Lo strato limite PARTE 11. Indice

PARTE 11 a11-stralim-rv1.doc Rl. /5/1 Lo strato limit Indic 1. Drivazion dll qazioni indfinit di Prandtl pr lo strato limit sottil pag. 3. Intgrazion nmrica dll qazioni indfinit di Prandtl. 11 3. Lo strato limit ha davvro spssor piccolo risptto ad L?...... 15 4. Efftti dlla crvatra slla distribzion dlla prssion attravrso lo strato limit..................... 17 5. La sparazion dllo strato limit................ 18 6. Spssori intgrali dllo strato limit............ 6.1 Spssor convnzional dllo strato limit........... 6. Spssor di spostamnto dllo strato limit *........... 1 6.3 Lo spssor di spostamnto * il baricntro dlla vorticità..... 3 6.4 Spssori di qantità di moto di nrgia cintica dllo strato limit..... 5 7. Accoppiamnto dlla solzion a potnzial con qlla dllo strato limit.. 6 8. Nota sll qazion di von Kármán......... 7 9. Drivazion dll qazion intgrodiffrnzial di von Kármán...... 8 1. Solzion satta di Blasis pr lo strato limit laminar, s lastra piana a incidnza nlla............. 3 1.1 Alcn considrazioni slla solzion di Blasis........... 38 1.1.1 Componnti dlla vlocità lin di flsso.......... 38 1.1. Spssor convnzional dllo strato limit........... 38 1.1.3 Spssor di spostamnto dllo strato limit...... 39 1.1.4 Sforzo tangnzial, cofficint d'attrito cofficint di rsistnza.. 4 1.1.5 Solzion di Blasis rilivi sprimntali........ 41 1.1.6 Strato limit nmro di Rynolds critico....... 43 11. Solzioni satt di Falknr-Skan........ 44 1. Il mtodo approssimato di Pohlhasn........ 53 13. Il mtodo di Pohlhasn l qazion di von Kármán.... 57

Lo strato limit Prandtl intì ch nll corrnti ad lvato nmro di Rynolds, qali sono qll d'intrss aronatico, la vorticità pò risltar confinata in rgioni sottili, ovvro in strati di corrnt il ci spssor, misrato in dirzion ortogonal all lin di flsso, è piccolo risptto alla dimnsion L, carattristica dlla corrnt o dl corpo in sam. S ciò si vrifica, è possibil, innanzittto trattar gran part dlla corrnt con il modllo dl potnzial cintico con il torma di Brnolli (altrimnti dl ttto intilizzabili, data la viscosità di ttti i flidi rali) tnr conto dlla vorticità, dlla consgnt azion dgli sforzi viscosi, soltanto in rgioni d'stnsion molto limitata, gnralmnt adiacnti ai contorni solidi (in corrispondnza di qali, com è noto, non è possibil n atto di moto rlativo irrotazional in prsnza di viscosità). rot V = pr y > y ρ, V spssor dllo strato limit <<L dimnsion carattristica dl corpo L Ma Prandtl intì anch ch, s è vrificata la condizion L << 1, è possibil smplificar notvolmnt il sistma di qazioni di Navir-Stoks ha formlato appnto il modllo fisico-matmatico dll corrnti vorticos sottili, o dllo strato limit sottil, ch prnd il so nom 1. Riptndo il procdimnto sgito da Prandtl, drivrmo l qazioni dllo strato limit sottil a partir da qll di Navir-Stoks nl caso particolar di flido nwtoniano a proprità costanti niformi di corrnt stazionaria, bidimnsional (nl piano -y), in assnza di forz di campo, pr na part ch abbia dbol crvatra, ovvro raggio di crvatra local R >>, posta ad incidnza modsta. 1 Ldwig Prandtl, "Übr Flüssigkitsbwgng bi shr klinr Ribng", III Intrn. Math. Kongr., Hidlbrg, 194. La mmoria è stata prsntata in circa 1 minti, il 1 agosto, all 11.3. La tradzion in ingls è contnta nlla pbblicazion NACA TM 45 dl 198. In altri trmini, si drivranno qll ch prndono il nom di qazioni d'ordin zro pr lo strato limit sottil, valid pr parti con raggio di crvatra R. Pr l qazioni di ordin sprior, in ci compaiono i trmini aggintivi pr gli fftti di crvatr rlativ intns, si vda, ad smpio, R. Grndmann, "Bondary layr qations and mthods of soltion", von Kármán Institt Lctr Sris "Introdction to Comptational Flid Dynamics, 1991. Part 11 - Pag.

Inoltr, sfrttando l ipotsi di dbol crvatra dlla part ( dll lin di flsso dlla corrnt) confondrmo l notazioni dll componnti locali dlla vlocità con qll dll componnti cartsian ortogonali v. 1 - Drivazion dll qazioni indfinit di Prandtl pr lo strato limit sottil. Il sistma di qazioni di Navir-Stoks, scritto pr il caso particolar qi saminato di corrnt stazionaria, bidimnsional, di flido nwtoniano a proprità costanti niformi, in assnza di forz di campo, si ridc a: v - consrvazion massa + = y (1) - comp. q. moto in + v y v v - comp. q. moto in y + v y 1 p = + ν + ρ y 1 p v v = + ν + ρ y y (a) (b) y << L V rotv = L Si tratta ora di sgir il procdimnto indicato da Prandtl pr smplificar l qazioni (1), (a) (b), sfrttando l'ipotsi fondamntal ch: L << 1 Qst'ipotsi consnt, infatti, con opportn considrazioni, di dtrminar l'ordin di grandzza O di singoli trmini ch compaiono nll'qazion di consrvazion dlla massa nll qazioni pr la qantità di moto, di liminar, in ciascna di ss, qi trmini il ci ordin di grandzza rislti ffttivamnt trascrabil risptto a qllo dgli altri. Part 11 - Pag. 3

In particolar, si assmranno trascrabili i trmini il ci ordin di grandzza rislti infrior di n fattor L (ch è crtamnt di molto infrior all'nità s è vrificata la condizion L << 1 ) risptto agli altri trmini contnti nlla mdsima qazion 3. Al fin di analizzar l'ordin di grandzza di ciascn trmin, si fa so dl conctto di proporzionalità si adotta ssnzialmnt il sgnt procdimnto. a) Si idntifica, pr ciascna dll variabili, il valor carattristico pr il problma in sam. Ad smpio, si assm ch il valor carattristico dlla vlocità V in no strato limit sia, al più, qllo dlla corrnt sl confin strno dllo strato limit stsso, dnotato con V. Analogamnt, qali dimnsioni trasvrsali longitdinali carattristich dlla corrnt si assmono, rispttivamnt, lo spssor dllo strato vorticoso l'stnsion longitdinal L dlla part. b) Si ipotizza ch ciascna dll variabili assma, dntro lo strato limit, valori corrlati, ovvro proporzionali ai valori carattristici dlla corrnt strna. Si ritin, ad smpio, ch la componnt dlla vlocità ntro lo strato limit assma ovnq valori proporzionali al valor assnto in corrispondnza dl confin strno dllo strato limit: c) Si assm ch l'ordin di grandzza O di ciascna dll variabili, ntro lo strato limit sia, al più, pari all'ordin di grandzza dl rlativo valor carattristico. Si ritin, ad smpio, ch l'ordin di grandzza dlla vlocità V sia, al più, pari all'ordin di grandzza dlla V : O [ V] = O[ ] d) Si assm poi ch l variazioni dll componnti v dlla vlocità, attravrso lo strato limit, siano proporzionali, cioè dllo stsso ordin di grandzza, dll componnti dlla vlocità stssa. Δ ovvro O [ Δ ] = O[ ] = O[ ] Δ v v ovvro O [ Δ v] = O[ v] = O[ ] v V v 3 E' ovvio ch qsta analisi dv ssr condotta sparatamnt pr ciascna qazion, dal momnto ch è il pso rlativo di trmini di na stssa qazion ch n dtrmina la trascrabilità o mno, non il fatto ch ttti i trmini di na stssa qazion risltino infriori ai trmini ch compaiono in n'altra. Part 11 - Pag. 4

Part 11 - Pag. 5 Assnzion dl ttto ragionvol s si ipotizza ch la distribzion dlla vlocità dntro lo strato limit sia monotona, dal momnto ch ssa si annlla, comnq, alla part pr la condizion di adsion. ) Si sprimono infin l drivat spaziali in d y di ciascna variabil com rapporti tra gli incrmnti dll variabili gli incrmnti dll coordinat spaziali. Ovvro, pr ogni grandzza g, si approssimano l drivat spaziali con: g g Δ Δ y g y g Δ Δ Pr l ipotsi fatt, gli incrmnti Δ Δy sono proporzionali, rispttivamnt, ad L a, mntr, pr qanto concrn l componnti v dlla vlocità, i loro incrmnti sono proporzionali, rispttivamnt, ad a v. L drivat spaziali dll componnti v dlla vlocità sono qindi sostitit dall rlazioni: L y L v v v y v i ci ordini di grandzza sono ovviamnt pari a: = L O O = O y O (3a) = L v O v O = v O y v O (3b) Passiamo qindi a dtrminar gli ordini di grandzza di trmini dll qazioni dl sistma (1), (a) (b). L'qazion di continità (1): y v = + con la sostitzion dll (3a) (3b) implica ch: = y v O O

Part 11 - Pag. 6 ovvro ch: = L O y v O (4) consnt qindi di dtrminar l'ordin di grandzza dlla componnt v dlla vlocità. Si ddc infatti ch, s la drivata di v risptto ad y ha ordin di grandzza gal a qllo dlla drivata dlla risptto ad, s qst'ltima ha ordin di grandzza pari ad L [ ], dv ssr ncssariamnt vrificata la rlazion: [ ] = L O v O (5) La (5) affrma qindi ch la componnt v dlla vlocità, nllo strato limit, è piccola di ordin [ ] L risptto alla componnt (dalla (5) si ottin, infatti, la (4) pr drivazion). Dtrminato l'ordin di grandzza dlla componnt v, passiamo ad saminar l'qazion (a), indicando in corrispondnza di ciascn trmin il so ordin di grandzza. + ν + ρ = + y p 1 y v (a) + + ν ρ = = + O L O p 1 L L O L O (Oa) Rislta ora vidnt la ncssità di dfinir l'ordin di grandzza dlla viscosità cinmatica ν dlla prssion p. Prima di farlo, prò, saminiamo il trmin dlla risltant dgli sforzi viscosi in dirzion : + ν O L O Qsto trmin è somma di d contribti, il primo di qali è crtamnt trascrabil risptto al scondo. Il critrio adottato pr stabilir la trascrabilità si basa infatti sl rapporto tra d L, d il primo trmin è addirittra piccolo di ordin ( ) L risptto al scondo. Il trmin dgli sforzi viscosi pò qindi ssr riscritto com: = ν + ν O O L O

