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Giuseppina Anatriello Matteo Allegro Calcolo con GeoGebra III edizione
Copyright MMXVI Aracne editrice int.le S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Quarto Negroni, 15 00040 Ariccia (RM) (06) 93781065 ISBN 978-88-548-9352-8 I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. III edizione: maggio 2016
Indice Elenco delle figure 15 Introduzione 21 1 Calcolo geometrico 23 1.1 Le strutture della geometria euclidea........ 23 1.1.1 Struttura affine................ 23 1.1.1.1 La semiretta come spazio di misura 24 1.1.1.2 La retta polare come retta numerica 26 1.1.1.3 Equazione parametrica della retta nel piano e nello spazio....... 27 1.1.1.4 Base................. 29 1.1.1.5 Equazione parametrica del piano nello spazio euclideo........ 34 1.1.2 Struttura metrica............... 35 1.1.2.1 Modulo, forma quadratica e distanza 36 1.1.2.2 Prodotto scalare e forma bilineare. 37 1.1.2.3 Coseno di un angolo........ 39 1.1.2.4 Prodotto vettoriale......... 40 1.1.2.5 Sistema di riferimento cartesiano monometrico ortogonale...... 41 1.1.3 Topologia naturale.............. 43 1.1.3.1 Punti interni, esterni, di frontiera e d accumulazione.......... 44 1.1.3.2 Insiemi aperti e insiemi chiusi... 45 5
6 Indice 1.1.3.3 Connessi per archi e insiemi compatti 45 1.1.3.4 Definizione di limite e continuità. 45 1.2 Costruzioni con riga e compasso........... 46 1.2.1 Costruzioni nel piano............. 46 1.2.1.1 Trasporto del segmento...... 46 1.2.1.2 Trasporto dell angolo........ 46 1.2.1.3 Costruzione parallela........ 46 1.2.1.4 Costruzione perpendicolare.... 47 1.2.1.5 Somma di punti........... 47 1.2.1.6 L opposto di un punto....... 47 1.2.1.7 Suddivisione di un segmento.... 47 1.2.1.8 Prodotto di punti.......... 47 1.2.1.9 Inverso............... 47 1.2.1.10 Bisettrice dell angolo........ 47 1.2.1.11 Prodotto per uno scalare...... 48 1.2.1.12 Il coniugato............. 48 1.2.1.13 Il prodotto tra due punti coniugati 48 1.2.1.14 La radice quadrata......... 48 1.2.1.15 Media proporzionale........ 48 1.2.1.16 Trasformazione circolare inversa.. 48 2 Geometria analitica e Algebra lineare 67 2.1 Lo spazio vettoriale (R 2, +, )............ 67 2.1.1 Prodotto scalare e modulo.......... 68 2.1.1.1 Il prodotto scalare con GeoGebra. 69 2.1.2 I numeri complessi.............. 69 2.1.3 Cambiamenti di base notevoli nel piano... 70 2.1.4 Trasformazioni polari............. 71 2.1.4.1 Coordinate polari con GeoGebra. 71 2.1.5 Affinità.................... 71 2.1.6 Rappresentazione matriciale di un numero complesso........... 73 2.1.6.1 Numeri complessi con GeoGebra. 74 2.1.6.2 Esercizi Numeri complessi..... 74 2.1.7 Matrici di trasformazione del piano in sé.. 75
Indice 7 2.1.7.1 Riflessione rispetto ad una retta passante per O........... 76 2.1.7.2 Omotetia.............. 76 2.1.7.3 Scaling............... 76 2.1.7.4 Shear................ 77 2.1.7.5 Esercizi proposti.......... 77 2.1.8 La retta.................... 78 2.1.8.1 Condizione di parallelismo e di perpendicolarità........ 79 2.1.8.2 Equazione cartesiana........ 79 2.1.9 Esercizi: Geometria analitica nel piano... 80 2.1.9.1 Esercizi proposti.......... 87 2.2 Lo spazio vettoriale (R 3, +, )............ 87 2.2.1 La retta.................... 89 2.2.2 Il piano: equazione parametrica....... 89 2.2.3 Il modulo, il prodotto scalare........ 90 2.2.4 Il prodotto vettoriale, il prodotto misto... 91 2.2.4.1 Prodotto vettoriale con GeoGebra 93 2.2.5 Equazione cartesiana del piano e della retta 93 2.2.5.1 Equazioni parametriche e cartesiane con GeoGebra..... 