ELEMENTI DI STATISTICA 1

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1 ELEETI DI STATISTICA Albrt Albrtll () Lug usso () () Poltcco d lo DICA Pzz Lordo d Vc, lo Tl F ml lbrt.lbrtll@olm.t () Poltcco d lo DICA Pzz Lordo d Vc, lo Tl F ml lug.musso@olm.t RIASSUTO L vrbl sttstch, l vrbl csul (co gl lmt d clcolo dll robbltà, cu ggugr comlmt d clcolo dll robbltà, ogggoro orm rt tgrt d qulss trttzo sull vrbl csul stss) l dstrbuzo cmor costtuscoo scurmt gl lmt dll sttstc l bs r qulss studo d ss. PARTE I VARIABILI STATISTICHE. Itroduzo Il trm sttstc rsl l VII scolo. Esso è usto, r l rm volt, d rossor tdsch d qull dscl ch ogg s chmrbbro scz oltch, r dcr u scz ch dv ssr studt d utur uom d Stto, r orr tutt l ormzo rgurdt lo Stto. I org coè l sttstc o s bs su dt umrc, m solo su dt qulttv. Tuttv soo covoglt ss ozo odmtl rovt d ltr cm d dg ch ho, oco oco, trsormto l struttur. I tl sso, s rrmto rclmt: ll Dottr dll Sort, tco om dl clcolo dll robbltà; ll Artmtc Poltc, sort Lodr sotto l luz dll mrsmo gls ch, svludo l lto umrco dll sttstc, roo u mtodo clssctoro d om turlstc rltv ll oolzo (sct, mort, csmt, cc.); ll dscl ch r scol s ro ddct ll Art dl msurr, com l Astroom, l Gods l Toogr. Storcmt l sttstc comc co l ssr dscrttv. Itt è cssro drm ccumulr ormzo, crtcrl, lzzrl, sttzzrl, solo sguto, ch r l orto dl clcolo dll robbltà, s costto log rmz, s dvduo orm grl d lgm strutturl ch rmttoo d ormulr tor rltv om ossrvt. Gl stss du momt ch crttrzzo lo svluo storco s rtrovo ch ll lczo rtch dll sttstc. Tuttv ccto du mortt lo dll sttstc dscrttv dllo studo d modll robblstc, è rst ogg, o svluo, tutt l roblmtc ch cocr l rz sttstc, oss qull sm d mtodolog ch rmttoo d dcdr, bs dt rcvbl d cmo d mzz, ch lmtt, sull corrttzz o mo d ots rcdtmt tt sul comortmto d om sotto sm. Qusto lvoro rort, rssoché tgrlmt, llo stl dgl utor, quto sosto ctol,, d 8 dl lbro: Fodmt d sttstc, d Gov Togltt (Hol, lo, 976), dov l ot, scrtt dgl utor dl rst lvoro, srvoo colmr qus qurt sst dll oc d dzo dl lbro suddtto, così d rdr qust quttro ctol cor mt ttul.

2 l sguto, soo sost lmt d sttstc, sszlmt lzzt ll ls d rsultt d srmt d to tcco sctco, d l cotrollo dll crttrstch dll roduzo d mss. oostt s oss otr u crt rvlz d lczo trtt dll ggr cvl, l to d soszo l sclt dgl sm, soo mostt modo d o rvlgr ssu to d utlzztor do d ltro, modo tl ch l mtodolog sost osso ssr ugulmt ccssbl tutt. Il lvllo dll cooscz mtmtch cssr r l comrso dl sguto è molto modsto. Ioltr rcch coctt, cct ll zo, soo o rrs roodt. Qust mostzo or l vtggo d vvcr modo grdul, s com lguggo ch com sm, coctt o cl, ch rchdoo mturzo rsmto.. L vrbl sttstc d u dmso Dt u oolzo comost d dvdu, d qulss to ss so quluqu s l rocsso grtvo comu ch l h ormt, l sttstc sg com clsscr qust oolzo rlzo d u uco suo stto, qullo ch trss l dg, com dscrvrl o rrstrl sttcmt, tutt l su culrtà somtch, ttrvrso u sr d dc sgctv. E mortt ztutto, rm d qulss dg sttstc, dlmtr co rcso l oolzo ch s vuol smr. Qusto s ott mdt l dzo d u crttrstc comu, mr drzt, tutt comot dll oolzo, tl ch o mmtt mbgutà o dtrmtzz l trccr l srzo r gl dvdu tr ll oolzo qull str. Ad smo, l oolzo d cttd tl, t u crto goro, o è cor u oolzo b dt, o qudo o s è rcsto ch s cludoo coloro ch, ur t ll stro, qul goro, ho drtto ll cttdz tl s scludoo vc qull t sul trrtoro zol cu o comt, ll sct, l cttdz tl. Altr oolzo comltmt dt otrbb ssr qull dll utovttur trgt I, our qull d rsultt dll msur d grdzz ottut co u crto strumto co crt crtr ortv. U volt dt l oolzo s uò smr l struttur, sotto l uto d vst d ltr crttrstch ch o s rsto mr uorm r tutt gl dvdu. Az gl dvdu ll oolzo s dstguoo roro bs ll drz tr lcu dll crttrstch ossdut d cscuo d ss. S chm ttrbuto /rgomto d u oolzo u rtcolr crttrstc dgl dvdu dll stss ch s mst ss co orm drt. Esm d ttrbut /rgomt dll oolzo sor ctt soo: r l oolzo d cttd tl, t u crto goro, l Comu d rtz, l umro gl gà rst l uclo mlr cu ss s srscoo, l so, l sttur, l sstz o mo d u crt mlormzo, cc. r l oolzo dll utovttur trgt I, l o d bbrczo, l cldrt, l mrc, cc. r l oolzo d rsultt dll msur d u grdzz l ttrbuto è uco: l vlor umrco dll msur ottut. Studr u oolzo dl uto d vst d u suo ttrbuto /rgomto sgc smr com s dstrbuscoo l vr orm dll ttrbuto /rgomto sugl dvdu dll oolzo, coè clsscr gl dvdu scodo l vr orm dll ttrbuto /rgomto.

3 Pr otr r qusto, occorr ch l ttrbuto/rgomto, rlzo l qul s vuol ttur l orgzzzo dll oolzo, ossgg sgut rqust: uò ssumr orm dstt orm dll ttrbuto; tr loro comtbl, ovvro og dvduo dv ossdr solo u og orm rrst u coctto d clss, ovvro dv ssr ossbl ch, lmo l d rco, rcch dvdu ossggo l stss orm dll ttrbuto; og dvduo dll oolzo è rst u orm sotto dvrs orm, cscu dvduo dll oolzo;, ovvro l ttrbuto dv ssr rst, ur sstoo lmo du dvdu, ll oolzo, osssso d orm dvrs dll ttrbuto, ovvro l oolzo stss o s rst totlmt omog. Clsscr l oolzo C, scodo l ttrbuto/rgomto, sgc dvdur l orm ch stt cscu dvduo d qust oolzo. Prtto rso cosdrzo u dvduo s dv smr otr dcdr qul orm dll ttrbuto/rgomto è rst ll dvduo. L succsso dll dvrs orm o smr uò rrstrs co umr mr mmdt; tuttv qust ossbltà sst smr cs, rltv ll msur, ch trsso rclmt qust trttzo. Ioltr l ttrbuto/rgomto uò ssumr: u umro to d orm, tl cso, è dtto dscrto; u umro to d orm, tutt cotut co cotutà u trvllo lmtto: dtto d to cotuo. b, d llor è Tuttv ll rtc, s h smr ch r co ttrbut/rgomt d to dscrto, oché og rsultto d msurzo, r ssbl ch s lo strumto co cu ss s ttuo, è smr u sr dscrt, ch s umros, d vlor umrc ch drscoo tr loro d quttà t. D cosguz, solo l cso d ttrbut/rgomt dscrt è rso cosdrzo, coscché l succsso d vlor rgomtl d uò rrstrs co u succsso d (,,...,). Pr mzzo dll orzo d clssczo, scodo l ttrbuto/rgomto, dgl dvdu ch ormo, l loro sm, l oolzo C, s soo rggrut ssm qugl dvdu ch ossggoo u ugul orm dll ttrbuto/rgomto. I qusto modo, s soo cott gl dvdu cscu gruo, ottdo vlor dll rquz ssolut: comrs ll clss dt d vlor rgomtl corrsodt: corrsodz buvoc s costrusc l srsso:,,,...,. Ess rrsto l umro dgl dvdu,,.... Co qust du sr tl ch: (.)

