Integrali multipli. Capitolo 2

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1 Capitolo Integrali multipli Nella prima parte del corso abbiamo definito l integrabilità e l integrale per funzioni reali di una variabile reale, limitate su intervalli compatti; poi, abbiamo preso in considerazione funzioni a valori vettoriali, per le quali la trattazione è immediata; infine, abbiamo cercato di affievolire le ipotesi sulla funzione e sul suo dominio, introducendo gli integrali impropri. Il problema pratico del calcolo degli integrali è stato affrontato tramite il teorema fondamentale e quindi il calcolo delle primitive. Per quanto riguarda le funzioni di n variabili, in questa sede siamo interessati soprattutto alle tecniche di calcolo, con particolare riferimento al caso n = e n = 3. Se da un lato, come matematici, non amiamo presentare delle formule senza inserirle in un contesto teorico, dall altro però il tempo a nostra disposizione ci permette solo una esposizione schematica. Presentiamo la teoria classica, lasciando al corso di Analisi Matematica 4 la trattazione approfondita della teoria della misura e dell integrale di Lebesgue in R n ; avvertiamo però che tutto quanto esponiamo in questo capitolo fornisce gli strumenti di base per la parte applicativa delle teorie più avanzate. Prima di tutto, consideriamo soltanto funzioni a valori reali; infatti, per funzioni vettoriali f = (f, f,..., f p ), l integrabilità è (per definizione) l integrabilità di ogni coordinata f j e l integrale è il vettore che ha per coordinate l integrale delle coordinate di f. In analogia al caso unidimensionale, prendiamo in considerazione funzioni limitate. Un problema si pone comunque immediatamente: quale è in R n il corrispettivo dell intervallo chiuso e limitato [a, b]? Se infatti gli intervalli sono sottinsiemi dell asse reale rappresentativi di importanti proprietà (si pensi alla connessione ad esempio), la loro immediata generalizzazione in R n, vale a dire i prodotti cartesiani di n intervalli, non è altrettanto significativa: risulta anzi riduttiva rispetto alle possibili scelte anche solo nell ambito della geometria elementare. Per rispondere in modo adeguato a questo problema, in questo capitolo presentiamo anche la teoria della misura di Peano-Jordan,

2 CAPITOLO. INTGRALI MULTIPLI mediante la quale individuiamo gli insiemi misurabili secondo Peano-Jordan, che saranno i nostri domini di integrazione. Possiamo schematizzare la trattazione nei seguenti passi:. definiamo l integrabilità e l integrale per funzioni limitate su insiemi geometricamente molto semplici (i prodotti cartesiani di intervalli compatti di R). definiamo la misurabilità e la misura secondo Peano-Jordan per insiemi limitati 3. definiamo l integrabilità e l integrale per funzioni limitate su insiemi misurabili secondo Peano-Jordan 4. forniamo metodi di calcolo degli integrali. A differenza di quanto fatto nel caso n =, non trattiamo le estensioni a funzioni non limitate o a insiemi di integrazione non limitati: la teoria di Lebesgue permette infatti di unificare in modo naturale la trattazione per funzioni ed insiemei soggetti ad ipotesi di regolarità alquanto deboli e, in ogni caso, indipendenti dalla loro limitatezza. Cominciamo dal primo passo, che può essere effettuato in svariati modi: qui abbiamo scelto una costruzione del tutto analoga a quella effettuata in una dimensione, in modo da sottolineare l unitarietà della teoria.. Funzioni limitate su intervalli chiusi Cominciamo con alcune notazioni: dati due punti a = (a,..., a n ) e b = (b,..., b n ) in R n tali che a j < b j per ogni j =,..., n, chiamiamo intervallo chiuso in R n l insieme I {x R n : a j x j b j per ogni j =,..., n} = = [a, b ] [a, b ]... [a n, b n ]. Chiamiamo poi volume dell intervallo chiuso I il numero (positivo) v(i) = n (b j a j ) = (b a )(b a )...(b n a n ). j= Un intervallo chiuso è quindi il prodotto cartesiano di n intervalli compatti di R e il suo volume è il prodotto delle lunghezze di tali intervalli. In R gli intervalli chiusi sono i rettangoli, in R 3 gli intervalli chiusi sono i parallelepipedi rettangoli e il loro volume è rispettivamente l area del rettangolo o il volume del parallelepipedo, come vengono definiti nella geometria elementare.

3 .. FUNZIONI LIMITAT SU INTRVALLI CHIUSI 3 Una partizione in intervalli chiusi, o più brevemente una partizione, P ={I,I,...,I p } di un intervallo chiuso I di R n è una famiglia finita di intervalli chiusi non sovrapponentisi la cui unione coincide con I, cioè tali che I = I I... I p I j I k = se j k, (.) dove con I j denotiamo l insieme dei punti interni di I j, cioè la parte interna di I j. Nei casi n = e n = 3, assegnare una partizione P di un intervallo chiuso significa rispettivamente suddividere un rettangolo o un parallelepipedo rettangolo in un numero finito di rettangoli o parallelepipedi rettangoli aventi in comune al più punti appartenenti ai loro lati o alle loro facce. Sia I un intervallo chiuso, f : I R una funzione limitata e P ={I,I,...,I p } una partizione di I. La funzione f è in particolare limitata su ogni intervallo chiuso I j ; posto m j = inf x I j f(x) M j = sup x I j f(x) consideriamo s(p, f) = p m j v(i j ) S(P, f) = j= p M j v(i j ) che sono dette rispettivamente somma inferiore e somma superiore relative alla partizione P. Facendo variare la partizione P, otteniamo la classe numerica delle somme inferiori, A = {s(p, f)} P e quella delle somme superiori, B = {S(P, f)} P. sse sono limitate; infatti, se poniamo j= m = inf x I f(x) M = sup f(x), x I per ogni partizione P si ha m m j M j M, per ogni j =,..., p; inoltre le proprietà del volume ci garantiscono che se P ={I, I,..., I p } è p una partizione di I allora v(i) = v(i j ). Quindi mv(i) = m j= p v(i j ) s(p, f) S(P, f) M j= p v(i j ) = Mv(I). Ne segue che esistono in R l estremo superiore della classe A e l estremo inferiore della classe B. Siamo ora in grado di dare la definizione di integrale. j=

4 4 CAPITOLO. INTGRALI MULTIPLI Definizione. Sia f : I R una funzione limitata sull intervallo chiuso I R n. Diciamo che f è integrabile su I se sup s(p, f) = inf S(P, f) (.) P P dove l estremo superiore e l estremo inferiore sono presi al variare della partizione P dell intervallo chiuso I. Se f è integrabile, chiamiamo integrale di f su I il valore comune (.) e poniamo, in simboli, f = f(x) dx = f(x,..., x n ) dx...dx n sup s(p, f) = inf S(P, f). P P I I I Con metodi del tutto analoghi a quelli usati nel caso unidimensionale possiamo dimostrare che, se f è limitata su I, (A, B) è una coppia di classi numeriche separate e che l integrabilità di f su I equivale al fatto che (A, B) sia una coppia di classi contigue, vale a dire f è integrabile su I se e solo se per ogni ε > (.3) esiste una partizione P di I tale che S(P, f) s(p, f) < ε. Il prossimo teoremo fornisce un importante criterio sufficiente di integrabilità e ne presentiamo la dimostrazione: rispetto al caso n = richiede esplicitamente l utilizzo della nozione di diametro di un insieme, che ricordiamo per comodità. Sia dunque R n un insieme limitato; chiamiamo diametro di il numero n diam sup x y = (x j y j ), x, y. Ovviamente se è un cerchio in R o una sfera in R 3, diam non è altro che il diametro del cerchio o della sfera secondo la geometria elementare; in particolare, se il cerchio contiene la circonferenza o la sfera contiene la superficie sferica, diam risulta essere un massimo per la funzione x y. Se è un intervallo chiuso I individuato dai punti a e b, diam = b a, vale a dire nel caso n = è la lunghezza della diagonale del rettangolo I. Teorema. Sia I un intervallo chiuso. Se f è continua su I, allora f è integrabile su I. Dim. Poichè I è compatto il teorema di Heine-Cantor garantisce che f è uniformemente continua; fissato ε > esiste quindi δ = δ(ε) > tale che, se x, y I e x y < δ, allora f(x) f(y) < ε/v(i). Sia P = {I,..., I p } una partizione di I tale che diam I j < δ per ogni j =,..., p. j=