94 2.2.6 Esercizi: rette e piani............. 96 2.2.6.1 Esercizi proposti.......... 104 2.2.7 Trasformazioni dello spazio tridimensionale. 105 2.2.7.1 Coordinate cilindriche....... 105 2.2.7.2 Coordinate sferiche......... 106 2.2.7.3 Coordinate sferiche e cilindriche con GeoGebra............ 108 2.2.7.4 Matrici di cambiamenti di base notevoli............... 108 2.2.7.5 Trasformazioni dello spazio con GeoGebra............ 111 2.2.7.6 Esercizi proposti.......... 111 2.3 Spazi vettoriali euclidei................ 112 2.3.1 Modulo, prodotto scalare........... 113
8 Indice 2.3.2 Basi e indipendenza lineare......... 114 2.3.2.1 n-uple di vettori e dipendenza lineare114 2.3.2.2 Base canonica di R n........ 116 2.3.3 Sistemi lineari................. 116 2.3.3.1 Sistemi lineari omogenei...... 116 2.3.4 Determinante di un sistema di vettori.... 119 2.3.5 Matrici..................... 121 2.3.5.1 Calcolo matriciale con GeoGebra. 123 2.3.6 Applicazione: Teorema di Rouché-Capelli per i sistemi lineari.............. 124 2.3.7 Esercizi: sistemi lineari............ 125 2.3.7.1 Esercizi proposti.......... 140 3 Curve 141 3.1 Funzioni di una variabile............... 141 3.1.1 Le funzioni numeriche reali.......... 141 3.1.1.1 La funzione inversa......... 143 3.1.1.2 Funzioni monotone......... 143 3.1.1.3 Risoluzione di problemi algebrici con strumenti analitici....... 145 3.1.1.4 Disequazioni elementari e risoluzione 146 3.1.2 Le funzioni elementari............ 151 3.1.2.1 Proprietà delle funzioni elementari 152 3.1.2.2 Le funzioni trigonometriche.... 157 3.1.2.3 Le funzioni iperboliche....... 159 3.1.2.4 Esercizi: dalle diseguaglianze numeriche alla variazione di segno 164 3.1.2.5 Esercizi proposti.......... 178 3.1.3 Limiti di funzioni monotone che trasformano intervalli in intervalli............. 179 3.1.3.1 Limiti di funzioni elementari negli estremi............... 179 3.1.3.2 Limiti nei punti interni di funzioni monotone che trasformano intervalli in intervalli........ 181
Indice 9 3.1.3.3 Teorema sui limiti delle funzioni composte di funzioni monotone.. 182 3.1.3.4 Teorema delle operazioni tra limiti 183 3.1.3.5 Limiti notevoli........... 185 3.1.3.6 Principi di eliminazione...... 186 3.1.3.7 Nota: Limiti e continuità funzioni numeriche reali........... 188 3.1.3.8 Esercizi sui limiti.......... 197 3.1.3.9 Esercizi proposti.......... 204 3.2 Calcolo differenziale.................. 206 3.2.1 Differenziale e retta tangente al grafico.................... 206 3.2.2 Derivate delle funzioni elementari...... 209 3.2.3 Operazioni con le derivate.......... 210 3.2.4 Derivate funzioni iperboliche e inverse... 211 3.2.5 Teoremi in ipotesi di derivabilità per le funzioni numeriche reali........ 212 3.2.5.1 Esercizi: differenziale e retta tangente al grafico..... 213 3.2.5.2 Formula di Taylor......... 213 3.2.5.3 Esercizi sui limiti con Taylor.... 215 3.2.5.4 Esercizi proposti.......... 219 3.2.6 Criteri di monotonia e concavità....... 219 3.2.6.1 Criterio di monotonia larga.... 219 3.2.6.2 Criterio di monotonia stretta... 220 3.2.7 Minimi e massimi relativi di una funzione. 220 3.2.7.1 Min e Max per funzioni numeriche reali................. 220 3.2.7.2 Concavità e convessità....... 221 3.3 Integrale indefinito.................. 222 3.3.1 Integrale e differenziale............ 222 3.3.2 Le primitive delle funzioni elementari.... 223 3.3.3 Proprietà di linearità degli integrali..... 224 3.3.4 Formule di sostituzione negli integrali indefiniti.................... 224