4 ll qul l rm rg rrst l succsso d vlor dll ttrbuto/rgomto, mtr ll scod rg soo rortt l rquz ssolut ossggoo l ttrbuto/rgomto, rsttvmt sotto l rsttv orm: (.) uò scrvrs ch sotto l orm:, coè umr d dvdu dll oolzo ch,,...,. L srsso tl ch: (.) ch drsc dll rcdt, rché ss, ll succsso dll rquz ssolut sosttut l succsso dll rquz rltv /. L uguglz:, è stt o soo utl ggut, m srvoo d srmr l grz ch l oolzo è lzzt r tro ch tutt suo dvdu soo sttcmt rrstt. L rquz, ssolut rltv, soo ddtv, tt s s cosdro drzt du vlor rgomtl:, l rquz ssolut d è: +, qull rltv +. L vrbl, costrut com sccto rrstt du srsso (.) (.), è dtt vrbl sttstc smlc, coè d u dmso. Esmo.. Poolzo: gl llv ch rquto u dtrmto corso. Argomto/ttrbuto sotto cu è lzzt l oolzo: l sttur. Form dll ttrbuto: l msur dll sttur srss ctmtr. Dll ls d sgol dvdu è rsultt l sgut vrbl sttstc smlc (oss d u dmso) I lcu cs, l clssczo d u oolzo, rstto d u dtrmto vlor rgomtl, uò ssr tt usdo o ù l sgol orm dll ttrbuto qusto, m l clss d oortu mzz. Ad smo, s uò dtrmr l umro d dvdu l cu vlor rgomtl è comrso r, strm clus, d ssocr ll clss:, qusto umro ch è chmto rquz dll clss. Coloro ch scrvoo soo solt o umrr l ormul d ltr srsso, rchmdol vc dttgltmt l tsto. Ivc qusto cso, r rmr ù drt ll orgl dl lbro, s è sclto d mtr l umrzo, v rst. 4

5 Ioltr og clss è cotrddstt d u vlor mdo o uto mdo dll clss: ( + ), d du lmt d clss, grlmt stut mtà r:, r dt ossrvt. +, ch o cocdoo così co Esmo.. S vogl costrur l dstrbuzo d rquz rltv s d 6 studt msch, msurt d chlo chlo. I vlor ottut soo sgut: Il so mggor è d 84 g, qullo mor è d 54 g l trvllo r qust è d: g sclt covt dll mzz dll clss è d. U g, d cosguz, ut md dll clss soo 54. 5, 55. 5, cc., mtr gl trvll d clss soo: 54 55, 56 57, 58 59, cc. Co qust sclt, lmt dll clss soo: 55. 5, 57. 5, 59. 5, cc., l vrbl sttstc rsult ordt, com ll rm dll sgut tbll. Ovvmt s uò stblr u ltr dstrbuzo d rquz, scgldo u dvrs mzz dll clss, d smo, d stss tbll. 4 g ; tl cso, s ott l scod dll Pso (g) Frquz Pso (g) Frquz Totl Totl 6 5

6 . Rrstzo grc d u vrbl sttstc smlc Dll vrbl s ossoo dr lcu t d rrstzo grch. S rorto, scl oortu, su u smrtt, vlor umrc dll ttrbuto/rgomto, doo vrl dsost ord crsct, coscché rsulto dstrbut sul sgmto. I corrsodz cscu vlor s rort, drzo orml ll smrtt, u sgmto d lughzz roorzol ll rquz totl d qul vlor rgomtl. S vrà così u dgrmm d rquz ( Fg..., è rrstto l dgrmm d rquz rltvo l rcdt smo..). Fg... Dgrmm d rquz rltvo ll Esmo.. Tuttv qudo l sr d vlor rgomtl è molto umros comrs u trvllo ss lmtto, uò ssr covt u ltr rrstzo grc dll vrbl sttstc. L sr d vlor rgomtl, rortt grcmt sull smrtt, è suddvs tt trvll o clss, cscuo cott u crto gruo d vlor rgomtl. Dt ut d srzo: ', ',..., ' m, o lmt dll clss ch, r vtr mbgutà, è mglo o cocdo co vlor rgomtl ror dll vrbl sttstc, s costrusc, sor og trvllo ' ' + costtuto dl sgmto:, u rttgolo d r roorzol l umro dgl dvdu dll oolzo osssso d vlor rgomtl comrso tro lmt: ' ' +. L gur rsultt s chm stogrmm. Tlvolt l mzz dll clss cocd co l utà d msur dll d è mtut costt. Tuttv grl, qusto o ccd d z ssso è oortuo modcr l mzz dll clss qull zo cu l rquz dmuscoo ssblmt. Prtto l ltzz d sgol rttgol soo clcolt modo d rsttr l dzo dt d stogrmm. Idcdo co m l utà d msur dll (ch uò ch ssr l trvllo d clss ù m m rqutmt utlzzto) co:, l umro d utà d msur cotuto ll clss d mzz m, l ordt d ssgr l rttgolo d bs qust clss, rsult: 6

7 dov rrst l rquz ssolut dgl dvdu rst ll clss d mzz m ( l r totl, sotts dll stogrmm, è msurt dll rlzo: d utà ll scl dll ordt, l ltzz d rttgol soo rrstt co vlor: ). olto ssso, co u cmbmto ' d cosguz, l r totl, sotts dll stogrmm, dvt u r ormlzzt, coè ugul d. Esmo.. I sgut dt rrsto l dstrbuzo d comu tl scodo clss d oolzo l go 96 l stogrmm corrsodt h utà d msur: m btt (ssdo: 7698 ). Fg... Istogrmm rltvo ll dstrbuzo d comu tl scodo l umro dgl btt Clss d oolzo Amzz dll clss m umro d comu '

8 ll costruzo dgl stogrmm, h otvol mortz l sclt dll mzz dll trvllo d cscu clss. Itt d qust sclt, volt modo ss mcroscoco, dd l ormzo dll stogrmm. L mzz dll trvllo dv ssr sclt, ur co qulch rbtrrtà, tdo coto d qust lmt: stso dl cmo d vrbltà dll ttrbuto/rgomto dll vrbl; umro comlssvo d dvdu comot l oolzo; grdo d ttdbltà dll rlvzo dll ttrbuto/rgomto stsso. l cso ch l vlor dll ttrbuto/rgomto, roro d cscu dvduo, è ottuto mdt msur, è utl rrtr l stogrmm clss l cu trvllo è ror ll ssbltà dll msur stss. L rrstzo mdt stogrmm, co trvllo d mzz uorm (dll vrbl sttstc gà ordt clss dll Esmo..), mostr chrmt com, l vrr dll mzz dll trvllo, cmb ssblmt l orm dll stogrmm corrsodt ( rgurdo, s vd l Fg...). Fg... Istogrmm rltv ll stss oolzo, co dvrso trvllo d clss Il roblm dll sclt dll trvllo ( cu suddvdr l scl d vlor rgomtl r l costruzo dll stogrmm) rd l su mortz, qulor s ss dll rrstzo dll vrbl sttstc qull dll vrbl sttstc cumult. S chm uzo cumultv d rquz o uzo d dstrbuzo l sgut do succsso corrsodz buvoc: F F F coè qull ll qul corrsodz d og vlor d tutt gl lmt ch ho vlor ror od ugul dll rgomto, è ost l somm dll rquz S chm dgrmm cumultvo d rquz o dgrmm d dstrbuzo l rrstzo grc dll uzo cumultv d rquz ch s costrusc cdo corrsodr, u dgrmm crtso, ll scss, l ordt roorzol :. 8

9 F r r ssdo, r dzo: F r r Frqutmt l vrbl sttstc cumult è rrstt mdt stogrmm, co trvll d mzz uorm cu (com mostr l Fg..4.) sull clss -sm è costruto u rttgolo d r roorzol F..4 od, md, qutl ll sr d vlor rgomtl, lcu soo d rtcolr mortz, r l dscrzo dll vrbl sttstc cu s rrscoo. Qudo qust vrbl è rrstt ll orm (.), s ossoo dr lcu crttrstch dll vrbl stss. L mod è qul vlor rgomtl cu corrsod l mssm rquz, rstto vlor rgomtl ch lo rcdoo lo sguoo. Il vlor modl o uò m occur l rmo o l ultmo osto ll succsso d vlor rgomtl, qulor l vlor d mssm rquz cocd co l rmo o l ultmo trm, l dstrbuzo s dc zro-modl. U dstrbuzo è umodl o lurmodl scod ch sst u sol rquz ch sur tutt l ltr, our ch ssto, ll sr dll rquz, ltr mssm rltv. L md è qul vlor rgomtl l cu rquz dsosto ord crsct vlor rgomtl:,,,...,, s h ch: m sodds l sgut codzo. Avdo,,..., cu corrsodoo l rquz l somm dll rquz ch rcdoo m è mor dll mtà dll rquz totl; l somm d rquz totl. m dll rquz ch l rcdoo è ugul o mggor dll mtà dll Qulor l vrbl sttstc s rrstt co u stogrmm, l md è l scss dl uto l cu ordt dvd du rt ugul l r cort dll stogrmm. I qutl soo qu vlor rgomtl r cu soo soddstt l codzo, gà ost r l md, sosttudo solo u qurto o tr qurt, l osto d mtà, ll loro dzo 4. Qudo vc l sr d vlor rgomtl è rtcolrmt umros l vrbl sttstc è ordt r clss, dl grco, s uò dvdur l clss modl. Tuttv qust cs, è ù comodo cosdrr o gà l stogrmm rttgolr, m u uovo dgrmm ottuto troldolo, l sso tutvo Tutt l crttrstch (d qusto rgro) soo utl ch r lo studo d dt qulttv, co l sol codzo ch so ordbl. 4 I qutl ossoo ssr ltrsì dt rtr dll md, rddo cosdrzo gl scrt vlor ssoluto, rstto d ss. I qusto cso, l scodo qutl sg cor l mtà d dt (roro co l stss rgol d dzo dll md); sso rggru l rt ctrl d dt lsc l rt rstt ll cod. Com l md è u crttrstc robust, quto oco ssbl ll rsz d dt oml, rtcolr, d rror grossol; l suo om è drvto dll lttrtur sclstc gls/mrc: m bsolut vlu (mv) otrbb ssr trdotto, co l trm, rltro oco usto: vlor ssoluto mdo. 9