Dfiniamo ora l'ordin di grandzza dlla viscosità cinmatica 4. Il modllo di Prandtl pr l corrnti a nmro di Rynolds lvato stabilisc ch l'azion dlla viscosità (non la viscosità in sé, ovviamnt) è nlla all'strno dllo strato limit sottil dov, prtanto il nmro di R pò considrarsi infinito. Slla part dl corpo solido, al contrario, il nmro di R è nllo, annllandosi l forz d'inrzia dl flido, a casa dlla condizion di adsion. Lo strato limit pò qindi ssr visto com qlla rgion dlla corrnt in ci il nmro di R è dll'ordin dll'nità o, mglio, com qlla rgion in ci forz d'inrzia forz viscos dl flido assmono lo stsso ordin di grandzza, pr in prsnza di n nmro di Rynolds dlla corrnt molto lvato. L forz d'inrzia di n lmntino di flido di volm limit, sono proporzionali a: F ma ρ i 3 a 3, intrno allo strato dov l'acclrazion (in dirzion dll lin di flsso, ssndo qlla normal ad ss trascrabil grazi all'ipotsi fatta slla crvatra dlla part) è proporzional a V t, mntr t, a sa volta, è proporzional ad F i L V. Qindi: ρ 3 V L 4 Qsta ncssità di dfinir l ordin di grandzza dlla viscosità, ch è l nica proprità nota, costant niform dl problma è pittosto criosa. E infatti si sarbb dl ttto vitata (insim al lngo lnco di assnzioni fatt ai pnti da a) ad ), ch ha tttavia na qalch validità mtodologica) s, in logo dllo spssor << L si foss sato lo spssor adimnsional ( L) <<1 s si fossro sat l qazioni di bilancio dlla qantità di moto in forma adimnsional, nll variabili ( ), ( v ), ( L), cc. Sarbb stato immdiato riconoscr ch i trmini dll qazioni adimnsionali (a*) (b*), in ci la viscosità è sostitita dal rciproco dl nmro di Rynolds R = ( L ν) hanno i sgnti ordini di grandzza: + v y = p + 1 R + y (a*) O[ 1] O[ 1] + O [ ] O 1 = p + O 1 O 1 [ ] + O 1 (Oa*) + v y = O[ 1] O[ ] + O[ ] O[ 1] = p p y + 1 R y + O 1 + O y [ ] + O 1 (b*) (Ob*) Part 11 - Pag. 7

ch ovviamnt scriviamo com: F i ρ 3 L Analogamnt, la risltant dll forz viscos è: F v τ V ρν 3 ρνv ovvro: F v ρν L'ordin di grandzza dlla viscosità cinmatica si ottin qindi gagliando l d forz porta alla rlazion: O[ ν] = O L Ritornando alla (Oa) possiamo qindi scrivr: 1 p O + O = + O L L ρ L = L (Oa) Riman ora da stimar l'ordin di grandzza dlla prssion. All'strno dllo strato limit, dov l atto di moto è irrotazional, la prssion è govrnata dalla costanza dl binomio di Brnolli: ssa è prtanto nota, na volta ch siano dfinit la dnsità la vlocità local dl flido, oltr al valor dlla prssion total in n pnto dl campo. Prtanto, all strno dllo strato limit, fino al so confin strno, la prssion pò sbir, al più, variazioni pari alla prssion dinamica (il ch si vrifica ni pnti di ristagno). Qindi l'ordin di grandzza dll variazioni di prssion al confin strno dllo strato limit è: O[ Δp ] = O[ ρ ] Dal momnto ch, in assnza di forz di campo, la componnt dl gradint dlla prssion in dirzion normal all lin di flsso è, in prima approssimazion, invrsamnt proporzional al loro raggio di crvatra, possiamo ritnr ch, s di na part con crvatra dbol (ovvro con raggio di crvatra R>>, com'è qlla in sam, p y sia piccolo: qanto mno, sfficintmnt piccolo da non altrar l'ordin di grandzza dlla prssion stssa. Prtanto possiamo ritnr ch, attravrso ttto lo spssor dllo strato limit, si propaghi fino alla part na distribzion longitdinal di prssion ch diffrisc di poco dalla (o ch ha ordin di grandzza gal alla) distribzion di prssion prsnt al so contorno strno. Part 11 - Pag. 8

Possiamo qindi riscrivr l'qazion (a) nlla forma sgnt, ov ttti i trmini [ ] : hanno O L 1 p + v = + ν ρ (a) y y O + O = O + O L L L L (Oa) Passiamo ora all'qazion (b) pr la componnt scondo y dlla qantità di moto, con n procdimnto dl ttto analogo a qllo sgito pr l'qazion (a), possiamo scrivr: v v + v y 1 p = ρ y + v ν y (b) 1 p O + O = + O L L L L ρ y L L (Ob) Ttti i trmini dlla (b) hanno dnq ordin di grandzza [ L] risptto ai trmini dll'qazion (a). Ciò, com si è già dtto, non consnt affatto di trascrarla, ma risltrà immdiatamnt chiaro ch l'qazion di continità la sola qazion dlla qantità di moto (a) in dirzion sono sfficinti a dfinir compitamnt la corrnt ntro no strato limit sottil. La (b) fornisc infatti la confrma ch, ssndo gagliato a trmini ch hanno ttti ordin di grandzza pari, al più, a O L, la componnt dl gradint di [ ] prssion in dirzion normal alla part ha, al più, ordin di grandzza [ L] volt qllo in dirzion : p = p O O y L E si pò anch ossrvar ch la variazion dlla prssion in dirzion normal alla part, attravrso ttto lo spssor dllo strato limit, ch è pari a Δ = ( p y), ha ordin di grandzza [( ) ρ ] O L variazioni di prssion in dirzion., ovvro è piccola di ordin Di consgnza, ngli strati limit sottili s parti con dbol crvatra, l variazioni dlla prssion in dirzion normal alla part sono ffttivamnt trascrabili risptto a qll nlla dirzion longitdinal, la prssion si pò ritnr praticamnt indipndnt dalla coordinata y. p y [ L] risptto all Part 11 - Pag. 9

Prtanto il sistma di qazioni diffrnziali ch tradc il principio di consrvazion dlla massa il torma dlla qantità di moto pr corrnti vorticos sottili di flidi viscosi nwtoniani a proprità costanti, si ridc a: v - consrvazion massa: + = y (TSL1) - comp. q. moto in : 1 dp + v = + ν y ρ d y (TSL) dov si è riscritto il trmin di prssion dlla (a) com diffrnzial satto, pr vidnziar appnto la dipndnza di p dalla sola coordinata longitdinal. La conclsion di qst considrazioni è ch la prssion, di fatto, non è più na variabil dl problma strato limit. Il trmin di prssion pò, infatti, ssr riscritto com: dp 1 dp = ρ d ρ d 1 d 1 = ρ ρ d = d 1 la distribzion dlla prssion lngo, oppr lngo la gnrica coordinata crvilina, è qindi prfttamnt nota dalla solzion dl campo di corrnt irrotazional strno allo strato limit. Si dv poi ossrvar ch l'indipndnza dlla prssion dalla coordinata y ha trasformato l qazioni di Navir-Stoks in qazioni di natra parabolica 5. Il ch comporta ch la propagazion dll informazioni avvnga soltanto da mont vrso vall rnd non ncssari l condizioni sl contorno strno dllo strato limit: n asptto important, dal momnto ch qsto contorno è, a priori, incognito. In trmini di condizioni al contorno, il sistma dll qazioni (TSL1) (TSL) richid condizioni slla sola vlocità all'ingrsso dl dominio di calcolo, condizioni ch si impongono assgnando l distribzioni dll componnti v dlla vlocità nlla szion inizial dlla corrnt 6 (ad s., pr profili alari, si possono sar solzioni dl tipo di qlla di Himnz al pnto di ristagno). d 5 La mdsima natra parabolica carattrizza anch l qazioni dllo strato limit di ordin no, ma non qll di ordin sprior. A titolo indicativo, l qazioni di ordin no, scritt in n rifrimnto ortogonal local s-n, assmono la smplic forma: ( Hv) + = ; s n p Hv H ρ + = + µ ; s n s n n dov H è il valor local dlla crvatra dlla part. p = n 6 Anzi, com si vdrà, non solo è sfficint, ma è anch più corrtto, assgnar la distribzion all'ingrsso dl dominio pr la sola componnt ricavar qlla pr la componnt v dall qazion di continità. Part 11 - Pag. 1

L'ltrior condizion di prftta adsion slla part consnt di intgrar l qazioni (TSL1) (TSL) nll variabili v di dfinir compitamnt il campo di vlocità all'intrno dllo strato limit. E' til infin ricordar ch, nl caso di strato limit trbolnto, l (TSL1) (TSL) si possono riscrivr in trmini di variabili mdi nlla forma di Rynolds: v + = y (TSL1M) + v = 1 y ρ dp d + ( ) y ν y 'v' (TSLM) possono ssr risolt in modo dl ttto analogo al caso laminar, dopo avr ricondotto il trmin dgli sforzi trbolnti ρ ' v' ( ) ad n trmin di gradint dlla vlocità mdia, attravrso n modllo di viscosità trbolnta com qllo dlla miing lnght di Prandtl o di Escdir, oppr con modlli più raffinati a na o a più qazioni di bilancio (pr l nrgia cintica trbolnta mdia K, pr la sa vlocità di dissipazion mdia ε, o altro). - Intgrazion nmrica dll qazioni indfinit di Prandtl. Un possibil schma di intgrazion dll qazioni dllo strato limit è riportato nl sgito (W, 1961). Si tratta no schma splicito di tipo tim-marching, ovvro di no schma in ci l'avanzamnto spazial dlla solzion stazionaria, nlla dirzion di propagazion, è assimilato ad n avanzamnto tmporal. Qsto schma nmrico, in qanto splicito, prsnta forti limitazioni di stabilità nmrica, ch comportano l'so di passi di avanzamnto così ridotti da rndrlo scarsamnt fficint. Prtanto, la sa dscrizion ha la sola fnzion di chiarir la filosofia di solzion dll qazioni dllo strato limit. Prima di saminar qsto schma di intgrazion pr n problma di strato limit bidimnsional, è ncssaria qalch prcisazion sll coordinat spaziali. La dscrizion fisica di campi di moto attorno ai profili all sprfici alari richid l adozion di sistmi di coordinat crvilin. Di fatto, pr la scrittra dll qazioni di bilancio è opportno sar assi coordinati localmnt tangnti normali al contorno o all lin di flsso. Pr contro, il dominio di calcolo vin spsso discrtizzato in lmnti rttangolari. Qi continrmo ad sar la notazion cartsiana ortogonal, sia pr l const form diffrnziali dll qazioni di bilancio, sia pr l loro form discrt, ch approssimrmo all diffrnz finit. Ma dv ssr chiaro ch, sbbn sottints, tra l drivat spaziali in in y dl dominio di calcolo l Part 11 - Pag. 11

drivat spaziali nll coordinat, s tangnt d n normal, dl dominio fisico sistono dll rlazioni Jacobian dl tipo: = s s + n n, v = v s s + v n n, y = s s y + n n y, cc. Inoltr, pr smplificar ltriormnt la scrittra dll approssimazioni discrt dll drivat spaziali, srmo na griglia rttangolar a spaziatr Δ Δy niformi. E na spaziatra niform, s pò ssr concttalmnt accttabil in dirzion, crtamnt non lo è pr la dirzion trasvrsal. Infatti il campo di moto in no strato limit è, pr dfinizion, carattrizzato da forti variazioni dll drivat spaziali in dirzion trasvrsal. Prtanto, pr vitar di sar na discrtizzazion spazial niform proibitiva, sarà smpr ncssario adottar grigli a spaziatra variabil almno in tal dirzion. Scondo lo schma di W, l qazioni (TSL1) pr la continità (TSL) pr la qantità di moto vngono discrtizzat all diffrnz finit, rispttivamnt, nl modo sgnt: i+1 v j i+1 ( vj 1 ) + Δy j i i+1 j i ( j ) i + v j Δ i+1 i ( ) = i Δ i+1 j + i+1 j 1 i j i ( ) j 1 Δ i i ( j+1 j 1 ) Δy ν + ( Δy) i j+1 = i j + i ( j 1 ) + O Δ = + O( Δ) + O( Δy) (CD) ( ) + O( Δy) (QMD) L'qazion pr la qantità di moto discrtizzata (QMD), riscritta trascrando i i+1 trmini di rror di troncamnto, è risolta splicitamnt pr j. j i+1 = j i + Δ 1 j i i i+1 i ( ) i v j Δ ( i j+1 ) + i j 1 Δy - (QMD1) - ν ( Δy) i j+1 i j + i ( j 1 ) Analogamnt, l'qazion di continità discrtizzata (CD), riscritta trascrando i trmini di rror di troncamnto, è risolta splicitamnt pr i+1 Δy i+1 v j = i+1 j + i+1 j 1 i j i j 1 vj 1 Δ i j 1 v +. ( ) (CD1) Part 11 - Pag. 1

y, j i, j+1 j =... i, j i+1, j, i j = 1 j = i = i = 1 i = i =... Data la natra parabolica dl problma, l'intgrazion dll qazioni discrt (CD1) (QMD1) è possibil s, nota dall'qazion dl potnzial la distribzion lngo dlla vlocità strna, sono assgnat l distribzioni dll componnti v dlla vlocità nlla szion inizial dl dominio di calcolo (ovvro pr i =, j), oltr alla consta condizion di adsion dl flido alla part, ch impon = v = in ttti i pnti dlla part (ovvro pr j =, i). In raltà, si pò dimostrar ch non è affatto indispnsabil (ma, anzi, non è nmmno corrtto) assgnar l distribzioni di ntramb l componnti dlla vlocità nlla szion inizial dl dominio di calcolo. Assgnata infatti la distribzion dlla componnt, qlla dlla v non è affatto indipndnt da ssa, ma dv ssrn, al contrario, ddotta, adottando n procdimnto dl tipo sgnt (Ting, 1965). Riprndiamo il sistma dll qazioni di Prandtl nlla forma diffrnzial indfinita: + v y = + v y = d d + ν y (TSL1) (TSL) Utilizziamo innanzittto l'qazion di continità pr liminar dall'qazion pr la qantità di moto, ch possiamo qindi riscrivr com: v d + v = + ν y y d y Possiamo poi ossrvar ch: v + v = y y y v, di consgnza, possiamo riscrivr l'qazion pr la qantità di moto (TSL) nlla forma: y v 1 = d + ν d y Part 11 - Pag. 13

