UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTÀ DI SCIENZE STATISTICHE CORSO DI LAUREA IN STATISTICA, ECONOMIA E FINANZA TESI DI LAUREA MODELLI PER LA STIMA DELLA VOLATILITA' E DEL VALUE-AT-RISK: UN APPLICAZIONE ALL INDICE DI BORSA RUSSA RELATORE: Ch.mo Prof. SILVANO BORDIGNON CORRELATORE: Do. DAVIDE RAGGI LAUREANDA: PERETIATKO IRINA MATRICOLA: 495418-SEF ANNO ACCADEMICO: 2006-2007
INDICE PAG. INTRODUZIONE... 2 CAPITOLO 1 IL VALUE-AT-RISK...... 5 CAPITOLO 2 I MODELLI UTILIZZATI PER LA STIMA DEL VaR... 9 1. RISKMETICS.... 9 2. GARCH... 12 3. APARCH... 15 CAPITOLO 3 ANALISI EMPIRICA DELL INDICE DI BORSA RUSSA RTSI...... 17 1. DESCRIZIONE DELL INDICE..... 17 2. ANALISI DEI DATI.. 22 CAPITOLO 4 STIMA DEL VaR CON RIFERIMENTO ALL INDICE RTS.... 31 1. METODO RISKMETRICS...... 31 2. AR(1)-GARCH(1,1)--STUDENT..... 32 3. AR(1)-APARCH(1,1)--STUDENT......... 33 CONCLUSIONI...... 39 BIBLIOGRAFIA...... 40 RINGRAZIAMENTI. 41 1
INTRODUZIONE Scopo d queso lavoro è quello d analzzare la volalà d un ndce d borsa del mercao russo. Tale ndce sembrerebbe parcolarmene neressane dal puno d vsa sasco, n quano nfluenzao da un numero d faor economc e polc. Infa dal puno d vsa emprco s è noao che la volalà dell ndce è molo elevaa. In generale l'ndce è sao nfluenzao da var faor che sono camba nel empo. Nella seconda pare del perodo analzzao le cause d fluuazone dell'ndce sesso sono mpuabl prncpalmene a faor d naura economca. Alcun d ques faor sono spega d seguo. Sulla volalà del RTSI prezz mondal del perolo hanno nfluo meno d quano s possa pensare. Il faore pù mporane sembrerebbe legao alla suazone n alr Paes n va d svluppo. Rporamo alcun da polc che probablmene hanno ncso n ques ann su valor dell ndce. Nell anno 2004 l'ndce n esame è sao nfluenzao dall'ndce MSCI Emergng Markes ( ndcaore dell andameno delle borse de paes d svluppo, calcolao dalla banca Morgan Sanley). La fluuazone d queso ndce dell' 1% ha comporao lo sposameno dell' RTSI d crca l 96%. Il conrbuo oale annuale d MSCI e sao del 14,33% nello spegare l'ndce. D'alra pare prezz mondal del perolo hanno conrbuo solano nell'ordne del 5,52%. Tra l alro la dnamca de ass rsk-free delle pù grand banche del 2
mondo pracamene non hanno nfluenzao RTSI n nessun modo. Probablmene queso po d nformazon erano gà sae assorbe da merca soo forma d alr faor d rscho. Comunque, anche la leve nfluenza de prezz del perolo s è evdenzaa soprauo negl ulm ann. Nel prmo perodo nvece, le fluuazon dell'ndce sono mpuabl a faor d naura polca. Infa, rsch polc e la bassa qualà della gesone corporava hanno causao un alo lvello d rscho de merca fnanzar. Cos, l pù noevole ncremeno gornalero del RTS e sao osservao l 31 dcembre 1999, quando l presdene Bors Elzn s è dmesso prma del ermne cedendo l compo al Vladmr Pun. Essenzalmene ha nfluenzao anche la suazone geopolca dopo l'11 seembre 2001: come rsulao d rvaluazone del mercao russo lancao n queso perodo n 30 mes (oobre 2001-aprle 2004) l valore dell ndce e ncremenao d 334%. Il caso d UKOS e sao la causa delle alcun correzon, la pù sera d ques n aprle-luglo 2004 ha porao al calo dell ndce d 33%. E comunque cò non e basao per cambare la cresca dell ndce anche nel puno pù basso della ulma correzone d UKOS l valore dell ndce era del 6% superore del valore ane-ukos. Dall nzo del 2006 le endenze s sono rafforzae e adesso l faore polco pracamene non ha ncso pù sull ndce. Il prncpale faore rmane lo sao de merca de paes emergen, bensì s raa solo della reazone parallela delle borse d ques paes sul comporameno degl nvesor global. Inolre, noevole ruolo goca l faore, svluppao solo due ann fa, dovuo all eccesso della lqudà al mercao russo. Pero come dcono gl esper queso modello descrve solo la volalà nel breve perodo, l nfluenza d lungo ermne de prezz del perolo nvece e pù fore. Non meno mporane l fao, che gl nvesor s orenano non a prezz 3