5 .. INSIMI MISURABILI SCONDO PANO-JORDAN 5 Per il teorema di Weierstrass, per ogni j esistono x j, y j I j tali che f(x j ) = m j = inf x I j f(x) f(y j ) = M j = sup x I j f(x). Si ha allora S(P, f) s(p, f) = e la tesi segue da (.3). p j= [ ] (f(y j ) f(x j ) v(i j ) < ε v(i) p v(i j ) = ε Si può dimostrare che la classe delle funzioni integrabili su un intervallo chiuso I di R n è uno spazio vettoriale e che l applicazione che ad una funzione f integrabile su I associa I f è un funzionale lineare, monotono e finitamente additivo rispetto all intervallo; tutto questo è formalizzato nei seguenti risultati.. Siano f, g integrabili su I e λ, µ R; allora λf + µg è integrabile su I e si ha (λf + µg) = λ f + µ g. (.4) I. Siano f, g integrabili su I e f(x) g(x) per ogni x I; allora f g. (.5) I 3. Sia {I, I,..., I r } una partizione in intervalli di I e f : I R una funzione limitata; allora f è integrabile su I se e solo se f è integrabile su ogni I j, j =,..., r e in questo caso f = I I I r j= I j= I j f. (.6). Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan Per definire il concetto di insieme misurabile secondo Peano-Jordan in R n, abbiamo bisogno di introdurre accanto agli intervalli chiusi di R n, che abbiamo definito nella sezione precedente, anche i pluriintervalli; che cosa sono? Un pluriintervallo S è l unione di un numero finito di intervalli chiusi di R n non sovrapponentisi, cioè S = k I j I j I r = se j r. (.7) j=

6 6 CAPITOLO. INTGRALI MULTIPLI Ovviamente gli intervalli chiusi sono dei pluriintervalli e cosí pure gli insiemi che risultano unioni finite di intervalli chiusi: suddividendo opportunamente gli intervalli, si può fare in modo di rappresentare tali insiemi come unione di intervalli chiusi non sovrapponentisi. In R i pluriintervalli sono tutti gli insiemi compatti la cui frontiera è costituita da un numero finito di segmenti paralleli agli assi coordinati e analogamente in R 3, dove ai segmenti vanno sostituiti rettangoli giacenti in piani paralleli ai piani coordinati. Chiamiamo misura di un pluriintervallo S e la denotiamo con m(s), la somma dei volumi degli intervalli chiusi non sovrapponentisi di cui è l unione, vale a dire, se vale la (.7), poniamo m(s) = k v(i j ). j= È immediato verificare, utilizzando le proprietà del volume, che se S si può rappresentare come unione di due diverse famiglie di intervalli chiusi non sovrapponentisi, la misura di S non dipende dalla famiglia che si prende in considerazione; m(s) è un numero reale positivo associato univocamente al pluriintervallo S. Veniamo ora agli insiemi misurabili. Definizione.3 Sia R n un insieme limitato. Chiamiamo misura esterna di, e la denotiamo con m (), l estremo inferiore delle misure di tutti i pluriintervalli che includono, cioè m () = inf {m(s), S }. Chiamiamo misura interna di, e la denotiamo con m (), l estremo superiore delle misure di tutti i pluriintervalli inclusi in, cioè m () = sup {m(s), S }, convenendo che m () = se non esistono pluriintervalli inclusi in. Diciamo che è misurabile secondo Peano-Jordan se m () = m (); in queso caso, il comune valore delle misure esterna ed interna viene chiamato misura di e denotato con il simbolo m(). Per definire la misura interna di, abbiamo dovuto precisare che cosa succede quando non esistono pluriintervalli inclusi in, cioè quando non ha punti interni. Per quanto riguarda la misura esterna, osserviamo che la limitatezza di garantisce l esistenza di un pluriintervallo (anzi, di un intervallo chiuso) che lo include; se infatti si ha x C per ogni x, allora S = {x R n : C x i C, i =,..., n}.

7 .. INSIMI MISURABILI SCONDO PANO-JORDAN 7 Consideriamo ora due pluriintervalli S e S tali che S S ; poichè in particolare S S, si ha m(s ) m(s ). Quindi, se consideriamo le classi numeriche A = {m(s), S } {} B = {m(s), S }, esse sono una coppia di classi separate e di conseguenza m () m (). La misurabilità di equivale al fatto che la coppia (A, B) abbia un unico elemento separatore, cioè che (A, B) sia una coppia di classi contigue; quindi equivalentemente possiamo dire che è misurabile con m() > se e solo se (.8) per ogni ε > esistono due pluriintervalli S, S tali che S S e m(s ) m(s ) < ε. è misurabile con misura zero se e solo se (.9) per ogni ε > esiste un pluriintervallo S tale che S e m(s) < ε. Mettiamo subito in evidenza alcune delle proprietà di cui gode la misura di Peano-Jordan:. Monotonia. Se e sono misurabili e tali che, allora m( ) m( ). Infatti, se S, si ha a maggior ragione S e quindi m( ) = m ( ) m ( ) = m( ).. Assoluta continuità. Se è misurabile con m() = e Ẽ, allora Ẽ è misurabile e m(ẽ) =. Infatti (tenuto conto della ) m (Ẽ) m (Ẽ) m () = m() =. 3. Invarianza per traslazioni. Poichè il volume di un intervallo chiuso è ovviamente invariante per traslazioni, lo è anche la misura di un pluriintervallo e quindi la misura di un insieme misurabile. sempio Ovviamente gli intervalli chiusi e i pluriintervalli sono misurabili e la loro misura nel senso della definizione.3 coincide con quella data in precedenza. Poichè poi il volume di un intervallo chiuso di R n non dipende dal fatto che tale intervallo contenga tutta o parte della sua frontiera, anche la misura di un pluriintervallo non varia se ad esso si toglie tutta o parte della sua frontiera.