10 Indice 3.3.5 Integrazione per parti............. 225 3.3.6 Integrale definito............... 226 3.3.7 Formula fondamentale del calcolo integrale. 226 3.3.8 Riepilogo regole fondamentali........ 227 3.3.9 Integrali immediati.............. 227 3.3.10 Integrali di altre funzioni elementari..... 228 3.3.11 Integrali di funzioni razionali e sostituzioni razionalizzanti......... 228 3.3.12 Integrali con GeoGebra............ 229 3.3.13 Esercizi proposti............... 229 3.4 Equazioni differenziali lineari............. 230 3.4.1 Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità........ 233 3.4.2 Integrale generale di un equazione differenziale lineare.............. 234 3.4.3 Integrale generale di un equazione differenziale lineare omogenea........ 234 3.4.3.1 Lo spazio delle soluzioni...... 235 3.4.3.2 La dimensione dello spazio delle soluzioni............ 235 3.4.3.3 Esistenza di una base....... 236 3.4.3.4 Proprietà del wronskiano..... 237 3.4.4 Integrale generale di un equazione differenziale lineare non omogenea...... 238 3.4.4.1 Metodo della variazione delle costanti arbitrarie...... 238 3.4.5 Esempi notevoli................ 239 3.4.6 Le equazioni differenziali ordinarie con GeoGebra................. 251 3.4.7 Esercizi proposti............... 251 3.5 Curve parametriche regolari............. 252 3.5.1 Equazione parametrica della retta tangente alla curva.............. 253 3.5.2 Lunghezza di una curva........... 254 3.5.3 Cambiamento di parametro......... 255
Indice 11 3.5.4 Le curve negli spazi numerici........ 255 3.5.5 Ascissa curvilinea............... 258 3.5.6 Le curve con GeoGebra............ 258 3.5.7 Triedro fondamentale di Frenet....... 258 3.5.7.1 Esercizi proposti.......... 262 3.5.8 Coniche.................... 265 3.5.8.1 Coniche nel piano euclideo..... 265 3.5.8.2 Coniche in un piano cartesiano.. 267 3.5.8.3 Coniche e autovalori........ 271 3.5.8.4 Equazioni in forma canonica.... 272 3.5.9 Curve celebri................. 272 3.5.9.1 Trisettrice di Ippia......... 272 3.5.9.2 Cissoide di Diocle.......... 273 3.5.9.3 Concoide di Nicomede....... 273 3.5.10 Curve generate per rotazioni......... 274 3.5.10.1 Epicicloide............. 274 3.5.10.2 Ipocicloide............. 275 3.5.10.3 Rodonea............... 277 3.5.11 Curve generate per rototraslazioni...... 277 3.5.11.1 Cicloide............... 277 3.5.11.2 Elica cilindrica........... 278 3.5.12 Curve generate tramite rotazione e omotetia 279 3.5.12.1 Spirale di Archimede........ 279 3.5.12.2 Spirale logaritmica o equiangolare. 279 3.5.12.3 Elica conica............. 280 3.5.13 Altre curve celebri.............. 280 3.5.13.1 Catenaria.............. 280 3.5.13.2 Trattrice............... 280 3.5.13.3 Curve di Bézier........... 281 4 Superfici 297 4.1 Funzioni di due variabili............... 297 4.1.1 Superfici e grafici di funzione di due variabili con GeoGebra................. 299 4.1.2 Esercizi: domini e variazione di segno.... 299
12 Indice 4.1.2.1 Esercizi proposti.......... 303 4.1.3 Definizione di limite per funzioni di due variabili......... 304 4.1.3.1 Continuità in un punto....... 304 4.1.3.2 Confronto tra le nozioni di limite per funzioni di una e di due variabili 305 4.1.3.3 Teoremi sui limiti.......... 306 4.1.3.4 Proprietà topologiche delle funzioni continue............... 307 4.1.3.5 Limiti e continuità con GeoGebra. 308 4.1.4 Esercizi: limiti e continuità.......... 308 4.1.4.1 Esercizi proposti.......... 310 4.2 Differenziabilità di funzioni di due variabili..... 311 4.2.1 Derivate parziali............... 312 4.2.2 Il gradiente e la differenziabilità....... 313 4.2.3 La notazione dell o-piccolo.......... 315 4.2.4 Derivate direzionali.............. 