10 corrt dll rol. Qust curv, dtt curv d rquz, è trcct modo tl ch l r totl, rcchus r d ss l ss, s ugul ll r totl d rttgol dll stogrmm (com mostr l Fg..4.). L rgo odmtl, r l sosttuzo dll curv d rquz ll stogrmm, st l tto ch l cotoro rttgolr quvl ll ots d u dstrbuzo uorm dgl lmt dll sgol clss, mtr è ù ttdbl ch l dstrbuzo dll rquz d vlor rgomtl, tr d og trvllo, s uorm ll dmto grl dll stogrmm. Fg..4. Dtrmzo d mod, md qutl r u v.s. ordt sotto orm d stogrmm Dsgt l curv d rquz, rsult dvduto l mssmo l cu scss corrsod l vlor modl dll dstrbuzo. L dtrmzo grc dll md d qutl s sgu utlzzdo l stogrmm dll rquz cumult cu s è sosttuto l cotoro curvlo l corrsodt cotoro grd. S trsc l curv troltrc co l rtt:, 4 4, s dtrmo l scss d ut trszo,

11 l qul rrsto rsttvmt l vlor dll md, dl rmo dl trzo qutl 5 (com llustr l Fg..4.)..5 Rrstzo sttc d u vrbl sttstc d u dmso L rrstzo grc dll vrbl sttstc ll orm sor vst, ur ssdo ssso ss srssv, d u uto d vst qulttvo, rmtt d rcvr solo scrs dczo qutttv sull dstrbuzo, d è così cssr u dscrzo mtmtc ù ccurt. A qusto scoo, soo stt trodott lcu dc ch, rcvt usdo tutt dt comot l vrbl sttstc, rcso lcu su crttrstch sszl. Qust dc dscrttv soo, l loro sm, chmt sttstch, d è comuqu cssro rmttr lcu dzo (r otr ssr ù sttc l sguto). S chm momto -smo rstto d u olo θ, d u dstrbuzo d rquz o vrbl sttstc d u dmso, l sgut srsso: m, ( θ ) θ. (5.) L sr d momt d u vrbl sttstc, rstto d u rtcolr vlor dl olo, d smo lo zro, bst rrstr tutt l crttrstch dll su dstrbuzo. I momt ch ll rtc soo ù sgctv r rrstr l uzo soo tr sgut: Il momto d rmo ord ( ) vrbl sttstc: dll vrbl rstto l olo θ, ch è dtto md dll m, (5.) Il momto d scodo ord ( ) qudrtco mdo: dll vrbl rstto l olo θ, ch è dtto vlor m, (5.) Il momto d scodo ord ( ) momto ctrl dl scodo ord: dll vrbl rstto l olo θ, ch è dtto vrz o 5 Il vlor ssoluto mdo (mv) uò ssr rcvto rossmtvmt, smr cdo uso dll curv d rquz, clcoldo l drz tr l scss, corrsodt l trzo d l rmo qutl, cdo l mtà.

12 m ( ), (5.4) L drz:, è dtto scrto. L rdc qudrt dll vrz s chm scrto qudrtco mdo (sqm) o dvzo stdrd, d è srss ll stss utà d msur d vlor rgomtl dgl scrt. S bd tuttv ch l du domzo: vrz sqm., soo rqutmt cous r loro. Dll dzo rcdt s drvo lcu rortà. L md è l vlor dl olo r cu è mmo l momto ctrl dl scodo ord 6. Itt voldo rcrcr l vlor d θ r l qul è mm l uzo: ( θ ) ( θ ) occorr drvr l uzo stss rstto θ d uguglr zro l drvt: d ( θ ) θ dθ ( ) d cu θ L vrbl sttstc ormt dgl scrt h vlor mdo ullo. Itt r l dzo d md: ( ) Tr tr dc sor dt sst l sgut rlzo: (5.5) Itt dll (5.4) svludo l qudrto s h: + coscché l rmo trm scodo mmbro è, r l (5.), l scodo trm, r l (5.), l sommtor dl trzo trm è ugul ll utà, r l (.); d qu s dduc clmt l (5.5). 6 L mod è l vlor dl olo r cu è mmo l momto ctrl d ord zro d l vlor ssoluto mdo (ovvro l md d vlor ssolut dgl scrt, rstto ll md: AV) è l vlor dl olo r cu è mmo l momto ctrl d ord uo.

13 Qust rlzo rsult ssso utl r l clcolo d, rché rmtt d vtr l scuzo dll sottrzo:, ch costtuscoo u mol d clcol o trscurbl, r molto grd, ch clmt troducoo rror d rossmzo. Qudo vlor rgomtl soo suddvs clss, com vlor d trodurr ll (5.) s uso ut md dll clss. Può sstr u crt mbgutà là dov l rm clss comrd qugl dvdu l cu vlor rgomtl è ror l ultm clss qull l cu vlor rgomtl è suror Tuttv oché og vrbl sttstc s rrsc d u omo oto, o s ho, d solto, dcoltà stblr l ord d grdzz dl vlor ù ccolo dl ù grd, d dtrmr così, s ur v rossmt, l uto mdo dll rm dll ultm clss. A du momt: md vrz, è ssocto u mortt sgcto dscrttvo dll vrbl sttstc. L md è u dc d oszo, coè dtrm l oszo dll oolzo cu l vrbl sttstc s rrsc, sull scl d vlor rgomtl. Co u log mccc, vlor dll rquz soo trrtt com mss, dsost lugo u ss, d vt com coordt l vlor dll rgomto corrsodt, coscché l md cocd co l brctro d qust mss. L vrz è u dc d vrbltà, rché msur l dsrso d vlor dll rgomto dgl dvdu toro l vlor mdo. Il coctto d vrz è odmtl sttstc, rché l sttstc è u mtodo r studr l vrbltà d u crttrstc u oolzo. Storcmt s è sclto qusto dc r l csstà d msurr l vrbltà sstt tr dt, mttdo coroto l dstz r cscu dvduo dll oolzo d u trm d coroto globlmt. L log mccc ch mglo s rst r comrdr l sgcto dll vrz è l momto d rz I, urché s trrto cor l rquz rltv com mss l drz ( ), coè gl scrt, com l dstz dll mss dl ctro d rotzo: I ( ) Ioltr tdo coto dll (.). s uò trrtr com rotor, coè qull dstz, dll ss d rotzo, cu s uò coctrr tutt l mss ( ). r cosrvr vrto l momto d rz. Dll dzo mccc d momto d rz, rsult ch I è tto mggor, rtà d mss, quto mggor soo l dstz dll ss ( tordo l sgcto sttstco, l vrz è u msur dll dsrso d vr dvdu, toro l loro vlor mdo). Rssumdo l mod srm u rortà dll curv troltrc dll dstrbuzo, l md 7 u rortà dll r dvdut dll curv stss, mtr l md l vrz rrsto l rortà mccch dll dstrbuzo. 7 Ach l vlor ssoluto mdo (mv) è u rortà dll r dvdut dll curv stss.

14 Tr l md, l md l mod sussst u rlzo r cu l vlor dll md è smr comrso r qullo dll md qullo dll mod. U dstrbuzo s dc smmtrc, qudo tr vlor rdtt soo dvrs r loro, d u msur dll smmtr è dt dll dc d swss: S od (5.6) U scodo modo r msurr l smmtr d u dstrbuzo è dto dl coct γ ch uso dl momto ctrl dl trzo ord: ( ) γ (5.7) ch rsult ullo, l cso ss s smmtrc, mtr è ostvo, s l dgrmm d rquz rst u cod vrso dstr, gtvo, cso cotrro. Tuttv gl dc d smmtr dvoo smr ssr ust co dscrmto, rché ossoo vrcrs cs cu, d smo, s ullo l momto dl trzo ord qust dc, sz ch l vrbl sttstc s smmtrc. Ioltr occorr rlvr ch trmb, l (5.6) (5.7), l ttà ( od) o ( ) soo msurt trm d sqm. Qust rocdur, costtmt lct sguto, rltt l tto ch, u dstrbuzo, l vlor dll drz, r du vlor rgomtl quluqu, o h sgcto s o lo s corot co l ttà dll dsrso ch crttrzz l dstrbuzo stss. S s dsdr u ù dttglt dscrzo mtmtc dll vrbl occorr ttur l clcolo d momt d ord suror 8. Tuttv è ù rduo dr sgct dscrttv soddsct gl ltr momt. Itt u trrtzo tutv grl rsch d cdr dtto, ch r t d dstrbuzo o ccssvmt sostct..6 L dsuguglz d Tchbch Il vlor dscrttvo d du dc: md vrz, è msso rslto ottmmt dll dsuguglz d Tchbch ch rmtt d ssgr l lmt ror l umro o rquz dgl scrt, rltv d u vrbl sttstc, vlor ssoluto mor d u costt ostv ssgt L. I ltr rol, qust dsuguglz dtrm u lmt ror l umro o rquz dgl dvdu cu vlor dll rgomto so cotut ll trvllo: dzo d vrz, s h: L + L. Itt dcdo co ν gl scrt, r 8 Il rmo momto succssvo è l momto ctrl dl qurto ord d cu s ott l coct β (ch mostr l curtos d u dstrbuzo). L rol drv dl grco tco, sgc bcco, grl, srv sgr l comortmto dll cod (lddov l loro rsz o rmozo modco l coct β ), ch s molt ossoo ssr cotro-sm. U curostà rcs ch bcch rrott srvvo com orbc (u vzo solo mdovl), r tglr cll (d cu u sosttuzo d rol). Ivc ù mortt è rcsr ch β dc l dstrbuzo orml (ctrl sttstc rstt l sguto), mtr grl ( smr co molt cotro-sm), β > è u s d cod uttosto (/o dll rsz d dt oml) β < d cod rccho vuot. 4

