1. (a) Calcolare, nel regime dell interesse composto, l interesse I ed il montante M di 5000 euro impiegati per 3 anni e 5 mesi al tasso annuo i = 2%. [3 punti] (b) A quale tasso annuo d interesse semplice dovrebbe essere impiegato lo stesso capitale per generare, nello stesso periodo, lo stesso montante M? [3 punti] (c) A quale tasso annuo d interesse istantaneo δ dovrebbe essere impiegato lo stesso capitale per generare, nello stesso periodo, lo stesso montante M? [3 punti] Soluzione (a) Il tasso d interesse fornito è un tasso annuale quindi dobbiamo misurare il tempo in anni; il periodo di 3 anni e 5 mesi equivale a (3 + 5 ) anni. Allora: 12 M = C(1 + i) t = 5000 (1 + 0,02) 3+ 5 12 = 5350,00 (attenzione quando usate la calcolatrice, l esponente 3 + 5 deve essere messo tra 12 parentesi). Ne segue che l interesse I maturato in 3 anni e 5 mesi è pari a I = M C = 5350 5000 = 350 (b) Dobbiamo imporre che il montante M = 5350 sia generato, in capitalizzazione semplice e nello stesso periodo, dal capitale iniziale C = 5000; l equazione da scrivere è M = C(1 + it) 5350 = 5000[1 + i (3 + 5 12 )] dove l incognita è il tasso annuo semplice i. Si ha: 5350 = 1 + 41 i 5000 12 i = ( 5350 5000 1) (12) = 0,02049 = 2,049% 41 Osservazione: il tasso d interesse semplice è leggermente superiore al tasso composto, come dovevamo aspettarci ragionando sul piano finanziario.
(c) Dobbiamo imporre che il montante M = 5350 sia generato, in capitalizzazione continua e nello stesso periodo, dal capitale iniziale C = 5000; l equazione da scrivere è M = Ce δt 5350 = 5000e δ(3+ 5 12 ) dove l incognita è il tasso istantaneo δ. Per risolvere un equazione in cui l incognita è ad esponente devo applicare i logaritmi ad entrambi i membri (qui mi conviene applicare i logaritmi in base e), allora 5350 = 5000 e41 12 δ ln 5350 = ln e41 12 δ 0,06766 = 41 δ (proprietà dei logaritmi) 5000 12 δ = 12 0,06766 = 0,01980 = 1,98% 41 Osservazione: il tasso d interesse istantaneo è leggermente inferiore al tasso composto, come dovevamo aspettarci ragionando sul piano finanziario. 2. Un azienda vitivinicola acquista in leasing una macchina per imbottigliamento ed etichettatura. I termini del contratto sono i seguenti: a) il valore di fornitura è V = 97000 euro; b) il canone R da versare per 6 anni è trimestrale, posticipato e costante; c) il tasso contrattuale annuo in cc è i = 4,5% per tutto il periodo; d) il valore di riscatto E al tempo t = 6 anni è il 14% del valore di fornitura. Determinare il canone R da pagare. (Suggerimento: prima di tutto rappresentare il flusso di cassa dell operazione.) [9 punti] Soluzione Flusso di cassa dell operazione: trimestri 0 1 2 24 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- importi V R R R E
Valore di riscatto: E = 97000 0,14 = 13580 Calcoliamo il valore attuale V in t = 0 della rendita posticipata costituita dai 24 canoni trimestrali costanti (ci serve un tasso trimestrale i 4 perché i canoni R sono trimestrali): i 4 = (1 + i) 1 4 1 = (1 + 0,045) 1 4 1 = 0,01106 V = R a 24ǀ 0,01106 = 20,97769 R Calcoliamo il valore attuale V in t = 0 del rimborso E (qui possiamo utilizzare il tasso annuale i): V = 13580 (1+0,045) 6 = 10428,02 Ora possiamo scrivere l equazione di equivalenza finanziaria in t = 0 V = V + V 97000 = 20,97769 R + 10428,02 in cui compare il canone incognito R. Risolvendo: R = 97000 10428,02 20,97769 = 4126,86 Osservazione. La logica finanziaria dell equazione di equivalenza è: il valore attuale (in t=0) di tutti gli importi versati deve essere uguale al valore di fornitura (97000 euro disponibili in t=0) Sarebbe corretto, in capitalizzazione composta, impostare l equazione anche in questo modo: il montante in t=6 di tutti gli importi versati deve essere uguale al montante in t=6 del valore di fornitura 3. Dall analisi delle serie storiche dei rendimenti annui R A e R B di due titoli rischiosi A e B si è desunta la seguente matrice delle probabilità congiunte e marginali:
