INGGNRIA GSTIONAL coso di Fisica Geneale Pof.. Puddu Inteazioni di tipo elettico 1
L'elettizzazione Dei pimi semplici espeimenti foniono le caatteistiche di una popietà della mateia chiamata elettizzazione. La ealizzazione di questi espeimenti è semplice: si pende una bacchetta di amba o veto e la si stofina. Quindi la si avvicina ad una sfea di sugheo (molto leggea, pe idue al minimo la foza peso) appesa ad un filo e si nota che sia amba sia veto attiano allo stesso modo la sfea di sugheo, spostandola dalla condizione di equilibio. L'elettizzazione di amba e veto ea ottenuta tamite stofinio. Il sugheo, il quale non aveva subito alcun pocesso di stofinamento ed il quale non attaeva alti copi. Pe questa agione all'elettizzazione del sugheo si diede il nome di elettizzazione pe induzione, ovveo una foma passiva di elettizzazione, indotta da un copo con elettizzazione pemanente!!! Due sfee di sugheo elettizzate pe induzione non sono in gado di sugheo sugheo attasi in quanto, allontanate le bacchette, l'elettizzazione pe veto induzione temina! amba
L'elettizzazione Ai fenomeni di elettizzazione appena visti, pe stofinio e pe induzione, aggiungiamo l'elettizzazione pe contatto. Infatti, mettendo a contatto le sfeette di sugheo con la bacchetta di amba o veto, queste si elettizzavano in modo pemanente! In paticolae si notò che: due sfeette con lo stesso tipo di elettizzazione (ovveo messe a contatto con la stessa bacchetta) si espingevano mente due sfeette con tipo diveso di elettizzazione (messe a contatto con due bacchette divese) si attaevano! sugheo Veto Amba sugheo Amba Veto sugheo Veto Amba Questo fondamentale espeimento fece capie che, a diffeenza della foza di gavità, la foza di elettizzazione esiste in due possibili stati che venneo chiamati positivo (tipo veto) e sugheo negativo (tipo amba). Veto Amba Possiamo quindi concludee che: copi elettizzati allo stesso modo si espingono, mente copi elettizzati in modo diveso si attaggono! 3
La caica elettica Pe quantificae l'elettizzazione è stato intodotto il concetto di caica elettica, che fonisce una misua dello stato di elettizzazione stesso. La caica elettica si indica con la lettea q ed è posseduta da un copo quando questo è elettizzato. Se q>0 si dice che il copo è elettizzato positivamente; se q>0 si dice che il copo è elettizzato negativamente; se q=0 il copo è globalmente neuto o non elettizzato. Pe misuae una caica elettica si pende una caica campione q e la si avvicina ad una sfea di sugheo. Lo stesso espeimento viene svolto con la caica q' da misuae. Il appoto ta le due foze ci fonisce il appoto ta le caiche: q F = q' F ' F q= q' F' da cui Pe quanto iguada la misua delle foze si agisce come sul pendolo: il diagamma del copo libeo qui sotto, pe la sfea di sugheo all'equilibio, fonisce le due equazioni di Newton F el =Tsin mg =Tcos Ty Fel Tx P che danno come soluzione, pe la foza elettica, F el =mg tg 4
Legge di Coulomb L'inteazione elettica fa due paticelle in quiete o in moto elativo a velocità molto basse è popozionale alle loo caiche elettiche e all'inveso del quadato della loo distanza. La sua diezione è lungo la congiungente delle due paticelle: F el =k e q 1 q d cf. F g =G m1 m d pe comodità si è scelto di poe k e= 1 4 0 q1>0 dove 0 è definita come la pemittività elettica del vuoto. Il vettoe foza elettica si scive in questo modo Fel =k e q 1 q q>0 Fel =k e q 1 q da cui si nota la dipendenza adiale della foza, popio come nel caso gavitazionale. Data la velocità della luce c=.9979 108 m/s, si è deciso di poe ke=10 7c=8.9874 109, spesso appossimato con 9 109. L'unità di misua della caica elettica è il coulomb, indicato con la lettea C ed è definito come la caica che, posta alla distanza di un meto da una caica uguale nel vuoto, la espinge con una foza di 8.9874 109 N. L'unità di misua di ke è Nm/C mente 0= 8.854 101 5 C/Nm.