15 ν + ν ν (6.) S suo ch, ll (6.), l ν so stt ordt co vlor ssoluto crsct d rm s vlor dll rgomto so ror, vlor ssoluto, ll costt L, mtr rmt vlor: ν s +, ν s+,..., ν, so mggor (od lmo ugul) L. Doodché ll (6.), s ogoo rm s vlor d ν ugul zro d rmt scodo mmbro, coscché: s ugul L. Co qust sosttuzo, s dmusc (od l mssmo o s umt) l + + L s s (6.) ll (6.), l somm d rquz tr rts rrst l rquz totl F ' dgl scrt l cu vlor ssoluto è suror o ugul L. S co F s dc l rquz totl dgl scrt vlor ssoluto ror L, s vrà F + F'. Allor l (6.) s uò scrvr ll orm: L F Dll (6.), s rcv (6.) F, osto L λ, dov λ msur l trvllo L, rddo com utà d msur dgl trvll l quttà, s ott così l dsuguglz d Tchbch. F λ (6.4) Il vlor lmt dll rquz F, rcvbl dll (6.4), è sgctvo solo l cso cu sso s mggor d zro rtto λ dv ssr mggor dll utà. I Fg..6., è rortrt trtto cotuo l curv rrsttv dll uzo r vlor d λ comrs r 5. F * F / / λ D qust curv, s rcv: ù dl 75 % dgl dvdu dll oolzo è rcchuso u toro dll md dll mzz d md dll mzz d ± ; ù dl 9 % dgl dvdu dll oolzo è cotuto u toro dll ± 9. L dsuguglz d Tchbch è d otvol mortz sttstc, gustcdo rché du vlor: d md vrz, ll mggor rt d cs, bsto dscrvr suctmt b u vrbl sttstc d u oolzo. Itt ot qust du vlor, è ossbl loclzzr lmtr l zo d mggor ddsmto dll oolzo, sull scl dgl ttrbut/rgomt. 9 Dll stss dsuguglz, s rcv vc ch l rmo toro dll md dll mzz d ± otrbb ch ssr vuoto. 5

16 Tuttv occorr otr ch l uguglz ll rlzo (6.4) s vrc solo s tutt gl scrt, ror ( modulo) d L, soo roro ull (rché cocdt co l md) tutt gl ltr soo sttmt ugul ± L (rché dstt L dll md), vtultà ch, rtc, o s rst m. D qust codzo, molto rstrttv, sgu ch l rquz, rltv d u crto scrto, cs ch trsso l lczo, è otvolmt suror : λ. ll stss gur, è trcct, co trtto dscotuo, l curv ( λ) corrsodt d u rtcolr dstrbuzo, molto rqut ll rtc, dtt dstrbuzo orml, dll qul rsult l dmto dll rquz dgl scrt comrs ll trvllo: ± λ. L mortz dll dsuguglz d Tchbch rsd sorttutto l tto ch, r drvrl, o s è tt lcu ots sul to d dstrbuzo d rquz d oltr ch ss dmostr qulttvmt, com l rquz dgl scrt molto lvt (rstto ll vrz), td rdmt zro. Fg..6. L uzo F * / λ λ, d logo sgcto, clcolt r l dstrbuzo orml (rrstt trttggt) (rrstt trtto cotuo) co l uzo ( ).7 Alcu sgct colltrl dl trm md D u uto d vst strttmt mtodologco, l md (o momto d ord rstto llo zro) h u vlor urmt dscrttvo, molt cs, s rs soltmt d ltr momt succssv, h sgcto molto lmtto, coè dc ss oco sull struttur tr dll vrbl sttstc stss. Tuttv r moltssm t d vrbl sttstch, tr l qul soo qull ch ù trsso qusto studo, l sgcto ch è ttrbuto l trm md trscd l uro smlc sso dscrttvo, r sgcr qulcos d tro d trsco l omo grl dll vrbl. I qust cs, gl dvdu dll oolzo s ddso ttoro qusto vlor crttrstco, qus d srmr u tdz dll oolzo tr volr ssumr qul vlor, sz drzzo tr gl dvdu. Allor l md cocd co u comot costt dll struttur tm dll oolzo ch gt rturbtor ho mschrto, sgol dvdu, dtro u vrbltà cotgt. Prtto l sgcto dll md è, r l vrbl sttstch d qusto to, rodrt su qullo dgl ltr dc, gcché ls qulcos d tmo ll sostz dll vrbl sttstc. Altr volt o, qudo s rl d md o s clcol l vlor, s sgu u trzo sgcto, ltrttto rcso, ch tuttv occorr vr rst, r o corrr couso d mbgutà. Itt lcu cs scl, m o rr, s crc d smlcr u qusto ch covolg u sm d ù dvdu, sttzzdo co u uco vlor drt vlor dgl ttrbut/rgomt, ossdut dgl dvdu. A 6

17 qusto vlor uco, utlzzto com l vlor dll ttrbuto/rgomto, ossduto dtcmt d tutt gl dvdu dll oolzo, è dto l om d md. L sosttuzo d sgol vlor rgomtl, ossdut dgl dvdu, co l vlor dll md, o ltr l vso l trttzo d sm dl omo l qul gsc qull oolzo. Tuttv ù corrttmt dovrbb ssr chmt md rltv, oché l suo cotuto d utltà è gustcto solo d lczo d u omo rtcolr, stro ll vrbl sttstc stss d ll su dscrzo. I qusto cso, o h sso rlr d md d du o ù quttà, m h sso rlr d md d ss llo scoo dll vlutzo sttc d u ltr grdzz, d ss ddt. Itt dt l grdzz omog:,,...,m, dll qul trss cosdrr l uzo (,,..., m ) vlor, s h: (,,...,) (, ), s r u dto,..., m, qusto sgc ch, gl tt dl clcolo dll uzo, d trss scco, è com s tutt l vrbl vssro u uco vlor. Allor è solo l md rltv d:,,...,m, gl tt dl clcolo d. Il sgcto rltvo d md è d uso rqutssmo ch l rlr comu: og volt, d smo, ch s rl d cosumo mdo r btt d u crto rodotto. Itt qusto vlor mdo è clcolto vst o gà dl cosumtor ch o s st tto rrstto, qul umro, ur d u dg sull dstrbuzo sttstc d cosum, m solo dl uto d vst dll csstà dll rovvgomto dl rodotto cu o trss com l rodotto s suddvso, l cosumo tr dvrs dvdu, m solo l cosumo mdo d og dvduo. I bs qusto cosumo mdo d l umro dgl dvdu, uò ssr così rdsosto l qutttvo d rovvgor. Prtto og qulvolt s st rlr o s vuol rlr d md, è mortt vr rst drt sgct sr lcr gustmt l uo o l ltro, co dscrmto. Esstoo oltr ltr t d md (utlzzt tlvolt r motv scc d lcu mgt ch l sguto); d smo: rdc dll md qudrtc: md gomtrc: md rmoc: md odrt (ott): co: so (s:, r qulch ). I mbto mtrologco, md sqm soo ltrsì ust r dcr u vlor oml d u crt grdzz d u trvllo, dov vlor ossbl d qust grdzz soo grlmt rccolt. Ioltr ll sqm (rdc qudrt dll vrz, su volt, ddt dll md), ossoo ssr sosttut dc d mutu vrbltà, ct uso d vlor rgomtl, our dll sol rquz rltv (ssdo l rmo solo qutttvo o robusto, d l scodo ch qulttvo robusto): dlt d G: ( ) ( ) 7

