17. Fuzioi implicite 17.a Fuzioi defiite implicitamete Sia data l equazioe lieare implicita i R 2 ax + by = 0. Se b 0, si puo ricavare la variabile y i fuzioe della x come y = ( a/b)x. Equivaletemete possiamo dire che le soluzioi (x, y) dell equazioe implicita ax + by = 0 soo il grafico della fuzioe di ua variabile y = (a/b)x. Se si passa a equazioi o lieari, ad esempio φ(x, y) = x 2 + y 2 1, la situazioe è più complicata. Ad esempio l isieme delle soluzioi di x 2 +y 2 1 = 0 è il cerchio uitario di R 2 : globalmete o è u grafico, tuttavia a pezzi è il grafico di opportue fuzioi o della variabile x o della variabile y defiite su itervalli, cfr. Figura 17.1. U teorema dovuto a Ulisse Dii (145 191) assicura questo tipo di comportameto per ua geerica equazioe o lieare i variabili sulla base di ua iformazioe qualitativa sulla equazioe. Sia data ua equazioe o lieare φ(x) = 0, x = (x 1, x 2,..., x ) R co φ : R R di classe C 1 ed ua sua soluzioe x 0. Se Dφ(x 0 ) 0, allora le soluzioi dell equazioe φ(x 1, x 2,..., x ) = 0 vicio a x 0 soo i puti del grafico di ua fuzioe di classe C 1 di ( 1) variabili defiita su u aperto di R 1. Ne segue che l isieme delle soluzioi, i.e., la liea di livello ulla di φ, } Γ := x R φ(x) = 0 è vicio a x 0 ua sottovarietà di dimesioe ( 1). Ioltre, lo spazio tagete i x 0 a Γ è dato da Ta x0 Γ = kerdφ(x 0 ) = φ(x 0 ). Il teorema del Dii si estede ache a sistemi di equazioi implicite φ 1 (x 1,...,x ) = 0,... φ m (x 1,..., x ) = 0 (17.1)
144 17. Fuzioi implicite Figura 17.1. (a) y = 1 x 2 o x = p 1 y 2. (b) x = p 1 y 2. ed è oto come teorema delle fuzioi implicite. Acora ua volta il caso lieare è illumiate. Suppoiamo di avere ua matrice C M m, (R) co m di rago massimo. Riordiado le variabili, suppoiamo che ( ) C = A B co A M m, m (R) e B M m,m (R) co detb 0. Idicado co z = (x, y), x R m, y R m, le coordiate i R, il sistema Cz = 0 si riscrive come ( ) ( ) x A B = Ax + By = 0. y Essedo detb 0, si ricavao dall ultima equazioe le m variabili y i fuzioe delle m variabili x, y = B 1 Ax. Abbiamo provato che, se C ha rago massimo m, le soluzioi di Cz = 0 soo il grafico della fuzioe (i questo caso lieare) delle m variabili x data da y = B 1 Ax. Il teorema delle fuzioi implicite estede la precedete affermazioe al caso di u sistema di equazioi o lieari. 17.b Il teorema delle fuzioi implicite Sia φ : Ω R R m, m, φ = (φ 1,..., φ m ) di classe C k, k 1, e cosideriamo il sistema (17.1), o co otazioe più compatta φ(x 1, x 2,..., x ) = 0. (17.2) Come el caso lieare dividiamo le variabili i due gruppi x = (x 1,...,x r ) R r e y = (x r+1,...,x ) R m, r + m =. Idichiamo co x (x, y) M m,r(r) e y (x, y) M m,m(r) rispettivamete le matrici m r delle prime r coloe e m m delle ultime m coloe di Dφ i (x, y),
17. Fuzioi implicite 145 R m φ(x,y) = 0 φ : Ω R r R m R m R m y 0 x 0 U R r Figura 17.2. Il teorema delle fuzioi implicite. Dφ = x y. 17.1 Teorema (delle fuzioi implicite). Sia φ : Ω R R m ua applicazioe di classe C k (Ω), k 1, e sia > m. Se i (x 0, y 0 ) Ω φ(x 0, y 0 ) = 0, det y (x 0, y 0 ) 0, allora esistoo u itoro aperto W di (x 0, y 0 ) R r R m, u itoro aperto U di x 0 i R r e ua fuzioe ϕ : U R m tali che (i) φ : W R m è aperta, (ii) ϕ è di classe C 1, (iii) si ha (x, y) W, φ(x, y) = 0, se e solo se x U, y = ϕ(x). Dimostrazioe. Sia r := m. La fuzioe f(x, y) := (x, φ(x, y)), (x, y) Ω, è di classe C 1 e 0 Df = B @ Id r 0 x y 1 C A quidi detdf(x 0, y 0 ) = det y (x 0, y 0 ) 0. Per il teorema di ivertibilità locale, Teorema 12.2, esiste u itoro V di (x 0, y 0 ) tale che Z := f(v ) è aperto e f V è u diffeomorfismo da V i Z. Si può duque scegliere u itoro aperto coesso U di x 0 i R r e ua palla B(0, δ) i R m i modo che U B(0, δ) Z. Se W := f 1 (U B(0, δ)), allora f è u diffeomorfismo di classe C 1 da W su U B(0, δ). I particolare f W è aperta e quidi φ W è aperta quale composizioe di f co la proiezioe ortogoale sul secodo fattore. (i) è quidi dimostrata. Sia g : U B(0, δ) W l iversa di f W che sappiamo essere di classe C 1. Scriviamo g come g =: (α, β) co