316 4.2.5 Funzioni con gradiente nullo......... 319 4.2.6 Derivata funzione composta......... 319 4.2.7 Derivate di ordine superiore......... 320 4.2.8 Derivazione con GeoGebra.......... 321 4.2.9 Esercizi: differenziabilità e piano tangente. 321 4.2.10 Esercizi: derivate parziali e direzionali... 322 4.2.10.1 Esercizi proposti.......... 323 4.2.11 Esercizi di riepilogo.............. 329 4.2.11.1 Esercizi proposti.......... 338 4.2.12 Formula di Taylor ed estremi relativi.... 339 4.2.12.1 Minimi e massimi con GeoGebra. 343 4.2.12.2 Esercizi: minimi e massimi relativi 343 4.2.12.3 Esercizi proposti.......... 348 4.3 Superfici parametriche regolari............ 348 4.3.1 Piano tangente................ 352 4.3.2 Esercizi proposti............... 353 4.3.3 Cambiamenti di parametri.......... 353 4.3.3.1 Superfici coordinate e linee coordinate354
Indice 13 4.3.4 Superfici di rotazione............. 357 4.3.5 Superfici rigate................ 357 4.3.6 Superfici sviluppabili............. 357 4.3.7 Superfici celebri................ 358 4.3.7.1 Nastro di Möbius.......... 360 4.3.8 Quadriche................... 362 4.3.8.1 Quadriche con GeoGebra..... 370 4.3.9 Altre superfici notevoli............ 378 5 Integrazione 391 5.1 Estensione del concetto di misura.......... 391 5.1.1 Misura secondo Peano-Jordan........ 392 5.2 Integrale esteso ad un intervallo........... 393 5.2.1 Alcune proprietà dell integrale esteso.... 394 5.2.2 Teorema fondamentale del calcolo integrale. 395 5.2.2.1 Somme integrali con GeoGebra.. 396 5.2.3 Esercizi proposti............... 396 5.2.3.1 Volumi solidi............ 397 5.2.3.2 Esercizi proposti.......... 398 5.3 Lunghezza di una curva............... 398 5.3.1 Massa e baricentro di un filo......... 402 5.3.1.1 Esercizi proposti.......... 405 5.4 Integrali curvilinei di campi vettoriali........ 407 5.4.1 Integrali curvilinei di forme differenziali... 408 5.4.2 Forme differenziali esatte........... 410 5.4.2.1 Teorema fondamentale del calcolo per forme differenziali esatte.... 412 5.4.2.2 Forme differenziali chiuse..... 413 5.4.3 Esercizi proposti............... 414 5.5 Integrali doppi..................... 415 5.5.1 Alcune proprietà dell integrale doppio.... 418 5.5.2 Proprietà................... 418 5.5.3 Formule di riduzione per integrali doppi su rettangoli.................. 419
14 Indice 5.5.4 Formule di riduzione per integrali doppi su domini normali e regolari......... 421 5.5.5 Cambiamento di variabili........... 424 5.5.5.1 Cambiamento di variabili in coordinate polari........ 425 5.5.6 Esercizi svolti................. 425 5.5.7 Esercizi proposti............... 445 5.6 Aree e integrali di superficie............. 447 5.6.1 Massa e baricentro di una lamina superficiale 452 5.6.1.1 Esercizi proposti.......... 453 5.7 Integrali tripli..................... 453 5.7.1 Massa, baricentro e momento di inerzia di un solido.................. 453 5.7.2 Operatori differenziali di un campo: divergenza e rotore.............. 454 5.7.2.1 Esercizi proposti.......... 457 Appendice: Funzioni e Strutture Algebriche 459 Appendice: Tabelle utili 473 Bibliografia 475 Indice analitico 477