18 U rtt dttà orml s h r l vrbl sttstch l vrbl csul (rstt l sguto); tuttv occorr sglr ch l loro cotuto cocttul è comltmt dvrso. Itt l vrbl sttstch soo l rsultto d clssczo ttv, gà sgut su dvdu cocrt, mtr l vrbl csul soo clssczo ottch, coè smlcmt st, ch o rgurdo l comoszo dll oolzo ch soo o s suogoo ot, m uttosto l orzo d strzo cso, d r sull oolzo stss..8 L vrbl sttstc du dmso Dt u oolzo d dvdu ì clsscbl scodo du crttrstch ossdut, s cscu d qust h tutt quttro rqust cssr (gà lct r l vrbl smlc), rché s cosdrbl oggtto d clssczo sttstc, l vrbl costrut su qust oolzo, tdo coto dll dulc modltà dgl dvdu, è dtt vrbl sttstc do od du dmso. Il rsultto dll ls, dov og dvduo dll oolzo è smto clsscto, bs d u dulc succsso d vlor rgomtl (,Y ), è costtut d u tbll do trt (com mostr l Fg..8.) ch è l rrstzo umrc dll vrbl sttstc du dmso. Y... - Totl r colo ( m) ( m) ( ) ( ) ( )( m) ( ) m ( m) m m m m m m Totl r rg q q q q... q Fg..8. Tbll do trt rrstt u vrbl sttstc du dmso L du sr d vlor (,,..., m ) (,,..., m ), ovvro vlor ssut dgl ttrbut/rgomt d Y, costtuscoo l lmto mtrco dll tbll, mtr gl ( m ) vlor, coè gl ( ) csll tr dll tbll, costtuscoo l lmto cottvo. m vlor dll rorto d coctrzo: ull R m µ tro d Sho: H logc rorto d coctrzo: H ull logc m c (tor dll ormzo) c (vrbl sttstch cotu). U coczo, ù modr, trrt ddrttur l vrbl csul, com ur modll mtmtc (stocstc), rtt log ll orm gomtrch (strtt) d cu cm dscrt d ut soo l rrstzo (cocrt). 8

19 Og vlor rrst l rquz ssolut o umro dgl dvdu dll oolzo, osssso dll co ( ) d vlor dgl rgomt Y, coscché s tutt gl dvdu dll oolzo soo smt, s h: m (8.) ssdo l umro totl d dvdu dll oolzo. L ultm rg l ultm colo, dll stss tbll, cotgoo rsttvmt rquz ssolut co cu ssum l vlor, quluqu s l vlor ssuto d Y m q rquz ssolut co cu Y ssum l vlor, quluqu s l vlor ssuto d, coscché s h ch, r l (8.): D cosguz, m q. q soo l rquz ssolut dll vrbl sttstc smlc Y, ottut lzzdo l oolzo solo r l crttrstc Y, mtr soo l rquz ssolut dll vrbl sttstc smlc, ottut lzzdo l oolzo solo r l crttrstc. L md l vrz grl dll oolzo, r l solo ttrbuto/rgomto Y (ddtmt d ), soo: q q (8.) ( ) l corrsodt sttstch, r l solo ttrbuto/rgomto, soo: m m ( ) (8.) Pr llustrr l vrbl sttstc do, s rrd l oolzo dll Esmo.., smdo s l sttur ch l so dll oolzo. L tbll d Fg..8. rort rsultt ottut dll ls d sgol dvdu, cscuo d qul corrsod u rtcolr co d vlor rgomtl: l sttur ctmtr l so chlogrmm. Co dt d qust tbll, s costrusc l tbll d Fg..8., rrsttv dll vrbl sttstc du dmso, lgt qull oolzo. L ttrbuto/rgomto dll tbll rrst l sttur dgl dvdu l ttrbuto/rgomto Y l loro so. 9

20 Y Y Y ( cm) ( g) ( cm) ( g) ( cm) ( g) ( cm) ( g) ( cm) ( g) ( cm) ( g) Fg..8. Poolzo crttrzzt d du vlor rgomtl: so d ltzz (cm) Y Y Y.9 Curv d rgrsso d vrbltà Uo d mod ù comod r l rrstzo grc dll vrbl sttstc do è l dgrmm d dsrso, ottuto rrstdo smbolcmt l rquz, dll co d vlor (, ), co crch d surc roorzol, corrsodz dll scss dll ordt. Tuttv qulss to d rrstzo grc d u vrbl sttstc do rmtt solo vlutzo grossolmt qulttv, dll struttur dll oolzo. Ivc ù srssv è l rrstzo mdt du rtcolr curv, ottbl doo u rm rlborzo sttc d dt. Com l vrbl sttstc smlc s uò sttcmt rssumr du dc: md vrz, dtcmt s uò rssumr l tbll do trt du sol colo ch, grl, bsto crttrzzr l vrbl do. A rgurdo, ztutto è cssro stblr bs cosdrzo torch od ll tuzo, our r smlc comodtà, qul ttrbuto/rgomto s d cosdrr ddt qul vc ddt dll ltro. Il rmo è dcto co l scodo co Y. I molt cs, qust dstzo è smlc; d smo, tutt cs cu u ttrbuto/rgomto è u crttrstc mbtl (or, tmrtur, mcch ortrc, cc.) ch codzo l rsultto d u crt orzo, sz ssr codzot. I ltr cs, l sclt uò vc rsultr dubb, coscché ossoo ssr covz rtch suggrr l sclt dll ttrbuto/rgomto ddt d qullo ddt Y. Doodchè cosdrdo l ccomto dll rm colo dll tbll, cott vlor rgomtl Y, co cscu colo succssv, s ottgoo m vrbl sttstch smlc, cscu crttrzzt d u dvrso vlor dll rgomto, ossduto d ror dvdu.

21 q Y Fg..8. Vrbl sttstc bdmsol rrstt ll orm d tbll do trt Pr cscu d qust vrbl smlc, co ormul, drvt dll (5.) (5.4), s ossoo clcolr du dc odmtl: md vrz: (9.)

22 ( ) (9.) ottdo così u tbll sttc, rdott sol quttro colo: m m m m L (9.) rd l om d md rzl r colo l (9.) d vrz rzl r colo. Qust tbll sttc s uò clmt rrstr r mzzo d du curv: l curv d rgrsso l curv d vrbltà ll qul rsttvmt l md dll ttrbuto/rgomto ddt. l vrz soo rortt sull scl d vlor A mo d smo, l curv d rgrsso d vrbltà orscoo l rrstzo grc dll vrbl sttstc do, rst ll tbll d Fg..8., scgldo l ttrbuto/rgomto: sttur dgl dvdu, buo drtto, com ddt, oché s rsum ch s l sttur codzor, rt, l so Y (ttrbuto/rgomto ddt) o vcvrs

23 Fg..9. Curv d rgrsso curv d vrbltà dt l (9.) l (9.) s clcolo l md l vrz rzl (l clcolo è covt mtr u sol cr dcml) d l rsultto è mostrto ll tbll d Fg..9. co l qul s trcco l curv d rgrsso d vrbltà corrsodt. L curv d rgrsso rst u dmto bbstz rgolr, mtr molto ù rrgolr rsult l dmto dll curv d vrbltà, gr rt, dovuto ll sguo umro d dvdu, cotuto lcu colo rzl, sorttutto r vlor strm dl cmo. L costruzo dll du curv: d rgrsso d vrbltà, è molto utl, r sgur l dmto d u rocsso roduttvo. Itt dto u rocsso roduttvo sr d l rodotto costtuto d u zzo l qul dv ossdr rtcolr rqust, d smo, u dmso rstblt, og goro s sm tutt (o rt) dll roduzo gorlr, uzo dll dt (vrbl ddt), s rort grco l md dll msur ottut, dll vrc dll dmso d zz, l vrz dll msur stss. L rm curv (curv d rgrsso) rmtt d cotrollr l rsz d vtul ttor ch rturbo sstmtcmt l roduzo, sostdo rogrssvmt l dmso md dl zzo, mtr l scod curv (curv d vrbltà) rmtt d cotrollr l vtul sorgr ll roduzo d cus rturbtrc d crttr ccdtl.. sur dll ddz r gl rgomt d u vrbl sttstc do Lo studo, o gà dll du vrbl Y ddtmt (lzzdol com vrbl sttstch smlc mrgl, our du mgl codzot), m sttzzt co u msur, rchd u uovo dc, l ù ossbl sgctvo, cc d stblr qul rlzo sstoo r l du vrbl, rst smultmt u gruo d dvdu. I qusto cso, s vuol u crtro ch gudch s quto l du vrbl soo rcrocmt ddt. Qust trddz è cl d mttr luc d studr om smlc rtbl, r mzzo d srz codott scodo schm oortumt studt. Tuttv dvt ss roblmtco rvlrl, qudo l omo s rst comlsso d oltr l ddz è così tu d ssr clmt mschrt d ltr cus rturbtrc. Qust dg mr dtrmr, s u dto dvduo dll oolzo, studt sotto du stt, osssso d u crto vlor dll rgomto, oss drtmt ossdr qulss vlor