aual, ma a quell aes, e queso crea dffcolà nella sma della volalà a lungo ermne. Per valuare la volalà, abbamo ulzzao alcun modell sasc popolar n leeraura, che s rconducono n generale alla famgla de modell ARCH. Tal paramerzzazon sono po sae ulzzae per calcolare alcune sasche ul n fnanza per valuare la rschosà d un asse fnanzaro. Inolre è sao ulzzaa la meodologa Rskmerks come benchmark poché rsula largamene ulzzaa n praca da mole suzon fnanzare. In parcolare al modell sono sa ulzza per calcolare l Value-a-Rsk (VaR). Alla fne del 1974 governaor delle Banche cenral de dec paes pù ndusralzza (G10) hanno suo un organzzazone nernazonale chamaa Comao d Baslea. Uno de comp del comao è d garanre l adeguaezza parmonale delle banche n relazone al rscho da esse sosenuo (capale d vglanza). In queso coneso e saa creaa la meodologa della valuazone del rscho, chamaa Value-a-Rsk. VaR è una msura sasca del rscho che s corre nel deenere un cero porafoglo. Nel prmo capolo verrà defno l VaR e le sue applcazon e vene spegao l suo sgnfcao anche rame alcun esemp. Nel secondo capolo verrà proposa la meodologa sasco-economerca necessara all'anals emprca ed n parcolare verranno presena modell ulzza. Infne nel capolo 3 verranno presena rsula emprc. 4
Capolo 1 IL VALUE-AT-RISK Dao un cero porafoglo d avà fnanzare l VaR è la msura della massma perda poenzale nella quale può ncorrere l porafoglo sesso, n condzon normal del mercao n un deermnao perodo d empo ad un cero lvello d confdenza. Indcamo con: 1 - l perodo d deenzone (Holdng Perod); 2 - V l valore della perda n 3 - lvello d confdenza La scela d e è soggeve: l lvello d confdenza defnsce l grado d proezone dal rscho d movmen avvers de faor d mercao. I valor pc per sono 99%, 97,5%, o 95%: la scela può essere rlevane o meno a seconda dell uso che s nende fare del VaR, coè a seconda che l VaR venga ulzzao come msura assolua del rscho sosenuo o come unà d confrono (ad esempo confrono d rschosà ra porafogl dvers), nel qual caso dvena solo un faore scalare. Nauralmene, pù ampo è l lvello d confdenza adoao, maggore è la capacà del VaR d conenere le perde (nel senso che rsula meno probable eccedere la perda massma smaa), ma mnore è l conrbuo del 5
VaR n ermn nformav, dao che vene esclusa una gamma pù rsrea d valor ; La scela d è rfera n genere a 1, 2 o 10 gorn, oppure ad un mese. L'poes soosane è che la composzone del porafoglo rmanga cosane durane l perodo consderao; qund la scela dell orzzone emporale deve dpendere dalla frequenza con cu l porafoglo vene sooposo a movmenazon e dal perodo necessaro per la lqudazone del porafoglo. Il VaR, ovvero la massma perda poenzale, per l lvello d probablà sablo è quel valore che soddsfa la relazone: P V VaR Per quano rguarda l'ulzzo, eorcamene l VaR può essere applcao a u p d rscho fnanzaro, che vene generalmene suddvso n cnque caegore: Rscho d mercao, coè l rscho d perde dovue a movmen d mercao; Rscho d credo, coè l rscho relavo alla possblà d nsolvenza della conropare; Rscho operavo, coè l rscho dervane da error uman o nadeguaezza de ssem ulzza; Rscho d lqudà, che può assumere due forme: l rscho d lqudà d mercao (marke/produc lqudy) s verfca quando la ransazone non può essere condoa a prezz d mercao prevalen a causa dell nsuffcenza dell avà d mercao; l rscho d lqudà d capale (cash flow/fundng 6
