Problemi su proporzioni e percentuali - Giulia Menconi. Proporzioni: Riepilogo sulle proprietà

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1 Problemi su proporzioni e percentuali - Giulia Menconi Proporzioni: Riepilogo sulle proprietà proporzione valida: una proporzione è valida se e solo se il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi permutare ed invertire: scambiando tra di loro i due medi oppure i due estremi oppure gli antecedenti con i loro conseguenti, si ottiene ancora una proporzione valida proporzione di partenza 2:3=4:6 scambio i medi 2:4=3:6 scambio gli estremi 6:3=4:2 scambio antecendente con conseguente 3:2=6:4 comporre: sommando il primo e il secondo termine e sommando il terzo e quarto termine si ottiene ancora una proporzione valida proporzione di partenza 2:3=4:6 sommo e poi mantengo in posizione il secondo e il quarto termine (2+3):3=(4+6):6 5:3=10:6 sommo e uso il primo e il terzo termine (2+3):2=(4+6):4 5:2=10:4 scomporre: sottraendo il primo e il secondo termine e sottraendo il terzo e quarto termine si ottiene ancora una proporzione valida proporzione di partenza 5:3=15:9 sottraggo e poi mantengo in posizione il secondo e il quarto termine (5-3):3=(15-9):9 2:3=6:9 sottraggo e uso il primo e il terzo termine (5-3):5=(15-9):15 2:5=6:15 risoluzione di una proporzione semplice: risoluzione di una proporzione continua: a : x = c : d x = a d c x : b = c : d x = b c d a : x = x : b 3 : x = x : 12 x si dice medio proporzionale tra a e b x 2 = 36 T rovo DUE soluzioni : x = a b e x = a b 36 = 6 x = 6 e x = 6

2 Problemi Problemi risolubili con proporzioni semplici multiple Matteo, che dirige un centro ippico, ha calcolato che i suoi 6 cavalli mangiano 15 q di biada in 25 giorni. Quanti quintali servono al centro ippico per alimentare 6 cavalli per 30 giorni? Imposto la proporzione biada:giorni=biada:giorni 15:25=x:30 quindi x = = 18 quintali di biada per un mese per 6 cavalli Matteo, che dirige un centro ippico, ha calcolato che a casa i suoi 6 cavalli mangiano 15 q di biada in 25 giorni. Quanti quintali servono al centro ippico per alimentare 18 cavalli per 25 giorni? Imposto la proporzione biada:cavalli=biada:cavalli 15:6=x:18 quindi x = = 45 quintali di biada per un mese per 18 cavalli Matteo, che dirige un centro ippico, ha calcolato che a casa i suoi 6 cavalli mangiano 15 q di biada in 25 giorni. Quanti quintali servono al centro ippico per alimentare 18 cavalli per 60 giorni? Devo prima risolvere il problema precedente e usare la sua soluzione: so che 18 cavalli mangiano 45 quintali di biada in 25 giorni, quindi basta impostare la proporzione biada:giorni=biada:giorni quindi 45 : 25 = x : 60 e x = = 108 quintali di biada per due mesi per 18 cavalli. Anna, che dirige un hotel, ha calcolato che nello scorso fine settimana ha avuto 24 persone che sono rimaste in albergo 4 notti e che l hotel ha guadagnato euro. Quanto guadagnerà l hotel se il prossimo fine settimana sono prenotate 36 persone per 3 notti? Svolgerlo a passi separati: quanto sarebbe il guadagno G se le 36 persone pernottassero 4 notti? imposto la proporzione persone:guadagno=persone:guadagno 24 : = 36 : G G=... conoscendo il valore di G (guadagno per 36 persone per 4 notti), come si calcola il guadagno x per 36 persone per 3 notti? imposto la proporzione notti:guadagno=notti:guadagno 4:G=3:x usando il valore di G trovato prima, si risolve e si trova il valore di x: Martina spedisce 15 pacchi del peso di 12,5 kg ciascuno e spende 250 euro. Quanto spenderà per spedire 30 pacchi del peso di 30 kg ciascuno?