24 dll rgomto Y, our s vc l rquz co cu ssum dvrs vlor d Y è ddt dl vlor dll rgomto ossduto. Com og roblm sttstco, s vuol dr u dc d qust ch è dtt ddz r gl rgomt, dc ch dv, u crto sso, rrstr l msur dll ddz stss. Iztutto occorr dr du cs lmt, m vrct dt d u srz (m mtlmt cocbl): cs dll rtt ddz dll rtt ddz r l du vrbl. S h rtt ddz, qudo l tto ch u dvduo ossgg u dtrmto vlor d dtrm uvocmt qul vlor d Y l dvduo stsso ossd. I u tbll do trt, to qull d Fg..8., s h, og colo u sol rquz dvrs d, quto tutt gl dvdu, vt l vlor rgomtl uò llor sr coè ch sst u uzo: ' ( ), ho tutt lo stsso vlor rgomtl. S, ch lg du rgomt dll vrbl sttstc do, dtt curv d ddz. L quzo dll curv d ddz ' ( ) ssr dtrmt: uò mrcmt crcdo uzo rbtrr rtut dtt dscrvr b l rlzo r ; rzolmt crdo schrm logc costtut u ossbl sgzo dll rlzo r o u smlc dscrzo. ll mggorz d cs, o s ho dsoszo curv d ddz d qusto to. Allor s ssum, com curv d ddz, l curv d rgrsso (rcdtmt dscrtt), rché qust costtusc, rltà, l rrstzo ù dl dll dmto d Y uzo d, rcvbl d sol dt srmtl. S h u rtt ddz, qudo l comortmto dll vrbl ddt Y uò ssr rcvto, dll srmto stsso, ossrvdo com s comort Y, ssz d. Ad smo, s l vrbl sttstc do è costrut sull oolzo cm coltvt gro u crt rgo, d du rgomt d clssczo soo: quttà d rtlzzt sommstrto cscu cmo, Y quttà d gro rodotto d cscu cmo, l comortmto d Y uò ssr mrcmt dtrmto, ddtmt d, ossrvdo l rdmto d qu cm cu o è stto sommstrto lcu rtlzzt. Tuttv ll mggorz d cs, o è cl o o è ossbl, lzzr Y, ssz d, s dv rtto rcorrr d ots logcmt mmssbl. Prcsmt l sttstc roo, com ots d ddz md, o corrltv, qull ch, cso d ddz, l md d vlor d Y (vrbl ddt) rmgoo vrt, r og vlor d. Allor l md rzl r l colo dvoo ssr tutt ugul, tr loro, d ugul ll md grl, coscché og colo rsult rovvst d u crt stbltà dl vlor mdo. 4

25 I co u dzo ù surt, s h rtt ddz qudo, srdo l oolzo tt gru, bs vlor d, cscuo uò cosdrrs com u gruo d strzo, cso, dll oolzo, rs toto. Og gruo h md oscllt, toro ll md grl, co oscllzo tto mor, quto è mggor l suo umro d dvdu. Poché vr sclto gl dvdu bs, o rovoc u corrsodt sclt dgl dvdu rstto, ss s comorto com strtt cso o s h ddz r Y. Ad smo, ll sgut tbll Y è, md, ddt d, rché l md d, corrsodz dvrs vlor, è smr:. Y 4 5 Totl d rzl Totl cs trmd, occorr trrtr l vlor rgomtl, rst u dvduo quluqu, tr qull vt vlor rgomtl. L md è l vlor domt, qusto gruo, oché l vtul drz:, soo dovut ttor ccdtl o comuqu ddt dll vrbl, rst co lo stsso vlor, tutt gl dvdu dl gruo. Pr qusto motvo, l drz:, soo dtt scrt ddt rrsto l dsrso d sgol vlor, toro ll loro md, dovut cus ch ull ho ch r co l luz d. l cso s s rcdtmt sst u rlzo: ' ( ), ssut com curv d ddz, corrsodz d og, s h u b dtrmt ' d cor l drz: ', soo dovut motv ccdtl (od ddt d comuqu). Ivc lzzdo l sgcto d u sgol md r colo, qust è scomobl du rt: u ddt d (ch sst ch ssz d ), d u cust d qul vlor d rtcolr, ossduto d tutt gl dvdu d cu è l md. ll smo rcdt, l vlor mdo dl rumto rccolto cm cu è stt sommstrt u crt quttà d rtlzzt s como d: u rt, rccolt comuqu, ch sz rtlzzt, ù u rt, dovut vc l rtlzzt, msur. Dto ch s è covuto d cosdrr l md grl com l vlor rgomtl corrsodt ll ots d ddz corrltv o md, s uò dcr l rt d, ddt d, ch 5

26 rd l om d scrto ddt, com:. L ttdbltà, o so, d tl scrto:, dd ovvmt dl umro d dvdu, dsoszo, r clcolr l md r colo Doodché dt gl scrt ddt d ddt, s ossrv ch, s s h, r Y :. u rtt ddz, tutt gl dvdu co vlor rgomtl ho l stss, cocdt co l md rtto tutt gl scrt ddt:, soo ull; u rtt ddz, tutt l md rzl r colo soo ugul r loro d ugul ll md grl d llor tutt gl scrt ddt:, soo ull. U dc, smlc d tutvo, r rrstr l grdo d ddz, r Y, è l rorto: scrt ddt scrt dd t Tuttv qusto rorto h l dtto d ssr to, l cso d rtt ddz, mtr: I scrt scrt dd t + ddt scrt ddt s ull, l cso d rtt ddz, vl uo, l cso d rtt ddz (rché umrtor domtor dvto ugul). I vlor trmd (d smo: I, d I, 7 mggor grdo d ddz r Y. ) msuro l mor o I rtc, s rrsc usr u dc qudrtco d ddz I ch s uò scrvr sotto du orm dvrs, scod ch s utlzz, com curv d ddz, u rtcolr uzo: ' ( ) curv d rgrsso; I I ( ' ) ( ' ) + ( ' ) ( ) η ( ) + ( ), our l 6

27 ll scod orm, l dc qudrtco d ddz rd l om d Idc d Prso d è qullo ù rqutmt usto. Fodmtl è comuqu l drz d sgcto sstt r η I. Itt l rmo msur l grdo d ddz d Y d, mtr l scodo msur quto b l rtcolr uzo: ' ( ), ust r l clcolo d cso cu, utlzzt rromt u I, uò rrstr l ddz (otdos rstr l ', r costtur u modllo dguto dll vrbltà dott Y dl vrr d, s rcv u vlor d I rossmo zro, mtr cotmormt l vlor d ch o rchd, r ssr clcolto, ssu ots d modllo, rsult vc lvto). S s dvdoo umrtor domtor d η r, s h l umrtor: ( ) s uò trrtr com vrz dll vrbl sttstc smlc, costtut dll md r colo (osto ch, cscu, s ssgt u rquz rltv ugul ), d l domtor: η,, ch m m ( ) + ( ) + ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) + ( ) ( ) q coscché l dc d Prso s trsorm l rorto dll vrz r l md r colo co l vrz grl dll oolzo. Ivc u log trormzo s uò r su I, solo s vl l rlzo d ortogoltà r gl scrt ddt gl scrt ddt: ( ' )( ' ) (dov l do sommtor s sgu su trmb gl dc: ), ch s vrc, d smo, qudo l quzo dll curv d ddz: ' ( ), è rcvt co u rocdmto mm qudrt: η ( ) ( ' ) I (.) L suddtt dttà è dtt torm d dcomoszo ortogol dll vrz stblsc ch l somm dll vrz sgt (coè dll vrz tr l md r colo, co l md grl) dll vrz rsdu (coè dll md dll vrz r colo) è ugul ll vrz grl. A rgurdo, rtcolrmt mortt è roro l ortogoltà ch sclud u covrz tr scrt sgt scrt rsdu, com tr md vrz (smlc), mtr s h u ddz lr tr md dt. 7

28 Ach I η soo ugul, qudo s h rtt ddz, d ho vlor comrso r d, tutt gl ltr cs. L ddz r Y è d cosdrrs ull qudo:. m dbol, qudo:. <. 4 η 4 ; è rst, < η, ssbl qudo:. 4 < η <. 6, ort qudo:. 6 < η <. 8, ortssm qudo: η. 8. Tdo rst l (.), s uò clcolr l dc d Prso r l > oolzo dll smo dl rgro.8 (l cu vrbl sttstc do è cotut ll tbll d Fg..8.). A rgurdo, s clcol drm l md: Doodché usdo qusto vlor mdo d dt dll tbll d Fg..9., s rcv l umrtor: < m ( ) 45 I, co l scod dll (8.), s clcol l vrz grl troducdo qusto rsultto ll (.), s h: rstto d Y : 48, 59, coscché 45 η , 6 otdo ddurr ch l ddz r Y è bbstz ssbl. L Fg... llustr grcmt coctt sost. L rtt: cost, rrst l luogo cu dovrbbro cdr tutt ut ch rrsto gl dvdu dll oolzo, s r s h rtt ddz. L curv uò rrstr l curv d rgrsso, our u curv d ddz sclt: 4 Pr ddz uttosto bss, è ltrsì utl rrs l coctto d ddz stocstc, com dcomoszo d u rquz do l rodotto dll du rquz mrgl, dr l cotgz com drz r l rquz do d l rodotto dll rquz mrgl: c q co: c dov: c è l codzo d ddz. Doodché clcolt l smcotgz md: C m c, s dscoo gl dc d Borro (mooltrl bltrl): c β c β Y m q ; ; ddz ddz β β Y rtt rtt ddz ddz h() g() β β β Y β β Y β β + β Y ; ; ddz ddz β β rtt ddz rtt ddz bltrl bltrl 8