Elenco delle figure 1.1 Somma tra punti................... 25 1.2 Prodotto per uno scalare............... 25 1.3 Equazione parametrica della retta.......... 28 1.4 Base nello spazio vettoriale OU........... 31 1.5 Coordinate di un punto rispetto ad una base.... 33 1.6 Modulo del punto P................. 36 1.7 Coseni direttori.................... 43 1.8 Costruzione trasporto del segmento......... 49 1.9 Costruzione trasporto dell angolo.......... 50 1.10 Parallela........................ 51 1.11 Perpendicolare 1................... 52 1.12 Perpendicolare 2................... 53 1.13 Somma di due punti................. 54 1.14 Costruzione dell opposto di un punto........ 55 1.15 Costruzione del sottomultiplo di un punto..... 56 1.16 Prodotto di due punti................ 57 1.17 Inverso......................... 58 1.18 Bisettrice di un angolo................ 59 1.19 Prodotto per uno scalare............... 60 1.20 Coniugato di un punto................ 61 1.21 Prodotto tra due punti coniugati.......... 62 1.22 Costruzione della radice di C............ 63 1.23 Costruzione medio proporzionale.......... 64 1.24 Costruzione inverso circolare: caso punto esterno circonferenza....................... 65 15
16 Elenco delle figure 1.25 Costruzione inverso circolare: caso punto interno circonferenza....................... 66 2.1 Esercizio 2.1.8..................... 84 2.2 Esercizio 2.1.9..................... 85 2.3 Esercizio 2.1.10.................... 86 2.4 Esercizio 2.1.11.................... 88 2.5 Esercizio 2.2.1..................... 95 2.6 Esercizio 2.2.2..................... 97 2.7 Esercizio 2.2.3..................... 98 2.8 Esercizio 2.2.4..................... 100 2.9 Esercizio con risoluzione A.............. 102 2.10 Esercizio con risoluzione B.............. 103 2.11 Vista CAS di calcolo determinante in esercizio 2.3.1 126 2.12 Vista CAS matrice ridotta in esercizio 2.3.1.... 127 2.13 Vista CAS per soluzione esercizio 2.3.2....... 130 2.14 Vista CAS per soluzione esercizio 2.3.3....... 132 2.15 Esercizio con risoluzione A.............. 138 2.16 Esercizio con risoluzione B.............. 139 3.1 Visualizzazione dell inversa.............. 144 3.2 Potenza 0 < α < 1.................. 152 3.3 Potenza α > 1..................... 153 3.4 Confronto grafici funzioni potenza con esponente maggiore di 1....................... 153 3.5 Potenza 1 < α < 0................. 154 3.6 Potenza α < 1.................... 154 3.7 Esponenziale a > 1.................. 155 3.8 Esponenziale 0 < a < 1................ 155 3.9 Confronto grafici esponenziali base maggiore di 1. 155 3.10 Funzione logaritmo a > 1............... 156 3.11 Funzione logaritmo 0 < a < 1............ 156 3.12 Confronto grafici funzioni logaritmo......... 157 3.13 Risoluzione (3.3) in esercizio 3.1.1.......... 165 3.14 Risoluzione di (3.5) in esercizio 3.1.3........ 170 3.15 Risoluzione di (3.5) in esercizio 3.1.3........ 171
Elenco delle figure 17 3.16 Rappresentazione nel piano cartesiano di (3.6)... 172 3.17 Variazione di segno sulla retta numerica di (3.6).. 172 3.18 Rappresentazione grafica del numeratore di (3.8).. 173 3.19 Rappresentazione grafica del denominatore di (3.8) 174 3.20 Visualizzazione soluzione di (3.8).......... 174 3.21 VS numeratore di (3.9) in esercizio 3.1.6...... 175 3.22 VS denominatore di (3.9) in esercizio 3.1.6..... 175 3.23 VS di (3.9) in esercizio 3.1.6............. 175 3.24 VS numeratore di (3.10) in esercizio 3.1.7...... 176 3.25 VS denominatore di (3.10) in esercizio 3.1.7.... 176 3.26 VS di (3.10) in esercizio 3.1.7............ 176 3.27 Risultato finale VS di (3.10) in esercizio 3.1.7... 177 3.28 Intorno di x 0...................... 189 3.29 Intorno di +.................... 189 3.30 Intorno di.................... 190 3.31 Soluzione dell esercizio 3.2.1............. 214 3.32 Soluzione dell esercizio 3.2.2............. 217 3.33 Soluzione dell esercizio 3.2.3............. 218 3.34 Visualizzazione in 2D................. 259 3.35 Visualizzazione in 3D................. 259 3.36 Triedro di Frenet................... 263 3.37 Algebra di Figura 3.36................ 