8 8 CAPITOLO. INTGRALI MULTIPLI sempio Ogni sottinsieme finito di R n è misurabile e m() =. Infatti se = {x,..., x p }, fissato ε >, consideriamo il pluriintervallo S costituito dall unione degli intervalli I j centrati in x j e aventi lati di lunghezza uguale e inferiore a n ε/p; se ε è piccolo gli intervalli I j sono a due a due disgiunti e quindi m(s) = da cui la tesi per la (.9). p v(i j ) < j= p ( ) n ε n = ε, p sempio 3 Non è misurabile il sottinsieme di R costituito dai punti a coordinate razionali inclusi nel quadrato [, ] [, ]. Infatti, m () =, poichè non vi sono pluriintervalli inclusi in, ma m () =, poichè qualunque pluriintervallo includa, deve includere necessariamente anche il quadrato [, ] [, ] per la densità di Q Q in R. (Si osservi che è numerabile). sempio 4 È misurabile con misura zero il sottinsieme di R costituito da un segmento parallelo ad uno degli assi coordinati. Se, ad esempio, j= = {(x, y) R : a x b, y = }, è sufficiente osservare che, poichè I ε = [a, b] [ ε, ε] per ogni ε >, si ha m () m () inf {v(i ε)} = inf ε(b a) =. ε> ε> (Si osservi che ha la potenza del continuo). sempio 5 È misurabile con misura zero ogni insieme che sia unione finita di insiemi misurabili con misura zero. Basta infatti tenere conto che una unione finita di pluriintervalli è un pluriintervallo la cui misura non supera la somma delle misure. sempio 6 È un sottinsieme misurabile di R con misura zero il grafico di una funzione integrabile secondo Riemann. Infatti, data f R[a, b], possiamo prima di tutto supporre che f(x) > per ogni x [a, b]; in caso contrario, poichè f è inferiormente limitata, basta operare una opportuna traslazione verso l alto. Dalla condizione necessaria e sufficiente di integrabilità sappiamo che per ogni ε > esiste una partizione P di [a, b] tale che S(P, f) s(p, f) < ε; se denotiamo con T il trapezoide individuato da f su [a, b], cioè T = { (x, y) R : a x b, y f(x) },

9 .. INSIMI MISURABILI SCONDO PANO-JORDAN 9 S(P, f) e s(p, f) sono rispettivamente le misure di un pluriintervallo S T e di un pluriintervallo S T ; il grafico di f, cioè Γ = { (x, y) R : a x b, y = f(x) }, è incluso nel pluriintervallo che si ottiene sottraendo da S l interno di S e che ha misura pari a S(P, f) s(p, f). Quindi m (Γ) m (Γ) < ε per ogni ε >, cioè Γ ha misura zero. Il seguente teorema fornisce una condizione necessaria e sufficiente di misurabilità, e quindi una caratterizzazione degli insiemi misurabili, molto utile nelle applicazioni. Ci limitiamo a presentarne l enunciato. Teorema.4 Sia R n un insieme limitato. è misurabile se e solo se la sua frontiera è misurabile con misura zero. Da questo teorema possiamo ricavare interessanti proprietà della famiglia degli insiemi limitati di R n misurabili secondo Peano-Jordan. A parole possiamo dire che non si esce dalla famiglia operando con le operazioni insiemistiche di unione, intersezione e differenza; vale cioè Corollario.5 Siano e due sottinsiemi misurabili di R n. Allora sono misurabili anche gli insiemi, e. La dimostrazione è una immediata conseguenza della proprietà degli insiemi di misura zero dell esempio 5, dell assoluta continuità della misura e delle inclusioni insiemistiche ( ) ( ) ( ), (con denotiamo l insieme dei punti appartenenti a che non appartengono a ). Grazie sempre al teorema.4 e agli esempi svolti in precedenza, possiamo ritornare su un discorso iniziato quando parlavamo di integrazione per funzioni di una variabile. sempio 7 Sia f R[a, b], f(x). Allora il trapezoide individuato da f su [a, b], è misurabile e m(t ) = b a f.

10 CAPITOLO. INTGRALI MULTIPLI Osserviamo prima di tutto che la frontiera T è costituita dal grafico di f e da tre segmenti paralleli agli assi coordinati; poichè questi insiemi hanno misura zero, anche la loro unione ha misura zero e quindi T è misurabile. D altra parte, per ogni partizione P di [a, b] la somma inferiore s(p, f) è la misura di un pluriintervallo incluso in T e quindi m(t ) sup s(p, f) = P Inoltre la somma superiore S(P, f) è la misura di un pluriintervallo che include T e quindi m(t ) inf P In definitiva otteniamo m(t ) = b a f. S(P, f) =.3 Funzioni limitate su insiemi misurabili Nelle sezioni precedenti ci siamo procurati tutti gli strumenti atti a presentare l estensione del concetto di integrale a insiemi misurabili che non siano intervalli. Definizione.6 Sia R n un insieme misurabile secondo Peano-Jordan e f : R una funzione limitata. Sia I un intervallo chiuso tale che I e sia f il prolungamento di f a I tale che f(x) = per ogni x I. Diciamo che f è integrabile su se f è integrabile su I e in questo caso poniamo f = f(x)dx = f(x,..., x n )dx...dx n f. Osserviamo che, anche se a prima vista la definizione di integrabilità e il valore dell integrale sembrano dipendere dalla scelta di I (e conseguentemente dal prolungamento f), si può verificare che ciò non è vero e quindi che la definizione risulta consistente. lenchiamo le piu importanti proprietà dell insieme delle funzioni integrabili e dell integrale.. Siano f e g integrabili su un insieme misurabile e λ, µ R; allora la combinazione lineare λf + µg è integrabile su e (λf + µg) = λ f + µ g. b a b a f. f. I

11 .3. FUNZIONI LIMITAT SU INSIMI MISURABILI. Siano f e g integrabili su un insieme misurabile ; allora il prodotto fg è integrabile su. 3. Siano e due insiemi misurabili tali che =. Una funzione f limitata su = è integrabile su se e solo se f è integrabile su e su e in questo caso f = f + f. 4. Se è misurabile con misura zero, allora ogni funzione limitata su è integrabile su con integrale nullo. 5. Siano f e g integrabili su un insieme misurabile e tali che f(x) g(x) per ogni x dove è misurabile con misura zero. Allora f g. In particolare se f(x) = g(x) per ogni x dove è misurabile con misura zero, allora f = g. 6. Sia f integrabile su un insieme misurabile ; allora f è integrabile su e f f La proprietà 4 mette in evidenza che nella teoria dell integrazione che stiamo esponendo gli insiemi misurabili con misura zero non hanno alcuna importanza, possono essere trascurati sia dal punto di vista dell integrabilità che del calcolo dell integrale. Osserviamo in particolare che nella proprietà 3 è possibile sostituire l ipotesi che e siano disgiunti con la più debole condizione che abbia misura zero. Il seguente teorema fornisce una condizione sufficiente di integrabilità ed è una generalizzazione del teorema.. Teorema.7 Sia R n un insieme misurabile secondo Peano-Jordan e f : R una funzione limitata. Se f è continua su tranne al più su un sottinsieme Ẽ di misura zero, allora f è integrabile su. La misurabilità di un sottinsieme limitato di R n può essere caratterizzata mediante il concetto di integrabilità e parimenti la misura m() può essere calcolata mediante un integrale, come mostra il prossimo teorema.

12 CAPITOLO. INTGRALI MULTIPLI Per enunciarlo, ricordiamo che la funzione caratteristica di R n, che denotiamo con il simbolo χ, è la funzione così definita χ (x) = { x x / Teorema.8 Sia R n un insieme limitato e I un intervallo chiuso tale che I. Allora è misurabile se e solo se χ è integrabile su I e in questo caso m() = χ. Nella sezione precedente abbiamo visto che non si esce dalla classe degli insiemi misurabili con l utilizzo di alcune operazioni insiemistiche (si veda corollario.5). Il teorema precedente ci permette di ricavare un importante proprietà della misura. I Corollario.9 Siano e due sottinsiemi misurabili di R n. Allora m( ) = m( ) + m( ) m( ). In particolare se gli insiemi e sono disgiunti si ha m( ) = m( ) + m( ). Il corollario è una conseguenza immediata del già citato corollario.5, che garantisce la misurabilità di e di, del teorema.8 e della formula (di facile verifica) χ = χ + χ χ, dalla quale, integrando, si ottiene la tesi. In particolare, se gli insiemi sono disgiunti, la misura dell unione è la somma delle misure. Questa proprietà si estende in maniera ovvia nella forma seguente Sia {,,..., k } una famiglia finita di insiemi misurabili tali che k k j i =, j i. Allora m = m( j ) ed è nota come finita additività della misura di Peano-Jordan. j= j j=