lqudy) corrsponde all ncapacà d oenere fond per rspeare le obblgazon d pagameno; Rscho legale, coè l rscho che la conropare non abba l auorà legale d nraprendere la ransazone. Il VaR può qund fornre una msura complessva del rscho a cu un soggeo (ad esempo una banca) è sooposo: d fao l VaR, nao come srumeno per la valuazone del rscho d mercao, vene uora ulzzao prevalenemene a queso scopo. In parcolare, l VaR prende n consderazone pù fon del rscho d mercao, qual: 1. Rscho d neresse (volalà del asso d neresse); 2. Rscho d cambo (volalà del asso d cambo); 3. Rscho su equy (volalà de prezz delle azon); 4. Rscho su commody (volalà de prezz delle maere prme); Alla base della cosruzone del modello VaR s pone la Teora del Porafoglo, che usa sme della volalà e correlazon ra rendmen de dfferen srumen raa. I paramer deermnan per l calcolo del VaR sono la sma della volalà fuura e delle correlazon ra gl srumen fnanzar che cosusco l porafoglo. Allo scopo d smare la volalà cercando d recepre le evdenze emprche s sono svluppae dverse ecnche che descrvamo d seguo. Ad esempo se s vuole calcolare l VaR a 1 gorno al lvello d 5% per una poszone d 10,000 per un cero porafoglo, ulzzando uno de meod non paramerc che descrvamo d seguo, oenamo l valore del VaR: 10,000*-1.65*0.0289 = -473, n cu 0.0289 è lo sandard error menre 1.65 è 7
l percenle d una normale al 5%. Queso vuol dre che l rendmeno par a - 473 verrà superao con la probablà d 5%, come è llusrao nel grafco. 8
Capolo 2 I MODELLI UTILIZZATI PER LA STIMA DEL VALUE-a-RISK In queso capolo vedamo le caraersche e le propreà d alcun modell ulzza aualmene nel mondo fnanzaro per la deermnazone del Value-a- Rsk. Tu ques modell apparengono alla famgla de modell paramerc. I meod qu rpora sono paramerc, e qund per l'mplemenazone hanno bsogno della sma de paramer d neresse. 1. RISKMETRICS La meodologa d RskMercs TM per l calcolo del VaR e saa svluppaa da J.P.Morgan. Nella sua semplce forma RskMerc assume che rendmen gornaler seguono la dsrbuzone normale condzonaa. Defnamo rendmen come la dfferenza prma de logarmo della sere de prezz e gl denoamo r r 100 *[ln( p ) ln( p 1)] 1 e l nformazone dsponble al empo -1 con F 1. RskMercs assume che r =, dove N(0,1 ),e qund 1 F N(0, 2 ), dove e la meda 9
condzonaa e 2 varanza condzonaa d r. Per la sma della volalà la scela cade su una meda moble esponenzale de rendmen al quadrao : Inolre queso meodo assume che rendmen gornaler s comporno come se fossero descr da un processo IGARCH(1,1) senza drf. Il valore d abualmene è compreso nell nervallo (0.9, 1). La pù noevole propreà del modello IGARCH e che la dsrbuzone condzonaa de rard mul-perodal e faclmene calcolable. Specfcamene per l orzzone k-perodale, l rendmeno logarmco nell nervallo [(+1), (+k)] e r [ k] r 1.. r k 1 r k. Nel modello IGARCH(1,1) la dsrbuzone condzonaa [k] 2 [ k] può essere calcolaa rame prevson. r 1 F N(0, 2 [ k ] Usando l ndpendenza d nel modello sopra descro, abbamo che ), dove 2 [ k] Var( r [ k] F ) k 1 Var( r F ) dove Var( a F )=E( 2 F 1 ) può essere oenua rcorsvamene. Sapendo che r 1 a 1 1 1, possamo rscrvere l modello nzale come: Queso rsulao è valdo per qualsas. In parcolare abbamo che per 2,..., k. 10
Poché per valor d maggor o ugual d 2. L equazone precedene c mosra che Per u gl 2,..., k. Per la prevsone della volalà ad un passo n avan s dmosra qund che. Menre la seconda equazone c fa vedere che 2 Var( r F ) 1 per 1 2 E da qu ne consegue [ ] evdenzano che r [k] k 1 k = 2 1 F e N( 0, 2 k 1 ).. I rsula d ques procedmen D conseguenza soo l modello IGARCH(1,1) la varanza condzonaa d r [k] e proporzonale all orzzone emporale k. La devazone sandard condzonaa dell orzzone k-perodale allora e k 1. Basandos sulla eora sopra rporaa dervamo la formula per l calcolo del VaR al lvello d 5% per la poszone lunga e per l capale S: VaR S * 1.65 1 11