29 ' ( ), su qust dvoo cdr tutt ut, s s h rtt ddz. I rltà, ut cdoo sull rtt d quzo: lo scostmto dll curv dll rtt: cost. S com quzo: ' ( ), soo su cscu d ss. L dc d ddz srm l rorto r cost, l dsrso d ut rstto ll stss rtt, rltv d u crt vrbl sttstc do, s scgl u rtt od u rbol dl scodo ord, our u rbol d -smo ord, vro vlor dgl dc, clcolt corrsodz: ( ) ( ) ( K ), I,...,I,scodo l rlzo: I I ( ) ( ) ( K ). Itt sst u lmt I... I η suror ll succsso I ch è rrstto dll dc d ddz d Prso η, rlzo ch sottol mggormt l mortz dll curv d rgrsso, com curv rrsttv dll ddz r du rgomt dll vrbl sttstc do 5. Fg... Rrstzo grc dgl scrt ddt ddt. Coct d rgrsso l cso sst u ddz, r du ttrbut/rgomt Y, d u vrbl sttstc do, s uò roorr, co dvrs crtr, u rlzo ltc r l du vrbl. Tuttv qudo l ddz o è rtt, o è ossbl trovr u uzo, r r corrsodr sttmt vlor rgomtl qull corrsodt, d l roblm dvt u roblm d trolzo, d rsolvr co oortu mtodolog. Allor rtcolr smlctà rst l cso cu l uzo trolt: ' ( ) ssr cosdrt u rtt, ssumdo l orm: ' + b. S l ddz r Y o è rtt, vlor d ' drscoo d corrsodt, quluqu s l, uò sclt d coct b ; coscché è b vdt, vdo l drz: ', l sgcto d uo scrto, 5 U ltrtv ll rgrsso clssc è dt dll rgrsso robust, dov l md soo l osto dll md d vlor ssolut md (mv) l osto dll vrz. I qusto cso o vl ovvmt l torm d dcomoszo ortogol dll vrz: comuqu l mv sgto è dto dl mv dll md codzot d l mv rsduo dll md d mv codzot. 9

30 ch occorr crcr vlor d rmtr ch rdo gl scrt, l loro sm, ù ccol ossbl. S trtt d u roblm d stm d l mtodo ù usto è qullo d mm qudrt, cosstt ll morr u sclt d rmtr, tt modo ch l somm d qudrt dgl scrt s mm. Prtto dtt vlor rgomtl d Y ' vlor: ' b (,,..., ) +, s h: ( ' ) ( ( + b) ) m (.) L (.) è u srsso qudrtc ll quttà: b, cosdrt vrbl. Codzo cssr suct, chè l (.) s soddstt, è ch l drvt rzl dl rmo mmbro, rstto d b so ugul zro, coscché s ottgoo du quzo lr ll du cogt b, ttut l drvzo: ( ( + b) ) ( ( + b) ) + b + b (.) d (.) Rsolvdo l sstm, s ottgoo vlor d b, s uò scrvr l quzo dll rtt troltrc: ' + b (dov, r brvtà, s omtt l c su, r dcr l rtt d rgrsso). Il coct è l coct drttvo dll rtt, è chmto coct d rgrsso lr h grd mortz, mtr l coct b dd solo dll sclt dll org dgl ss o h lcu sgcto sttstco. Ad smo, s h:, Y è lrmt ddt d ( rgurdo, o è utl ossrvr ch ssso Y soo grdzz dvrs d o è u umro sso, é u umro uro, grl, m u grdzz l cu vlor umrco dd dll utà d msur rsclt). S l vlor d b o trss, uò ssr lmto, rrdo vlor: ( Y ), cosdrdo l drz: ν ( ) ν ( Y ) ν ν, s rcv smlcmt: b quzo orsc l vlor d :, ll loro md ( ). I qusto cso, s h:, dll scod dll (.), mtr l rm ν ν ν (.4) odmtl, r l suo sgcto rché rmtt l clcolo mmdto dl coct d rgrsso. Doodché dvddo umrtor domtor dll (.4), r l umro dll co d vlor dsoszo; l domtor dvt:

31 ( ) coè l vrz dll vrbl ddt. Alogmt l umrtor h l srsso (dov r l trzo trm dll uguglz, s rocd log llo svluo dll (5.5)): ( )( ) ch, dtt covrz d è dct co l smbolo dll du vrbl Y. Co l oszo tt, l (.4) dvt llor:, uò ssr trrtt com u vrz cogut (.5) dov l coct d rgrsso lr è dto dl rorto tr l covrz l vrz dll vrbl ddt. Alogmt r l ddz d Y, s o: ' + b', trovdo du rmtr, smr co l mtodo d mm qudrt, co quzo ormlmt dtch ll (.). S l ddz tr l du vrbl è rtt, rsult vdtmt: ', l rtt cocd co l rcdt. Tuttv grl, qusto o ccd, mmzzdo: ( ' ), l rmo cso : ( ' ), l scodo (coè l somm d qudrt dll dstz d ut ossrvt dll rtt trolt, msurt rsttvmt l sso d: ). Prtto rrt cor:, ll loro md, l srsso d ' dvt: ' (.6) dov è l vrz dll Y, cosdrt com vrbl ddt, mtr l umrtor o vr (o vrdo vdtmt l covrz, co lo scmbo r Y ). D ltr rt, l roblm dll rgrsso lr è molto ù comlsso, o bstdo dtrmr l rtt d rgrsso, m dovdos ch vlutr, quto b rrst l dmto d dt srmtl.. Coct d corrlzo lr L dc qudrtco d ddz (rstto l rgro.) rmtt d msurr l dttmto d u vrbl sttstc do d u curv d ddz, d orm to qulss, urchè b dtrmt dt, ch umrcmt (coè ssdo u uzo clcolbl, r og vlor d ).

32 Sssssmo vc s rst l qusto d msurr l grdo d ddz r gl ttrbut/rgomt Y, d u vrbl sttstc do, rrstt d u curv dll qul s stblsc solo l mgl, l orm d l to, sz rssr rmtr, coscché vlor ( ) o ossoo ssr clcolt. Prtcolr trss rvst l cso cu l mgl dll curv d ddz è costtut d rtt d l lgm r Y è lr, sz ultror rcszo, su rmtr dll rlzo stss. I qusto cso rtcolr, u dc, chmto coct d corrlzo lr, msur l grdo d dttmto d dt srmtl ll ots ch, r gl ttrbut/rgomt Y dll vrbl sttstc, sst u lgm d to lr. L corrlzo è u stto ù grl dll rgrsso, quto cosdr l rlzo, trcdt r l du vrbl, sz orr l codzo d ddz d tur cusl tr l vrbl stss. Itt ll corrlzo s cosdr l trddz r l vrbl, l sso ch s u ch l ltr ossoo ugr d vrbl ddt. U mtodo rgoroso, r trodurr l coct d corrlzo lr, è suggrto d Borro ch clmt s uò stdr curv d to dvrso (d smo, d scodo o trzo grdo). Dt dvdu dll oolzo smt (cu corrsodoo ltrttt co d vlor: ), s rrst og dvduo co u uto, l o Y. Com oto, tr ut qulss, rrstt tr dvdu qulss, rsttvmt d coordt: (, ), (, ) (, ) ull l dtrmt costruto sull coordt:, soo llt, qudo s dt (.) Co co d vlor rrstt cscu dvduo s uò costrur l mtrc: (.) L dc umrco rogrssvo co cu soo cotrssgt vlor: o srv d dvdur l vlor rgomtl ossduto dll dvduo corrsodt, m solo d dcr ch: d, soo du vlor rgomtl, ossdut dll dvduo l osto -smo ll succsso d dvdu dll oolzo (suost ordt, scodo u rgol qulss). I grl, l colo dll mtrc (.) o soo tutt dvrs, u dll ltr, m og co d vlor dgl rgomt è rtut, tt volt, quto l rquz d qull co d vlor dll vrbl sttstc do. Iztutto è oortuo rcordr ch l mtrc smmtrc d h l sgut orm: AA ', ottut moltlcdo A, r l su trsost A ', è

33 ... m AA ' (.) m m m m ssdo: A (.4)... m... m m Il dtrmt dll mtrc AA ' ossd l sgut rortà: s: s: < m dt ( AA' ) > m dt( AA' ) δ ( A) m L scod rortà è odmtl, rché stblsc ch l dtrmt dll mtrc somm d qudrt d dtrmt ( A) m AA ' è ugul ll δ d tutt l mtrc qudrt d ord m strbl d A. Rtordo ll mtrc (.) rcorddo l codzo d llmto d tr ut qulss, srss dll ullrs d dtrmt dl trzo ord (.) (dov (, ), (, ) (, ), dco tr co d vlor dgl ttrbut/rgomt, ossdut d tr qulss dvdu dll oolzo), qudo l dgrmm è rttlo, tutt ut s trovo llt su u rtt, tutt dtrmt d trzo ord ormbl co dt srmtl rsulto ull d è ullo ch l dtrmt dll mtrc, dt d: (,,..., ) (.5) Vcvrs l ullrs dl dtrmt dll mtrc (.5) ort ll ullrs d tutt dtrmt d trzo ord strbl dll mtrc (.). Itt smr r l suddtt scod rortà, ssdo dt ( ) ugul d u somm d trm tutt o gtv (rché d qudrt), l suo vlor è ullo, solo s soo ull tutt trm dll somm (ch soo tutt dtrmt d to (.)). Prtto l vrcrs dll uguglz: dt ( ), è codzo cssr suct, chè l dgrmm d ut s lr lr s ch l lgm r Y. Ivc l dtrmt dll mtrc (.5), qulor o s vrch l rtt ddz lr r Y, o rsult ullo tuttv s