13 .4. CALCOLO DGLI INTGRALI MULTIPLI 3.4 Calcolo degli integrali multipli Nel caso unidimensionale, il problema del calcolo dell integrale su [a, b] di una funzione f ivi continua è risolto dal teorema fondamentale del calcolo integrale. In R n, possiamo ridurre il calcolo di un integrale multiplo al calcolo di n integrali di funzioni di una sola variabile; oggetto del presente capitolo è principalmente questa riduzione per n =, 3, almeno nel caso in cui l insieme misurabile di integrazione presenti una forma sufficientemente semplice e la funzione integrabile sia sufficientemente regolare..5 Integrali doppi Questa sezione è dedicata agli integrali di funzioni di due variabili. Prendiamo in considerazione dei particolari sottinsiemi di R, che chiameremo insiemi normali o semplici rispetto all asse x, e che definiamo nel modo seguente: date due funzioni α e β definite sull intervallo [a, b] tali che β(x) α(x) per ogni x [a, b], poniamo = { (x, y) R : x [a, b], β(x) y α(x) }. Osserviamo subito che se α, β R[a, b] allora è misurabile secondo Peano- Jordan e m() = b a [α(x) β(x)] dx. Infatti, poichè la misura è invariante per traslazioni, possiamo supporre che β(x) per ogni x [a, b]; se denotiamo con T α e T β rispettivamente i trapezoidi individuati da α e da β e con Γ β il grafico di β, si ha = (T α T β ) Γ β e quindi è misurabile per il corollario.5. Inoltre, per il corollario.9, si ha m() = m(t α T β ) + m(γ β ) = m(t α T β ) = m(t α ) m(t β ) = = b a α b a β = b a (α β). Naturalmente possiamo considerare i sottinsiemi di R che presentano un ugual comportamento rispetto all asse y e che chiameremo insiemi normali o semplici rispetto all asse y, vale a dire = { (x, y) R : y [c, d], δ(y) x γ(y) }

14 4 CAPITOLO. INTGRALI MULTIPLI dove δ e γ sono due funzioni definite su [c, d], tali che δ(y) γ(y) per ogni y [c, d]. Vale il seguente teorema Teorema. Siano α, β R[a, b] e R l insieme normale rispetto all asse x definito da = { (x, y) R : x [a, b], β(x) y α(x) }. Sia f : R una funzione limitata su e continua almeno nei suoi punti interni. Allora f è integrabile su e b α(x) f f(x, y) dxdy = f(x, y) dy dx. (.) Osserviamo subito che, poichè risulta misurabile, la sua frontiera ha misura zero e quindi f è integrabile su grazie al teorema.7, perchè le sue eventuali discontinuità costituiscono un sottinsieme di e quindi un insieme di misura zero. La parte importante del teorema è però la formula (.), che fornisce un metodo di calcolo per gli integrali di funzioni di due variabili, riportandolo a due integrazioni successive di funzioni di una sola variabile: infatti, l integrale nella parentesi rotonda è l integrale di f pensata come funzione della sola variabile y (in altre parole, x è fissato) e, effettuata l integrazione, si ottiene una funzione della variabile x che va integrata sull intervallo [a, b]. Un teorema analogo vale se consideriamo insiemi normali rispetto all asse y. Teorema. Siano δ, γ R[c, d] e R l insieme normale rispetto all asse y definito da a β(x) = { (x, y) R : y [c, d], δ(y) x γ(y) }. Sia f : R una funzione limitata su e continua almeno nei suoi punti interni. Allora f è integrabile su e d γ(y) f f(x, y) dxdy = f(x, y) dx dy. (.) c Per quanto riguarda le notazioni, oltre a quelle che compaiono a secondo membro della (.) e della (.), vengono frequentemente utilizzate anche le seguenti δ(y) b f = dx α(x) a β(x) f(x, y) dy f = d γ(y) dy f(x, y) dx c δ(y)

15 .5. INTGRALI DOPPI 5 e si usa dire che, sotto le opportune ipotesi, si è ridotto o riportato il calcolo dell integrale doppio a due integrazioni successive. sempio 8 Consideriamo l intervallo chiuso I = [a, b] [c, d], che risulta essere ovviamente un insieme normale sia rispetto all asse x che rispetto all asse y; sia f una funzione continua su I. Allora I b d d b f(x, y) dxdy = dx f(x, y) dy = dy f(x, y) dx. a c c a Se f(x, y) = xy x + e I = [, ] [, 3], si ha ad esempio I f = = dx 3 (xy x + )dy = ( 4 3 x + 4 ) dx = [ xy 3 3 xy + y [ ] x= 3 x + 4x = 3 x= 3. ] y=3 dx = y= Se f(x, y) = y sin x y cos x e I = [, π] [, ], si ha ad esempio I f = = dy π (y sin x y cos x)dx = ydy = [ y ] y= y= = 3. [ y cos x y sin x ] x=π x= dy = sempio 9 Si considerino T = { (x, y) R : x [, ], y x, y x } f(x, y) = y log y. La funzione f è continua su T (, ) e può essere definita per continuità in (, ), ponendo f(, ) =. L insieme T è un insieme normale sia rispetto all asse y che rispetto all asse x; però per la funzione α = α(x) si ha α(x) = min(x, x) e quindi l utilizzo della (.) comporterebbe il calcolo di due differenti integrali; si avrebbe infatti T /3 f = dx x y log y dy + dx /3 x y log y dy

16 6 CAPITOLO. INTGRALI MULTIPLI Con la (.) invece si ha = /3 /3 f = dy T y/ [y 3 y ] log y dy = y y log y dx = [( y y3 /3 [x] x= y/ x=y y log y dy = ) ] y=/3 log y y= /3 ( ) y y = 7 log [( )] y y=/3 3 4 y3 = 6 y= 7 log sempio Calcoliamo la misura dell insieme A = { (x, y) R : y x y }. A è normale rispetto all asse y e quindi m(a) = dxdy = A dy y y dx = sempio Calcoliamo la misura dell insieme ( y ) dy = 8 3. A = { (x, y) R : x, x 3 y x } A è normale rispetto all asse x e quindi m(a) = dxdy =.6 Integrali tripli A x ( dx dy = x x 3) dx = 7 4. x 3 dy = In questa sezione consideriamo il caso tridimensionale: l equivalente degli insiemi normali rispetto ad uno degli assi coordinati sono gli insiemi normali rispetto a un piano coordinato. Consideriamo dapprima il caso del piano xy, cioè il piano z = e siano α = α(x, y) e β = β(x, y) due funzioni definite su un insieme limitato A R e tali che β(x, y) α(x, y) per ogni (x, y) A. L insieme definito da = { (x, y, z) R 3 : (x, y) A, β(x, y) z α(x, y) } è detto normale rispetto al piano xy. Si può dimostrare che se A è misurabile secondo Peano-Jordan e le funzioni α e β sono integrabili su A, allora è un sottinsieme misurabile di R 3, la cui misura è data da m() = [α(x, y) β(x, y)] dxdy. A