E per l orzzone d k gorn: VaR S * 1.65 k 1 D conseguenza abbamo l modello d RskMercs VaR ( k) S * k * VaR Il vanaggo della procedura d Rskmercs consse nella sua semplcà. E faclmene comprensble ed applcable. Inolre rappresena una procedura sandardzzaa e faclmene nerpreable da u gl operaor. Comunque rendmen endono ad avere le code pesan, e d conseguenza, l assunzone d normalà spesso pora a soosmare l VaR. La radce quadraa dell orzzone emporale è una conseguenza dell'assunzone d ndpendenza ra rendmen. 2. GARCH (generalzed auogressve condonal heeroskedascy). Per calcolare l VaR sono sa ulzza ampamene modell sascoeconomerc d po ARIMA e GARCH ed alcune loro esenson. Sono modell d sma della volalà basa sugl assun che la varanza condzonale mua nel empo. Perod d ala volalà sono perssen nel empo ed analogamene perod d relava quee de merca. Queso fenomeno s dce d volaly cluserng. Sono modell che consenono d prevedere la volalà fuura ulzzando una regressone basaa su valor passa della sessa volalà. Il modello d GARCH, proposo da Bollerslev (1987), con la dsrbuzone normale delle nnovazon vene ulzzao spesso nella prevson della volalà. 12
Il GARCH con errore normale uava ha qualche problema nel descrvere le code della dsrbuzone de rendmen. L assunzone d normalà dal puno d vsa praco e convenene, però modell con delle nnovazon non-normal possono comunque essere faclmene sma e fornscono una caraerzzazone mglore delle code della dsrbuzone. Una possble esensone rguarda l'uso della dsrbuzone d Suden. Il vanaggo d quesa dsrbuzone è che le sue code sono pù pesan della normale e qund e pù adaa a descrvere rendmen fnanzar; nolre la d Suden, se grad d lberà crescono, approssma la dsrbuzone Gaussana. Uno degl svanagg è che mole vole, quando s calcola l VaR con un orzzone emporale d pù pass n avan, emergono delle dffcolà d naura compuazonale. Consderamo la sere de rendmen r. Un modello generale deve enere n consderazone sa la meda condzonale, modellaa rame un processo ARMA sa la varanza condzonale (la pare GARCH) modellaa rame l'espressone seguene. Da qu possamo oenere le equazon per la prevsone della meda condzonale e della volalà (o varanza condzonale) ad un passo n avan. 13
S oengono qund le seguen espresson per al quanà. Assumamo che è Gaussana, allora la dsrbuzone condzonaa d r 1, noa l nformazone al empo e N [ (1), (1)]. I quanl d quesa dsrbuzone condzonaa s ulzzano per calcolare l VaR e sono da da r 2 r (1) z 2 (1) Nel caso dell assunzone che è dsrbua come d Suden sandardzzaa con grad d lberà la formula d calcolo del VaR s presena cos: r (1) * ( p) (1) * dove ( p) e ph quanle d d Suden con grad d lberà. La relazone ra quanl d una d Suden con dsrbuzone sandardzzaa * e la seguene: grad d lberà e quell della dove v > 2, q e ph quanle d d Suden con v grad d lberà e q/ v/(v 2) e l ph quanle della d Suden sandardzzaa. 14
Percò se nell equazone del modello GARCH e la dsrbuzone d Suden sandardzzaa con grad d lberà, la formula per calcolare l VaR con l orzzone un-perodale è Queso modello però ha delle resrzon: 4 l modello GARCH raa n manera smmerca sa gl shock posv che quell negav. 5 l alra lmazone del GARCH derva dal vncolo d non negavà mposo su paramer,, 0 j, che asscura la posvà d 2. 6 Qualche vola ha de problem nel descrvere la dnamca della varanza condzonaa. 3.APARCH Taylor (1986) e Schwer (1989) hanno proposo alcune esenson del modello GARCH n cu vene modellaa la devazone sandard puoso che la varanza. Quesa esensone e saa po generalzzaa n Dng e al. (1993) nel modello Power ARCH. In queso modello e possble smare l paramero power della devazone sandard e anche un paramero aggunvo che caura la componene d asmmera. Pù precsamene, la dnamca d una rasformazone opporuna della varanza condzonale è daa da 15