34 h smr: dt ( ) >, ssdo u somm d trm tutt ostv. Allor dvddo l sgol rgh dll mtrc (.5) r, l sgo d uguglz o dsuguglz ll rlzo: dt ( ) m trm d qusto dtrmt ssumoo sgct rtcolr. Itt l sommtor d, o mut, (co,,..., ), dvs r, è l md d vlor rgomtl dll oolzo; dtcmt l sommtor d, dvs r, è l md d vlor rgomtl Y dll oolzo. Procddo o logmt r tutt gl ltr trm, ch ss ssumoo l sgcto d md: dt ( ) dt (.6) Svludo l dtrmt d ggugdo sottrdo s ott: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) (.7) (.8) d cu s rcv l sgut dsuguglz: ( ) ( )( ) (.9) L rdc qudrt dl suo rmo mmbro è, r dzo, l coct d corrlzo lr: r ( )( ) (.) L (.9) rsult soddstt s: r, cosgutmt l coct d corrlzo lr h u vlor smr comrso tr +. E ugul ±, solo qudo s h u rtt ddz lr, è ugul zro, cso d rtt ddz lr r Y, d è comrso r +, our r, tutt gl ltr cs. Rcorddo o l (5.5), l coct d corrlzo lr h srsso: r (.) 4

35 Il clcolo dl vlor è sguto, usdo l sgut srsso: m m (.) A drz dll dc d Prso ch è u msur ssolutmt grl dll ddz, r du ttrbut/rgomt dll vrbl sttstc do, l coct d corrlzo lr h sgcto solo qudo l ddz h u dmto rssochè rttlo. Itt sso è u dc ch mtt luc l mggor o mor rossmzo dll rtt com rrstt dll corrlzo r gl rgomt dll vrbl sttstc stss. I Fg..., soo rrstt sul o, Y cs d vrbl sttstch du dmso; ut rrsto cscuo u dvduo dll oolzo sm. Pr oguo d quttro cs llustrt è dto l vlor dl coct d corrlzo r ch vr d, l rmo cso, d, r l ultmo. Dgo d ot è l tto ch, l scodo cso, ur ssdo vdt l ddz r Y, r è ullo, oché l lgm r du ttrbut/rgomt è lug dll ssr rrstbl co u rtt. Fg... Vlor dl coct d corrlzo r r vr sm d ut Itroducdo ll (.) l dzo d scrto, s dduc u ltr srsso d r, molto utlzzt: r ν ν (.) ch rmtt ch d vdzr l lgm trcorrt tr l coct d corrlzo lr d coct d rgrsso lr. Itt corotdo l (.) co l (.5) d (.6), s ossrv ch r è l md gomtrc d d r. ddz lr ( ) ', qul soo così uo l vrso dll ltro, solo qudo s h u rtt L smo dll oolzo d dvdu, lzzt dl uto d vst dll sttur dl so Y (costtuto d dt cotut ll tbll d Fg..8.), s rst ch r l clcolo dl coct d corrlzo 5

36 lr r d coct d rgrsso lr d '. Itt uò ssr ccttbl l ots ch, r sttur so dgl dvdu, sst u lgm d rtrs lr, rm rossmzo. Dt vlor: 76,65 7, 8 48,68 8, 7 ν ν 4, 4 48, 59 d qust, s rcv 8, 7 8 4, 4, ' 8, , 59, 8, 7 r, 7 4, 4 48, 59 ' L tstà dll corrlzo lr sstt r sttur so è dscrt d è ù ort l luz dll sttur sul so ch vcvrs. Itt l coct drttvo dll rtt ' dll ν ' ν è solo 59 ν ν è 8,, mtr qullo, ; così l quzo, orm comlt, dll rtt d rgrsso soo: ( ) ' ( ) + ( ) ' + ( ' ), 8 76, 54, ,. Rgrsso lr multl L rgrsso smlc srm l ddz lr d u vrbl Y d u vrbl ch s cosdr ddt. Tuttv molt om ddoo d ù cus o ossoo ssr rcodott llo schm sor dcto. Ad smo, s l oszo lmtrc d u uto dl coromto d u dg vr l tmo, gl sostmt ddoo crtmt dl lvllo dll cqu l bco rtcl, dll tmrtur mbt d ltr ttor lgt l to d struttur, l suo corggo ll rocc d ch, cc. I qust cs, occorr otzzr u lgm uzol tr lcu vrbl rmr:,,...,, ch ossoo ch ssr corrlt tr loro, d u vrbl ddt Y, srsso dll rlzo, dov l cso, ù smlc ù comu, è qullo lr (sottostt): (,,..., ). (.) (.) 6

37 7 Il roblm rchd l stm d rmtr, ssgt m gru d vlor (co m > ), d Y ( ),...,,. Com l cso dll rgrsso smlc, è smr mossbl, mo d u rtt ddz lr dll ssz d rror d msur, trovr u sm d vlor, tl d soddsr tutt l m rlzo (.), r cu occorr ccttr l sstz d rsdu ν, ottdo u sstm d quzo d msur od gl rror: ( )... ν (.) Tr l t soluzo d qusto sstm, s scgl, com l cso dll rgrsso smlc, qull ch rd mm l somm d qudrt dgl scrt ν, coè: ( ) [ ] m ν. (.4) Ach qusto cso, l mmo s trov ulldo tutt l drvt, rstto rmtr, ottdo u sstm lr d quzo cogt : m (.5) Acor s o trss l trm ddtvo, s sosttuscoo ll ossrvzo orgl, gl scrt rstto ll loro md: ( ) Y ν ( ) ν, coscché ttut, l sstm (.5), u trslzo d ss, s lm l rm quzo s tolgoo coct d, r cu l sstm dvt: ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν Ach l roblm dll rgrsso lr multl è molto vsto comlcto. Itt è cssro vlutr, oltr ll vldtà globl dll quzo d rgrsso, tr tutt l, qul mggormt luzo l Y qul, ur rtut mortt, soo vc surlu, ll costruzo d u modllo ch dscrv l comortmto dll Y, uzo dll vrbl.

38 PARTE II ELEETI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA'.. Lgg mrc dl cso torm d Broull L vrbl sttstch, dov d og vlor umrco dll'rgomto, our d og co d vlor è tt corrsodr l rquz co cu comoo, ll oolzo smt, rrsto u mtodo d clssczo d dt, ottut trmt u srmto, orm cocluso. Itt dt d clsscr rovgoo dll'vr lzzto, scodo u crto rgomto, o ù rgomt sm, tutt gl dvdu, costtut u crt oolzo, chrmt dt. L'srmto è cocluso l sso ch, u volt dlmtt l oolzo, l rsultto dll clssczo, coè l vrbl sttstc costrut, è orm uvocmt dtrmto, s l clssczo è rtt, slvo rror, dv ortr ll stss sr d rquz rltv, rcdtmt ottut. gl sm d lcu ltr cs, l oolzo su cu s costrusc u vrbl sttstc d u o ù dmso è chrmt sclt dt (d smo, zz rodott d u crt mcch u dto rodo d tmo our gl scrtt su rgstr dllo stto cvl d u Comu). Tuttv molto rqutmt l oolzo è costtut d rsultt d srmt rttv, com l succsso d tst croc ottut trdo u mot, l umro d zz dttos cott sctol d zz rodott d u bbrc, l msur rtut dll cctà d u crto codstor. U srmto cu lcu ml soo lmtt co dvrs rodott, r dtrmr l cctà utrtv d qust ultm, uò ssr tto u sol volt sugl stss ml (tuttv l'srmto uò ssr sto com l rmo d u sr llmtt d srmt logh su logh ml così ch'sso uò cosdrrs rttvo, coè sguto co dtch modltà ortv). I rsultt d srmt rttv ossoo volt ssr cooscut ror co sttzz, m cò solo qudo soo suctmt ot l lgg ch l rgolo. Ad smo, srà ossbl sr ror l umro d clss ch u ossrvtoro stroomco rgstrrà o doo o, rché s rt d cooscr l lgg dll mccc clst (d oltr qust ultm soo suctmt smlc r ssr utlzzt clcol rtc). L grd mggorz dgl srmt rttv ort vc rsultt ch o è ossbl rdr co sttzz. Ach s s crc, co grdssm cur d tr, sotto cotrollo tutt ttor ch ossoo luzr tl rsultto d r sì ch ss o cmbo, d u srmto ll'ltro, l rsultto uò vrr d u'ossrvzo ll'ltr, modo rrgolr, scluddo og ossbltà d rdzo. S qusto s dovuto ccol d cotrollbl vrzo, ll codzo zl dll'srmto, ll comlsstà dll lgg ch lo rgolo od ll'zo d tt ccol ttor dsturbt, è cos dcl d stblr. Tuttv è crto ch rsultt soo soggtt luttuzo, cso, ch o ossoo ssr clcolt ror. I qusto cso, s rl d srmt csul o stocstc d u sstmtc rgstrzo d rsultt d srmt stocstc (oolzo d dvdu) orm l mtrl (vlor rgomtl) r u clssczo sttstc dov s ssoc, d og vlor rgomtl, l rquz rltv co cu tl vlor s rst, ll sr d srmt tt. Il rsultto d u srmto csul uò ssr dscrtto com strzo, cso, d u dvduo d u oolzo, ù vst, costtut d tutt rsultt ottbl rtdo l'srmto, t volt, smr ll stss codzo. Pr strzo cso s td u orzo ch bb tutt l crttrstch 8