4 Esercitazione del 23/11/2010

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1 4 Esercitazione del 23/11/2010 Riprendiamo revemente la dimostrazione del teorema di Brody, per mostrare che una mappa olomorfa non costante da C in uno spazio complesso, se esiste, può essere scelta con alcune proprietà addizionali. Sia (X, H) una varietà complessa con una metrica hermitiana, Una mappa f Hol(C, X) non costante si dice linea complessa (o curva di Brody) se f è limitata rispetto alla metrica euclidea su C e a quella hermitiana su X. Osserviamo che questo equivale a dire che esiste una costante C tale che f H Cdzd z. Thm 4.1 (Brody) Se (X, H) è una varietà hermitiana compatta non iperolica, allora esiste h : C X linea complessa. Dim: Sia d X la pseudodistanza di Koayashi su X e si ponga F X (v) = inf{ u D u T D, f u = v, f Hol(D, X)} per v T X. Se esiste una costante positiva a tale che a H F X, allora d X è non degenere; quindi per ogni n esiste v n T X tale che F X (v n ) 1/n, ma v n H = 1. Quindi esiste una successione r n di reali positivi e una collezione f n Hol(D rn, X) di mappe tali che f n(0) = df n [( / z) 0 ] = v n, in quanto Ora, poniamo ( / z) 0 Drn = 2 r n u n = f nh rnds 2 2 r n allora u n (0) = 1/4. Per il lemma di riparametrizzazione aiamo che esistono c (0, 1/4] e delle funzioni g n tali che i. g nh cr 2 nds 2 r n ii. g n (D rn ) f n (D rn ). Definiamo F n = {g m Drn m n} e notiamo che, poiché crmds 2 2 r m crnds 2 2 r n per m n, tale famiglia è equicontinua e dunque contiene una sottosuccessione convergente, per la compattezza di X. A meno di raffinare ulteriormente tali famiglie, possiamo supporre che F n contenga una successione convergente a h n su D rn, di modo che questo limite coincida con h n 1 su D rn 1. Dunque ottengo una funzione h Hol(C, X) tale che h H = lim gnh lim crnds 2 2 r n = 4cdzd z dzd z con uguaglianza in 0. Cor 4.2 Data f : C X olomorfa non costante (come prima, (X, H) varietà complessa hermitiana e compatta), esiste g linea complessa in X tale che g(c) f(c). 21

2 Nel caso in cui si facciano ipotesi sulla curvatura sezionale di X, le curve di Brody assumono caratteristiche molto particolari. Prp 4.3 Sia una varietà compatta hermitiana con H ds 2 0 e sia X un sottospazio analitico chiuso. X è iperolico se e solo se non esiste un immersione olomorfa isometrica totalmente geodetica f : C tale che f(c) X. Dim: Ovviamente, se X è iperolico, tali mappe non esistono per il teorema di Brody. Se X non è iperolico, allora esiste una linea complessa f : C con f(c) X e f ds 2 dzd z. Poniamo f ds 2 = λdzd z, con 0 λ 1. Ora, dove λ 0, quindi dove df 0, quindi nel complementare di un insieme discreto, si ha K f ds 2 = 1 2 log λ λ z z Ora, ricordando che H ds 2 V H ds 2 T V se V è sottovarietà di, si deve avere K f ds 2 = H ds 2 f(c) H ds 2 0 e quindi 2 log λ z z se λ 0. Questo implica che log λ sia suarmonica su C, se estesa a dove λ = 0; ma log λ 0 e quindi è costante, per il principio del massimo per funzioni suarmoniche. Essendo costante log λ, anche λ è costante e, a meno di omotetie, possiamo supporre λ 1. Dunque, f è un immersione isometrica; inoltre f(c) è un sottospazio piatto nei suoi punti lisci, in quanto K f ds 2 = 0. E dunque 0 0 = H ds 2 f(c) H ds 2 f(c) 0 da cui H ds 2 H ds 2 f(c), il che implica che f(c) è, nei suoi punti lisci, una f(c) sottovarietà totalmente geodetica. L importanza di un simile risultato non è tanto il fatto di poter testare l iperolicità solo su un insieme ristretto di mappe, ma il fatto che, in caso di curvatura sezionale non positiva, tutte le curve di Brody, a meno di omotetie in partenza, siano immersioni isometriche totalmente geodetiche. 4.1 Complementari di ipersuperfici Sia X uno spazio complesso; un divisore di Cartier è un sottoinsieme Z X tale che per ogni suo punto z esistano un intorno U z e una funzione olomorfa f Hol(U z, C) tali che Z U z = {f = 0}. Nota d onestà: Tipicamente, i divisori di Cartier sono sezioni del fascio K /O, dove K sono le funzioni meromorfe invertiili e O sono le funzioni olomorfe invertiili. Quindi, quelli definiti ora sono i supporti dei divisori di Cartier. Prp 4.4 Siano X una varietà complessa e Z un divisore di Cartier; allora X\Z è localmente iperolico completo. 22