17 .6. INTGRALI TRIPLI 7 Inoltre è possibile fornire una formula di integrazione analoga alle (.); vale infatti Teorema. Sia A un sottinsieme misurabile di R e α e β due funzioni integrabili su A. Sia R 3 l insieme normale rispetto al piano xy definito da = { (x, y, z) R 3 : (x, y) A, β(x, y) z α(x, y) }. Sia f : R una funzione limitata su e continua almeno nei suoi punti interni. Allora f è integrabile su e α(x,y) f f(x, y, z) dxdydz = f(x, y, z) dz dxdy. (.) A β(x,y) Osserviamo che il calcolo dell integrale triplo è riportato al calcolo di un integrale doppio e di un integrale unidimensionale: infatti, l integrale che compare nella parentesi rotonda è l integrale di f pensata come funzione della sola variabile z, cioè con la coppia (x, y) fissata; effettuando il calcolo si ottiene una funzione delle due variabili x e y che va integrata sull insieme A. Se poi A è a sua volta un insieme normale rispetto a uno degli assi coordinati, anche quest ultimo integrale viene riportato a due integrazioni successive e in definitiva il calcolo dell integrale triplo è ridotto a quello di tre integrali di funzioni di una variabile. Con ovvi cambi di notazione, possiamo definire gli insiemi normali rispetto al piano xz oppure gli insiemi normali rispetto al piano yz. Per quel che riguarda le notazioni, come nel caso degli integrali doppi, in luogo della scrittura a secondo membro della (.) è spesso utilizzata anche la seguente f = A α(x,y) dxdy f(x, y, z) dz, β(x,y) ed è nota come formula di integrazione per fili. Osserviamo che l insieme è la regione di spazio compresa fra i grafici di α e β e A ne rappresenta la proiezione sul piano z = ; per ogni (x, y) fissato nella proiezione sul piano, i punti del filo verticale passante per (x, y) appartengono a se e solo se appartengono al segmento di estremi α(x, y) e β(x, y). Un altra situazione notevole si ha quando il sottinsieme misurabile di R 3 ha la proprietà che le sue sezioni con i piani orizzontali, che denotiamo con z, sono insiemi (piani) misurabili secondo Peano-Jordan; poichè l insieme è limitato, queste sezioni sono vuote se z è abbastanza grande e possiamo tradurre questo fatto dicendo che z = se z / [a, b]. Se f : R è una

18 8 CAPITOLO. INTGRALI MULTIPLI funzione limitata su e continua almeno nei suoi punti interni, allora f è integrabile su e si può dimostrare la seguente formula b b f(x, y, z) dxdydz = f(x, y) dxdy dz dz f(x, y) dxdy a z a z (.3) nota come formula di integrazione per strati. L intervallo [a, b] contiene la proiezione di sull asse x = y = ; per ogni z fissato in [a, b], i punti dello strato orizzontale passante per z appartengono a se e solo se appartengono alla sezione z. Ovviamente ai piani orizzontali, cioè paralleli al piano z =, si possono sostituire i piani paralleli ad uno degli altri due piani coordinati e all intervallo [a, b] sull asse delle z corrisponde un analogo intervallo sull asse delle x o delle y. sempio Siano = { (x, y, z) R 3 : < x <, < y <, z x + y } f(x, y, z) = xye z Posto A = (, ) (, ), (si veda la (.)), si ha xdx f = dxdy A ye x +y dy sempio 3 Siano x +y xdx xye z dz = xy(e x +y )dxdy = ydy = A = 4 (e e5 + e 4 ) +. x(e x e x +4 )dx + = { (x, y, z) R 3 : x, z, x y x + z } f(x, y, z) = z x + xdx = Denotiamo con B l intervallo chiuso [, ] [, ] nel piano y =. Si ha f = dxdz = B x+z x x + dx z x + dy = B z 3 dz = log 4 z 3 x + dxdz =.

19 .7. CAMBIAMNTO DI VARIABIL NGLI INTGRALI 9 sempio 4 Calcoliamo la misura dell insieme = { (x, y, z) R 3 : z, x + y z } Poichè per ogni z [, ] la sezione z è il cerchio con centro nell origine e raggio z, si ha m() = dz dxdy = z πz dz = π..7 Cambiamento di variabile negli integrali Talvolta la presenza di particolari simmetrie nell insieme di integrazione e/o nella funzione integranda porta in modo naturale a pensare di effettuare dei cambiamenti di variabile; ma quale funzione dobbiamo integrare e su quale insieme per ottenere l integrale che cerchiamo? Nel caso n =, abbiamo visto che, per calcolare l integrale di f su [a, b], se l integrale va ragionevolmente esteso all intervallo in corrispondenza biunivoca con [a, b], la nuova funzione integranda fa intervenire non solo f = f(x) e il cambiamento di variabile x = x(t), ma anche la derivata x (t). Prima di tutto cerchiamo di chiarire quali sono i cambiamenti di variabile accettabili in più dimensioni: per questo tipo di problemi, occorre prendere in considerazioni i cosiddetti diffeomorfismi cioè le funzioni che stabiliscono una corrispondenza biunivoca fra insiemi aperti di R o R 3 (o in generale di R n ) e che sono di classe C insieme alle loro funzioni inverse. Il ruolo che nel caso n = è sostenuto dalla derivata, nel caso n > è preso dal determinante della matrice Jacobiana. In queste note, ci limitiamo a considerare particolari cambiamenti di variabile nei casi n =, 3, senza entrare nel merito della teoria generale sui cambiamenti di variabile nell integrazione. Trasformazioni lineari Sia n = e consideriamo il cambiamento di variabili { x = au + bv y = cu + dv (.4) dove a, b, c, d sono numeri reali fissati. Se ad bc, la (.4) fornisce una corrispondenza biunivoca tra il piano delle uv e il piano delle xy; se denotiamo con G l applicazione (u, v) G(u, v) = (au + bv, cu + dv),

20 CAPITOLO. INTGRALI MULTIPLI in particolare per ogni (u, v) R si ha [ a b det J G (u, v) = det c d ] = ad bc. Sia ora R un insieme misurabile e f : R una funzione limitata su e continua almeno nei suoi punti interni. Se denotiamo con il sottinsieme del piano delle uv in corrispondenza biunivoca con tramite la (.4), allora f(x, y) dxdy = (f G)(u, v) det J G (u, v) dudv = (.5) = ad bc f(au + bv, cu + dv)dudv. Sia ora n = 3 e consideriamo una matrice quadrata 3 3 non singolare, che denotiamo con A; l applicazione G che al vettore (u, v, w) associa il vettore (x, y, z) ottenuto come prodotto della matrice A con il vettore colonna (u, v, w), cioè (x, y, z) G(u, v, w) = A (u, v, w) è una trasformazione lineare dello spazio delle uvw nello spazio delle xyz tale che per ogni (u, v, w) R 3 si ha det J G (u, v, w) = det A. La formula analoga alla (.5) è la seguente f(x, y, z) dxdydz = f G(u, v, w) det JG (u, v, w) dudvdw = (.6) = det A f G(u, v, w)dudvdw. Se nella formula precedente poniamo f e consideriamo una matrice A tale che det A = ±, otteniamo m() = m( ); la misura di Peano-Jordan è quindi invariante per tutte quelle trasformazioni lineari associate a matrici unitarie, come, ad esempio, le rotazioni, le simmetrie rispetto a un punto, a una retta, a un piano,... sempio 5 Vogliamo calcolare f, dove = { (x, y) R : < x + y <, < x y < 3 } f(x, y) = log(x + y)

21 .7. CAMBIAMNTO DI VARIABIL NGLI INTGRALI Osserviamo subito che l insieme è il parallelogramma di vertici (, ), (/, 3/), (5/, /) e (, ) e che f è ovviamente continua su. Se poniamo x + y = u x y = v vale a dire x = u + v y = u v, si ottiene che è il rettangolo aperto e quindi dalla (.5) otteniamo = { (u, v) R : < u <, < v < 3 } log(x + y) dxdy = log u dudv = log u dudv = = 3 dv log u du = [u log u u] u= u= = ( log ). sempio 6 Vogliamo calcolare f, dove = { (x, y) R : x, 3x y, x + y } f(x, y) = sin(x + y) cos(3x y). è il triangolo chiuso di vertici (, ), (, /) e (/7, 3/7) (f è continua su R ). L interesse a porre x + y = u 3x y = v cioè x = u + v 7 y = 3u v 7 nasce in questo caso dall espressione di f (nell esempio precedente il cambiamento di variabile era dettato soprattutto dall insieme di integrazione), poichè una integrazione di f come funzione della variabile x oppure della variabile y non è certo esente da calcoli. Si ottiene = { (u, v) R : v u/, v, u }