, tilizzando la condizion al contorno di v = pr y =, ottniamo, infin: y 1 v(y) = d d + ν y dy E' qsta rlazion ch, intgrata nmricamnt, prmtt di dtrminar il corrtto valor dlla componnt v ad ogni qota y, na volta noti qlli dlla dlla componnt local. Riprndndo qindi il procdimnto di intgrazion dll qazioni discrtizzat, si dtrmina la distribzion dlla v nlla szion di ingrsso dl dominio ( i =, j), a partir da qlla assgnata alla componnt dlla vlocità. A qsto pnto, attravrso la (QMD1), si ottngono i valori dlla nlla szion sccssiva ( i =1), pr ogni valor di j. Ad smpio, al primo passo di intgrazion dlla (QMD1), nl pnto ( i =, j = 1), si scriv: 1 1 = 1 1 + Δ 1 1 ( ) Δ v 1 ( ) + Δy ν ( Δy) 1 + ( ) dov l sono not dalla solzion dl potnzial, i valori dll vlocità alla stazion i = sono ormai anch'ssi noti, d il valor di pr j = (a part) è nllo. Incrmntando l'indic j, in modo analogo, si possono calcolar i valori dlla pr ogni j > 1, qindi pr ttta la szion con indic i = 1. Ora, noti ttti i valori di nlla szion i = 1, attravrso l'qazion di continità (CD1), è possibil calcolar i valori di v pr ogni j >, alla mdsima stazion i = 1, a partir dalla szion i = dalla part j =. Ad smpio, al primo passo di intgrazion dlla (CD1), nl pnto i =, j = 1, si scriv: 1 Δy 1 v 1 = 1 1 + 1 1 v ( ) Δ dov, ancora na volta, i valori dll vlocità alla stazion i = sono noti, i valori di 1 di v pr y = (a part) sono nlli, d il valor 1 è noto dalla solzion dlla (QMD1). Incrmntando l'indic j, in modo analogo, si possono calcolar i valori dlla v pr ogni j > 1, qindi pr ttta la szion i = 1. Sfrttando qindi la parabolicità dl problma, si procd vrso vall, incrmntando l'indic i, si risolv l'qazion pr la qantità di moto si ottin la distribzion di nlla nova szion i = i + 1, pr ogni j, si risolv l'qazion di continità si ottin la distribzion di v nlla nova szion i = i + 1, pr ogni j, si procd fino a coprir l'intro dominio di calcolo. Part 11 - Pag. 14

3 - Lo strato limit ha davvro spssor piccolo risptto ad L? Abbiamo convnto ch lo strato limit pò ssr visto com qlla rgion dl campo di moto in ci forz d'inrzia risltant dgli sforzi viscosi assmono ordini di grandzza confrontabili, pr ssndo il nmro di Rynolds dlla corrnt strmamnt lvato. E abbiamo anch visto com, s tal rgion ha spssor sottil, l qazioni di Navir-Stoks assmano na forma dcisamnt più trattabil di qlla valida in gnral. Tttavia, è lgittimo porsi la domanda s, sottil, lo strato limit possa ssrlo pr davvro. In altri trmini, pò ssr til vrificar s la distanza dalla part solida, ch indichiamo ancora con, alla qal gli ordini di grandzza di tali forz si gagliano possa (o addirittra dva) ssr ffttivamnt molto minor di L. Riscriviamo, innanzittto, la forza d'inrzia pr n lmntino di flido di volm 3, intrno allo strato limit: F i ma ρ 3 a dov l'acclrazion a, qalnq n sia l'origin (non stazionarità, convzion, crvatra dlla traittoria), è dimnsionalmnt il prodotto di na vlocità pr n gradint dlla vlocità, ch indichiamo con V(V/L): F i ρ 3 V V L Rlazion ch, nll'ambito dl modllo dllo strato limit sottil, possiamo riscrivr com: F i ρ 3 V V L Analogamnt, scriviamo la risltant dll forz viscos: F v τ ρ 3 ν V =ρ 3 ν Dal momnto ch lo strato limit è dfinito com na rgion di corrnt in ci forz d'inrzia risltant dll forz viscos assmono ordini di grandzza confrontabili tra loro, crchiamo di individar qal possibilità abbia la risltant dll forz viscos di assmr n ordin di grandzza confrontabil con qllo dlla forza d'inrzia: [ ] O[ F i ] O F v è cioè, a parità di massa dll'lmntino, qando possa ssr vrificata la rlazion: Ora, non si pò crto contar slla viscosità cinmatica in sé (ch pr l'aria pr l'acqa è dll'ordin di 1 5 o di 1 6, rispttivamnt). D'altro canto, non si pò V O ν V V O V (4.1) L Part 11 - Pag. 15

nmmno contar slla vlocità strna V ch compar, sia nll forz viscos, sia in qll d'inrzia ch, anzi, in qst ltim, ha n pso dcisamnt maggior. L'nica possibilità di soddisfar la (4.1) è qindi sbordinata alla condizion ch la drivata spazial dlla vlocità nlla dirzion y (drivata d volt) sia tanto maggior dlla drivata dlla vlocità in dirzion, al pnto da compnsar prfino l'fftto dlla viscosità cinmatica. Ma qsta condizion, a parità di valor dlla vlocità strna, è vrificata soltanto s lo spssor è ffttivamnt molto minor di L. In altri trmini, in corrnti ad lvati nmri di Rynolds 7 in assnza di sparazioni, l azioni viscos: - o sono trascrabili, com si vrifica, appnto, in rgioni molto sts dl campo, dov l'atto di moto è irrotazional, - oppr, s sono significativ, lo possono ssr solo in strati di corrnt ch dvono avr spssor sottil 8. 7 Si ricordi ch, al contrario, pr valori piccoli dl nmro di Rynolds dlla corrnt (rgim di Stoks) la vorticità è distribita in ttto il campo di moto. 8 Un smpio: in na corrnt d'aria in condizioni standard ( ν = 1.45 1 ), con V 15 m / s d L 3m, la distanza h, misrata a partir dalla part, alla qal si ha l'gaglianza dgli ordini di grandzza dll forz d'inrzia di qll viscos è di circa mzzo millimtro. Infatti: O 1.45 1 5 1 15 O 15 15 h h L O 1.45 1 5 15 h O 15 3 O[ h ] 3 1.45 1 5 O 15 h =.5 mm Ma ovviamnt, non è soltanto qando l forz viscos sono dllo stsso ordin di grandzza dll forz d'inrzia ch è ncssario tnrn conto. A rigor, pr cornza con il procdimnto sgito pr ricavar l qazioni dllo strato limit sottil, dobbiamo tnr conto dll forz viscos in ttto lo spssor di corrnt in ci il loro ordin di grandzza è maggior di ( L), oppr ( L) volt l'ordin di grandzza dll forz d'inrzia. S siamo qsti critri pr stimar lo spssor, ch indichiamo in qsto caso con, si ha, rispttivamnt: O[ F v ] L O [ F i] O 1.45 1 5 15 O L 15 5 [ ] O L 1.45 1 5 O 15 1 3 9.5 mm [ ] L O F v O[ F i ] 4 mm Part 11 - Pag. 16

4 - Efftti dlla crvatra slla distribzion dlla prssion attravrso lo strato limit Si è fin qi spposto ch la part slla qal si svilppa lo strato limit dbba avr raggio di crvatra R>>. Si pò prò dimostrar ch la variazion di prssion nllo spssor di no strato limit sottil pò risltar pittosto modsto anch in prsnza di na crvatra non trascrabil dlla part com si vrifica al bordo d'attacco di n profilo alar, il ci raggio di crvatra local pò assmr valori dcisamnt infriori alla lnghzza carattristica L, cioè alla corda dl profilo (il raggio dl bordo d attacco di profili NACA dlla sri a 4 cifr è, ad smpio, r t =1.119t, dov t è lo spssor massimo dl profilo, rlativo alla corda dl profilo). Al bordo d'attacco di n profilo, ogniqalvolta la crvatra dlla part sia lvata, il gradint dlla prssion in dirzion normal alla part non è crtamnt trascrabil, ma l qazioni dl potnzial, ch forniscono il campo di vlocità all'strno dllo strato limit, il torma di Brnolli, ch fornisc la prssion, n tngono conto in modo corrtto. Si tratta di vrificar s sia altrttanto corrtto imporr ch il valor dlla prssion valtato sl contorno strno dllo strato limit si propaghi ancora inaltrato fino alla part. Di fatto, in prsnza di n'lvata crvatra dlla part, si pò vrificar ssnzialmnt na dll d sitazioni sgnti. Nl primo caso, tipico di no strato limit con spssor rlativamnt lvato (ch si vrifica, a parità di altr condizioni, qando il nmro di Rynolds dlla corrnt non è particolarmnt grand), molto probabilmnt lo strato limit spara immdiatamnt a vall dl bordo d'attacco, dov la corrnt strna è fortmnt dclrant, l qazioni di Prandtl divntano praticamnt intilizzabili 9. In tal sitazion, infatti, non solo lo spssor dllo strato limit amnta rapidamnt, vin a cadr l'ipotsi di L<< 1 ma, dal pnto di vista matmatico, l qazioni dllo strato limit divntano anch singolari al pnto di sparazion. Nl scondo caso, al contrario, lo strato limit pò ssr talmnt sottil da riscir a sprar la dclrazion dlla corrnt 1, rimanndo prfttamnt adrnt alla part anch a vall dl bordo d'attacco. Ma in qsto caso, ch è qllo ch ci intrssa di più, s sprimiamo la variazion ( Δ p) n dlla prssion nlla dirzion normal alla part, tra il confin strno dllo strato limit la part stssa, com prodotto dl gradint normal pr lo spssor : 9 In raltà, pò anch vrificarsi il caso ch lo strato limit, na volta sparato, possa riattaccar qasi immdiatamnt, formando na bolla di sparazion. Il riattacco è gnralmnt associato alla transizion al rgim trbolnto, ch è favorita dalla minor stabilità dllo strato vorticoso sparato, oppr da particolari combinazioni di angolo di incidnza, nmro di R forma dl profilo. 1 Ciò risltrà vidnt dall'qazion intgrodiffrnzial di von Kármán. Part 11 - Pag. 17

( ) p Δp n = n rislta vidnt ch, sbbn (p/n) possa assmr valori ttt'altro ch trascrabili, la condizion ch sia strmamnt piccolo, ch è indispnsabil al fin di vitar la sparazion, implica atomaticamnt ch il salto di prssion ( Δ p attravrso lo strato limit sia rlativamnt modsto. ) n 5 - La sparazion dllo strato limit Si è accnnato alla sparazion dllo strato limit qal limit di validità dll qazioni di Prandtl. In gnral, infatti, a vall dll'vntal pnto di sparazion, la vorticità diffond immdiatamnt lo strato limit ragging spssori tali ch l'ipotsi di << L, fatta pr la drivazion dll qazioni di Prandtl, vin rapidamnt a cadr. Pr ogni strato limit, sia laminar ch trbolnto, il pnto di sparazion, s sist, è dfinito com il pnto appartnnt alla part solida in ci si annlla lo sforzo tangnzial: τ w = (6.1) Pr dtrminar s, in qal posizion, si vrifica la sparazion dllo strato limit è gnralmnt ncssario intgrar l qazioni di Prandtl. Tttavia, è possibil formlar n critrio ch consnt di stabilir a priori qando tal sparazion pò avvnir. L'sprinza mostra ch: "s no strato limit è attaccato in na szion dlla corrnt in sam s la corrnt irrotazional, immdiatamnt al so strno a vall di tal szion è ovnq acclrant nlla dirzion dl moto mdio, tal strato limit non pò mai sparar". Ciò non è facilmnt dimostrabil in modo rigoroso, tttavia si possono svolgr alcn considrazioni ch portano a conclsioni prfttamnt concordi non solo con l'vidnza sprimntal, ma anch con l solzioni simili di Falknr-Skan dll qazioni di Prandtl con la già citata qazion intgrodiffrnzial di von Kármán, all qali si rimanda. La condizion ch la corrnt strna irrotazional sia acclrant nlla dirzion dl moto mdio, ch dnotiamo con, si tradc nlla condizion sgnt pr la componnt longitdinal dl gradint dlla prssion all'strno dllo strato limit: p < Infatti, nlla corrnt strna val il torma di Brnolli prtanto: dp d = d 1 d ρv dv = ρv d (6.) Qsta rlazion ci prmtt di affrmar ch, nlla corrnt strna, s la vlocità è positiva acclrant lngo ( ha qindi gradint longitdinal dv d positivo) il gradint longitdinal dlla prssion è ncssariamnt ngativo. S poi Part 11 - Pag. 18