Dove 0, 1 per = 1,,r 0per u >r e r<=p. Il modello e smmerco se 0 per u. Se 0, 0 l modello APARCH dvena semplce specfcazone del GARCH. L'evdenza emprca soolnea che l'uso d modell con code pesan per l calcolo del VaR rsula molo spesso pù opporuno smare l modello APARCH ulzzando la dsrbuzone d d Suden nvece della normale, che non comprende le code pesan della dsrbuzone de rendmen. S veda l lavoro d Lauren e Go (2004) per un anals emprca a supporo d quesa affermazone. 16
Capolo 3 ANALISI EMPIRICA DELL INDICE DI BORSA RUSSA RTSI In quesa es abbamo calcolao l Value-a-Rsk ulzzando dvers modell che sono sa descr nel capolo precedene. Prma d uo rsula necessaro analzzare rendmen al fne d smare un modello opporuno per la sma del VaR. Per l anals abbamo preso prezz gornaler dell'ndce russo RTSI (Russan Tradng Sysem 1) per l perodo dal 15 seembre 1995 (daa dell aperura d borsa) al 31 dcembre 2006. Sono 2709 osservazon. 1. DESCRIZIONE DELL INDICE Indce RTS e un ndcaore uffcale della Borsa nazonale della Federazone Russa. L ndce s calcola durane la sessone ogn vola che camba l prezzo dello srumeno che fa pare dell ndce. Il prmo valore dell ndce valore dell aperura, l ulmo-d chusura. L ndce comprende comuncazon. 50 pù grand compagne de seor perolfero, gas, Il calcolo s effeua n due value: rubl-valua nazonale e n dollar. Indce n rubl s basa sulla denomnazone de dollar e consderao auslare. 17
Indce (I n ) s calcola come l rapporo ra la capalzzazone oale de u av, nclus nel calcolo dell ndce (MC n ) e la sessa capalzzazone oale alla daa nzale (MC 1 ), molplcao per l valore dell ndce alla daa nzale (I 1 ) e l coeffcene d correzone (Z n ): I n Z n I 1 MC MC n 1 MC n somma delle ue le capalzzazon degl av alla daa correne n $ US: MC n N 1 W P Q * C dove W coeffcene d correzone, che ene cono della quanà de ol del -esmo po nella crcolazone coeffcene, che lma la quoa della capalzzazone de ol del -esmo po; Q numero de ol del nome corrspondene, emess dall emene alla daa P prezzo del olo -esmo n $US al empo N numero oale de ol nell elenco dell ndce. Valore n rubl RTS (I rn ) va calcolao come l prodoo del valore n $US per l coeffcene, defno come l rapporo ra l cambo del rublo (K n ) e l suo valore nzale (K 1 ): I rn I n K K n 1 18
Valor nzale dell ndce I 1 = 100 al 1seembre 1995 MC 1 = $12 666 080 264 Z 1 = 1 K 1 = 4.447 Alla daa 15 seembre 2006 Z n = 1,5054336 Lm per la quoa del olo del sngolo emene. Per lmare l nfluenza del sngolo emene sull ndce e sablo un crero la quoa de ol del sngolo emene non deve superare 15% (S ). Per esegure quesa regola s servono da coeffcen. Coeffcen s aggornano secondo la meodca seguene. Sa n n-esmo gorno valgono vecch coeffcen n,, n (n+1) mo gorno s nroducono nuov n+1,.che s calcolano rame la procedure seguene:. Prmo passo. S calcolano le quoe delle capalzzazon degl emen senza coeffcen lman n,: S (1) N 1 MCap MCap, 1,..., N Mcap k P k * Q dove k numero de ol del -esmo emene k * W S calcola l numero degl emen per qual S ( 1) S 15%. Gl chamamo lma e la loro quanà M (1). Passo 2. S calcola (1) X come: k, 19
M (1) * X (1) X (1) N (1) M 1 MCap S, dove ( lma. (1) N M MCap ) s defnsce per gl emen, non nclus nell elenco de 1 X (1) S* 1 (1) N M 1 MCap S* M (1) Passo 3. S deermnano le quoe delle capalzzazon degl emen (2) S n, S (2) n, N 1 MCap MCap Con la condzone che per ogn emene lmao Mcap n, =X (1). Il nuovo elenco degl emen nclude quell, per qual S ( 2) n, S 15%. Se l nuovo elenco conene pù membr s rpea l passo 2 con l nuovo elenco de lma. Alrmen passo 4, qu alla fne delle k erazon, abbamo un elenco defnvo valore calcolao nella ulma erazone X=X (k). Passo 4. Per gl emen lma s deermnano coeffcen X C n 1, P * Q * W, per gl alr n+1, = 1. Deermnazone del prezzo del -esmo olo (P ) 1. Se l prezzo del ulmo conrao non nferore del prezzo della mglore offera sandard del acquso e non superore del prezzo della mglore offera 20