146 17. Fuzioi implicite α := (g 1, g 2,..., g r ), e β := (g r+1,..., g r+m ). α, β soo ovviamete di classe C 1 (U B(0, δ)). Essedo g : U B(0, δ) l iversa di f W, si ha x = α(z, w) = z, > z = x, > y = β(z, w), w = φ(x, y), se e solo se >: z U, (x, y) W >: w B(0, δ) i particolare > z = x, 0 = φ(x, y), >: (x, y) W se e solo se x = α(z, w) = z U, y = β(z,0), La fuzioe ϕ(x) := β(x,0), x U, verifica duque le (ii) e (iii). 17.2 Corollario. Nelle ipotesi e co le otazioi del Teorema 17.1 si ha (i) Γ W è il grafico della fuzioe ϕ : U R m, } } Γ W = (x, y) W φ(x, y) = 0 = (x, y) x U, y = ϕ(x), (ii) φ(x, ϕ(x)) = 0 x U, e differeziado ( ) 1(x, Dϕ(x) = ϕ(x)) (x, ϕ(x)) x U, (17.3) x y (iii) il pezzo di liea di livello Γ W è diffeomorfo ad U, i particolare Γ W è ua ( m)-sottovarietà di R co Ta z Γ = kerdφ(z) z Γ W (17.4) o, equivaletemete, Ta z Γ = Spa } φ 1 (z),..., φ m (z) z Γ W. (17.5) Dimostrazioe. (i) è la riscrittura della tesi del teorema delle fuzioi implicite. (ii) Da (i) segue che φ(x, ϕ(x)) = 0 x U. Differeziado i x co la regola della catea segue 0 1 Dφ(x, ϕ(x)) B @ Id = 0, (17.6) C A Dϕ(x) o ache o acora la (17.3). (x, ϕ(x)) + (x, ϕ(x))dϕ(x) = 0, x y (iii) Per (i) Γ W è il grafico della fuzioe di classe C 1 ϕ : U R m e duque è diffeomorfo ad U. Lo spazio tagete a Γ W i (x, ϕ(x)) è duque lo spazio tagete al grafico di ϕ
17. Fuzioi implicite 147 Ta xγ Γ = φ(x) = 0} φ(x) Figura 17.3. Piao tagete e piao ormale. i (x, ϕ(x)). Le coloe della matrice a destra ella (17.6) geerao lo spazio tagete a Γ i (x, ϕ(x)) e quidi Ta (x,ϕ(x)) Γ kerdφ(x, ϕ(x)); segue la (17.4) avedo Ta (x,ϕ(x)) Γ e kerdφ(x, ϕ(x)) la stessa dimesioe m. La (17.5) segue ifie perché kerdφ(z) = Spa φ 1 (z),..., φ (z)o m z Γ W. 17.3 Corollario (delle fuzioi implicite, II). Sia Ω R R m ua fuzioe di classe C 1, sia } Γ = x Ω φ(x) = 0 Se la matrice jacobiaa Dφ(x) ha rago i ogi puto x Γ, allora Γ è ua ( m)-sottovarietà di R e Ta x Γ = kerdφ(x) x Γ. 17.c Esercizi 17.4 Esercizio. Cosideriamo azitutto ua situazioe be defiita, ad esempio quella del cerchio uitario, φ(x, y) = x 2 + y 2 1 = 0 i R 2, e sia (x 0, y 0 ) = (1/ 2,1/ 2). Chiaramete (x x 0 ) + (y y 0 ) = 1 è l equazioe della retta tagete al cerchio i (x 0, y 0 ). Si ritrovi la stessa retta tagete al cerchio co la tesi del teorema delle fuzioi implicite. Soluzioe. Si ha Dφ(x, y) = (2x, 2y), quidi Dφ(x 0, y 0 ) = 2(1, 1). Pertato il cerchio uitario è ell itoro di (x 0, y 0 ) sia il grafico di ua fuzioe y = ϕ(x) che di ua fuzioe x = ψ(y) etrambe di classe C. Ioltre lo spazio tagete al cerchio uitario è l isieme dei vettori (x, y) R 2 tali che 0 =! x 2(1, 1) = x + y, y i accordo co l ituizioe. Per calcolare lo spazio tagete, si può procedere i modo leggermete diverso: dal teorema delle fuzioi implicite y = ϕ(x); si ha quidi x 2 + ϕ 2 (x) = 1 per x vicio a 1/ 2. Derivado i x si trova 2x + 2ϕ(x)ϕ (x) = 0, e quidi ϕ (x 0 ) = 1. Il vettore (1, ϕ (x 0 )) è il vettore velocità della curva x ϕ(x), duque (1, 1) geera lo spazio tagete al cerchio i (x 0, y 0 ), i accordo co l ituizioe e co quato provato prima.