ipotizziamo (com siamo atorizzati a far) ch dntro lo strato limit si trasmtta praticamnt inaltrato il campo di prssion strno, la condizion (6.) sl gradint di prssion è vrificata attravrso ttto lo strato limit, fino alla part, sbbn, com è ormai chiaro, il torma di Brnolli non valga affatto. Dimostrar qindi ch, s la corrnt strna ad no strato limit è ovnq acclrant, sso non pò sparar, qival a dimostrar ch, s ( dp d) <, lo sforzo tangnzial τ w alla part dv mantnrsi ncssariamnt smpr positivo. Riprndiamo l'qazion di Prandtl (TSL) pr la qantità di moto in dirzion, scritta in trmini di variabili mdi nlla forma di Rynolds, omttndo il sgno di mdia: + v = dp y d + y µ y ρ ' v ' (TSL) Visto ch la dfinizion di pnto di sparazion coinvolg soltanto lo sforzo tangnzial alla part, possiamo riscrivr l'qazion (TSL) alla part, dov, sia l componnti v dlla vlocità mdia, sia l flttazioni ' v ' sono nll, pr la condizion di prftta adsion, ottniamo: dp d = w y µ = τ = µ y w y w y w dov l'indic w indica ch l grandzz fra parntsi sono valtat, appnto, alla part. Smpr alla part, possiamo anch scrivr la drivata trza risptto ad y dlla vlocità, ch è nlla (vdi figra 6.1 c), dal momnto ch la prssion non dipnd da y: 3 y 3 = w Qindi, nll immdiat vicinanz dlla part, il sgno d il valor dl gradint normal dllo sforzo tangnzial, ovvro dlla crvatra dl profilo di vlocità, dipndono sclsivamnt dal gradint longitdinal dlla prssion. (y) '(y) > pr τ(y) > '(y) = τ(y) ''(y) = τ'(y) y U y y '''(y) = alla part a) b) c) Figra 6.1 - Distribzioni dlla vlocità dll s drivat prima sconda attravrso lo spssor di no strato limit. E, s il gradint di prssion è ngativo all'intrno di ttto lo strato limit, lo è anch a part, la drivata sconda dlla vlocità, a part, dv prtanto ssr Part 11 - Pag. 19

ngativa (figra 6.1 c). Sappiamo inoltr ch, s lo strato limit considrato è inizialmnt attaccato, non solo è positivo lo sforzo tangnzial alla part, ma lo è anch lo sforzo tangnzial in prossimità dl confin strno dllo strato limit, dov tnd ad annllarsi da valori positivi (figra 6.1 b). Prtanto il so gradint ( la crvatra dl profilo di vlocità) sono ngativi anch in tal rgion (figra 6.1 c). Lo sforzo a part τ w pò qindi annllarsi soltanto in prsnza di n cambiamnto di sgno dlla crvatra dl profilo di vlocità, ch è prclso dalla condizion sl sgno dl gradint longitdinal dlla prssion dal fatto ch l ipotsi fatt pr drivar l qazioni pr lo strato limit sottil impongono implicitamnt ch la distribzion dlla vlocità sia monotona 11. Il cambiamnto di sgno dlla crvatra è invc possibil qalora il gradint longitdinal dlla prssion sia positivo. Prtanto, s la crvatra dll lin di flsso è rlativamnt modsta, è ragionvol ch, in prsnza di corrnt strna acclrant, lo sforzo tangnzial a part rimanga smpr positivo. Al contrario, la prsnza di corrnt dclrant all'strno dllo strato limit è condizion ncssaria, ma ovviamnt non sfficint, pr la sa sparazion. 6 - Spssori intgrali dllo strato limit La solzion dll qazioni di Prandtl fornisc il valor dlla vlocità, dlla prssion dllo sforzo tangnzial in ciascn pnto all'intrno dllo strato limit. In crti casi, tttavia, pò ssr sfficint conoscr gli fftti globali ch lo strato limit prodc slla corrnt irrotazional al so strno. Tali fftti globali sono sprssi dagli spssori intgrali dllo strato limit dfiniti nl sgito, pr i qali sono forniti anch i valori indicativi, limitatamnt al caso di part piana allinata con la corrnt. 6.1 - Spssor convnzional dllo strato limit Lo spssor dllo strato limit, in na stazion ad fissata (si vda la figra 7.1), è dfinito convnzionalmnt com la distanza, misrata a partir dalla part, in corrispondnza dlla qal il valor dlla vlocità local ( y) è pari al 99.5% dl valor dlla vlocità strna local U. Si dv ossrvar ch il logo dll distanz () dalla part solida, ch costitisc il confin convnzional dllo strato limit, non è lina di flsso. Com si è visto, pr lo strato limit laminar s lastra piana a incidnza nlla (ovvro con gradint longitdinal dlla prssion nllo), la solzion di Blasis dll'qazion di Prandtl, fornisc na distribzion parabolica dllo spssor, invrsamnt proporzional alla radic qadrata dl nmro di Rynolds basato 11 L'ipotsi di monotonicità è implicita nll'assnzion d) di paragrafo 1. Part 11 - Pag.

sll'ascissa : U 1/ ν ( ) = 5.3 oppr ( ) = 5.3 R Invc, pr lo strato limit trbolnto s lastra piana, nll'ipotsi di profilo di vlocità dl tipo 1 7 : (y) = y U si ottin la distribzion di spssor: ( ) = U ν.38 ( R ) 1/ 5 1/ 7 6. - Spssor di spostamnto dllo strato limit * Fissata na szion dlla corrnt, lo spssor di diftto di flsso di massa, o * spssor di spostamnto (vdi ancora la figra 7.1), è dfinito com: * = 1 ρ(y)(y) dy ρ U d indica il diftto tra il flsso di massa associato alla corrnt irrotazional qllo rlativo alla corrnt vorticosa, attravrso la mdsima szion di corrnt. Lo spssor pò ssr intrprtato com lo spostamnto local dl contorno solido, misrato in dirzion normal alla part, ch la corrnt irrotazional vd, qal fftto dlla prsnza dllo strato limit. ρ, U y ΔF * spssor dllo strato limit spssor di spostamnto * Figra 7.1 - Spssor convnzional spssor di diftto di flsso di massa (o spssor di spostamnto) dllo strato limit. Scriviamo i flssi di massa attravrso na mdsima szion di corrnt di altzza h > ( pr nità di spssor trasvrsal dlla corrnt) pr la corrnt a potnzial pr Part 11 - Pag. 1

la corrnt viscosa: la ci diffrnza, ch indichiamo con h h F p = ρ U dy = ρ U dy F v = h ρ(y)(y) dy Δ F, è pari a: h h h ΔF = ρ U dy ρ(y)(y) dy = ρ U 1 ρ(y)(y) dy ρ U E' smpr possibil dfinir n'altzza tal ch, moltiplicata pr U pr ρ prodca n flsso di massa (pr nità di spssor di corrnt) pari a ΔF: si tratta, di fatto, dll'altzza di n rttangolo, la ci bas è pari al prodotto U pr ρ, la ci ara è pari a ΔF. Qsta altzza, com indicato in figra, è appnto lo spssor di spostamnto *: * ρ U = ΔF = ρ U 1 ρ(y)(y) dy ρ U dov l'intgral dfinito è stato sostitito con l'intgral indfinito, liminando l'arbitrarità dll'altzza di corrnt slla qal ffttar l'intgrazion, dal momnto ch, pr qot y maggiori di, la fnzion intgranda rislta idnticamnt nlla, ssndo la vlocità la dnsità locali ovnq pari a qll dlla corrnt irrotazional strna. Ovviamnt, nl caso di flidi a proprità costanti, * = 1 (y) dy U * si ridc a: Si ossrvi ch il logo dll distanz () dalla part solida non è lina di flsso pr la corrnt viscosa, mntr lo è pr la corrnt strna irrotazional. Qst'ltima, infatti, com si è dtto, vd il logo dgli spssori di spostamnto * () com n contorno solido, qindi, com na lina lngo la qal è soddisfatta la condizion di tangnza dlla vlocità. Pr lo strato limit laminar s lastra piana, la solzion di Blasis fornisc ancora * na distribzion parabolica dllo spssor : * * () =1.7 ν U 1/ oppr * () = 1.7 R Lo spssor di spostamnto dllo strato limit laminar s lastra piana a incidnza nlla è qindi pari a circa 1/3 dl so spssor convnzional. Nl caso di strato limit trbolnto s lastra piana, smpr nll'ipotsi di profilo di vlocità dl tipo 1/7, si ottin la distribzion di spssor di spostamnto: * () =.48 ( R ) 1 / 5 Part 11 - Pag.

ch mostra com tal spssor sia circa pari ad 1/8 dllo spssor convnzional. Lo strato limit trbolnto è qindi, a parità di spssor, più fficint di qllo laminar, in trmini di trasporto di massa. Qsta sitazion si vrifica anch ngli strati limit con crvatra con gradint longitdinal dlla prssion comporta, in gnral, n maggior gradint dlla componnt dlla vlocità in prossimità dlla part, ovvro maggiori sforzi tangnziali a part. E' tal proprità ch rnd gli strati limit trbolnti capaci di sopportar dclrazioni più lvat in dirzion longitdinal, con minor pricolo di sparazion. 6.3 - Lo spssor di spostamnto * d il baricntro dlla vorticità * Si pò dimostrar facilmnt ch lo spssor di spostamnto rapprsnta anch l'ordinata dl baricntro dlla vorticità associata a ciascna szion longitdinal dllo strato limit. In altri trmini, la qota alla qal si dovrbb collocar n vortic concntrato "qivalnt", cioè n vortic pntiform di circolazion pari all'intgral dlla vorticità distribita con continità attravrso lo spssor dllo strato vorticoso nlla szion considrata. U y (y) * vortic concntrato qivalnt Figra 7. - Vortic concntrato di circolazion pari a qlla dllo strato limit nlla szion considrata. Nl caso di strato limit bidimnsional, la sola componnt dlla vorticità, ch indichiamo con ω, è: ω = v y ma, dal momnto ch, nllo strato limit sottil: si ottin ch : v O = L v O = L O = y O y qindi, s << L, corntmnt con l'analisi dgli ordini di grandzza ch si è condotta pr drivar l qazioni di Prandtl, la drivata di v risptto ad è dl ttto trascrabil risptto alla drivata di risptto ad y. Part 11 - Pag. 3

Prtanto la vorticità divnta: L'intgral: ricordando ch: pò ssr riscritto com: ω = y ω y dy = y y dy b F G ' b = [ FG] a G F ' a y y dy = y b a [ ] + dy dov il primo addndo è pari a y spssor di spostamnto, è dy = ( * ). Prtanto si ottin: - y ω dy = + + * = * [ ] = il scondo, pr la dfinizion di Ora, introdcndo il conctto di baricntro, la ci coordinata dnotiamo con y b, l'intgral: ω y dy pò ssr riscritto com: ω y dy = y b ω dy Qindi: - y b ω dy = * (a) Si tratta ora di valtar il valor dll'intgral dlla vorticità ω attravrso la szion di strato limit considrato, valor da collocarsi appnto in corrispondnza dll'ordinata y b. ω dy = y dy = [ ] = (b) Prtanto, sostitndo la (b) nlla (a) si ottin y b = * ovvro, com volvasi dimostrar 1 : y b = * 1 Il risltato ottnto indica ch, in n modllo di corrnt irrotazional basato s vortici concntrati o s pannlli di vortici, qsti dovrbbro ssr collocati, non slla part solida, bnsì ad na distanza da ssa pari allo spssor local di spostamnto *. Part 11 - Pag. 4