sandard della venda, allora l prezzo P e uguale al prezzo dell ulmo conrao. 2. Se prezzo della mglore offera sandard del acquso dvenao pù alo dell ulmo prezzo calcolao per queso olo, allora prezzo d queso olo P e uguale al mglor prezzo della offera sandard del acquso 3. Se prezzo della mglore offera sandard della venda dvenao pù basso dell ulmo prezzo calcolao per queso olo, allora prezzo d queso olo P e uguale al mglor prezzo della offera sandard della venda Coeffcen d correzone W W Q Q Q h dove Q numero del sngolo olo emesso, Q h quanà degl azon d propreà saale, degl azonar d conrollo e d alr nvesor sraegc Se avvene l cambameno dell elenco delle azon oppure de coeffcen d correzone per evare sbalz s rcalcala l Z n : Z n 1 Z n MC MC n ' n MC n ' capalzzazone, rcalcolaa per l elenco nuovo de ol. 21
2 ANALISI DEI DATI L andameno de prezz e presenao dal grafco soosane. Fgura 4.1. Sere de prezz dell ndce RTSI. Fgura 4.2. Auocorrelazone de prezz dell ndce RTSI. Come s può osservare dalle fgure 4.1 e 4.2 l processo non fluua aorno ad un valore cosane, la meda condzonale del processo vara nel empo e 22
la funzone d auocorrelazone ha una memora molo lunga. Il processo non è charamene sazonaro. Analzzamo qund rendmen. Fgura 4.3. Sere de rendmen logarmc dell ndce RTSI La fgura mosra l lvello de rendmen dell ndce per ua la duraa del perodo consderao. Charamene la sere rsula sazonara n meda, evdenza supporaa anche da alcun es d radce unara (Augmened Dckey-Fuller). Rsula comunque evdene la varablà non cosane della sere. La rappresenazone grafca medane sogramma della dsrbuzone d frequenza de rendmen fornsce una prma ndcazone sulla forma d dsrbuzone e una snes d alcune caraersche de da. 23
Fgura 4.5. Isogramma de rendmen La meda non e sgnfcavamene dversa da zero. Gl alr ndc sono sgnfcav: s noa una leve asmmera negava (-0.16358), menre è pù marcaa la presenza d un eccesso de curos. La dsrbuzone normale non sembra appropraa n queso caso. Cò e pco per le sere fnanzare. L ndce d curos ( 9.2884) e molo alo e dà un dea della pesanezza delle code. L poes d normalà rsula volaa anche dal es d Jarque - Bera, che rfua l poes d normalà a qualsas lvello d sgnfcavà. Il Q-Q plo evdenza ulerormene una noevole dfferenza delle code della dsrbuzone emprca rspeo alla dsrbuzone normale. Fgura 4.6. Q-Q plo della normale 24
Il grafco seguene basao su quanl d una d Suden presena un allneameno relavamene mglore. Infa, mol sud che rguardano rendmen fnanzar confermano che la densà della dsrbuzone e relavamene smmerca, ma rspeo alla normale, abbano delle code pù pesane. Qund la dsrbuzone d d Suden sembrerebbe descrvere meglo le code spesse. Fgura 4.7. Q-Q plo della d Suden Un anals del correlogramma de rendmen ndca una dpendenza n meda nel prmo rardo. Il correlogramma de rendmen al quadrao però ndca una dpendenza sosanzale delle volalà. 25
Fgura 4.8. Correlogramma de resdu quadrao Fgura 4.8. Correlogramma de resdu al Voglamo qund smare un modello parsmonoso n grado d descrvere la sruura d dpendenza de da. Per la dpendenza nella meda ulzzamo l modello ARMA. Dopo le opporune rasformazon prelmnar de da, e 26
servendoc de crer d Akake e d Schwarz per deermnare l numero de rard da usare, samo arrv alla formulazone rporaa d seguo. Il modello AR(1) sembra nfa approprao Fgura 4.9. Modello ARIMA(1,1,0) Il coeffcene e sgnfcavo. Le rspeve correlazon confermano che resdu sono ncorrela ma non ndpenden. Fgura 4.10. Correlogramma de resdu Fgura 4.11. Correlogramma resdu al quadrao 27
