Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR UNITA. PROGREIONI ARITMETICHE E GEOMETRICHE.. Le successioi ueriche.. Le progressioi ritetiche.. Il terie geerico e l rgioe i u progressioe ritetic.. L relzioe fr ue terii i u progressioe ritetic.. Le proprietà i u progressioe ritetic.. L so ei terii i u progressioe ritetic.. L iserieto i ei ritetici fr ue ueri ssegti.. Le progressioi geoetriche. 9. Il terie geerico e l rgioe i u progressioe geoetric. 0. L relzioe fr ue terii i u progressioe geoetric.. Le proprietà i u progressioe geoetric.. Il prootto ei terii i u progressioe geoetric.. L iserieto i ei geoetrici fr ue ueri ssegti.. L so ei terii i u progressioe geoetric.. Cocetti i ecooi.. L cpitlizzzioe seplice.. L cpitlizzzioe copost.. L cpitlizzzioe ist. 9 L crescit i u popolzioe. 0. Esercizi vri e problei i ppliczioe.. Le successioi ueriche. U successioe ueric è u seuez i ueri reli otteuti u fuzioe che ogi uero turle N ssoci u uero rele R secoo u cert regol. Per iicre l fuzioe si scrive: : N R Per esepio cosierio l successioe fort tutti i ueri reli che si ottegoo co uest regol: Il prio terie risult: Il secoo terie risult: Il terzo terie risult: e così vi. L successioe è fort i ueri: :... L vribile iipeete si chi iice ell successioe; L vribile ipeete si chi terie ell successioe. L successioe è fort u isiee i ueri ifiito e orito.
Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR U successioe si ice crescete se ogi terie è ggiore el suo preceete. Per esepio l successioe : 0 9... è crescete. U successioe si ice ecrescete se ogi terie è iore el suo preceete. Per esepio l successioe :... è ecrescete. U successioe si ice costte se ogi terie è ugule l suo preceete. Per esepio l successioe :...... è costte. Esepio. crivere i prii ciue terii ell successioe vete terie geerico: 0 0 0 : 0...... è l successioe ei ueri pri. Esepio. crivere i prii ciue terii ell successioe vete terie geerico: 0 0 9 : 9... è l successioe ei ueri ispri. Esepio. Dt l successioe: : 0 9... scrivere il terie geerico. Osservo i terii ell successioe si ot che oguo i essi è il urto i u uero turle perciò: Esepio. Dt l successioe: :... scrivere il terie geerico. 9 Osservo i terii ell successioe si ot che oguo i essi è il reciproco i u uero ispri perciò: Tr le successioi più iportti ci soo le progressioi ritetiche e le progressioi geoetriche che stuiereo i oo più ettglito.
Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR. Le progressioi ritetiche. U progressioe ritetic è u successioe ueric i cui l ifferez fr ogi terie e il suo preceete è u vlore costte che si chi rgioe ell progressioe. I geerle il prio terie ell progressioe si iic co il secoo terie ell progressioe si iic co.. l eesio terie ell progressioe si iic co l rgioe ell progressioe si iic co ifferez. Perciò i u progressioe ritetic risult: Esepio. L successioe i ueri: :... è u progressioe ritetic i cui il prio terie è e l rgioe è. Il suo terie geerico è: Esepio. L successioe i ueri: :... è u progressioe ritetic i cui il prio terie è e l rgioe è. Il suo terie geerico è: Esepio. Nell progressioe ritetic co terie geerico: il prio terie vle e l rgioe vle perciò si ottiee: 9 L progressioe ritetic risult: :... 9
Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR. Il terie geerico e l rgioe i u progressioe ritetic. I geerle se iichio co il prio terie ell progressioe ritetic e co ifferez l rgioe ell progressioe osservio che:. il secoo terie risult: il terzo terie risult: il urto terie risult: il geerico terie eesio risult: Dll forul preceete è possibile clcolre il geerico terie ell progressioe oppure il posto che occup il geerico terie Esepio. I u progressioe ritetic co terie ell progressioe. 0 9 0 0 0 Esepio. I u progressioe ritetic co e Clcolre l rgioe ell progressioe. 9 9 9 Esepio. oppure l rgioe. clcolre il vetesio il oicesio terie vle U progressioe ritetic h il prio terie ugule e l rgioe ugule.. Clcolre il posto che occup il terie. Il terie occup l uicesio posto ell progressioe.
Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR. L relzioe fr ue terii i u progressioe ritetic. e e soo ue ueri iteri co co i u progressioe ritetic risult che: ottreo ueste forule ebro ebro si ottiee: ; ; Quest forul perette i clcolre l rgioe i u progressioe coosceo ue terii ulsisi e il posto che essi occupo ell progressioe. Esepio. Clcolre l rgioe i u progressioe ritetic i cui il settio terie vle e il oicesio terie vle. 0
Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR. Le proprietà i u progressioe ritetic. Pri proprietà. I u progressioe ritetic ogi terie è ugule ll ei ritetic tr uello preceete e uello successivo. Iftti clcolio l ei ritetic tr il prio terie e il terzo terie: Clcolio l ei ritetic tr il secoo terie e il urto terie: Clcolio l ei ritetic tr il terzo terie e il uito terie: e così vi. eco proprietà. I u progressioe ritetic l so i ue terii euiistti gli estrei è costte e è ugule ll so ei terii estrei. Iftti cosierio sei terii i u progressioe ritetic: Clcolio l so egli estrei e : Clcolio l so ei terii e euiistti gli estrei: Clcolio l so ei terii e euiistti gli estrei: Coe si vee l so rie costte.
Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR. L so ei terii i u progressioe ritetic. L so ei prii terii i u progressioe ritetic è ugule l prootto i per l seiso ei ue terii estrei. Cioè Per l iostrzioe osservio che si ottiee l stess so scbio l orie egli ei:... - -... - - oo ebro ebro i colo si ottiee:... - - Al secoo ebro ci soo i tutto terii tr pretesi e soo tutti uguli perciò si può scrivere:... ; Esepio. Clcolre l so i tutti i ueri turli 00. 00 0 0 00 00 Esepio. Clcolre l so i tutti i ueri pri.... Bisog clcolre il uero i terii. 9
Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR Esepio. Clcolre l so i tutti i ueri ispri.... Bisog clcolre il uero i terii. 0 0 Esepio. Clcolre l so i tutti i ultipli i 900 0. 900 9090... 0 Bisog clcolre il uero i terii. 0 900 900 0 9 9 90
Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR 9. L iserieto i ei ritetici fr ue ueri ssegti. Iserire uttro ei ritetici fr ue ueri ssegti x e y vuol ire trovre uttro ueri copresi tr x e y tli che l successioe: y x si u progressioe ritetic i sei terii. Per trovre tli ueri bisog clcolre l rgioe ell progressioe ritetic pplico l forul: x y x y Esepio. Iserire uttro ei ritetici fr i ueri e. L successioe i sei terii eve essere: i clcol l rgioe: 0 x y I ei ritetici soo: 9 9 Esepio. Iserire otto ei ritetici fr i ueri - e. L successioe i ieci terii eve essere: 9 i clcol l rgioe: 9 0 I ei ritetici soo: 0 0 0 0 9
Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR 0. Le progressioi geoetriche. U progressioe geoetric è u successioe ueric i cui il uoziete fr ogi terie e il suo preceete è u vlore costte che si chi rgioe ell progressioe. I geerle il prio terie ell progressioe si iic co il secoo terie ell progressioe si iic co.. l eesio terie ell progressioe si iic co l rgioe ell progressioe si iic co uoziete. Perciò i u progressioe geoetric risult: Esepio. L successioe i ueri:... : è u progressioe geoetric i cui il prio terie è e l rgioe è. Il suo terie geerico è: Esepio. L successioe i ueri:... 9 : è u progressioe geoetric i cui il prio terie è e l rgioe è. Il suo terie geerico è: Esepio. Nell progressioe geoetric co terie geerico: il prio terie vle e l rgioe vle perciò si ottiee: 0 L progressioe geoetric risult:... :
Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR 9. Il terie geerico e l rgioe i u progressioe geoetric. I geerle iico co il prio terie ell progressioe ritetic e co uoziete l rgioe ell progressioe il secoo terie risult: il terzo terie risult: il urto terie risult: il terie geerico eesio risult: D uest forul è possibile clcolre il geerico terie ell progressioe oppure l rgioe oppure il posto che occup il geerico terie. Esepio. I u progressioe geoetric co e clcolre il uito terie. Esepio. I u progressioe geoetric co il settio terie vle 9. Clcolre l rgioe ell progressioe. 9 9 9 9 9 Esepio. U progressioe geoetric h il prio terie ugule e l rgioe ugule. Clcolre il posto che occup il terie 9. 9 Il terie 9 occup il settio posto ell progressioe geoetric.
Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR 0. L relzioe fr ue terii i u progressioe geoetric. e e soo ue ueri iteri tli che i u progressioe geoetric risult che: Divieo ebro ebro si ottiee: Cioè: Quest forul perette i clcolre l rgioe i u progressioe geoetric coosceo ue terii ulsisi e il posto che essi occupo ell progressioe. Esepio. Clcolre l rgioe i u progressioe geoetric i cui il terzo terie è 0 e il sesto terie è 0. 0 0 Esepio. I u progressioe geoetric i rgioe il settio terie vle. Clcolre il posto che occup il terie 0. 0 0 Il terie 0 occup l uicesio posto ell progressioe.
Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR. Le proprietà i u progressioe geoetric. Pri proprietà. I u progressioe geoetric ogi terie è ugule ll ei geoetric tr uello preceete e uello successivo. Iftti clcolio l ei geoetric tr il prio terie e il terzo terie: Clcolio l ei geoetric tr il secoo terie e il urto terie: Clcolio l ei geoetric tr il terzo terie e il uito terie: e così vi. eco proprietà. I u progressioe geoetric il prootto i ue terii euiistti gli estrei è costte e è ugule l prootto ei terii estrei. Iftti cosierio sei terii i u progressioe geoetric: Clcolio il prootto egli estrei e : Clcolio il prootto ei terii e euiistti gli estrei: Clcolio il prootto ei terii e euiistti gli estrei: Coe si vee il prootto rie costte.
Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR. Il prootto ei terii i u progressioe geoetric. Il prootto i terii i u progressioe geoetric vle: P Per l iostrzioe osservio che si ottiee lo stesso prootto scbio l orie ei fttori:... - - P... - - P Moltiplico ebro ebro i colo si ottiee:... - - P Al secoo ebro ci soo i tutto fttori tr pretesi e soo tutti uguli perciò si può scrivere:... P ; P P Esepio. U progressioe geoetric h e. Clcol il prootto ei prii terii. P 0 P
Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR. L iserieto i ei geoetrici fr ue ueri ssegti. Iserire uttro ei geoetrici fr ue ueri ssegti x e y vuol ire trovre uttro ueri copresi tr x e y tli che l successioe: x si u progressioe geoetric i sei terii. Per trovre tli ueri bisog clcolre l rgioe ell progressioe geoetric pplico l forul: Esepio. Iserire uttro ei geoetrici tr i ueri e. y y x y x I ei geoetrici soo:
Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR. L so ei terii i u progressioe geoetric. L so i terii i u progressioe geoetric vle: Per l iostrzioe osservio che:... - - Cioè... I uest ugugliz oltiplichio bo i ebri per.... ottreo ebro ebro l e l si seplifico usi tutti i terii esclusi il prio e l ultio per cui si ottiee: Esepio. U progressioe geoetric h il prio terie ugule ue e l rgioe ugule uttro. Clcolre l so ei prii ciue terii. 0 0 0
Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR. Cocetti i ecooi. U operzioe fiziri è u cotrtto co cui vviee uo scbio i ero i tepi iversi. i chi creitore colui che cocee il prestito e ebitore colui che riceve il prestito. Il cpitle C è l so i ero che il creitore cocee l ebitore el oeto el cotrtto i cbio i u copeso l terie el cotrtto. L iteresse I è il copeso che il ebitore si ipeg versre l creitore ll scez el cotrtto i ggiut l cpitle iizile. Il tsso iteresse i è l percetule ell iteresse uo sul cpitle prestto. Il otte M è l so i ero coplessiv che il ebitore eve versre l creitore ll scez el cotrtto. M C I L cpitlizzzioe è il proceieto tetico co cui viee clcolto l iteresse I turto sul cpitle C. Questo proceieto geerlete può essere i ue tipi: l cpitlizzzioe seplice che si effettu clcolo l so ei terii i u progressioe ritetic; l cpitlizzzioe copost che si effettu clcolo l so ei terii i u progressioe geoetric. I certi csi si effettu che l cpitlizzzioe ist.
Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR. L cpitlizzzioe seplice. L cpitlizzzioe seplice è il proceieto tetico utilizzto per clcolre l iteresse ll fie i ogi o co l coizioe che uesto iteresse o si so l cpitle ivestito e uii o prouce ltri iteressi l o successivo. I prtic il otte otteuto ogi o si clcol sepre sull bse el cpitle ivestito C. e si prest u cpitle C u tsso iteresse i opo u o il otte M ivet: opo ue i il otte ivet: opo tre i il otte ivet: M C ic M C ic M C ic Coe si può osservre l ifferez fr ogi otte e uello preceete è sepre costte e vle ic. Perciò tutti i otti clcolti soo i terii i u progressioe ritetic i rgioe ic. Geerlizzo il risultto preceete si può ire che opo u uero i i il otte risult: M C ic cioè C i M Esepio. I u operzioe fiziri si prest u cpitle i 00000 per i l tsso iteresse el % uo. Clcolre il otte co l cpitlizzzioe seplice. M C i C i C 00 C 0 00000 00 Esepio. I u operzioe fiziri si prest u cpitle i 00000 per esi l tsso iteresse el % uo. Clcolre il otte co l cpitlizzzioe seplice. M C i C i C 00 00000 0 0 Esepio. I u operzioe fiziri si prest u cpitle i 00 l tsso iteresse el % uo. tbilire uti i bisog tteere per vere u otte i leo 0000 co l cpitlizzzioe seplice. Dll forul C i bisog clcolre il uero i i. M M C M 0000 M 00 9 09 i i C 9 C i 00 00 00 Bisog tteere circ i.
Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR 9. L cpitlizzzioe copost. L cpitlizzzioe copost è il proceieto tetico utilizzto per clcolre l iteresse ll fie i ogi o co l coizioe che uesto iteresse si so l cpitle ivestito e uii prouce ltri iteressi l o successivo. I prtic il otte otteuto ogi o si clcol sepre sull bse el otte ell o preceete. e si prest u cpitle C u tsso iteresse i opo u o il otte M ivet: M C ic C i Questo otte costituisce il cpitle ivestito per il secoo o ll fie el ule il uovo otte è: M M im M i C i i C i Questo otte costituisce il cpitle ivestito per il terzo o ll fie el ule il uovo otte è: M M im M i C i i C i Coe si può osservre il uoziete fr ogi otte e uello preceete è sepre costte e vle i. Perciò tutti i otti clcolti soo i terii i u progressioe geoetric i rgioe i. Geerlizzo il risultto preceete si può ire che opo u uero i i il otte risult: M C i Fceo lcui esepi si può verificre che se l urt el prestito è superiore ll o cioè il otte clcolto co l cpitlizzzioe copost è ggiore i uello clcolto co l cpitlizzzioe seplice; se ivece l urt el prestito è iferiore ll o cioè il otte clcolto co l cpitlizzzioe copost è iore i uello clcolto co l cpitlizzzioe seplice. Esepio. I u operzioe fiziri si prest u cpitle i 00000 per i l tsso iteresse el % uo. Clcolre il otte co l cpitlizzzioe copost. M C i C 00 00000 0 00000 0 00 Esepio. I u operzioe fiziri si prest u cpitle i 00000 per esi l tsso iteresse el % uo. Clcolre il otte co l cpitlizzzioe copost. M C i C 00 C 0 0 00000 0 009
Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR 0. L cpitlizzzioe ist. L cpitlizzzioe ist è il proceieto tetico utilizzto per clcolre l iteresse che è più coveiete per il creitore pplico l cpitlizzzioe copost per i perioi i tepo che corrispooo iteri i solri e l cpitlizzzioe seplice per i perioi i tepo che corrispooo frzioi i i solri. Per esepio se viee prestto u cpitle C l tsso i iteresse i l Ottobre 009 l 0 Giugo 0 l urt el prestito copree tre esi ell o 009 gli iteri i 00 0 0 e sei esi ell o 0. Dopo i tre esi ell o 009 il otte clcolto co l cpitlizzzioe seplice risult: M C i. Dopo l itero o 00 il otte clcolto co l cpitlizzzioe copost risult: M M im M i C i i. Dopo l itero o 0 il otte clcolto co l cpitlizzzioe copost risult: M M im M i C i i i C i i. Dopo l itero o 0 il otte clcolto co l cpitlizzzioe copost risult: M M im M i C i i i C i i. Dopo i sei esi ell o 0 il otte clcolto co l cpitlizzzioe seplice risult: M M i C i i i. Geerlizzo uesto risultto si può ire che se iichio co: f l pri frzioe ell o solre; il uero itero i i solri; f l seco frzioe ell o solre; il otte si può clcolre co l forul geerle: f i i f i M C Nell esepio preceete se il cpitle prestto è i 0.00000 e il tsso iteresse el % il otte risult: M 0000 00 00 00 0000 00090 09 Esercizio. U cpitle i 0.00000 viee prestto l tsso iteresse el % per esi ell o 00 per gli iteri i 00 00 00 00 e per esi ell o 00. Clcolre il otte file. M C i i i 0.00000 00 00 0 0 0.00000 00
Prof. Roberto Milizi presso Liceo cietifico E. Ferio Mesge BR. L crescit i u popolzioe. Nel 9 l ecooist iglese Thos Mlthus espose u teori per stuire l icreeto eogrfico e preveere gli sviluppi futuri ell società. ecoo l su teori l popolzioe cresce secoo u progressioe geoetric e le risorse ispoibili soprttutto uelle lietri o possoo sosteere per lugo tepo l crescit ell popolzioe. Di coseguez l cz i risorse sufficieti porterebbe perioicete u ueto el tsso i ortlità crestie epieie e guerre fio u riuzioe ell popolzioe tle crere u uov coizioe i euilibrio co le risorse ispoibili. e iichio co N il uero egli iiviui viveti i u certo o e co c il tsso i crescit ule ell popolzioe espresso i percetule opo u o il uero i iiviui ivet: N N cn N c Dopo ue i il uero i iiviui ivet: N Dopo tre i il uero i iiviui ivet: N N cn N c N c c N c N cn N c N c c N c Coe si può osservre il uoziete fr ogi uero e uello preceete è sepre costte e vle c. Perciò tutti i ueri clcolti soo i terii i u progressioe geoetric i rgioe c. Geerlizzo il risultto preceete si può ire che opo u uero i i il uero i iiviui risult: N N c Esepio. uppoeo che i u eterito o ci sio 0.000 iiviui viveti e che l popolzioe bbi u tsso i crescit costte el % clcolre il uero i iiviui opo i. N N c 0.000 00 0.000 0 0.0009. 9 9. Esercizi vri e problei i ppliczioe.