6.4 - Spssori di qantità di moto di nrgia cintica dllo strato limit In modo dl ttto analogo allo spssor di spostamnto, sono dfiniti lo spssor di qantità di moto o, più corrttamnt, di diftto di flsso di qantità di moto, ϑ : ϑρ U = ρ(y ) (y ) [ U (y )] dy (7.4.1) ρ(y)(y) (y) da ci: ϑ = 1 dy (7.4.) ρu U lo spssor di nrgia cintica, ovvro di diftto di flsso di nrgia cintica, 3 : da ci: 3 3 ρ U = ρ(y ) (y ) U [ (y ) ] dy (7.4.3) ρ(y) (y) 3 = 1 (y) ρ U dy (7.4.4) U Si dv prò ossrvar ch ntrambi gli intgrali non rapprsntano l diffrnz ffttiv tra i flssi di qantità di moto di nrgia cintica dlla corrnt irrotazional risptto a qlla viscosa. Infatti, pr dfinir ϑ 3, vin sato, sia pr la corrnt irrotazional, sia pr qlla viscosa, il flsso di massa di qst'ltima. E' qsto flsso ch compar nll rlazioni (7.4.1 7.4.4) ch vin moltiplicato, rispttivamnt, pr la qantità di moto pr nità di massa (la vlocità), oppr pr l'nrgia cintica pr nità di massa (il qadrato dlla vlocità). Pr lo strato limit laminar s lastra piana a incidnza nlla, si ottngono, rispttivamnt:.664 ϑ ( ) = R 3 1.46 ( ) = R qindi gli spssori di qantità di moto di nrgia cintica dllo strato limit laminar s lastra piana sono pari, rispttivamnt, a circa 1/8 d 1/5 dllo spssor. Nl caso di strato limit trbolnto s lastra piana, smpr nll'ipotsi di profilo di vlocità dl tipo 1/7, si ottngono, invc:.37 ϑ ( ) = ( R ) 1/ 5 3.761 ( ) = ( R ) 1/ 5 Prtanto gli spssori di qantità di moto di nrgia cintica dllo strato limit trbolnto s lastra piana sono pari, rispttivamnt, a circa 1/1 d 1/5 dllo spssor convnzional. Infin, pr qanto rigarda gli spssori intgrali dllo strato limit s lastra piana, è intrssant notar com, in rgim laminar, si abbia: mntr, in qllo trbolnto: ϑ < 3 < * < ϑ < * < 3 <. Part 11 - Pag. 5

7 - Accoppiamnto dlla solzion a potnzial con qlla dllo strato limit E' noto ch i modlli dl potnzial dllo strato limit sono largamnt sati in campo aronatico (ovvro ad lvati nmri di Rynolds), nl progtto nlla vrifica dll prstazioni arodinamich di profili alari di ali ch, pr ssr fficinti dal pnto di vista arodinamico dvono prodrr strati vorticosi sottili. Di fatto, s lo strato limit è molto sottil (a rigor, s il so spssor è nllo), la solzion dl potnzial d il torma di Brnolli forniscono già, da soli, i campi di vlocità di prssioni praticamnt corrtti a mno, ovviamnt, dlla rsistnza. S invc lo strato limit non è molto sottil, o s intrssa conoscr anch la rsistnza arodinamica dl corpo, è indispnsabil far ricorso anch all qazioni dllo strato limit d il calcolo dlla corrnt irrotazional, in qsto caso, costitisc soltanto il primo passo di na procdra itrativa. L'accoppiamnto dlla solzion a potnzial con qlla dllo strato limit sottil avvin, concttalmnt, nl modo sgnt: a) si dtrmina n primo campo di vlocità pr la corrnt irrotazional strna allo strato limit, risolvndo l'qazion dl potnzial, imponndo la condizion di non pntrazion dirttamnt sl contorno solido dl corpo (si dtrmina, tra l'altro, anch la posizion dl pnto di ristagno in prima approssimazion); b) si intgrano l qazioni dllo strato limit, a partir dal pnto di ristagno, imponndo la condizion di adsion sl contorno solido dl corpo sfrttando la distribzion di vlocità strna appna calcolata col potnzial; c) dalla solzion dllo strato limit si ricava la distribzion dllo spssor di spostamnto * lngo il contorno dl corpo; d) si ript qindi il calcolo dl potnzial, imponndo prò la condizion di non pntrazion s di n contorno ch è spostato, risptto al contorno dlla part solida, dlla qantità local * (ch fornisc anch na sconda, più accrata, approssimazion dlla posizion dl pnto di ristagno); ) si sano la nova posizion dl pnto di ristagno la nova distribzion di vlocità strna, ch è ncssariamnt divrsa dalla prima, ssndo l condizioni al contorno impost lngo n contorno divrso dal prcdnt, pr calcolar n novo strato limit; f) si procd in qsto modo fino a qando la diffrnza tra l distribzioni di vlocità, prssioni, sforzi tangnziali, cc. fornit dalla solzion ad na dtrminata itrazion, risptto a qll dll'itrazion prcdnt, non si ridc al di sotto di na soglia di rror ch si ritin accttabil (con l'avvrtnza ch, non ssndo il procsso ncssariamnt convrgnt, la soglia d'rror imposta non pò ssr ccssivamnt ridotta). Part 11 - Pag. 6

8 - Nota sll qazion di von Kármán S qllo ch intrssa calcolar sono l prstazioni arodinamich di n corpo di gomtria assgnata (di n profilo alar, ad smpio, in fnzion dll'angolo di incidnza), il procdimnto sopra dlinato, pò ssr ltriormnt smplificato pr qanto concrn la risolzion dlla part rotazional dlla corrnt, cioè dllo strato limit. Si pò ossrvar, infatti, ch, al fin di dtrminar la portanza, la rsistnza d il momnto in fnzion dll'angolo di incidnza dl corpo in oggtto, ciò ch è sfficint dtrminar sono l distribzioni di sforzo normal di sforzo tangnzial slla sa sprfici, non è affatto ncssario conoscrn la distribzion anch a ttt l qot all'intrno dllo strato limit. In altri trmini, pr vrificar l prstazioni di n corpo arodinamico, è sfficint: 1) dtrminar com lo strato limit modifichi la distribzion di prssion slla sprfici dl corpo, risptto a qlla fornita dal solo potnzial, ) conoscr la distribzion dgli sforzi tangnziali soltanto slla sprfici dl corpo. Infatti, pr qanto rigarda il primo pnto, si pò ossrvar ch il campo di prssion valtato slla bas dlla corrnt irrotazional non è altrato dalla prsnza dllo strato limit s non attravrso il so fftto local di spostamnto, il qal modifica la forma dl contorno sl qal vin imposta la condizion di tangnza dlla vlocità. Pr qanto concrn lo sforzo tangnzial, sso è il rsponsabil dlla diffrnza tra il flsso local di qantità di moto dlla corrnt irrotazional (priva, pr dfinizion, di risltant dgli sforzi tangnziali) qllo rlativo alla corrnt vorticosa. Ma ntrambi qsti fftti sono prfttamnt ricondcibili alla valtazion di d dgli spssori intgrali dllo strato limit: - il primo fftto, lo spostamnto dlla part risptto al contorno gomtrico, è dfinito, appnto, dalla distribzion dllo spssor di spostamnto * = * (s); - la diffrnza tra i flssi di qantità di moto locali, è dfinita, invc, dalla distribzion dllo spssor di diftto di flsso di qantità di moto ϑ = ϑ(s). Invc di intgrar l qazioni indfinit di Prandtl dl paragrafo 1 (l qazioni TSL1 TSL, oppr qll nll variabili mdi TSL1M TSLM), s n pò risolvr la più agvol forma intgral, ch prnd il nom di qazion intgral di von Kármán pr gli strati vorticosi sottili: dϑ d + ϑ dv d H+ V C f = con τ C f = w 1 ρ V In qsta qazion, ch si ottin intgrando l'qazion indfinita di Prandtl attravrso lo spssor dllo strato limit (si vda il paragrafo 9) compaiono sclsivamnt grandzz intgrali, oltr alla vlocità strna allo strato limit, ch è nota. La variabil H è il rapporto di forma dllo strato limit, dfinito com rapporto tra Part 11 - Pag. 7

lo spssor di spostamnto lo spssor di qantità di moto locali (fnzioni dll'ascissa o dlla coordinata crvilina s): H = * ϑ In ttti i casi in ci non sia davvro ncssario conoscr l distribzioni dll variabili flidodinamich attravrso ttto lo spssor dllo strato limit, è qindi possibil ricorrr all'qazion intgral di von Kármán, ch comporta almno d vantaggi significativi. Il primo, risid nlla notvol ridzion di tmpi di calcolo, il scondo, nlla smplificazion dll condizioni al contorno. Infatti, all'ingrsso dl dominio di intgrazion, non è più richista l'assgnazion dlla distribzion dlla vlocità, bnsì qlla di soli paramtri intgrali *,ϑ C f (oltr alla condizion slla vlocità strna allo strato limit ch, com di consto, è nota dalla solzion dl potnzial). 9 - Drivazion dll'qazion intgrodiffrnzial di von Kármán A diffrnza dll'qazion di Prandtl, ch è non linar dl scondo ordin pr l drivat parziali dlla vlocità, la rlazion intgral di von Kármán è n'qazion diffrnzial, ancora non linar, dl primo ordin all drivat ordinari pr ϑ pr *, ch sono grandzz intgrali. Essa, com si è dtto, non risolv compltamnt il problma dllo strato limit, attravrso ttto il so spssor, ma si limita a fornir la distribzion di alcn s carattristich intgrali ssnziali, qali lo spssor di spostamnto di qantità di moto lo sforzo tangnzial a part. L'qazion di von Kármán pr lo strato limit sottil, stazionario bidimnsional s part con raggio di crvatra grand risptto a, pr n flido a proprità costanti, si pò drivar a partir dall'qazion di Prandtl (TSLM), scritta in trmini di variabili mdi nlla forma di Rynolds: ( ) + v = 1 dp y ρ d + 1 ρ y µ ρ 'v' y Eqazion ch riscriviamo innanzittto omttndo l'indicazion splicita dl sgno di mdia, sostitndo al gradint di prssion in la qantità: d ρ d indicando, pr brvità, con τ il trmin dgli sforzi viscosi µ ρ( 'v' ) : y + v y = d d + 1 τ (TSL3M) ρ y In qsta qazion,, v τ sono fnzioni dlla dlla y, mntr la vlocità strna è fnzion dlla sola (pr tal motivo, nl sgito, pr la drivata dlla in Part 11 - Pag. 8

si sranno indiffrntmnt il simbolo di diffrnzial parzial oppr qllo di diffrnzial total d). L'qazion di von Kármán si ottin, com si è già dtto, intgrando la (TSL3M) in dirzion normal alla part, tra la qota y = d na qota h, ovvro valtando gli intgrali di ciascno di soi trmini: h dy + v d dy = dy + 1 y d ρ h h τ dy (VK1) y Esaminiamo dapprima il trmin ch contin l'intgral in y dlla drivata in y dllo sforzo tangnzial. Dall'intgrazion si ottin: 1 ρ h τ y dy = 1 [ ρ τ h ] h, dal momnto ch lo sforzo tangnzial si annlla pr y = h, possiamo riscrivr la (VK1) com: h h dy + v h d dy = dy τ o (VK) y d ρ dov τ o indica lo sforzo tangnzial alla part. Passiamo qindi al trmin al 1 mmbro dlla (VK). Dall'qazion di continità: v + = y si ddc ch la componnt v dlla vlocità, fnzion di di y, si pò scrivr com: y v = dy (VK3) Ricorrndo alla rgola di intgrazion pr parti F G ' b = [ F G] a G F ', a a l'intgral dl trmin al primo mmbro dlla (VK) divnta: h v y h h dy = [ v] v dy y ch, pr l'qazion di continità, pò ssr riscritta sostitndo v y con : h v dy = v y b h dy (VK4) [ ] h + b Part 11 - Pag. 9

Dal momnto ch l componnti dlla vlocità sono ntramb nll a part, il h trmin [ v] è dl ttto qivalnt al prodotto [ v ] ch, in bas alla (VK3) è lcito riscrivr com: [ ] = v h dy (VK5) Prtanto, tilizzando l (VK4) (VK5), l'qazion (VK) pò ssr riscritta com: h h h h d τo dy + = dy dy dy (VK6) d ρ dov si è portata all'intrno dll'intgral la qantità prsnt nlla (VK5), in qanto indipndnt dalla coordinata di intgrazion y. La (VK6) pò ssr riscritta portando al 1 mmbro, all'intrno di n nico intgral, ttti i trmini contnnti l vlocità: h d d dy = τ o ρ (VK7) S si somma sottra la qantità sgno si ottin: al 1 mmbro dlla (VK7) cambiata di h + + + d d dy = τ o ρ si pò riconoscr ch la somma di primi tr trmini tra parntsi qival a [ ( ) ], mntr la somma di trmini rimannti è pari a ( ). La (VK7) si pò qindi riscrivr com somma di d intgrali sgnti: h [ ( )] dy + h ( ) dy = τ o ρ, dal momnto ch i limiti di intgrazion d h sono costanti, l oprazioni di drivazion di intgrazion possono ssr invrtit, si ottin: [ ( ) ] dy + ( ) dy = τ o (VK8) ρ dov si sono sostititi gli intgrali dfiniti tra zro d h con intgrali indfiniti, dal momnto ch l fnzioni intgrand si annllano pr y > h. Part 11 - Pag. 3