Il es ARCH su resdu c mosra che coeffcen della regressone sono u sgnfcav fno al quaro rardo, queso vuol dre resdu sono eeroschedasc. Fgura 4.12. Tes d ARCH su resdu I grafc d quanl de resdu qu soo rpora suggerscono che la loro dsrbuzone assomgla ad una d Suden. Ulzzamo rsula dell'anals smamo qund un modello per la volalà. Fgura 4.13. Q-Q plo de resdu del modello smao 28
-Suden Normale Fgura 4.14. Rsula d sma AR(1)- GARCH(1,1) Tu coeffcen rsulano sgnfcav. La somma d e (0.995) e prossma a 1, queso mplca che le volalà presenano una memora lunga. I crer d Akake e Schwarz ed l correlogramma de resdu al quadrao confermano la bonà del modello. 29
Fgura 4.15. Grafco della varanza condzonaa. 30
Capolo 4 STIMA DEL VaR CON RIFERIMETO ALL INDICE RTSI 1. METODO RISKMETRICS Come accennao n precedenza, le anals sul VaR sono basae sullo sudo de seguen modell: Rskmercs, ARIMA(1,1,0)-GARCH(1,1)--Suden ed APARCH(1,1)--Suden. Il calcolo sarà eseguo per due poszon del mercao: -poszone lunga (long poson), l caso n cu l rscho provene dal calo de prezz del porafoglo -poszone cora (shor poson). Qua l rscho nvece derva dall ncremeno de prezz, perché ch vorrebbe rcomprare ol s rova davan alla suazone de prezz pù al). Qund nel prmo caso l aenzone s focalzza sulla coda della dsrbuzone de rendmen e sul lao desro nel secondo caso. Per l modello RskMercs ad un passo n avan l VaR al empo (-1) e dao da z a per la poszone lunga, per la poszone cora nvece e uguale al a dove z e z1 normale. z 1, sono quanle snsro e desro rspevamene della dsrbuzone Per modell ARIMA(1,1,0)-GARCH(1,1)--Suden, APARCH(1,1)--Suden abbamo, a e 1 ), a ( per la poszone lunga e cora rspevamene, dove, e (1 ), sono quanl d lvello % della Suden. Calcoleremo l VaR sulle ulme 250 osservazon e lo calcoleremo per due 31
lvell pù comun, coè al 5 ed all'1%. Rsula oenu con l modello RskMercs 0.94 2 2 2 ( 1 0.94) a 1 0.94 1 Fgura 5.1. Andameno della sere de rendmen e del VaR I valor del VaR per l capale d 10,000,000: 5% - cora poszone: 10 000 000 * (0.02016813) = 201,681 -lunga poszone: 10 000 000 * (0.01825532) = 182,553 1% - cora poszone: 10 000 000 * (0.02620489) = 262,048 - lunga poszone: 10 000 000 * (0.02429208) = 242,920 2. AR(1)-GARCH(1,1)--Suden Ulzzando paramer sma per la meda e volalà con modello ARIM!(1,1,0)-GARCH(1,1)nella pare dell anals de rendmen calcolamo l bar n modo alernavo al RskMercs. Rporamo rsula: 32
Fgura 5.2. Andameno del VaR. Le equazon per la meda condzonale e la varanza condzonale r 0.143186 * r 1 e 2 2 2 0.0000182 0.182278* ( e 1) 0.812771 1 e e IID (0,1, 5.45) Dal grafco s può noare che per rard posv non c sono valor fuorusc. Cò confermano anche rsula del calcolo rpora nella abella rassuna. I valor del VaR: - per rendmen negav 5% e uguale a -0.01830031 per 1% -0.03181923 -per rendmen posv 5% 0.03500264 1% 0.04852156 3. AR(1)-APARCH(1,1)--Suden Come approcco alernavo al modello GARCH (1,1) provamo analzzare l modello asmmerco. 33
Nella fgura 6.2 s rporano rsula oenu per l ndce smando un modello AR(1) con error la cu varanza segue un -Sden_APARCH(1,1) Fgura 5.3. Modello AR(1)-APARCH(1,1) Dao che l espressone 1 a 1 ha un ermne auoregressvo ed l valore 1 d =0.8351e vcno ad 1, cò c suggersce la presenza della fore memora, un rapdo assorbmeno degl shocks passa. Il paramero rflea leverage effec. Nel nosro caso l valore 0.094055 e posvo e sgnfcavo al lvello d 0.01 ma comunque ndca che la volalà e pù elevaa n corrspondenza d nnovazon negave. Per l paramero abbamo fssao valore 1 ed e rsulao sgnfcavo. Il fao che l valore e molo dverso da 2 c ndca che e pù rlevane ulzzare nel modello la devazone sandard condzonaa nvece d 34