264 3.38 Parabola........................ 266 3.39 Ellisse......................... 267 3.40 Iperbole........................ 268 3.41 Trisettrice di Ippia.................. 282 3.42 Cissoide........................ 283 3.43 Concoide........................ 284 3.44 Rodonea........................ 285 3.45 Esempio di epicicloide: cardioide.......... 286 3.46 Esempio di ipocicloide: asteroide.......... 287 3.47 Cicloide........................ 288 3.48 Spirale Archimedea.................. 289 3.49 Spirale Logaritmica.................. 290 3.50 Elica Cilindrica.................... 291
18 Elenco delle figure 3.51 Elica Conica...................... 292 3.52 Catenaria....................... 293 3.53 Trattrice........................ 294 3.54 Curva di Bézier.................... 295 4.1 Grafico funzione di due variabili........... 298 4.2 Piano tangente al grafico di una funzione...... 319 4.3 Rappresentazione grafico log 2 (xy 1)........ 324 4.4 Rappresentazione VS log 2 (xy 1).......... 325 4.5 Soluzione e rappresentazione 4.1.6.......... 326 4.6 Soluzione e rappresentazione 4.2.2.......... 327 4.7 Soluzione e rappresentazione 4.2.2.......... 328 4.8 Soluzione e rappresentazione 4.2.12......... 349 4.9 Soluzione e rappresentazione 4.2.13......... 350 4.10 Soluzione e rappresentazione 4.2.14......... 351 4.11 Superficie regolare con curve tracciate........ 353 4.12 Ellissoide........................ 371 4.13 Paraboloide ellittico:................. 372 4.14 Paraboloide iperbolico:................ 373 4.15 Iperboloide iperbolico oad una falda......... 374 4.16 Iperboloide ellittico o a due falde.......... 375 4.17 Cono.......................... 376 4.18 Cilindro ellittico.................... 377 4.19 Catenoide....................... 380 4.20 Pseudosfera...................... 381 4.21 Sella di scimmia.................... 382 4.22 Superficie di Gaudì.................. 383 4.23 Superficie di Guimard................ 384 4.24 Nastro su ellissoide.................. 385 4.25 Nautilus........................ 386 4.26 Conchiglia....................... 387 4.27 Colonna torsa..................... 388 4.28 Serpentino....................... 389 4.29 Vite di Saint-Gilles.................. 390 5.1 Interpretazione geometrica integrale......... 394
Elenco delle figure 19 5.2 Poligonali inscritte su una curva........... 399 5.3 Esercizio 5.3.1..................... 400 5.4 Interpretazione geometrica integrale curvilineo... 402 5.5 Esercizio 5.3.2..................... 403 5.6 Esercizio 5.3.2..................... 404 5.7 Esercizio 5.3.3..................... 406 5.8 Lavoro di un campo di forze su una curva..... 408 5.9 Cammino in 3D.................... 410 5.10 Somma integrale per f non negativa......... 417 5.11 Costruzione somma integrale per f non negativa.. 417 5.12 Integrazione su dominio rettangolare 1....... 420 5.13 Integrazione su dominio rettangolare 2....... 420 5.14 Area compresa tra due grafici............ 422 5.15 Esercizio 5.5.3..................... 429 5.16 Esercizio 5.5.7..................... 430 5.17 Esercizio 5.5.5..................... 431 5.18 Esercizio 5.5.6..................... 433 5.19 Esercizio 5.5.8..................... 436 5.20 Esercizio 5.5.9..................... 438 5.21 Esercizio 5.5.10.................... 439 5.22 Esercizio 5.5.10.................... 440 5.23 Esercizio 5.5.11.................... 442 5.24 Esercizio 5.5.12.................... 444 5.25 Esercizio 5.5.13.................... 446 5.26 Esercizio 5.6.1..................... 449 5.27 Esercizio 5.6.1..................... 450 5.28 Esercizio 5.6.2..................... 451