Ma si pò facilmnt riconoscr ch: prtanto si pò riscrivr la (VK8) com: [ ( ) ] dy = ϑ ( ) dy = * d ( d ϑ ) + d d * = τ o ρ dov si è sostitito il simbolo di diffrnzial parzial con qllo di diffrnzial satto poiché l variabili intgrali la vlocità strna sono fnzioni dlla sola. Drivando, infin risptto ad, si ottin: d ϑ d + dϑ d + * d d = τ o ρ ch, divisa pr, raccoglindo i trmini contnnti dϑ d + 1 d ϑ + * d ( ) = τ o Spsso, qsta qazion vin riscritta nlla forma: d d, divnta: ρ dϑ d + 1 d d ϑ ( + H ) = C f (VK9) ch si ottin introdcndo il paramtro di forma part dfinito com: H = * ϑ d il cofficint d'attrito a C f = τ o 1 ρ Part 11 - Pag. 31

1 - Solzion satta di Blasis pr lo strato limit laminar, s lastra piana a incidnza nlla Così com si sono ricavat stdiat alcn solzioni satt dll qazioni di Navir-Stoks, allo stsso modo è opportno ricavar qi almno la solzion satta dll qazioni di Prandtl, ottnta da Blasis nl 198, pr lo strato limit laminar, stazionario bidimnsional s lastra piana a incidnza nlla. Sbbn si tratti di n caso particolarmnt smplic, com spsso sccd pr l solzioni satt, anch qsto porta a risltati di notvol intrss. Riprndiamo il sistma dll qazioni di Prandtl pr lo strato limit sottil bidimnsional stazionario. Nl caso di lastra piana allinata con la corrnt, la componnt lngo dl gradint dlla prssion all'strno dllo strato limit è nlla (la corrnt "strna" è prmannt, irrotazional niform), tal riman anch al so intrno dal momnto ch la componnt dl gradint in dirzion normal alla part pò considrarsi crtamnt nllo. Possiamo qindi riscrivr l (TSL) com: v + = y + v =ν y y (BL1) con l condizioni al contorno: pr y = pr y = = v = = (BL) dov si è imposto ch la componnt dlla vlocità approssimi la dlla corrnt strna pr y tndnt all'infinito, sbbn sappiamo ch in pratica tal condizion pò ssr vrificata anch pr valori finiti, rlativamnt piccoli, dlla coordinata normal alla part. Si è inoltr prfrito indicar con la vlocità pr y anch s, nl caso particolar in sam, ssa coincid con la vlocità asintotica U. L'analisi di Blasis prnd lo spnto dal 1 problma di Stoks, nlla formlazion rlativa ad na lastra ch trasla solidalmnt con na corrnt niform di vlocità U, pr t <, ch vin arrstata brscamnt all'istant t = (si vda il paragrafo sl 1 problma di Stoks lo strato limit, nlla Part 8 di qsti appnti). Anch pr lo strato limit è possibil ricondrr il sistma (BL1) di qazioni diffrnziali all drivat parziali (di ci la sconda è non linar) a qazioni diffrnziali ordinari (ovviamnt ancora non linari), a patto di ffttar la sostitzion dll variabili dimnsionali in variabili adimnsionali opportn 13. 13 Si noti com il fatto di oprar in variabili adimnsionali (vdi l qazioni di Navir-Stoks adimnsionalizzat) prsnti normi vantaggi, non solo in trmini di gnralità dll solzioni ottnt, ma consnta anch di ottnr form diffrnziali più facilmnt trattabili. E' chiaro Part 11 - Pag. 3

Nl problma di Stoks, l'azion frnant si propaga nlla dirzion normal alla lastra di stnsion indfinita, in fnzion dl tmpo, misrato a partir dall'istant t =. Nl caso dllo strato limit, invc, si ha na lastra piana di stnsion smiinfinita l'azion frnant sl flido ha inizio nll'istant in ci la corrnt invst il bordo d'attacco dlla lastra (ch considriamo avr spssor nllo). Possiamo assmr ch tal istant coincida con il tmpo t = dl problma di Stoks ritnr ch la distribzion dlla vlocità ad na gnrica ascissa sia in qalch modo analoga a qlla ch si ha nl problma di Stoks al tmpo t, dov t è dfinito dal rapporto tra d, d è prtanto il tmpo impigato dalla corrnt indistrbata pr coprir la distanza, misrata a partir dal bordo d'attacco dlla lastra, alla vlocità strna. Prtanto, in logo dlla lnghzza ν t, sata pr ottnr la coordinata adimnsional η nl problma di Stoks 14, siamo la lnghzza 15 : ch prmtt di dfinir la variabil spazial adimnsional: = ν (BL3) ch continiamo ad indicar con η. y η = = y (BL4) ν In bas a considrazioni dimnsionali analogh a qll fatt pr la solzion satta di Stoks, assmiamo qindi ch l distribzioni dll vlocità adimnsionali siano dl tipo: = f ' ( η) (BL5) dov, pr pra comodità di notazion, si è prfrito sar la f ( η), pr potr dnotar con f ( η) la primitiva di f ( η) : ' f ( η) = η f ( η) dη ch intrvin nl procdimnto di intgrazion. ' ' prò ch, s n dtrminato fnomno è non linar, la sa modllazion richidrà ncssariamnt qazioni non linari, la non linarità non potrà mai ssr liminata attravrso alcn procsso di adimnsionalizzazion. 14 In raltà, nl problma di Stoks si è sata la lnghzza ν t, ma la prsnza dl fattor è dl ttto ininflnt dal pnto di vista dimnsional. 15 Si vdrà più avanti ch il rapporto tra gli spssori "carattristici" dllo strato limit laminar s lastra piana (qllo convnzional gli spssori intgrali) l'ascissa misrata a partir dal bordo d'attacco dlla lastra sono invrsamnt proporzionali alla R. Ciò è sattamnt qanto affrmato con la (BL3), ch pò ssr riscritta com ( ) = ν. Part 11 - Pag. 33

Si tratta ora di riprndr il sistma (BL1) di sostitir all vlocità l rispttiv vlocità adimnsionali di sprimr l drivat parziali spaziali nll variabili originali d y com drivat nlla variabil spazial adimnsional η. \ v + = y + v =ν y y (BL1.a) (BL1.b) Esaminiamo dapprima l'qazion di continità (BL1.a). Il primo trmin pò ssr riscritto com: ch, in bas alla (BL5): alla (BL4): rislta pari a: = η η ( ) = f " ( η) η = η f ' ( η) η = y ν = y ν 1 = = y ν 1 3 = 1 y ν = 1 η = ηf " η ( ) (BL6) Ma, smpr pr l'qazion di continità, possiamo scrivr anch: v = η f y " ( η) cioè ch: v v η = = η f " ( η) y η y Dalla (BL4) si ha poi ch: η = y y y 1 = prtanto: v v 1 = = η f " ( η) y η ovvro: v = η f " ( η) η Part 11 - Pag. 34

ch, intgrando ambo i mmbri in η, divnta: v = Ora, ricorrndo alla rgola di intgrazion pr parti: dov F = η G = f ' ( η), possiamo scrivr l'intgral: η ( ηf " ( η) ) η (BL7) b FG ' = FG' a η ηf " ( η)η= ηf ' η η ( η) [ ] f ' η ( )η= ηf ' ( η) [ ] a b GF ' η [ ] f η ( ) a b, dal momnto ch la condizion al contorno slla vlocità a part impon ch f ' ( η) = pr η=, si pò riscrivr la (BL7) com: v = ( ηf' ( η) f( η) ) (BL8) Possiamo qindi passar all'sam dlla sconda dll qazioni dl sistma (BL1), cioè alla (BL1.b): + v y = ν y (BL1.b) Il primo trmin pò ssr scritto, in bas all (BL5) (BL6) com: ' " f = " ' ( η) η f ( η) = η f ( η) f ( η) mntr, nl scondo trmin dlla (BL1.b), la drivata parzial dlla risptto ad y dv ssr sostitita da y = η, in bas all (BL5) (BL4), divnta: η y = f " ( η) (BL9) y Prtanto, tnndo conto dlla (BL7), il trmin dll'qazion pr la qantità di moto qival a: v y = ( ηf ' ( η) f( η) ) f " ( η) Analogamnt, il scondo mmbro dlla (BL1.b), in bas all (BL9) (BL4), si pò scrivr com: η η ν = ν = ν = y y y η η y y = ν f η " ( ) η "' 1 "' η = ν f ( η) = ν f ( η) y Part 11 - Pag. 35

ch, sfrttando la dfinizion di ( ν), divnta: (BL3), ovvro sostitndo ad ν = f y "' ( η) ( 1 ) la qantità Prtanto, l'qazion (BL1.b) pr la qantità di moto in dirzion si pò riscrivr, dividndo ciascn trmin pr ( ), com: ovvro: ηf ' " ' " ( η) f ( η) + ηf ( η) f ( η) f ( η) f ( η) = f ( η) " " "' f ( η ) f ( η) + f ( η) = (BL1) "' Qindi, sclta na fnzion f ( η) ch soddisfi l'qazion di continità, la corrnt nllo strato limit laminar s lastra piana è compitamnt dscritta dall'qazion diffrnzial ordinaria, non linar, dl trzo ordin (BL1), alla qal sono associat l tr condizioni al contorno pr la f ( η) pr la sa drivata prima: pr pr η = η = f ( η) = f ( η) = ' f ( η) = 1 ' (BL11) ch sono qivalnti all condizioni originali (BL) sll vlocità. Blasis dtrminò analiticamnt la fnzion f ( η) attravrso n'spansion in sri attorno ad η = d n'spansion asintotica pr η, raccordat pr n valor opportno di η. Il procdimnto è tttavia molto laborioso ci si limita qindi a riportar in forma grafica di tablla la solzion dlla (BL1) ottnta nmricamnt da Howarth nl 1938 16. In figra sono riportati, rispttivamnt, gli andamnti dlla componnt dlla vlocità adimnsional, parallla alla part ( corrispondnt alla trza colonna dlla tablla) di qlla normal alla part, R (corrispondnt alla qinta). v 16 L. Howarth, "On th soltion of th laminar bondary layr qations", Proc. Royal Socity, A164, Londra, 1938. Part 11 - Pag. 36

Solzion dll'qazion di Blasis f ( η ) f ( η) + f ( η) = pr lo strato limit laminar s lastra piana " "' η= y ν f( η) f ' ( η) = f " ( η) ( ( ) f( η) ) 1 ηf ' η....336...664.6641.33199.33.4.656.1377.33147.137.6.5974.19894.338.981.8.1611.6471.3739.583 1..16557.3979.331.811 1..3795.39378.31659.1179 1.4.398.4567.3787.1579 1.6.43.51676.9667.35 1.8.595.57477.893.553..653.6977.6675.3475..781.6813.4835.35885.4.93.7899.89.41364.6 1.75.7746.646.46794.8 1.399.8115.1841.563 3. 1.3968.8465.16136.5766 3. 1.56911.8769.13913.61719 3.4 1.74696.9177.11788.65953 3.6 1.9954.9333.989.697 3.8.1165.9411.813.731 4..3576.9555.644.75816 4..4986.96696.55.78159 4.4.6938.97587.3897.87 4.6.8886.9869.948.8166 4.8 3.8534.98779.187.883 5. 3.839.99155.1591.8373 5. 3.48189.9945.1134.8441 5.4 3.6894.99616.793.84916 5.6 3.8831.99748.543.8579 5.8 4.799.99838.365.85535 6. 4.7964.99898.4.8571 6. 4.47948.99937.155.85831 6.4 4.67938.99961.98.8596 6.6 4.87931.99977.61.85959 6.8 5.798.99987.37.8599 7. 5.796.9999..869 7. 5.4795.99996.13.863 7.4 5.6794.99998.7.8631 7.6 5.8794.99999.4.8634 7.8 6.793 1...8638 8. 6.793 1..1.8638 8. 6.4793 1..1.8638 8.4 6.6793 1...8638 Part 11 - Pag. 37