3 Problemi risolubili con le proprietà del comporre e scomporre Due numeri a e b hanno somma pari a 25 e il loro rapporto è 1 : 4. Determinare i due numeri. Dai dati, so che a + b = 25 e che a : b = 1 : 4. Applico la proprietà del comporre e scrivo (a+b):b=(1+4):4 25:b=5:4 b = 25 4 = 20 5 quindi a = 25 b = = 5 La differenza tra due numeri a e b è 21 e il loro rapporto è 5 : 2. Determinare i due numeri. Dai dati, so che a b = 21 e che a : b = 5 : 2. Applico la proprietà dello scomporre e scrivo (a-b):b=(5-2):2 21:b=3:2 b = 21 2 = 14 3 quindi a = = 35. La differenza tra le lunghezze di due segmenti a e b è 35 e il loro rapporto è 10 : 4. Determinare quanto sono lunghi i due segmenti.

4 Il perimetro di un rettangolo è 18 cm e i lati stanno tra loro come 20 sta a 16. Determinare quanto sono lunghi i lati del rettangolo. Chiamiamo a e b le lunghezze dei lati. Il perimetro è 2a + 2b = 18 quindi a + b = 9. Dai dati, si capisce anche che a : b = 20 : 16 Quindi... Giacomo e Giovanni hanno puntato al totocalcio rispettivamente 7 euro e 8 euro, realizzando ununica giocata. Dovendo ripartirsi proporzionalmente a quanto puntato una vincita di 600 euro, quanto spetta a ciascuno? Dai dati, si capisce che deve valere la proporzione soldi puntati da Giacomo : soldi puntati da Giovanni = soldi guadagnati da Giacomo : soldi guadagnati da Giovanni, ovvero 7 : 8 = x : y. Dobbiamo determinare x e y, sapendo che in tutto stati guadagnati x + y = 600 euro. Applichiamo la proprietà del comporre alla proporzione 7 : 8 = x : y (7+8):7=(x+y):x 15:7=600:x x = = 280 euro guadagnati da Giacomo 15 quindi Giovanni ha guadagnato = 320 euro. Anna e Marta hanno investito in borsa rispettivamente 1620 euro e 540 euro, realizzando un unico ricavo di 4500 euro. Dovendo ripartirsi il guadagno proporzionalmente a quanto investito, quanto spetta a ciascuna?

5 Calcolare il valore di una percentuale: calcolare il 10% di 1500: = 150 calcolare il 30% di 120: calcolare il 25% di 75: Percentuali Calcolare il valore percentuale corrispondente ad un dato rapporto o frazione: calcolare la percentuale (=x%) corrispondente a 3 4 : uso la proporzione x : 100 = 3 : 4 quindi x = = 75 perciò 3 corrisponde al 75% 4 calcolare la percentuale (=x%) corrispondente a 3: 5 calcolare la percentuale (=x%) corrispondente a 1 4 : Calcolare il valore dell intero, nota una sua parte: Calcola il prezzo senza sconto (=x), sapendo che il suo 70% equivale a 84 euro. Il prezzo senza sconto equivale al 100%, quindi per trovarlo imposto la proporzione prezzo intero : percentuale intera = prezzo scontato : percentuale scontata x : 100 = 84 : 70 quindi x = = 120 euro oppure uso la proporzione prezzo intero : prezzo scontato = percentuale intera : percentuale scontata x : 84 = 100 : 70 quindi x = = 120 euro Calcola il prezzo senza sconto (=x) di un libro, sapendo che il suo prezzo scontato del 25% equivale a 14 euro. Se il prezzo del libro è scontato del 25% rispetto al prezzo iniziale vuol dire che il prezzo di 14 euro corrisponde al 100% 25% = 75% del prezzo intero. Poi il problema si risolve come il precedente: trovare il prezzo senza sconto, sapendo che il suo 75% equivale a 14 euro.

6 Calcola l intero sapendo che il suo 80% equivale a 480. Calcola l intera somma (non scontata) sapendo che, dopo lo sconto dell 88%, equivale a 1,44 euro. Calcola il prezzo senza sconto di un tavolo, sapendo che il suo prezzo scontato del 30% equivale a 1239 euro.