Il campo elettico Il campo elettico è una egione dello spazio in cui una caica elettica q>0 di test è soggetta all'azione di una foza. La foza è causata da un'alta caica elettica, sogente del campo. Se le sogenti del campo elettico sono N: q1,q,...,qn, alloa la foza agente sulle nosta caica elettica è F=F1+F+...+FN. Questa popietà del campo elettico, di sommasi vettoialmente, si chiama pincipio della sovapposizione degli effetti. Se voglio definie una popietà dello spazio che non dipenda dalla mia caica di test ma solo dalle caiche sogenti, alloa devo eliminae la dipendenza da q dalla foza F. Definisco quindi il campo elettico, o foza pe unità di caica F = q la cui unità di misua è N/C. Il veso del campo elettico è quello della foza sentita da una caica test q positiva. F F4 4 q1 q1 q F3 P P F1 F=F1+F+F3+F4 q 3 1 =1++3+4 q q3 q4 Foza esecitata su caica test q3 q4 Campo elettico in P 6
Il campo elettico geneato da una caica puntifome La foza che una caica Q esecita su una caica q è =k e Q q F Il campo elettico geneato nello spazio da una caica puntifome Q è quindi Q =k e () Modulo del campo elettico in Rappesentazione del campo Rappesentazione del campo funzione della distanza dalla elettico nello spazio geneato elettico nello spazio geneato paticella di caica q>0 che lo da una paticella q>0 da una paticella q<0 genea 7
Il campo elettico geneato da due caiche puntifomi Le linee di campo di un campo elettico geneato da due o più caiche puntifomi si ottengono tamite la somma vettoiale, punto pe punto, dei singoli campi elettici, come nell'esempio ipotato qui sotto. Il isultato di questa pocedua pemette di tovae le linee di campo di un sistema fomato da due paticelle di caica opposta ±q. Il caso di paticelle con la stessa caica è mostato qui sotto. 8
speimento di Millikan La caica elettica non assume qualsiasi valoe ma si pesenta sempe come multiplo di una caica elettica fondamentale o quanto elettico. Questa ealtà fu messa in evidenza da Millikan con l'espeimento della goccia d'olio. Una goccia molto piccola, ottenuta da un vapoizzatoe, è libea di cadee nell'aia, nella quale aggiunge ben pesto la velocità limite. L'aia esecita sulla paticella una foza di attito viscoso popozionale a questa velocità F=kv (k è una costante che dipende dal mezzo e dal aggio della paticella). L'equazione di Newton in questa situazione è mg kv 1=0 ovveo v 1= mg k Supponiamo oa che la goccia abbia caica positiva (ottenuta tamite stofinio con l'aia) e che si applichi un campo elettico costante ed unifome dietto veso l'alto. La velocità limite con cui la goccia oa sale è q mg v = k oa isolviamo le due equazioni pe eliminae mg e icavae q k v1 v q= Dopo una piccola salita la caica elettica cambieà, pe stofinio, dandoci il nuovo valoe k v v ' q' = 1 9
speimento di Millikan Dalle due espessioni di q e q' icaviamo la vaiazione di caica in funzione della velocità v q= k v Questa espessione ci pemette di calcolae le vaiazioni di caica in temini di quantità misuabili in laboatoio. micoscopio Schema dell'espeimento di Millikan +++++++++++++++++ Laboatoio di Millikan 10
Dipolo elettico Un dipolo elettico è un sistema fomato da due caiche uguali ±q e di egual massa sepaate da una distanza a. È inteessante studiae come un dipolo elettico si compota all'inteno di un campo elettico. Pe semplificae lo studio consideiamo il caso di un campo elettico costante: a +q q La somma delle foze agenti sul dipolo elettico é F+ O a/ F F F =q q =0 a/ pe questa agione il cento di massa de sistema non subisce alcuna acceleazione ed esso non tasla dalla posizione oiginale O. Poiché il dipolo è un copo esteso, dobbiamo studiane anche la somma dei momenti meccanici (ispetto al punto O) = 1 a q 1 M a q = a q =q a Definiamo alloa il vettoe dipolo elettico p=qa, vettoe avente pe modulo il podotto dell'intensità della caica q pe la distanza a, e pe veso il vesoe che va dalla caica negativa q alla caica positiva +q. 11