22 CAPITOLO. INTGRALI MULTIPLI cioè è il triangolo chiuso di vertici (, ), (, /) e (, ). Quindi sin(x + y) cos(3x y) dxdy = 7 sin u cos v dudv = = 7 = 7 sin u du u/ cos v dv = 7 sin u sin(u/)du = sin (u/) cos(u/)du = 4 sin3 (/). sempio 7 Vogliamo calcolare f, dove = { (x, y, z) R 3 : x, < x + y + z, < x + z } f(x, y, z) = x sin(x + y + z). L insieme è la regione tridimensionale limitata, compresa tra tre coppie di piani paralleli e contenente parte della sua frontiera (f è continua su R 3 ). Se poniamo cioè x = u x + y + z = v x + z = w x = u y = u + v w z = u + w, otteniamo = { (u, v, w) R 3 : u, < v, < w }. Poichè det / / / / = / dalla (.6) abbiamo x sin(x + y + z) dxdydz = u sin(u + v) dudvdw = = du = 3 dv u sin(u + v) dw = 3 [u cos u u cos(u + )] du = [u sin u + cos u u sin(u + ) cos(u + )]u= u= = = 3 (sin + cos sin 3 cos 3 + cos ).

23 .7. CAMBIAMNTO DI VARIABIL NGLI INTGRALI 3 Coordinate polari nel piano Consideriamo l applicazione (ρ, θ) G(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ) (.7) definita sulla semistriscia aperta A = (, + ) (, π) del piano ρθ. Ovviamente G è di classe C su A e [ ] cos θ ρ sin θ det J G (ρ, θ) = det = ρ(cos θ + sin θ) = ρ. (.8) sin θ ρ cos θ Se denotiamo con S la semiretta non negativa dell asse x nel piano xy, cioè S = {(x, y) R : y =, x }, l applicazione G stabilisce una corrispondenza biunivoca tra A e R S. In particolare ρ = x + y rappresenta la distanza dall origine del punto (x, y), mentre θ rappresenta l angolo di cui deve ruotare il semiasse positivo delle x per sovrapporsi al segmento congiungente tale punto con l origine ruotando in senso antiorario. Sia ora R un insieme misurabile e f : R una funzione limitata su e continua almeno nei suoi punti interni. Osserviamo prima di tutto che, posto Ẽ = S, poichè è limitato, Ẽ è incluso in un intervallo limitato dell asse delle x e quindi, per l assoluta continuità della misura, m(ẽ) =. Ne segue che f = f. Ẽ Se denotiamo con il sottinsieme di A nel piano ρθ in corrispondenza biunivoca con ( Ẽ) tramite la (.7), allora f(x, y)dxdy = f(ρ cos θ, ρ sin θ) = f(ρ cos θ, ρ sin θ)ρ dρdθ. det J G (ρ, θ) dρdθ = (.9) In certi casi può essere utile far variare l angolo θ in un intervallo (θ, θ +π) con θ e quindi considerare la (.7) come una corrispondenza biunivoca tra (, + ) (θ, θ + π) e R privato della semiretta (origine inclusa) che forma con il semiasse positivo delle x un angolo pari a θ. Analogamente può essere utile che ρ non rappresenti la distanza dall origine, bensí da un altro punto (x, y ), e quindi considerare in luogo della (.7) l applicazione (ρ, θ) (x + ρ cos θ, y + ρ sin θ). Tutti questi cambiamenti non alterano però la (.8). Osserviamo infine che mediante questi cambiamenti di variabile gli insiemi del piano ρθ definiti da

24 4 CAPITOLO. INTGRALI MULTIPLI ρ = c, con c >, sono nel piano xy delle circonferenze di raggio c, con centro in (x, y ); può essere utile che invece di circonferenze siano ellissi e quindi possiamo considerare le applicazioni (ρ, θ) (x + aρ cos θ, y + bρ sin θ) (.) dove a, b R, a >, b >. Infatti in questo caso si ha (x x ) ρ = a + (y y ) b e quindi ρ = c, con c >, sono nel piano xy delle ellissi con semiassi ac e bc e centro in (x, y ). In quest ultimo caso, il determinante Jacobiano della trasformazione (si veda la (.8)) risulta pari a abρ e quindi la (.9) diviene f(x, y) dxdy = f(x + aρ cos θ, y + bρ sin θ) abρ dρdθ. sempio 8 Vogliamo calcolare f, dove = {(x, y) R : x < y < 4x, < x + y < 9} f(x, y) = x + 3y. L insieme è un settore della corona circolare di raggio interno e raggio esterno 3 e la funzione f è ovviamente continua su, la chiusura di. Ponendo x = ρ cos θ y = ρ sin θ si ha = {(ρ, θ) (, + ) (, π) : cos θ < sin θ < 4 cos θ, < ρ < 9} = = {(ρ, θ) (, + ) (, π) : π/4 < θ < arctan 4, < ρ < 3} e quindi dalla (.9) otteniamo f = (ρ cos θ + 3ρ sin θ)ρ dρdθ = = arctan 4 [( 9 (/3) ) arctan 4 π/4 3 dθ (ρ cos θ + 3ρ sin θ)ρ dρ = ] cos θ + (3/4) sin θ dθ = π/4 = ( 9 (/3) ) (sin arctan 4 /) + +(3/8)(arctan 4 π/4 (/) sin( arctan 4) + /).

25 .7. CAMBIAMNTO DI VARIABIL NGLI INTGRALI 5 sempio 9 Vogliamo calcolare la misura della regione piana compresa fra le ellissi di equazione 4x + 9y = x + 7y =. Ciò equivale (la frontiera della regione ha misura zero!!) a calcolare la misura dell insieme e quindi, ponendo si ha = {(x, y) R : 4x + 9y <, x + 7y > } x = ρ cos θ y = ρ 3 sin θ, = {(ρ, θ) (, + ) (, π) : ρ <, 3ρ > } = = {(ρ, θ) (, + ) (, π) : / 3 < ρ < }. Ne segue m() = 6 π dθ / 3 ρ dρ = ( 6 π ) = π 3 9. sempio Vogliamo calcolare f, dove = {(x, y) R : < y < x, (x ) + y < } f(x, y) = (x )y. L insieme è la parte del cerchio con centro in (, ) e raggio, che giace nel semipiano superiore, al di sotto della retta parallela alla bisettrice del primo quadrante, passante per il centro del cerchio. Ponendo si ha x = + ρ cos θ y = ρ sin θ, = {(ρ, θ) (, + ) (, π) : < sin θ < cos θ, ρ < } = = {(ρ, θ) (, + ) (, π) : < θ < π/4, < ρ < }. Allora f = (ρ cos θ sin θ)ρ dρdθ = = [ sin ] θ=π/4 θ = 4 6. θ= π/4 cos θ sin θ dθ ρ 3 dρ =

