Distribuzione di aree e misura elementare
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- Alice Alfieri
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1 Distribuzione di aree e misura elementare [A]=[L 2 ] Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 1 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 1
2 Definizione di retta orientata r P Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 2 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 2
3 Definizione di retta orientata r d r P 1 > 0 P 1 P 2 d r P 2 < 0 Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 3 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 3
4 Momento statico rispetto ad una retta orientata r (o momenti del I ordine) P [S r ]=[L 3 ] Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 4 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 4
5 Momento statico rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano (O,x,y) d x P > 0 d -y P > 0 Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 5 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 5
6 Momento statico rispetto ad una retta orientata r P Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 6 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 6
7 Baricentro: definizione e proprietà Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 7 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 7
8 Coordinate del baricentro Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 8 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 8
9 Baricentro visto come punto in cui si può pensare concentrata la totalità della distribuzione di aree Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 9 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 9
10 Distribuzione di aree simmetrica Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 10 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 10
11 Momenti di figura (o di inerzia) del II ordine [I]=[L 4 ] Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 11 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 11
12 Distanze oblique Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 12 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 12
13 Momenti di figura del II ordine nel sistema di riferimento cartesiano Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 13 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 13
14 Momento di inerzia polare Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 14 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 14
15 Matrice delle inerzie ~ ~ Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 15 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 15
16 Raggi giratori di inerzia [ρ] = [L] Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 16 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 16
17 Teorema di Huygens (o del trasporto) Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 17 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 17
18 Teorema di Huygens (o del trasporto) Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 18 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 18
19 Teorema di Huygens (o del trasporto) : dirette conseguenze ~ ~ ~ ~ ~ Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 19 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 19
20 Teorema di Huygens (o del trasporto) : dirette conseguenze Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 20 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 20
21 Teorema di Huygens (o del trasporto) : dirette conseguenze ~ Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 21 Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 21
22 Variazione delle inerzie per una rotazione del sistema di riferimento ~ Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 22 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 22
23 Variazione delle inerzie per una rotazione del sistema di riferimento: matrice di rotazione ~ ~ È una matrice ortonormale: ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 23 Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 23
24 Variazione delle inerzie per una rotazione del sistema di riferimento: matrice delle inerzie ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 24 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 24
25 Variazione delle inerzie per una rotazione del sistema di riferimento Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 25 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 25
26 Variazione delle inerzie per una rotazione del sistema di riferimento: sistema di riferimento principale centrale di inerzia Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 26 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 26
27 Variazione delle inerzie per una rotazione del sistema di riferimento: direzioni principali di inerzia Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 27 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 27
28 Centro relativo di una retta r per una distribuzione di aree distribuzione di momenti statici rispetto ad r da P d r P Def. Centro relativo per r (Cr): baricentro della distribuzione di momenti statici rispetto ad r Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 28 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 28
29 Centro relativo di una retta r per una distribuzione di aree Def. Centro relativo per r (Cr): baricentro della distribuzione di momenti statici rispetto ad r Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 29 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 29
30 Centro relativo di una retta r per una distribuzione di aree: proprietà In analogia con Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 30 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 30
31 Principio di reciprocità: Date due rette r e s non baricentriche, se il centro relativo ad r (C r ) appartiene alla retta s, allora anche il centro relativo rispetto ad s (Cs), appartiene alla retta r. In questo caso le due rette si dicono CONIUGATE Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 31 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 31
32 Principio di biunivocità: Data una retta r definita da (α ξ,α η, d r G) esiste ed è unico il centro relativo C r Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 1 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 32
33 Principio di biunivocità: Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 2 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 33
34 Principio di biunivocità: Dato un punto di coordinate si verifica che esiste ed è unica la retta r definita da (α ξ,α η, d r G) che ammette tale punto come centro relativo Retta antipolare per Cr Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 3 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 34
35 Proprietà di allineamento I: I centri relativi C ri delle rette appartenenti ad un fascio improprio sono allineati lungo una retta baricentrica Coefficiente angolare della retta so o Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 4 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 35
36 Proprietà di allineamento I: OSS. Definizione alternativa della proprietà di coniugio o Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 5 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 36
37 Proprietà di allineamento I: OSS. All avvicinarsi della generica retta r al baricentro G, il centro relativo ad essa associato si allontana da G lungo la sua coniugata so. C r diventa improprio lungo so G è centro relativo per retta impropria (sempre) Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 6 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 37
38 Proprietà di allineamento II: I centri relativi per le rette appartenenti ad un fascio proprio sono allineati lungo una retta non necessariamente baricentrica. Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 7 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 38
39 Ellisse di Culmann (o centrale di inerzia) Data una distribuzione di aree di baricentro G ed indicato con (G, ξ, η) un riferimento centrale principale di inerzia, si definisce come ellisse di Culmann, l ellisse E di equazione: η ρ ξ E E: G ρ η ξ I raggi giratori di inerzia sono i semiassi dell ellisse di Culmann Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 39 8
40 Ellisse di Culmann (o centrale di inerzia) Legge di antipolarità η r a (P) Q E Antipolo e centro relativo sono lo stesso ente geometrico Due rette sono coniugate una contiene l antipolo dell altra G P r a (Q) ξ Se P E ra(p) è la retta simmetrica rispetto a G della tangente a E in P Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 9 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 40
41 Ellisse di Culmann o centrale di inerzia: Rette baricentriche coniugate individuano diametri coniugati η C r1 r 2 E s 0 r 0 G ξ r 1 r C r2 Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 41 10
42 Determinazione grafica del centro relativo di una retta η r 2 C r1 E s 0 r 0 a a G C r2 r 1 r ξ Il raggio giratore associato a ro corrisponde al semidiametro di E disteso sulla retta so coniugata di ro Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 42 11
43 Determinazione grafica del centro relativo di una retta Il centro relativo deve stare dalla stessa parte di G rispetto a r Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 43 12
44 Determinazione grafica del centro relativo di una retta Il centro relativo deve stare nel semipiano positivo definito da r 0 G è in mezzo tra Cr e r Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 44 13
45 Determinazione grafica del centro relativo di una retta s 0 η N ρ` r 0 G ρ` r 0 L r 0 s 0 ξ r M Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 14 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 45
46 Determinazione grafica del centro relativo di una retta s 0 η N N = Cr ρ` r 0 G ρ` r 0 L r 0 s 0 ξ r M Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 15 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 46
47 Nocciolo centrale di inerzia Concetto di insieme convesso Definito l insieme C di tutte le rette che lasciano la distribuzione di aree da una parte Il nocciolo centrale di inerzia si definisce come il luogo dei centri relativi di tutte le rette di C Concetto di rette limite Il baricentro appartiene al nocciolo centrale di inerzia in quanto centro relativo di rette improprie Il nocciolo è sempre convesso Nozioni di Geometria delle aree - corso di SdC per Ing. Mecc. e Ing. Energ. - AA 13/14 Università degli Studi di Roma Tor Vergata - Scienza delle Costruzioni (Ing. Energetica, Ing. Meccanica) - Giuseppe Vairo 47 16
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