Dipolo elettico Il questo modo il momento delle foze di un dipolo elettico immeso in un campo elettico costante diventa M = p Un dipolo elettico immeso in un campo elettico, sotto l'effetto di questo momento inizieà a uotae fino alla posizione in cui p è allineato ad. Giunto a questa posizione, esso poseguià olte e (pe la consevazione dell'enegia) giungeà ad una posizione simmetica (ispetto ad ) di quella iniziale. In condizioni di assenza di attito questo moto saà un moto peiodico. a) e) b) c) d) In a) il dipolo è femo. All'accendesi del campo elettico esso inizia a uotae fino alla posizione di equilibio in b). Poiché al passaggio dalla posizione di equilibio il dipolo possiede ancoa enegia cinetica, la supea ed inizia a allentae, ichiamato nuovamente dal campo elettico veso la posizione di equilibio. Pe la consevazione dell'enegia il dipolo si femeà in c) popio in una posizione simmetica ad a). 1
Flusso del campo elettico Il flusso del campo elettico è una quantità che pemette di misuae quante linee di foza passano attaveso una supeficie. Nel caso di una sogente puntifome, ad esempio, il campo elettico decesce con il quadato della distanza, ovveo come l'aea investita dalle sue linee di campo. Una quantità come il flusso, ottenuta dal podotto ta campo ed aea investita, pemette di ottenee infomazioni sul campo che sono indipendenti dalla geometia dello spazio. Vedemo in seguito come... Definiamo innanzitutto il flusso di un campo elettico costante ed unifome attaveso una n S supeficie piana di aea S (vedi figua) S =Scos = Il temine cos è intodotto in quanto la supeficie effettiva che accoglie le linee di campo elettico non è S, bensì la sua poiezione n sulla diezione otogonale a quella del campo elettico. Pe capie questo concetto è sufficiente pensae all'esempio di una acchetta da tennis che voglia colpie una pallina. La supeficie utile all'uto S non è tutta la supeficie della acchetta bensì la sua poiezione sulla nomale alla diezione di popagazione della pallina! Se la acchetta è otogonale ispetto alla diezione di aivo della pallina, l'aea utile pe colpie la pallina è l'aea totale della acchetta! Se la acchetta è obliqua ispetto alla diezione di aivo della pallina, l'aea utile pe colpie la pallina saà idotta! 13
Flusso del campo elettico Spesso ci si tova di fonte a supefici non piane bensì cuve e asimmetiche, ed il campo elettico, tanne in ai casi, non è omogeneo ed unifome. In questo caso il flusso lo si calcola nel seguente modo: si divide la supeficie S in aeole di aea ds, sufficientemente piccole da pote essee consideate costanti e da pote consideae costante il campo elettico al loo inteno. Quindi si calcolano i singoli flussi come visto in pecedenza e si sommano algebicamente! Il flusso del campo elettico è N n N ds S = 1 n 1 ds n ds N n Supponiamo di avee una geneica supeficie attavesata da un campo elettico i ni ds = ds S Il veso della nomale n è scelto con la egola della mano desta, una volta scelto un veso di pecoenza del bodo della supeficie. i=1 e, passando al continuo mandando l'aeola ds a zeo) (ovveo S = n ds S Il pedice S all'integale indica che l'integale si calcola su tutta la supeficie S. Se la supeficie è chiusa alloa la nomale n alla supeficie è pesa con veso uscente da essa, e l'integale si scive in questo modo S = n ds S Il flusso è una quantità algebica che può essee positiva o negativa. In paticolae il flusso totale è positivo se globalmente uscente, negativo se entante! 14
Legge di Gauss pe il campo elettico Sia data una caica elettica q. Vogliamo calcolae il flusso del campo elettico geneato da essa. Il campo elettico geneato dalla caica è q =k e e di conseguenza il flusso, calcolato pe semplicità su una sfea saà dato dall'integale S = n ds = k e S S q n ds notiamo che il campo elettico, sulla supeficie di una sfea, è costante, in quanto dipende solo dal aggio della sfea. Inolte la nomale n alla supeficie sfeica ha diezione adiale, e quindi i vesoi n ed coincidono. L'integale quindi diventa S =k e q q 1 q q ds =k ds = 4 = e 0 4 0 S S questo fatto ci dice che il flusso del campo elettico è popozionale alla caica elettica contenuta all'inteno della supeficie di integazione. Inolte il flusso NON dipende dalla supeficie sfeica. Quindi se abbiamo divese supefici sfeiche tutte intono alla stessa caica, i loo flussi saanno uguali. Se abbiamo N caiche elettiche acchiuse all'inteno della stessa supeficie, il flusso saà dato da N qi S = i 0 15