14 17. Fuzioi implicite 17.5 Esercizio. Si cosideri l isieme Γ di R 3 delle soluzioi di x + log y + 2z 2 = 0, : 2x + y 2 + e z 1 e = 0 Descrivere Γ ell itoro di (0, 1, 1) Γ usado il teorema delle fuzioi implicite. Soluzioe. Sia φ(x, y, z) := (x + log y + 2z 2,2x + y 2 + e z 1 e). Si ha! Dφ(0, 1,1) = 1 1 2 2 2 e! 1 2 e, essedo det = e 4 0, segue dal teorema delle fuzioi implicite che esiste u 2 e itoro aperto W R 3 di (0, 1, 1) tale che o Γ W = (x, y, z) y = α(x), z = β(x) co ϕ := (α, β) di classe C. I altre parole Γ W è la traiettoria della curva parametrizzata dalla x, x (x, α(x), β(x)). Sempre dal teorema delle fuzioi implicite, segue che lo spazio tagete (i.e., la retta tagete traslata ell origie) alla curva Γ W è il ucleo di Dφ(0, 1, 1), vale a dire le soluzioi (x, y, z) del sistema lieare x + 2y = 0, : 2x + 2y + ez = 0. Si oti che queste soluzioi soo perpedicolari ai due vettori idipedeti fra loro (1, 1, 2) e (2, 2, e). Per calcolare la spazio tagete alla curva Γ i (0, 1, 1), si può procedere ache el seguete modo: sempre dal teorema delle fuzioi implicite segue che y = α(x), z = β(x), co α, β regolari. Sostituedo ella equazioe implicita di Γ si trova x + log α(x) + 2β(x) 2 = 0, : 2x + α 2 (x) + e β(x) 1 e = 0 i u itoro di zero. Derivado i x si ottiee, ricordado che α(0) = β(0) = 1, 2 + 2α (0) + 4β (0) = 0, : 2 + 2α (0) + eβ (0) = 0, vale a dire α (0) = 1, β (0) = 0. Essedo (1, α (0), β (0)) il vettore velocità della curva x (x, α(x), β(x)), si coclude che la retta tagete a Γ i (0, 1, 1) ha equazioe parametrica 0 1 0 1 0 1 x 1 0 B C B C B C @ ya = t @ 1A + @ 1A. z 0 1 Si oti che (1, 1, 0) è davvero perpedicolare a (1, 1, 2) e a (2, 2, e). Ifie si oti che la retta tagete a Γ è l itersezioe dei due piai tageti alle due superfici di equazioe rispettivamete le due righe di φ. 17.6 Esercizio. Mostrare che l isieme di livello xe y +ye x = 1 è ell itoro di (1, 0) il grafico di ua fuzioe regolare y = ϕ(x). Calcolare ϕ (0). 17.7 Esercizio. Mostrare che l isieme di livello i R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1, : xe y + y cos z + xz = 1 è ell itoro del puto (1, 0, 0) il grafico di ua curva x = x(z), y = y(z). Calcolare l accelerazioe della curva i (1, 0, 0).