3 Dim: Per ogni punto y Y, sia V un intorno iolomorfo a un polidisco tale che V Z = {f = 0} con f Hol(V, C). Allora, a meno di restringere V, possiamo supporre che f sia limitata e quindi f(v ) D, a meno di omotetie. Allora Y V = {f 0} = f 1 (D ) e per un risultato della precedente esercitazione segue che Y V è iperolico completo. Ovviamente, se X è iperolico, segue suito che anche X \ Z è iperolico. Osserviamo che rimuovere da uno spazio oggetti di codimensione 2 non altera il comportamento della pseudo-distanza di Koayashi, infatti se codima 2, allora Hol(D, X \ A) è denso in Hol(D, X) rispetto alla topologia compattoaperta e dunque d X coincide con d X\A su X \ A. L unico caso interessante è dunque quando codima = 1; ad esempio, aiamo già visto che, seene CP 2 non sia iperolico, il complementare di 5 rette in esso lo è. Il risultato precedente ci dice che, localmente, il complementare di un divisore è sempre iperolico e completo; dunque il prolema è gloalizzare questa osservazione. Per farlo, introduciamo la nozione di immersione iperolica. Se X è uno spazio complesso, Y X, p Y si dice punto iperolico se per ogni U intorno di p in X esiste un intorno V tale che V U e d Y (V Y, Y \U) > 0. Y si dice iperolicamente immerso in X se ogni punto di Y è punto iperolico. Notiamo che ogni spazio iperolico è iperolicamente immerso in se stesso. Osserviamo che l immersione iperolica è equivalente al fatto che, dati p, q in Y, esistano U p, U q intorni di loro in X tali che d Y (U p Y, U q Y ) > 0; inoltre, se esiste una distanza δ su Y tale che δ d Y su Y, allora Y è iperolicamente immerso in X. Prp 4.5 Sia Y X, allora le seguenti sono equivalenti i. Y è iperolicamente immerso in X ii. data una metrica hermitiana h su X, esiste c > 0 tale che f (ch) ds 2 D per ogni f Hol(D, Y ). Dim: ii. i. d h (la distanza indotta da h) è una distanza su X contratta dalle mappe olomorfe a valori in Y, quindi è maggiorata dalla pseudodistanza di Koayashi su Y. Dunque Y è iperolicamente immerso. i. ii. Per assurdo, siano f n Hol(D, Y ), a n D tali che f nh nds 2 D in a n. Poiché f n (0) Y e Y è compatto, f n (0) p Y. Sia U un intorno di p iperolico completo in X. Se esiste r < 1 tale che f n (D r ) U per n n 0, allora la famiglia {f n Dr n n 0 } è normale e quindi ha una sottosuccessione convergente, ma questo è assurdo perché i differenziali in a n divergono. Quindi per ogni k > 0 esistono z k in D e n k tali che z k < 1/k e f nk (z k ) U. Allora p k = f nk (0) e q k = f nk (z k ) convergono a due punti p e q in Y distinti, ma d Y (p k, q k ) d D (0, z k ) 0. Thm 4.6 Sia Y iperolicamente immerso in X. Se Y è localmente iperolico completo, allora Y è iperolico completo. 23

4 Dim: Omessa Cor 4.7 Se Z è un divisore di Cartier in X e Y = X \ Z è iperolicamente immerso, allora è iperolico completo. Dim: Ovvia applicazione del precedente teorema. Esempi C \ {0, 1} è iperolicamente immerso in CP 1. In generale, se Y è iperolico e X \ Y è costituito di punti isolati, Y è iperolicamente immerso in X, in quanto se X \ Y = {p 1,..., p k,...}, allora esistono palle U 1,..., U k,... di X attorno ai p i e con chiusure disgiunte. Dunque, U i Y sono aperti relativamente compatti di Y con chiusure disgiunte e dunque a distanze positive l uno dall altro. Y = CP 2 \ 4 i=0 l i, con la notazione dell ultima lezione, è iperolico, ma non è iperolicamente immerso in CP 2. Infatti, consideriamolo immerso in C 2 tramite la carta che ha l 2 come retta all infinito. Allora Y è il complementare di 4 rette, 3 concorrenti in un punto P e due (l 4 e l 3 parallele; sia l una retta per P e sia Q = l l 3. Ovviamente, se l ruota attorno a P verso l 4, la distanza euclidea tra P e Q tende all infinito. Scegliamo due punti A e B su l diametralmente opposti rispetto a P, con AB = k fissato; possiamo fare in modo che, mentre l ruota verso l 4, i punti A e B tendano a due punti su l 4. Ora, consideriamo una mappa f : D l \ {P } che mandi il disco nel disco di centro P e raggio P Q; allora d Y (A, B) d D (f 1 (A), f 1 (B)) 0 man mano che l ruota verso l 4. Scriviamo esplicitamente la situazione descritta: siano l 0 = {y = 0}, l 1 = {x = y}, l 3 = {x = 1}, l 4 = {x = 0}, dunque P = (0, 0) e l = {ax = y}; allora Q = (1, a/) e P Q = (1 + a 2 / 2 ) 1/2. Se 0, l ruota verso l 4. Sia k = 1/2, allora possiamo prendere A = (t, at/) e B = ( t, at/) con t = (1 + a 2 / 2 ) 1/2 /2; per 0, si ha A = (0, 1/2), B = (0, 1/2). Definiamo la mappa f : D C 2 data da f (z) = (z, az/), allora z 1 = f 1 (A) = (1 + a 2 / 2 ) 1/2 /2 e z 2 = f 1 (B) = (1 + a 2 / 2 ) 1/2 /2 e dunque d D (z 1, z 2 ) = log a = log 2 a a a (2 a2 + = log 2 + ) 2 4a se 0. Ora, osserviamo che possiamo scrivere g : D a/ Y come g (z) = (z/a, z); allora, fissato un disco D t, la famiglia {f Dt per a/ > t} è normale e converge a f t : D t {x = 0} su D t. Quindi le f t si incollano in una f : C {x = 0}, f(z) = (0, z) Aiamo che le mappe z g (e z /) che mappano D log(a/) in l Y convergono alla mappa z f(e z ) che porta C in l 4 \ {P }. Anche alla luce dell esempio precedente, diciamo che una mappa h : C X è una linea complessa limite da Y X se è una linea complessa e per ogni D R C, h DR è limite di mappe da D R in Y. Ovviamente si ha che h(c) Y. Thm 4.8 Sia Y X. Se Y non è iperolicamente immerso, esiste h : C X linea complessa limite da Y. 24