R A R B 0,02 0,04 0,04 0,4 0,2 0,06 0,3 0,1 0,7 0,3 0,6 0,4 (1) Calcolare E(R A ) e E(R B ) (rendimenti attesi). (2) Calcolare var(r A ), var(r B ), σ RA, σ RB (varianze e dev. standard). [2 punti] (3) Calcolare cov(r A, R B ) e ρ RA R B (covarianza e coefficiente di corr. lineare) [2 punti] (4) Dire se i titoli sono efficienti o se uno domina l'altro. (5) Tenendo conto del coefficiente ρ RA R B, cosa si può dire dei due titoli? (6) Come dovrebbe valutarsi un portafoglio costituito dai due titoli: bilanciato o piuttosto rischioso? (Giustificare la risposta). [2 punti] Soluzione (1) E(R A ) = 0,04 0,6 + 0,06 0,4 = 0,048 E(R B ) = 0,02 0,7 + 0,04 0,3 = 0,026 (2) var(r A ) = (0,04 0,048) 2 0,6 + (0,06 0,048) 2 0,4 = 0,000096 σ RA = 0,000096 = 0,00980 var(r B ) = (0,02 0,026) 2 0,7 + (0,04 0,026) 2 0,3 = 0,000084 σ RB = 0,000084 = 0,00917 (3) cov(r A, R B ) = (0,04 0,048)(0,02 0,026) 0,4 + + (0,04 0,048)(0,04 0,026) 0,2 + + (0,06 0,048)(0,02 0,026) 0,3 + + (0,06 0,048)(0,04 0,026) 0,1 = 0,000008
ρ RA R B = cov(r A, R B ) σ RA σ RB = 0,000008 0,00980 0,00917 = 0,089 (4) I due titoli sono efficienti, il titolo A ha rendimento atteso maggiore di B ma anche varianza maggiore. (5) Sappiamo che il coefficiente di correlazione lineare ρ tra due variabili aleatorie varia tra -1 e 1; nel nostro caso il coefficiente è praticamente zero (correlazione negativa debolissima) e ciò indica che, in sostanza, i rendimenti dei due titoli non sono correlati, variano l uno indipendentemente dall altro. (6) Data la sostanziale non correlazione dei due rendimenti, possiamo ritenere che il portafoglio sia bilanciato: è poco probabile che i due titoli si muovano nella stessa direzione. Ben diversa sarebbe la situazione in presenza di una forte correlazione positiva; in questo caso, se il rendimento di un titolo è maggiore del suo valore atteso, è probabile che la stessa cosa avvenga per il rendimento dell altro e, viceversa, se è inferiore, è probabile che lo sia anche l altro (quindi, per l investitore, si prospettano risultati molto positivi oppure molto negativi rispetto alle aspettative, comunque è alto il livello di rischio del portafoglio). Domande 1. Qual è il tasso mensile equivalente al tasso annuo nominale j 12 = 3%? (A) 0,0025 (B) 0,00247 (C) 0,025 A 2. Qual è il tasso mensile equivalente al tasso annuo i = 3% in cc? (A) 0,0025 (B) 0,00247 (C) 0,025 B 3. Qual è il tasso mensile equivalente al tasso annuo i = 3% in cs? (A) 0,0025 (B) 0,00247 (C) 0,025 A
4. Qual è la formula, in capitalizzazione composta, per il montante M a 13 mesi di un capitale C al tasso annuo i? (A) M = C (1 + (B) M = C(1 + i) 1,1 i 12 )13 (C) M = C(1 + i) 13 12 C 5. Se il corso di un titolo di stato zero coupon, di valore nominale 100 e con scadenza a due anni da oggi, è P = 99,8, qual è il tasso di mercato h 0 (2) cioè il tasso spot a due anni? (A) 0,1 (B) 0,00100 (C) 0,01 B 6. Completare il seguente piano di ammortamento (K=quota capitale, I=quota interesse, R=rata, E=debito estinto, D=debito residuo): t K I R E D 0 0 80 1 39 2 45 t K I R E D 0 0 80 1 35 4 39 35 45 2 45 2,25 47,25 80 0