f ()+g () per c b) se f () g () per c, allora e f() e g() per c f () 7* Sia f : R R tale che f () =o () per 0 Dimostrare che e +f() =0 Calcolo di iti Calcolare i seguenti iti utilizzando i iti notevoli: sin 5 sin 3 sin 4 a), sin, sin 6 tan 3, cos b) sin 3, tan sin sin (cos ) sin c),, π/ cos π/ log ( + 4) d) e) 3, 3 + f) log ( 3), sin [,,, ] 9, sin (π/ ), π cos + cos 3 +,,, 9, (log ( +) log ) [4, ] 3, 3 / log log 3, log 3, log 3 log ( cos ) sin sin, 9 log,, log g) log(/), π/ (ecos ) tan [, ] h) +, 3 + +,, 3 +3 +,e 3,e, e Utilizzando i principi di equivalenza e/o einazione, calcolare i seguenti iti (già proposti in altri esercizi): a) 9 +5 4 5 5, [, ±] ± ± +3 3, + b) sin 4 c) sin, d) sin 4 +3, 4 6 cos sin 3, 3 + log ( 3),, π cos + cos 3 +, log ( cos ) sin, 9, 9 log, π/ (ecos ) tan, 9, 3 Calcolare i seguenti iti utilizzando i principi di equivalenza e/o einazione: log ( + 3) e 3 a) +, +, +, [3, 0, 0, + ] + + + sin e sin e e b), + + 3, ( + sin ) 5 + cos [, 0, 0] cos 4 3 ( cos ) +sin 3sin c) 7 3 4, 3, sin3 6,, 6 5 e 3 d) cos e, log ( + 5) 3 +55 cos, + sin 3 e 4 3 3 3, +,
LIMITI E CONTINUITÀ 3 log + 8 5 4 6 + 5 + log (e + ) e*) 5 8, e (e ) e 33 cos 3, e e e f) ( ) 3, sin (3 ) 3 g) (log ( +) log ( +)), 5 + sin h) 3 + i) 3log 3 +cos, l) e 4 + log, e +3 m) ± +, 3e 3 +, log ( ) log ( ) [, 0] sin +, +cos, 0 log log e, 3 +3 + 3 +sin non esiste,, 3 3 3 +sin [, 0, + ] log 4 3 3 log e e + 7 0, e +3 + +log 4 + + e [+, 0, ] e +3 e + =3, +3 + =+, 3 4 Utilizzando lo sviluppo accorciato ( + ) α =+α + o () per 0, calcolare i seguenti iti: +,, 3 + 3 [, 0, 0] 5 Utilizzando l identità a b = e b log a ( a >0, b R) e lo sviluppo accorciato log ( + ) = + o () per 0, calcolare i seguenti iti:, 3 + e 4, e 3 6 Calcolare f () e f () per le seguenti funzioni: + 3 +sin a) f () = e + 3 b) f () = 3 log + 4 Studio della continuità f () =0, f () =+ + f () = f () =0 + Studiare la continuità sul proprio dominio delle seguenti funzioni, einando le eventuali discontinuità einabili e calcolando gli eventuali salti: log ( +) se (, 0) f () = e, g() =(+ sin ) / se >0 Determinare i valori di a, b R per cui le seguenti funzioni sono continue sul proprio dominio: tan +3 se <0 b +3 se 0 f () =, g() = ( ) + + a se 0 tan se >0 a =3,b= 5
4 MGUIDA, SROLANDO 3* Al variare di α, β R, studiare la continuità nel punto 0 =0della funzione β cos se <0 f () = 0 se =0 α sin se >0
LIMITI E CONTINUITÀ 5 ALTRE SOLUZIONI Non sono riportati i risultati che sono impliciti nelle richieste del testo o che si possono facilmente controllare tramite un qualsiasi software matematico (ad esempio quello disponibile sul sito wwwwolframalphacom) Simboli di Landau Esercizio 5 a) Per 0, siha 0 e quindi + () =, dacui + Per 0, sihacos, cioècos 0, e quindi Allora log (cos ) =log(+cos ) cos log (cos ) = + o e + = + o e quindi (tutto per 0) f () = + + o = + o Dunque risulta f () > 0 nell intorno bucato di 0 b) Si ha f () = 5 3 = f () = 5 = 5 / Per +, risulta = e 0, per cui / = + + o = + o = + o = + o = + o Allora (tutto per + ) f () = 5 + o = 4 5 + o 4 5 e perciò risulta f () < 0 nell intorno di + c) Per +, sihalog = o (), cos = o e 0, percui sinh = equindisinh (/) =+o () = o () Dunque (tutto per + ) +log sinh (/) f () = cos = + o () + o ( ) = e perciò risulta f () < 0 nell intorno di + d) Riportiamoci nell orgine (dove valgono le equivalenze e gli sviluppi notevoli) tramite la sostituzione t = + π 0 per π Sihacos =cos t π =sint equindi f () = + π +sin(cos) =t +sin(sint) Poiché sin t 0 per t 0, sihasin (sin t) sin t t e quindi sin (sin t) =t + o (t) t 0 t 0 t 0 Allora, ricordando che t = o (t) t 0,risulta t +sin(sint) =t + t + o (t) =t + o (t) per t 0 Dunque f () = + π + o + π + π per π,
6 MGUIDA, SROLANDO per cui f ha lo stesso segno di + π nell intorno bucato di π :risultaf() < 0 nell intorno bucato sinistro ed f () > 0 nell intorno bucato destro Esercizio 6 a) Ad esempio le funzioni f () = +, f () = +, g () =, g () = sono tali che f () f () e g () g () per +, ma f ()+g() f ()+g () =3 b) Ad esempio le funzioni f () = +e g () = sono tali che f () g () per +, ma e f() e = e + g() e = e Esercizio 7 Siccome f () =o () per 0 implica f () 0 per 0, siha + f () 0 per 0 e quindi risulta e +f() + f () per 0 Allora f () e +f() = f () + f () = o () + o () = o () =0 Studio della continuità Esercizio f C ((, 0) (0, + )); 0 =0punto di discontinuità einabile, prolungamento f () se = 0 f () = se =0 g C (R \{0}); 0 =0punto di discontinuità di salto, [g ()] 0 = e e Esercizio 3 f ècontinuainr \{0} per ogni α, β R f ècontinuain 0 =0seesoloseβ > 0 e α > Se β > 0 e α =, allora 0 =0è punto di discontinuità di salto Se β 0 oppure α <, allora 0 =0è punto di discontinuità di seconda specie