5 Dim: Se Y è iperolicamente immerso, esiste a > 0 tale che ah F Y con h una metrica hermitiana su X; dunque, supponendo che non esista un tale a, possiamo ripetere la dimostrazione del teorema di Brody. Poiché Y è compatto in X, la convergenza non sarà in Y ma in Y e dunque la linea complessa sarà in X limite da Y. Ovviamente, vale anche il viceversa. Aiamo inoltre il seguente risultato. Prp 4.9 Sia (X, H) una varietà complessa hermitiana e sia Y un sottoinsieme relativamente compatto. Data una successione {U n } di aperti relativamente compatti tali che U n = Y e non iperolicamente immersi, possiamo trovare una linea complessa h : C X con f(c) Y. Dim: Ovviamente aiamo una mappa h n : C X che è una linea complessa limite da U n. Allora h nh C n dzdz con C n > 0; componendo h n con una trasformazione affine, possiamo assumere che C n = 1 con uguaglianza per z = 0. Per Ascoli-Arzelà, {h n } ha un limite h e ovviamente h(c) h n (C) Y. Cor 4.10 Sia Y un sottospazio compatto di X, allora se Y è iperolico, ha un intorno relativamente compatto U iperolicamente immerso in X. Dim: Segue ovviamente dalla proposizione precedente. Thm 4.11 Sia X uno spazio complesso e sia Z = Z i un divisore di Cartier, dove ogni Z i è irriduciile. Supponiamo che una successione {h m } Hol(D, X \ Z) converga a h Hol(D, X). Allora h(d) è contenuto in X \ Z o in Z. Più precisamente, h(d) è contenuto in X \ Z o in i I Z i \ j J Z j dove I = {i : h(0) Z i } e J = {j : h(0) Z j }. Dim: Supponiamo che h(0) Z. Sia V un intorno di h(0) in X tale che V Z = {f = 0} = {f 1... f k = 0} dove f i = 0 definisce Z i. Allora, se i è tale che f i (h(0)) = 0, la funzione f i h ha uno zero, ma le funzioni f i h m non ne hanno, quindi per Hurwitz f i h deve essere costantemente nulla. Dunque h(d) Z i. Da ciò segue la tesi. Dal precedente teorema possiamo ricavare il seguente risultato di Green e Howard. Thm 4.12 Sia (X, H) una varietà complessa hermitiana compatta e sia Z un divisore di Cartier. Allora Y = X \ Z è iperolico completo e iperolicamente immerso in X se i. non ci sono linee complesse in Y ii. non ci sono linee complesse in Z. Dim: Supponiamo che Y non sia iperolicamente immerso in X. Allora c è una linea complessa limite da Y, h : C X. Allora, per il risultato precedente, h(c) è contenuto in Y oppure in Z, ma questo è impossiile. Dunque Y è iperolicamente immerso e quindi iperolico completo. E chiaro, dal risultato utilizzato per dimostrare l ultimo teorema, che la seconda condizione può essere rafforzata come segue: per ogni partizione I J = {1,..., m}, con Z = Z 1... Z m, non ci sono linee complesse in i I Z i \ j J Z j. Tornando all esempio del complementare di 5 rette in CP 2, si può notare che l 4 \ 3 i=0 l i = C, che non è Brody-iperolico. 25