varanza condzonaa, ulzzaa dal modello GARCH. Queso rsulao c mosra che s ha la pù fore correlazone ra rard assolu che ra quell al quadrao, denomnao n leeraura memora lunga. Servamoc de coeffcen oenu per calcolare l VaR. 0.143186 * r r 1 e 0.000965 0.174905*( e 1 0.094055* e 1) 0.835106 * 1 e e IID (0,1, 5.45) Nel grafco sono llusra gl andamen de rendmen e del VaR al lvello d 5% e 1%. Fgura 5.4. Andamen de rendmen e del VaR Dunque abbamo oenuo rsula del VaR a lvell predefn: - per rendmen negav 5% e uguale a -0.02492123 1% -0.0428102 -per rendmen posv 5% 0.04475088 1% 0.06263985 35
Qund la massma perda per la poszone lunga per l nvesmeno d 10 000 000 euro sarà 249,212 e 428,102 al 5% e 1% rspevamene per la poszone lunga e 447,508 e 626,398 per la poszone cora. Tabella 5.5. Numero d superamen del VaR LONG POSITION SHORT POSITION 1% 5% 1% 5% RISKMETRICS 1.06 3.02 1.02 2.04 AR(1)-GARCH(1,1) 0 3.06 0 0 AR(1)-APARCH(1,1) 0 2.04 0.04 1.02 Tabella 5.6. Valor del VaR LONG POSITION SHORT POSITION 1% 5% 1% 5% RISKMETRICS 0.024 0,13 0.026 0.020 AR(1)-GARCH(1,1) 0.031 0,13 0.048 0.035 AR(1)-APARCH(1,1) 0.042 0.024 0.062 0.045 L anals d back esng consse nel verfcare l grado d aendblà del modello d calcolo del VaR esamnando l numero delle eccedenze osservae rspeo alla sasca VaR smaa. Ad esempo, nel caso del VaR calcolao ad un gorno con lvello d confdenza del 95%, l anals d back esng verfca che le perde gornalere effevamene regsrae rsulno superor al lvello smao d VaR nel 5% de cas. Dobbamo verfcare se l modello scelo del VaR e approprao. Il numero d superamen può essere descro da una varable casuale bnomale con probablà d successo par ad : 36
Come e noo se n e grande e e pccolo Qund un nervallo d confdenza al lvello % l numero aes d superamen e dao da Se =90% 250*0.01 1.645 250* 0.01*0.99 ( 0.087;5.08) I valor calcola sembrano essere denro gl nervall de valor aes. Il documeno del Comao d Baslea fornsce una abella per nerpreare rsula d back esng: l numero d error è assocao alla probablà cumulaa d regsrarl e ale probablà è suddvsa n zone sulla base delle qual l modello d VaR può essere: acceao come correo ( zona verde, fno ad una probablà cumulaa del 95%), rfuao come mal specfcao ( zona rossa, probablà superore al 99,99%), o rovars n una zona nermeda ( zona galla, probablà cumulaa ra l 95% e l 99,99%). Le zone sono sae deermnae n modo da blancare due p d errore sasco: errore d prma spece ovvero la possblà che l modello d VaR venga classfcao come nesao sebbene ben specfcao; errore d seconda spece ovvero la possblà che sa classfcao come valdo sebbene 37
mal specfcao. 38
CONCLUSIONI In quesa relazone s è cercao d rchamare aenzone all ndce d Borsa russa. La cosuzone del mercao fnanzaro russo è recene e percò ancora poco conoscua. Trame l anals emprca de prezz abbamo rlevao, come s è aspeao, un ala volalà delle osservazon ne prm perod d essenza della Borsa a dfferenza nvece, dell ulmo perodo, dove noamo una rduzone delle fluuazon. Queso fao è rconducble soprauo alla sablà polca del Paese. Da qualche anno anche le suzon fnanzare russe s sono adeguae a pracare modell sasc per la quanfcazone de rsch. Lo scopo d queso lavoro è sao d applcare le ecnche del VaR all ndce russo. Per far cò, abbamo ulzzao la classe de modell paramerc. I rsula evdenzano un buon funzonameno de modell e cò s è confermao dal confrono oenuo dalla abella proposa dal Comao d Baslea. Tu valor cadono nella zona d acceazone. 39
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RINGRAZIAMENTI Un rngrazameno va al professor Slvano Bordgnon graze al quale ho pouo realzzare queso lavoro. Rngrazo parcolarmene l door Davde Ragg che m ha segua e consglaa, prvandos del suo empo lbero. Inolre vorre rngrazare uo l personale della Facolà d Scenze Sasche per reso gl ann d sudo come un pacere. 41