Campo elettico da piano infinito unifomemente caicato S1 S S Sia dato un piano infinito unifomemente caico con densità supeficiale di caica. Vogliamo calcolae il campo elettico geneato da questo piano nello spazio. Innanzitutto notiamo che le linee del campo elettico sono uscenti (q>0) da entambe le facce del piano. Inolte le linee del campo elettico sono tutte oizzontali in quanto le componenti veticali si eliminano vicendevolmente (vedi figua sottostante). Consideiamo la supeficie di un cilindo etto con asse pependicolae al piano. Il flusso di attaveso la supeficie lateale del cilindo è nullo in quanto le linee di campo sono paallele e quindi tangenti alla supeficie lateale stessa. Il flusso totale è quindi solo dato dalle supefici di base, ed è positivo pe entambe. S =S 1 S =S Consideato che il flusso è la somma delle caiche contenute all'inteno della supeficie sciveemo: q S S= = da cui finalmente 0 0 = 0 Quello che si nota è che il campo elettico non dipende dalla distanza dal piano e quindi è unifome in tutto lo spazio! 16
Campo elettico da una distibuzione di caica sfeica Sia data una distibuzione unifome, sfeica, di caica nello spazio. L'andamento nello spazio del campo elettico va studiato in due pozioni: all'inteno della sfea ed all'esteno della sfea! Applichiamo due volte la Legge di Gauss, pima su una supeficie R sfeica di aggio '>R: Q Q S = 4 ' = 0 Il flusso è il podotto ta il campo e l'aea della supeficie sfeica in quanto il campo elettico è unifome ad una data distanza dal cento della sfea. Otteniamo quindi il campo elettico Q ' = 4 0 ' e notiamo che esso ha la stessa foma di un campo geneato da una caica puntifome Q. Se oa consideiamo una supeficie sfeica di aggio '<R, notiamo subito che la caica elettica contenuta al suo inteno è Q'3/R3. Il calcolo del campo tamite la Legge di Gauss quindi ci da Q '3 Q ' = = ' 3 3 4 0 ' R 4 0 R da cui notiamo l'andamento lineae del campo elettico. Un gafico di () quindi saà: R 17
Potenziale elettostatico Dimostiamo innanzitutto che il campo elettostatico è consevativo. Pe fae questo, basta calcolae il lavoo svolto dal campo elettico pe spostae una paticella da una posizione iniziale ad una finale e veificae che non dipenda dal cammino pecoso. i dl = f f 1 Q =q, F 4 0 f f i i qq 1 dl=q W = F dl= dl 4 0 i Q. Dalla figua si vede che Pe isolvee l'integale dobbiamo calcolae il podotto scalae dl dl=1 dl cos e sostituendo nell'integale f d dl +d i f qq 1 qq 1 W= d = 4 0 4 0 i = qq 1 1 4 0 i f che come si vede, dipende solo dalle posizioni iniziale e finale!!! Questo significa che il campo elettostatico è un campo consevativo. 18
Potenziale elettostatico Poiché un campo consevativo ammette l'esistenza di una diffeenza di enegia potenziale, definiamo B qq 1 1 dl= U el = F 4 0 A B A Pe definie il potenziale in un singolo punto dello spazio, pendiamo come punto di patenza, o di ifeimento, l'infinito. Notiamo quindi che pe il potenziale si annulla. Definiamo quindi il potenziale nel punto come: qq 1 dl= U el =U el U el = F 4 0 ma poiché F=q() dl= q U el = F dl Dobbiamo notae che U() contiene la caica elettica geneante (in ) e quella di test q. poiché le caiche elettiche possono essee positive o negative, concludiamo che pe caiche concodi Uel>0 mente pe caiche discodi Uel<0. Definiamo oa il potenziale elettostatico come il potenziale pe unità di caica: U el dl V = = q Il potenziale elettostatico si misua in J/C=V (volt) 19
Potenziale elettostatico La diffeenza di potenziale elettostatico è quindi definita come B V = dl=v A V B A 0