1.1 - Alcn considrazioni slla solzion di Blasis L'sam dll distribzioni dlla vlocità adimnsional nllo strato limit laminar s lastra piana consnt di ddrr alcn informazioni intrssanti. 1.1.1 - Componnti dlla vlocità lin di flsso Innanzittto, la distribzion dlla componnt dlla vlocità adimnsional in dirzion normal alla part mostra ch, sbbn la part sia piana d allinata con la corrnt asintotica, l lin di flsso ntro lo strato limit non sono mai paralll alla part. Il diagramma mostra tttavia na tndnza asintotica ad n valor ch, s il nmro di Rynolds è lvato, è molto piccolo risptto all'nità (di fatto, il valor "asintotico" di.8638 è praticamnt ragginto pr η = 7. 8, ch è ovviamnt il mdsimo valor di η pr il qal la componnt ragging il valor dlla vlocità strna). [ ] = L O [ ] ch si è Qsto risltato è in prftto accordo con l'assnzion di O v ddotta dall'qazion di continità d sata pr drivar l qazioni di Prandtl a partir da qll di Navir-Stoks, sotto l'ipotsi di nmro di Rynolds sfficintmnt lvato. 1.1. - Spssor convnzional dllo strato limit Dalla distribzion dlla riportata in tablla si pò vdr com il 99.5 % dlla si ragginga pr η= 5.3. Dal momnto ch η= y ν, ciò significa ch lo spssor local dllo strato limit, ch si assm appnto convnzionalmnt pari alla Part 11 - Pag. 38

qota alla qal la vlocità è pari a.995, pò ssr sprsso, in fnzion dlla dl nmro di Rynolds basato s, com: () = 5.3 R (BL1) tipo: Di consgnza, lo spssor local adimnsional o rlativo, sg na lgg dl () = 5.3 R Lo spssor convnzional dllo strato limit laminar s lastra piana, a valori fissati dlla viscosità dlla vlocità strna, ha qindi na dipndnza parabolica dalla coordinata. 1.1.3 - Spssor di spostamnto dllo strato limit Analogamnt, si pò sprimr anch l'andamnto dllo spssor di spostamnto * (si vda il paragrafo sgli spssori intgrali dllo strato limit) ch, pr n flido a proprità costanti è dfinito com: ( ) = ( 1 ) * dy Ricorrndo alla dfinizion di η (BL4): η = y ν = y R possiamo scrivr: y = η ovvro dy = dη R prtanto lo spssor di spostamnto pò ssr riscritto com: R oppr com: * ( ) = * ( ) = R R ( 1 f ' ( η) ) dη = ( 1 ) dη R ( η f( η) ) Ora, l'intgral indfinito pò ssr sostitito da n intgral dfinito tra η = qalnq valor di η pr il qal la fnzion intgranda si annlli. In bas alla tablla, rislta ch il valor di η = 7. 8 è già sfficint pr ottnr ( ) = =1, possiamo scrivr: f ' η * ( ) = ( 7.8 6.793) = 1.777 R R (BL13) Part 11 - Pag. 39

Anch qsta rlazion mostra ch l'andamnto dllo spssor di spostamnto * dllo strato limit laminar s lastra piana è parabolico in, a coordinata nmro di Rynolds fissati, è pari a circa n trzo di. 1.1.4 - Sforzo tangnzial, cofficint d'attrito cofficint di rsistnza Dalla distribzion dlla, mostrata in figra riportata in tablla, si pò notar com la pndnza dl profilo di vlocità sia prssoché costant nlla rgion dllo " strato limit in prossimità dlla part (si vdano i valori dlla f ( η) in tablla). Ciò comporta ch, nllo strato limit laminar s lastra piana, sist no strato di corrnt in ci lo sforzo tangnzial è prssoché niform in dirzion normal alla part pari allo sforzo tangnzial slla part stssa, ch pò ssr valtato facilmnt. Ciò comporta ovviamnt ch in tal strato la risltant dll nico sforzo viscoso non nllo sia nlla. Infatti, lo sforzo viscoso tangnzial alla part, ad fissata, nll ipotsi di flido a proprità costanti di y >>v, è pari a: ovvro, in bas alla (BL9): τ w ( ) = µ τ w = µ y y= y = f" η ( ) Allora, s si dfinisc il cofficint d'attrito (adimnsional): f" ( η) η= =.336 µ ( ) = τ w ( ) C f 1 ρ si ricorda ch, in bas alla (BL3): = si ottin: C f ( ) =.336 µ 1 ρ ν 1 ν =.6641 µ ρ 1 ν ovvro: C f ( ) =.6641 R (BL14) Prtanto, il cofficint d'attrito C f di na lastra piana con strato limit laminar, a valori fissati dlla viscosità dl flido dlla vlocità dlla corrnt asintotica, dcrsc a partir dal bordo d'attacco scondo la radic qadrata dlla coordinata. In altri trmini, s si considrano porzioni lmntari dlla lastra di stnsion longitdinal d, qst contribiscono alla sa rsistnza in misra progrssivamnt minor, a mano a mano ch la loro distanza dal bordo d'attacco amnta. Part 11 - Pag. 4

Dnotiamo ora con D la rsistnza di na lastra piana di aprtra b lnghzza L, ch è pari a: D = b L τ w d dov il fattor tin conto dl fatto ch sono d l facc dlla lastra lambit dal flido. Possiamo qindi dfinir il cofficint di rsistnza dlla lastra C D, rifrito alla sprfici total bagnata (ovvro a bl), com: D C D = 1 ρ ( bl) ma, s lo strato limit è laminar, possiamo scrivr: b L C D = 1 ρ τ w ( ) d = ( bl) 1 = 1 ρ L =.6641 L L ( ) C f 1 ρ ν L ovvro, portando L sotto radic: ( ) d =.6641 νl L = 1 L C f ( ) d L =.6641 L C D = 1.384 R L L ν d (BL15) dov R L indica ch il nmro di Rynolds non è più fnzion dlla, bnsì è basato slla vlocità strna slla lnghzza L dlla lastra. La (BL15) mostra ch, s lo strato limit slla lastra è laminar, a parità di sprfici bagnata, il so cofficint di rsistnza (non ncssariamnt la sa rsistnza) diminisc all'amntar dl nmro di Rynolds. 1.1.5 - Solzion di Blasis rilivi sprimntali Nll figr sono riportati i confronti tra alcni di risltati forniti dalla solzion satta di Blasis d i rispttivi valori sprimntali. La prima mostra l'ottimo accordo tra il profilo dlla vlocità adimnsional fornito dall'qazion (BL1) qllo ottnto sprimntalmnt da Nikrads, a divrsi valori dl nmro di Rynolds. La sconda riporta invc misr dl cofficint d'attrito s lastr pian a divrsi nmri di Rynolds ch, nl caso di strato limit laminar, ricoprono la crva dfinita dalla rlazion (BL14). Part 11 - Pag. 41

Lo scopo dl confronto di qsti risltati non è qllo di dimostrar la corrttzza dlla solzion di Blasis, ch è stata ottnta pr via pramnt analitica (d è qindi snt da approssimazioni nmrich) slla bas di ipotsi fisich consolidat dl ttto ragionvoli. Al contrario, si vol ribadir la fnzion fondamntal dll solzioni satt. C. 1 3 f η R Figra 3.1 - Confronto tra l distribzioni di vlocità d i valori dl cofficint d'attrito prvisti dalla solzion di Blasis qlli rilvati sprimntalmnt. Ogniqalvolta di n problma flidodinamico sia possibil conoscr la solzion satta, è a tal solzion ch si dv far rifrimnto pr vrificar l'accratzza, sia di na mtodologia di misra, sia di n modllo nmrico. In altri trmini, a titolo di smpio, non ha alcn snso impigar n codic di calcolo pr ffttar simlazioni complss di corrnti trbolnt, s non si è, qanto mno, vrificato ch tal codic sia in grado di riprodrr accratamnt l solzioni dll corrnti di Cott, di Poisill, o di Stoks. E, analogamnt, non si dv impigar na procdra sprimntal pr il rilivo, ad smpio, dllo sforzo tangnzial a part s non si è vrificata prvntivamnt la sa capacità di misra in na corrnt o in no strato limit in ci tal sforzo sia prfttamnt noto. E' vro ch ciò non è di pr sé sfficint a garantir la corrttzza di risltati ch si ottrranno in sgito, in condizioni divrs più complss, ma è altrttanto vro ch, s la procdra nmrica o sprimntal in oggtto non è in grado di soddisfar a qsto rqisito minimo, ssa potrà fornir soltanto risltati sbagliati 17. 17 Si tratta qindi di na condizion ncssaria, ma non sfficint. La fnzion dll solzioni satt è, pr crti vrsi, analoga a qlla dll'analisi dimnsional. Il vrificar, prima di risolvrla, ch i trmini di n'qazion siano dimnsionalmnt omogni non pò garantir, né ch l'qazion dscriva il problma fisico in sam, né ch l'qazion vrrà ncssariamnt risolta in modo corrtto. Praltro non c'è spranza di ottnr na solzion snsata da n'qazion ch sia dimnsionalmnt sbagliata. Part 11 - Pag. 4

1.1.6 - Strato limit nmro di Rynolds critico I dati riportati nlla figra 3.1 dovrbbro sscitar na domanda: com mai pr lo strato limit s lastra piana il rgim di moto laminar si mantin stabil fino a valori dl nmro di Rynolds dll'ordin di 1 5 1 6, mntr pr l corrnti cosiddtt paralll, qali qlla di Cott, di Poisill cc. il nmro di Rynolds critico è soltanto dll'ordin di 1 3? E' vro ch corrnti paralll strati limit non sono la stssa cosa (l solzioni satt si hanno nl caso di qazioni linari, qll dgli strati limit non lo sono; l prim richidono n dominio indfinito, i scondi, al più, smiinfinito; l n hanno lin di flsso prfttamnt rttilin, gli altri lin di flsso con crvatra non molto lvata, cc.) ma si tratta pr smpr di corrnti stazionari, in prossimità di parti solid, pian ch prsntano analogi vidnti tali da far smbrar ingistificata na diffrnza di 3 ordini di grandzza nl nmro di Rynolds ch n dtrmina la transizion. Il fatto è ch i nmri di Rynolds, ni d casi, sono basati s lnghzz carattristich ch hanno significato fisico compltamnt divrso: nl primo caso, la dimnsion sclta è qlla trasvrsal alla corrnt, fisicamnt corrtta in qanto misrata nlla dirzion lngo la qal si hanno i soli gradinti dlla vlocità, vntalmnt, dlla vorticità dgli sforzi viscosi. Nl scondo, invc, la lnghzza è qlla longitdinal (la lnghzza dlla lastra, oppr la distanza misrata a partir dal so bordo d'attacco), com è noto, almno nl caso di lastra piana a incidnza nlla, il gradint longitdinal dlla vlocità, dlla vorticità dgli sforzi, nllo strato limit, è dcisamnt infrior, s non dl ttto trascrabil, risptto al gradint trasvrsal. Si tratta qindi di na lnghzza ch non ha alcn significato fisico. Il qadro ritorna infatti prfttamnt cornt s, anch pr lo strato limit (pr il qal, non a caso, si dà na spcifica sllo spssor, qando lo si dfinisc sottil), si assm qal dimnsion carattristica qlla trasvrsal, cioè no di soi spssori (convnzional, o di spostamnto, cc.) si dfiniscono nmri di Rynolds dl tipo: R = ( ν), oppr R ϑ = ( ϑ ν), cc. La solzion di Blasis mostra, infatti, ch ttti qsti spssori sono lgati all'ascissa local dall'invrso dlla radic qadrata dl nmro di Rynolds basato sll'ascissa stssa: prtanto, qsti spssori, i nmri di Rynolds ch n drivano, hanno n ordin di grandzza pari alla mtà di qllo dll'ascissa corrispondnt dl rlativo nmro di Rynolds R. Il motivo pr ci, sbbn forvianti, si continano a sar anch i nmri di Rynolds locali basati sll'ascissa, oppr qlli globali basati slla lnghzza L, è ch qst lnghzz sono, in ogni caso, bn dfinit not a priori, mntr, al contrario, la conoscnza di no spssor dllo strato limit richid, in gnral, o l'intgrazion dll qazioni diffrnziali di Prandtl, oppr il so rilivo sprimntal. Part 11 - Pag. 43