26 6 CAPITOLO. INTGRALI MULTIPLI sempio Vogliamo calcolare f, dove = {(x, y) R : x < y < x, x + y < 4} f(x, y) = x + y. L insieme è il settore del cerchio con centro nell origine e raggio compreso tra la bisettrice del IV quadrante e quella del I quadrante. In questo caso, ponendo x = ρ cos θ y = ρ sin θ, le disequazioni che definiscono sono ρ < cos θ < sin θ < cos θ e quindi è utile far variare l angolo θ in ( π, π), in modo da ottenere un solo intervallo di variabilità per θ. Si ha da cui = {(ρ, θ) (, + ) ( π, π) : π/4 < θ < π/4, ρ < } f = (ρ cos θ + ρ sin θ)ρ dρdθ = π/4 π/4 (cos θ + sin θ) dθ ρ dρ = 8 3. Coordinate cilindriche nello spazio Consideriamo l applicazione (ρ, θ, Z) G(ρ, θ, Z) = (ρ cos θ, ρ sin θ, Z) (.) sull insieme dello spazio ρθz dato da A = (, + ) (, π) (, + ). ssa è ovviamente di classe C su A e cos θ ρ sin θ det J G (ρ, θ, Z) = det sin θ ρ cos θ = ρ(cos θ + sin θ) = ρ. Se consideriamo il semipiano passante per l asse z σ = {(x, y, z) R 3 : y =, x } (.) l applicazione G stabilisce una corrispondenza biunivoca tra A e R 3 σ. La quantità ρ = x + y rappresenta la distanza dall origine della proiezione del punto (x, y, z) sul piano z =, mentre θ rappresenta l angolo di cui deve ruotare il semiasse positivo delle x per sovrapporsi al segmento congiungente tale proiezione con l origine ruotando in verso antiorario.

27 .7. CAMBIAMNTO DI VARIABIL NGLI INTGRALI 7 Sia ora R 3 un insieme misurabile e f : R una funzione limitata su e continua almeno nei suoi punti interni. Osserviamo prima di tutto che l insieme Ẽ = σ è misurabile con misura zero, poichè è incluso in un rettangolo del semipiano σ ( è limitato!!) e quindi è un sottinsieme di un insieme di misura zero in R 3. È quindi sufficiente calcolare l integrale di f su ( Ẽ) e, se denotiamo con il sottinsieme di A nel piano ρθz in corrispondenza biunivoca con ( Ẽ) tramite la (.), si ha f(x, y, z) dxdydz = f(ρ cos θ, ρ sin θ, Z) det JG (ρ, θ, Z) dρdθdz = = f(ρ cos θ, ρ sin θ, Z)ρ dρdθdz. Visto il significato geometrico della variabile ρ, il sottinsieme di R 3 che in queste coordinate ha equazione ρ = c > è il cilindro avente per asse l asse z, la cui intersezione con il piano z = è la circonferenza di raggio c, centrata nell origine. Ovviamente il ruolo dell asse z può essere sostenuto da uno degli altri due assi coordinati; inoltre, come nel caso precedente, si possono dare delle generalizzazioni del tipo x = x + aρ cos θ y = y + bρ sin θ z = z + Z a, b R, a >, b > per le quali il determinante della matrice Jacobiana vale abρ.. sempio Vogliamo calcolare f, dove = {(x, y, z) R 3 : y >, x + y, 3 z 4} ze z f(x, y) = x + y +. L insieme è la regione di spazio delimitata dai tre piani y =, z = 3 e z = 4 e dal cilindro di equazione x + y = e f è continua su tutto R 3. L insieme in corrispondenza biunivoca con a meno di insiemi di misura zero tramite le (.) è l insieme Quindi = {(ρ, θ, Z) A : ρ sin θ >, ρ <, 3 < Z < 4} = = {(ρ, θ, Z) A : < θ < π, < ρ <, 3 < Z < 4} f(x, y, z) dxdydz = ze z ρ + ρ dρdθdz = π = ( 3e 4 e 3) π log. ρ dθ ρ + dρ 4 3 ze z dz =

28 8 CAPITOLO. INTGRALI MULTIPLI sempio 3 Vogliamo calcolare la misura dell insieme Posto si ha = {(x, y, z) R 3 : < 4x + z < 9, > y > x + z} x = ρ cos θ y = Y z = ρ sin θ, = {(ρ, θ, Z) A : < ρ < 9, > Y > ρ [cos θ + sin θ]} = = {(ρ, θ, Z) A : 3π 4 < θ < 7π 4, < ρ < 3, > Y > ρ [cos θ + sin θ]} (la condizione ρ [cos θ + sin θ] < equivale a 3π 4 < θ < 7π 4 ). m() = ρ dρdθdy = = = 3 3 (7π)/4 (3π)/4 dθ (7π)/4 (3π)/4 3 (7π)/4 (3π)/4 dθ 3 ρdρ ρ [cos θ + sin θ] dρ = [cos θ + sin θ] dθ = 3 3 sempio 4 Vogliamo calcolare f, dove ρ[cos θ+sin θ] dy = [sin θ cos θ]θ=(7π)/4 θ=(3π)/4 = 6 3 = {(x, y, z) R 3 : x >, y >, z >, < x + y < 4, z x + y } f(x, y) = xyz. L insieme in corrispondenza biunivoca con a meno di insiemi di misura zero tramite le (.) è l insieme Quindi π/ = dθ = {(ρ, θ, Z) A : < θ < π/, Z >, < ρ < 4, Z < ρ } = = {(ρ, θ, Z) A : < θ < π/, < ρ <, < Z < ρ }. dρ f(x, y, z) dxdydz = ρ [ sin ρ 3 θ (cos θ sin θ)zdz = ρ (cos θ sin θ)zρ dρdθdz = ] θ=π/ θ= ρ 7 dρ = 8 =

29 .7. CAMBIAMNTO DI VARIABIL NGLI INTGRALI 9 sempio 5 Calcoliamo la misura dell insieme = { (x, y, z) R 3 : x + y + z < r, a < z < b } dove r a < b r, cioè della parte della sfera di raggio r e con centro nell origine, compresa tra due piani orizzontali. Si ha e quindi = {(ρ, θ, Z) A : ρ + Z < r, a < Z < b} = = {(ρ, θ, Z) A : ρ < r Z, < θ < π, a < Z < b} m() = = ρ dρdθdz = π dθ b a π dθ b a dz (r Z )dz = π r Z ρ dρ = ( r (b a) ) 3 (b3 a 3 ). Coordinate sferiche nello spazio Consideriamo l applicazione (x, y, z) = G(ρ, θ, ϕ) = (ρ cos θ sin ϕ, ρ sin θ sin ϕ, ρ cos ϕ) (.3) definita sul sottinsieme dello spazio ρθϕ B = (, + ) (, π) (, π). La funzione G è di classe C su B e stabilisce una corrispondenza biunivoca tra B e R 3 σ, cioè l insieme che si ottiene sottraendo da R 3 il semipiano σ, definito in (.). In particolare ρ = x + y + z rappresenta la distanza del punto (x, y, z) dall origine; l angolo ϕ è l angolo di cui deve ruotare il semiasse positivo delle z per sovrapporsi al segmento congiungente il punto (x, y, z) con l origine, ruotando nel piano individuato dall asse z e dal punto stesso; θ invece è l angolo di cui deve ruotare il semiasse positivo delle x per sovrapporsi al segmento congiungente il punto (x, y, ) con l origine, ruotando nel piano xy in senso antiorario. Se consideriamo solo i punti di una superficie sferica con centro nell origine, gli angoli θ e π/ ϕ non sono altro che la longitudine e la latitudine della geografia calcolate in radianti. Si ha det J G (ρ, θ, ϕ) = det cos θ sin ϕ ρ sin θ sin ϕ ρ cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ ρ cos θ sin ϕ ρ sin θ cos ϕ cos ϕ ρ sin ϕ = ρ sin ϕ cos ϕ(sin θ + cos θ) ρ sin 3 ϕ(sin θ + cos θ) = = ρ sin ϕ(cos ϕ + sin ϕ) = ρ sin ϕ. =