17. Fuzioi implicite 149 Ω (x, φ(x, y)) φ R m U B(0, δ) W δ R r g U x R r U Figura 17.4. Illustrazioe del teorema delle fuzioi implicite. 17. Esercizio (Foliazioi). Sia φ : Ω R m ua fuzioe di classe C 1 defiita su u aperto Ω R r R m. Per ogi c R m chiamiamo liea di livello c di φ l isieme o Γ c := (x, y) Ω φ(x, y) = c, co ua evidete aalogia co le liee di livello di ua carta geografica i cui φ modella l altezza sul livello del mare. Il teorema delle fuzioi implicite afferma i particolare che, se φ(x 0, y 0 ) = 0 e det y (x 0, y 0 ) 0, allora la liea di livello zero è, vicio a (x 0, y 0 ), il grafico di ua fuzioe y = ϕ(x) di classe C 1. Ma cosa dire delle liee di livello vicie, o Γ c := (x, y) φ(x, y) = c, c R m, c piccolo? Naturalmete, essedo φ di classe C 1, det y (x, y) 0 i tutti i puti (x, y) vicii a (x 0, y 0 ). Il teorema delle fuzioi implicite si applica perciò alle liee di livello vicie alla liea di livello ulla. Si prova immediatamete applicado il teorema delle fuzioi implicite alla fuzioe ψ(x, y, c) := φ(x, y) c = 0 che esiste u uica fuzioe (x, c) ϕ(x, c) di classe C 1 tale che per ogi c vicio a zero, la liea di livello c è, vicio a (x 0, y 0 ), il grafico di x ϕ(x, c), cfr. la Figura 17.4, i particolare vicio a x 0. φ(x, g(x, c)) c = 0 17.9 Esercizio. Covicersi che le ipotesi del Teorema 17.1 soo solo sufficieti per otteere la tesi. Soluzioe. Se ϕ : U R m è ua fuzioe di classe C 1, la fuzioe φ : U R R defiita da φ(x, y) := y ϕ(x), ha det y (x, y) = 1 e come luogo di zeri il grafico di ϕ. Ivece la fuzioe φ 2 o verifica le ipotesi del teorema i u puto (x 0, y 0 ) i cui φ(x 0, y 0 ) = 0 pur avedo φ e φ 2 lo stesso luogo di zeri. 17.10 Esercizio. Le sfere di R 3, S 2 := (x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 = r 2 } soo gli isiemi di livello della fuzioe φ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 da R 3 i R. L itersezioe fra due superfici due dimesioali di R 3 è u isieme di livello, questa volta di ua fuzioe a valori i R 2. Ad esempio la curva itersezioe tra la sfera uitaria di R 3, (x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 = 1} e il piao z = 1/ 2 è il cerchio dello spazio dato dai puti (x, y, z) soluzioi del sistema
150 17. Fuzioi implicite Figura 17.5. Itersezioe di due superfici trasverse. x 2 + y 2 + z 2 = 1, : z = 1 2 e quidi è l isieme di livello (1, 1/ 2) della fuzioe da R 3 i R 2 data da φ(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2, z). 17.11 Esercizio. Fare ua dimostrazioe del Teorema 17.1 el caso m = 1 e = 2 sviluppado i passi segueti che fao uso di ozioi del calcolo i ua variabile. Nella letteratura italiaa questo caso è chiamato teorema del Dii. (i) Mostrare che esiste ǫ > 0 tale che φ(x 0, y) 0 se y 0 ǫ y y 0, e φ(x 0, y) > 0 se y 0 y y 0 + ǫ. (ii) Mostrare che esiste δ > 0 tale che φ(x, y 0 ǫ) 0 e φ(x, y 0 + ǫ) > 0 se x x 0 δ. (iii) Posto R := (x, y) x x 0 δ, y y 0 ǫ}, osservare che si possoo scegliere ǫ e δ i modo che valga ache φ y(x, y) > 0 (x, y) R, e mostrare che, se x 1 x 0 δ, l equazioe φ(x 1, y) = 0 ha esattamete ua soluzioe y 1 co (x 1, y 1 ) R; questo defiisce ua fuzioe y = ϕ(x), x (x 0 δ, x 0 + δ) co φ(x, ϕ(x)) = 0. (d) Mostrare ifie che ϕ è di classe C 1 e che φ x(x, ϕ(x)) + φ y(x, ϕ(x))ϕ (x) = 0. Estedere la dimostrazioe precedete al caso m = 1, 2. 17.12 Esercizio. Suppoedo vero il teorema delle fuzioi implicite, dedurre il teorema di ivertibilità locale Teorema 12.2, Capitolo 9. Vista la dimostrazioe del Teorema 17.1, si coclude che i Teoremi 17.1 e 12.2 Capitolo 9 soo duque euciati equivaleti. [Sugg. Si cosideri l equazioe y ϕ(x) = 0.] 17.13 Esercizio (Itersezioi di sottovarietà). Siao M ed N due 2-sottovarietà i R 3 co N M. Mostrare che se i piai tageti ad M ed N ei puti di M N o coicidoo, allora M N è ua curva. Più i geerale mostrare che se M ua r-sottovarietà, N ua s-sottovarietà, r + s >, x 0 M N e Ta x0 M Ta x0 N ha dimesioe r + s >, allora M N è ua r + s sottovarietà i u itoro di x 0. [Sugg. Esprimere localmete M e N come isiemi di livello e applicare il teorema delle fuzioi implicite.] 17.14 Esercizio. Sia f : Ω R di classe C 1 e γ : [0, 1] Ω tale che γ(t) x R f(x) = t} t Ω. Calcolare la compoete di γ (t) ella direzioe perpedicolare alla superficie x R f(x) = t}. [Sugg. f(γ(t)) = t t [0, 1].]