11 - Solzioni satt di Falknr-Skan. Ci si pò porr il problma di gnralizzar la solzion di Blasis discssa nl paragrafo prcdnt, cioè di trovar solzioni simili dll qazion di Prandtl, pr lo strato limit laminar, dl tipo: = ( )f ' y () y o, mglio: ( ) (FS.1) () dov, pr brvità, si indica con la componnt local dlla vlocità parallla alla part, all intrno dllo strato limit (,y () ) dov non solo la lnghzza, ma anch la vlocità strna dipnd dalla (smpr pr brvità si sranno talvolta i simboli in logo di qlli, più corrtti, () ( )) S dnotiamo con η la variabil adimnsional: η = y () (FS.) possiamo riscrivr la (FS.1) com: ( ) (η) (FS.3) a) Riscrittra dll qazioni di Prandtl Si tratta ora di riptr il mdsimo procdimnto sato pr la solzion di Blasis pr passar dall const qazioni di Prandtl nll drivat parziali dll variabili dimnsionali (ch in qsto caso consrvano il trmin d d): + v y = + v y = d d + ν y ad na qazion diffrnzial ordinaria nlla variabil adimnsional Esaminiamo dapprima l qazion di continità. In bas alla (FS.3) il primo trmin pò ssr riscritto com: = d () d f' (η) + ()f '' (η) η ma, pr la (FS.): η = y (). η = y = y d () d () = η () d () d = η d () d (FS.4) (FS.5) (FS.6) Part 11 - Pag. 44

si pò scrivr la (FS.5) com: = d () d f' (η) ()f '' η d (η) () d Smpr in bas all qazion di continità possiamo poi scrivr: v y = = d () f ' (η) ()f '' η d (η) d () d (FS.7) qazion ch ci prmtt di sprimr il valor dlla componnt v dlla vlocità η v attravrso la rlazion: v(η) = η dη (FS.8) o, mglio, visto ch non disponiamo dlla drivata dlla v risptto ad η, attravrso la rlazion trasformata: η v v(η) = η dη η v y = y η dη η v = y ()dη (FS.9) dov si è sata la dfinizion di (FS.), η = y y, pr ricavar: () η = (). Combinando qindi l (FS.7), (FS.8) (FS.9) si ottin: v(η) = η d () d f ' (η) ()f '' η d (η) () ()dη d η = () d () f ' η (η) dη + d ()f '' (η)η d dη (FS.1) d Ora, ricorrndo alla rgola di intgrazion pr parti, il scondo intgral divnta: η ()f '' (η)η d dη d qindi la (FS.1) si pò riscrivr com: v(η) = qindi, ponndo η = () d η [ d ηf' (η)] () d d () d () + () d f ' (η)dη + d d f ' ( η) = pr η =, si ottin: η f ' (η)dη () d η [ d ηf' (η)] v(η) = d ( d () () )f(η) + () d d f' (η)η Visto ch la componnt v dlla vlocità è stata ricavata dall qazion di continità ( qindi la soddisfa crtamnt), possiamo passar all'sam dlla sconda dll qazioni dl sistma (FS.4): + v y = d d + ν y (FS.11) ttti i trmini dlla qal dvono ssr convrtiti nll variabili adimnsionali, sfrttando l rlazioni riassnt qi di sgito (in ci si sottintndono la dipndnza dll fnzioni f dalla η qlla di di dalla ): Part 11 - Pag. 45

= f ' v = d ( d d )f + d f' η = d d f' f '' η d d y = ( y f ' ) = f '' dη dy = f'' y = ( y f ' ) = f ''' dη dη dy dy = f''' Insrndo qst rlazioni nlla (FS.11), si ottin: f ' d d ff'' d( ) d d d = ν ff''' ch pò ssr riscritta com: f ' d d ff'' d d + d d d d = ν ff''' (FS.1) b) Condizion di indipndnza da : il lgam tra d Affinché l qazion diffrnzial divnti ordinaria, occorr ch ogni dipndnza dalla coordinata scompaia dall'qazion (FS.1), ovvro è ncssario ch si possano lidr i trmini ch contngono ( d d) ( d d). d Ciò è possibil s, solo s, i fattori, d proporzionali, cioè s sistono costanti α β tali ch: d d = ν α d d = ν β d d ν sono fra loro (FS.13) Dividndo mmbro a mmbro la prima dll (FS.13) pr la sconda, si vrifica facilmnt ch ss sono soddisfatt nl caso in ci: β d α d = Qsta rlazion, in ci β α è costant, pò ssr riscritta nlla forma: β d α = d (FS.14) Part 11 - Pag. 46

intgrata: 1 β α d = d β α log = log + K (FS.15) S la costant di intgrazion K vin riscritta nlla forma K = β logc (è smpr α possibil dtrminar na costant C tal ch soddisfi qsta rlazion) la (FS.15) divnta: β α log = log + β α logc β α log logc ( ) = log β α log C = log. Prtanto, l intgrazion dlla condizion di indipndnza dll qazion diffrnzial ordinaria dalla coordinata fornisc il sgnt lgam, ch dv sistr tra la lnghzza carattristica la vlocità strna : c) La distribzion longitdinal dlla = ( C) β α (FS.16) L ltimo passo ch è ncssario compir consist nl dtrminar qal dbba ssr la distribzion longitdinal dlla al fin di soddisfar l indipndnza dlla (FS.1) dalla coordinata. Torniamo alla prima dll (FS.13): sostitiamo ad ch riscriviamo nlla forma: il ci intgral è: l sprssion (FS.16): C C β α +1 d d = ν α d d = ν C β α d = ναd C α β α +1 = να dov la costant di intgrazion è nlla, dal momnto ch la é nlla pr qindi: C β+α ( ) α C ( β+α) α β α = = να (FS.17) E ora opportno rilaborar la (FS.17), dapprima dividndola pr C, il ch è ( β+α) α Part 11 - Pag. 47

lcito s ( β + α) è finito divrso da zro, cioè s β α α : ( β+α) α = ( β + α) β + α να = C αc C poi riscrivndon il 1 mmbro nl modo sgnt: ( β+α) α ( ) ( β+α) 1 α = β + α C C qindi lvandon ambo i mmbri all sponnt = νc β α ( ) α ( β+α) ( β + α) ν ν α, ottnndo finalmnt: ( β + α) Qsta qazion mostra ch la vlocità strna allo strato limit é proporzional a na potnza dlla coordinata, misrata nlla dirzion tangnt alla part a partir dal so pnto inizial. Fattor di proporzionalità potnza sono noti costanti, na volta ch si siano fissati i valori di α di β cioè, di fatto, qando si sia ottnta na solzion dlla corrnt irrotazional attravrso l qazion di Laplac nl potnzial cintico. α β+α ( ) (FS.18) Pr non complicar intilmnt l forml poniamo la costant (inclsa la viscosità cinmatica ): l'sponnt α ( β + α) = m. νc β α α β+α ( ) ( β + α) = A Scriviamo prciò, a mno ch sia β = α (pr qsto caso si vda più avanti): = A m (FS.19) il ch implica: β = α 1 m m Ma è chiaro ch il valor dlla costant α è pramnt convnzional, pr smplificar ltriormnt l forml sccssiv, è consto assmr: α = m m +1 Con tali assnzioni si ha qindi, dalla prima dll (FS.13): Part 11 - Pag. 48

l qazion (FS.1): divin: dov ora () = m m +1 ν d () d f ' d d ff'' = d d + ν m +1 () d d d d = ν ff''' β è na costant divrsa da qlla sata prcdntmnt d è data da: (FS.) f ''' ff '' = β( f ' 1) (FS.1) β = m m +1. (FS.) La (FS1) è n qazion diffrnzial, ordinaria, non linar dv ssr risolta con l condizioni al contorno: pr η = pr η = f( η) = f ' ( η) = f ' ( η) =1 (FS.3) L'intgrazion si fftta pr via nmrica porta ai risltati indicati nlla Tablla II, com vnn indicato pr la prima volta (pr i valori di positivi) da V.M. Falknr S.W. Skan. La tablla riporta anch I valori di f '' (), ch prmttono di valtar lo sforzo alla part τ w, in qanto si ha: τ w () = µ f '' () / () (FS.4) Natralmnt, na volta ottnto il profilo di vlocità, è facil ottnr, con na qadratra nmrica, * ϑ. d) Qali distribzioni dlla sono possibili? E lgittimo chidrsi, a qsto pnto, in qali casi l solzioni dll qazion (FS.1), f ''' ff '' = β( f ' 1), ovvro distribzioni dlla vlocità dl tipo, siano ffttivamnt possibili. Innanzittto, possiamo ossrvar ch pr ( qindi, pr la (FS.), anch pr ), l qazion (FS.1), f ''' ff '' = β( f ' 1), coincid (a mno dl fattor, introdotto nll adimnsionalizzazion) con l qazion di Blasis pr la lastra piana ad incidnza nlla. Il ch non stpisc, dal momnto ch la (FS.19),, pr, impon ch la corrnt strna sia, appnto, niform. Part 11 - Pag. 49

TABELLA II - Solzioni di Falknr-Skan β -,1988 -,18 -,15,5 1 f,185,161,469,98 1,33 1,687 η f f f f f f f,1,1,14,,47,9,118,159,,4,9,46,94,176,7,98,3,9,47,7,141,56,35,419,4,16,66,98,188,331,414,5,5,5,87,15,34,4,495,61,6,36,19,156,81,467,566,683,7,49,134,187,37,58,63,745,8,64,16,,37,583,686,786,9,8,188,53,417,634,735,838 1,,99,17,87,461,681,778,87 1,,14,79,359,545,761,847,91 1,4,193,346,433,64,86,897,953 1,6,5,417,57,697,876,93,973 1,8,313,49,581.761,914,957,985,,38,56,651,817,94,973,991,4,53,7,776,91,976,991,998,8,664,815,87,953,991,997,999 3,,786,899,936,98,997,999 1, 3,6,879,95,97,993,999 1, 4,,94,98,989,998 1, 4,4,974,993,997,999 4,8,99,998,999 1, 5,,997,999 1, 5,6,999 1, 6, 1, In ttti i casi in ci l sponnt m dlla lgg di vlocità strna è positivo, si tratta invc di solzioni rlativ a didri indfiniti, di smiangolo pari a πβ /, lngo i qali la corrnt irrotazional assm valor crscnt scondo la lgg. Part 11 - Pag. 5

Un caso particolarmnt intrssant si ottin qando m = β =1. In tal caso, com mostra la (FS.), ch pò ssr riscritta com: dov: A = ν C β α () = m +1 α β+α ( ) ( β + α), ν A m = 1+1 ν A = α = m =1, qindi, m +1 ν A A = [ 3νC ] 13. Lo spssor dllo strato limit è dnq indipndnt da la solzion trovata dipnd solo da y; n sg ch ssa soddisfa non soltanto l qazioni dllo strato limit, ma, ssndo v = =, anch l qazioni di Navir-Stoks. Il caso particolar m =1 corrispond a na corrnt in vicinanza di n pnto di ristagno antrior. Pr m <1 lo spssor amnta al crscr di, mntr nll corrnti fortmnt acclrat (m >1) lo spssor dcrsc con. Più complssa è la sitazion rlativa a valori di m comprsi tra 1 (qindi con β < ). C'è da ossrvar ch l solzioni con m ngativo sono mno significativ di qll con m positivo prché la vlocità dlla corrnt strna, in accordo con la = A m, divnta infinita pr ; l solzioni sono qindi dotat di significato solo da n crto positivo (arbitrario) in poi. Inoltr, pr ngativo, la solzion dlla (FS.31), ( ) f ''' ff '' = β f ' 1, non è più nica: qlla indicata nlla Tablla II è qlla ch tnd più rapidamnt all'asintoto. Nl grafico di pagina 19 sono riportat d solzioni pr valori ngativi di : la nova solzion ha ngativa in vicinanza dlla part. A prima vista la nova solzion pò apparir com na criosità matmatica: in raltà ssa ci indica la possibilità ch si vrifichi il distacco dllo strato limit, qando la corrnt è dclrant ( qindi il gradint di prssion è sfavorvol, cioè si oppon alla corrnt strna) favorndo la formazion di na zona di controcorrnt. E' rimasto, infin, da disctr il caso in ci sia β = α. In tal caso si ottin: d d = α C qindi: = A k con k = α /C Part 11 - Pag. 51

Inoltr: = α d = h d k / dov h è sostanzialmnt arbitrario rislta convnint porlo pari a ν ka in modo ch l'qazion pr f(η) divin: cioè la (FS.1) con β =, ovvro con m. f ''' ff '' + β( f ' 1) = Nl grafico sgnt sono riportati gli andamnti dlla vlocità strna pr i divrsi valori di m, mntr nlla pagina sgnt sono mostrat l divrs distribzioni dlla vlocità adimnsional. Distribzioni dlla vlocità adimnsional in fnzion di η fornit dalla solzion di Falknr-Skan. Part 11 - Pag. 5