30 3 CAPITOLO. INTGRALI MULTIPLI Sia R 3 un insieme misurabile e f : R una funzione limitata su e continua almeno nei suoi punti interni. Analogamente a quanto fatto nell esempio precedente, denotiamo con il sottinsieme di B nel piano ρθϕ in corrispondenza biunivoca, a meno di insiemi di misura zero, con. Vale allora la formula di integrazione per sostituzione f(x, y, z) dxdydz = = f(ρ cos θ sin ϕ, ρ sin θ sin ϕ, ρ cos ϕ) det JG (ρ, θ, ϕ) dρdθdϕ = = f(ρ cos θ sin ϕ, ρ sin θ sin ϕ, ρ cos ϕ)ρ sin ϕ dρdθdϕ. sempio 6 Vogliamo calcolare f, dove f(x, y, z) = x e = {(x, y, z) R 3 : x >, y >, z >, x + y + z < 4} cioè la parte della sfera con centro nell origine e raggio che giace nel primo ottante. Tramite la (.3) si ha = {(ρ, θ, ϕ) B : < θ < π/, < ϕ < π/, ρ < } e quindi l integrale proposto è dato da π/ π/ f = ρ 3 cos θ sin ϕ dρdθdϕ = dθ dϕ ρ 3 cos θ sin ϕ dρ = [ ] = [sin θ] π/ ϕ sin ϕ cos ϕ ϕ=π/ [ ] ρ 4 ρ= θ= = π. 4 ϕ= ρ= sempio 7 Vogliamo calcolare la misura dell insieme = {(x, y, z) R 3 : x + y <, x + y + z < 9, z > } che risulta essere la porzione di spazio delimitata dal piano z =, dal cilindro di equazione x + y = e dalla sfera con centro nell origine e raggio 3. Si ha = {(ρ, θ, ϕ) B : ρ sin ϕ <, ρ < 3, < ϕ < π/} = { = (ρ, θ, ϕ) B : < θ < π, < ϕ < π/, ρ < } sin ϕ, ρ < 3 Poichè se < ϕ < π/ < 3 se e solo se arcsin /3 < ϕ < π/, sin ϕ

31 .8. INTGRALI MULTIPLI SU INSIMI NON LIMITATI 3 otteniamo = {(ρ, θ, ϕ) B : < θ < π, < ϕ < arcsin /3, ρ < 3} e quindi = {(ρ, θ, ϕ) B : < θ < π, arcsin /3 < ϕ < π/, ρ < / sin ϕ} π dθ arcsin /3 dϕ m() = 3 ρ sin ϕ dρ + ρ sin ϕ dρdθdϕ = π dθ π/ arcsin /3 dϕ / sin ϕ ρ sin ϕ dρ = = 8π( cos(arcsin /3)) + π 3 π/ arcsin /3 sin ϕ dϕ = = 8π( cos(arcsin /3)) π 3 [cot ϕ]ϕ=π/ ϕ=arcsin /3 = = 8π( cos(arcsin /3)) + π 3 cot(arcsin /3)..8 Integrali multipli su insiemi non limitati Nella teoria dell integrazione in R n che abbiamo svolto in questo e nel precedente capitolo, l insieme di integrazione è un insieme misurabile e quindi in particolare è un insieme limitato: in questa sezione vogliamo considerare insiemi non limitati e, se possibile, definire ancora un concetto di integrabilità e di integrale. Cominciamo dalla situazione peggiore e consideriamo l intero spazio R n ; denotiamo con B r la sfera con centro nell origine e raggio r, cioè B r = {x R n : x r} e sia f : R n R una funzione non negativa e integrabile su B r per ogni r >. Se consideriamo la funzione della variabile r r f, (.4) B r essa è monotona crescente su (, + ), proprio poichè f e B r B s se r < s; ne segue che essa ammette limite per r + e tale limite è

32 3 CAPITOLO. INTGRALI MULTIPLI finito oppure +. Poichè con le sfere B r si invade l intero spazio R n, cioè R n = B r, viene naturale dire che f è integrabile su R n quando la funzione r> (.4) ammette limite finito, cioè è convergente, per r + e porre f = lim f. r + R n B r L ipotesi che f sia non negativa è fondamentale per il seguente motivo: a priori, non c è alcuna ragione per considerare le sfere B r e non altri tipi di insiemi, ad esempio, le sfere B r,p con centro in un punto p di R n che non sia necessariamente l origine, i cubi C r,p con centro nel punto p e lato r, cioè C r,p = {x R n : x i p i r, i =,..., n} con i quali ancora si invade tutto lo spazio; occorre quindi che l utilizzo dei cubi, piuttosto che delle sfere, piuttosto che di altri insiemi ragionevoli, non porti a differenze sostanziali, o, in termini matematici, che si abbia almeno lim f = lim f. (.5) r + B r, p r + C r, p sistono però funzioni f non di segno costante per le quali la (.5) è falsa; basta considerare la funzione f : R R cosí definita { y > f(x, y) = y Se consideriamo quadrati o cerchi centrati nell origine, gli integrali sono nulli per simmetria. Se invece consideriamo i quadrati C n centrati in (, ) e lato n con n, l integrale di f su C n vale 4n!!! Se f è invece facile verificare che l uguaglianza (.5) è vera e si potrebbe dimostrare che vale anche sostituendo a C r,p altre famiglie di insiemi misurabili ragionevoli. In conclusione, l ipotesi di segno serve a dare consistenza alla definizione. Per funzioni di segno qualsiasi, prendiamo in considerazione la parte positiva f + e la parte negativa f di f. L integrabilità di f è legata a quella di f +,f dal seguente lemma. Lemma.3 Sia f : R n R integrabile su B r per ogni r >. Allora lim f r + B r è finito se e solo se sono finiti i seguenti limiti lim f + lim f. r + r + B r B r

33 .8. INTGRALI MULTIPLI SU INSIMI NON LIMITATI 33 Siamo ora in grado di fornire una definizione di integrabilità e di integrale su R n per funzioni di segno qualsiasi: osserviamo che l ipotesi che f sia integrabile sulle sfere B r è senz altro soddisfatta se f è una funzione continua su R n oppure è una funzione limitata e con un insieme di discontinuità di misura zero in ogni B r. Definizione.4 Sia f : R n R integrabile su B r per ogni r >. Diciamo che f è integrabile su R n se esiste finito lim f. r + B r Se f è integrabile su R n, poniamo f = lim f + r + R n B r lim r + B r f = lim r + B r f. Nei paragrafi precedenti abbiamo definito la misura degli insiemi misurabili secondo Peano-Jordan e quindi, in quanto tali, limitati; abbiamo poi visto che se è misurabile la sua misura può essere calcolata mediante un integrale (si veda teorema.8). Questo ci permette di definire la misura anche per una classe di insiemi non limitati nel modo seguente Definizione.5 Sia R n un insieme non limitato. Diciamo che è misurabile se B r è misurabile secondo Peano-Jordan per ogni r >. In questo caso, chiamiamo misura di e la denotiamo ancora con m() il seguente limite m() lim m( B r) r + sia nel caso in cui sia finito, sia nel caso in cui sia +. Se in particolare m() < +, allora m() = χ. R n È possibile dimostrare che alle sfere B r possiamo sostituire altri insiemi, ad esempio i cubi C r, ottenendo una definizione equivalente. Infine definiamo l integrale su insiemi misurabili non limitati, che non siano necessariamente l intero spazio R n. Definizione.6 Sia R n un insieme non limitato e misurabile. Sia f : R e f il suo prolungamento a zero fuori di, cioè f(x) = { f(x) x x R n