Istituzioni di Matematiche, Sistemi lineari. corso di laurea in Scienze Geologiche. Mauro Costantini

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1 Istituzioni di Matematiche, Sistemi lineari corso di laurea in Scienze Geologiche. Mauro Costantini 1

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3 3 Il nostro obiettivo è studiare sistemi lineari di m equazioni in n incognite x 1,..., x n : a 11 x a 1n x n = b 1 (1.... a m1 x a mn x n = b m All uopo introduciamo un opportuno formalismo. Una matrice di m righe ed n colonne è una tabella a 11 a 1n A =... a m1 a mn L elemento a ij è nel posto (i, j. Esempio 1.1. A = è una matrice 2 4. Si scrive A M 2 4 (R. # ( 3 π e 1/ Nel caso in cui m = n, allora si parla di matrici quadrate di ordine m. Esempio 1.2. A = è una matrice 3 3. Si scrive A M 3 (R. # ( 3 π e /5 Possiamo parlare di vettori colonna e vettori riga. ( 3 Esempio 1.3. a = 23 è una matrice 3 1. Si scrive a M 3 1 (R, ed è un vettore colonna. # 0 Esempio 1.4. a = (3, π, e, 18, 2 è una matrice 1 5. Si scrive A M 1 5 (R, ed è un vettore riga (ho introdotto virgole per chiarezza. # Matrici della stessa forma si possono sommare (sommo le entrate che si trovano nello stesso posto e si può moltiplicare una matrice per uno scalare (moltiplico ogni entrata per questo scalare. Esempio 1.5. A =, B = sono matrici 2 3. Allora ( ( A + B = ( Esempio 1.6. A = ( è una matrice 2 3. Allora 4A = ( # # In alcuni casi si possono moltiplicare tra loro due matrici (moltiplicazione righe per colonne. Questo prodotto si può fare solo quando il numero di colonne della prima matrice coincide con il numero di righe della seconda matrice.

4 4 Esempio 1.7. A = ( ( M 2 3, B = 2 M 3 1. Allora 1 AB = ( = ( M 2 3 (R ( 5 Esempio 1.8. A = (1, 2, 3 M 1 3, B = 0 M 3 1. Allora 1 # AB = ( = (8 M 1 (R A volte, per comodità, si confonde una matrice 1 1 con l elemento da cui è costituita. In generale se A M m r (R e B M r n (R, allora AB M m n (R. Consideriamo adesso un particolare sistema 3x1 + 4x 2 = 5 x 1 18x 2 = 2 Introduciamo le matrici ( 3 4 A = 1 18, B = allora Σ si scrive in modo compatto come ( Ax = b, x = ( x1 x 2, b = ( 5 2 coerentemente con la definizione di prodotto tra matrici. La matrice A si chiama la matrice incompleta del sistema, la matrice B si chiama la matrice completa del sistema, e si scrive B = (A b (in generale, se X M m n, Y M m n, allora la scrittura (X Y (la cosiddetta notazione a blocchi indica la matrice m (n + n che si ottiene affiancando alle colonne di X le colonne di Y. La matrice colonna x si chiama la colonna delle incognite, e la colonna b si chiama la colonna dei termini noti. dove In generale il sistema (1 si scrive in modo compatto Ax = b a 11 a 1n x 1 b 1 A =..., x =., b =.. a m1 a mn x n La matrice A M m n (R è la matrice incompleta di Σ, mentre a 11 a 1n b 1 B = (A b =.... M m (n+1 (R a m1 a mn b m b m #

5 5 è la matrice completa. Consideriamo un sistema lineare Ax = b. Indichiamo con S Σ l insieme delle soluzioni di Σ. Vediamo cosa intendiamo per soluzioni di Σ. Se A è in M m n (R e b è in M m 1 (R, una soluzione di Σ è una n-upla (cioè un elemento di R n ξ = (ξ 1,..., ξ n tale che a 11 ξ a 1n ξ n = b 1 (2.... a m1 ξ a mn ξ n = b m (notiamo che (2 si ottiene da (1 semplicemente sostituendo ξ i a x i per i = 1,..., n. Se scriviamo ξ come vettore colonna, in forma compatta si scrive che ξ è soluzione di Ax = b se e solo se Aξ = b. Quindi S Σ = ξ R n Aξ = b}. Ricordo che R 2 = (a 1, a 2 a 1, a 2 R}, R 3 = (a 1, a 2, a 3 a 1, a 2, a 3 R} e in genere R n = (a 1,..., a n a 1,..., a n R}. Esempio 1.9. Consideriamo il sistema x1 + 4x 2 = 17 4x 1 x 2 = 0 Dalla seconda equazione ricavo x 2 = 4x 1 e sostituendo nella prima equazione trovo x x 1 = 17, da cui x 1 = 1. Da questo segue x 2 = 4. Pertanto S Σ è costituito da un solo elemento (oppure un solo punto, ξ = (1, 4, e si scrive S Σ = (1, 4}. # Esempio Consideriamo il sistema x1 + 4x 2 = 17 2x 1 + 8x 2 = 0 Dalla seconda equazione ricavo x 1 = 4x 2 e sostituendo nella prima equazione trovo 0x 2 = 17, che non ha soluzione. Pertanto S Σ non ha soluzioni, e posso scrivere S Σ = (insieme vuoto. Esempio Consideriamo il sistema x1 + 4x 2 = 17 2x 1 + 8x 2 = 34 Dalla prima equazione ricavo x 1 = 17 4x 2 e sostituendo nella seconda equazione trovo 2(17 4x 2 + 8x 2 = 34, cioè 0x 2 = 0. Ovviamente questa equazione è soddisfatta per qualunque valore di x 2, e quindi un modo per descrivere le soluzioni di Σ è il seguente. Pongo x 2 = t, e quindi x 1 = 17 4t. Allora per ogni t R, (17 4t, t è una soluzione di Σ e d altro canto, abbiamo visto che ogni soluzione di Σ è di questo tipo. Si scrive allora S Σ = (17 4t, t t R}

6 6 oppure si dice che S Σ è costituito dalle coppie (x 1, x 2 del tipo x1 = 17 4t x 2 = t al variare di t R. Aggiungo che la mappa R S Σ, t (17 4t, t definisce una biiezione tra R e S Σ. Diciamo allora che S Σ è un varietà lineare di dimensione 1. ATTENZIONE: si potrebbe anche scrivere che S Σ è costituito dalle coppie (x 1, x 2 del tipo x1 = 17 4α 4β x 2 = α + β al variare di α, β R. Tuttavia la mappa R 2 S Σ, (α, β (17 4α 4β, α + β, pur essendo suriettiva, non è iniettiva, e quindi non definisce una biiezione di R 2 su S Σ. È quindi sensato attribuire dimensione 1 ad S Σ. Torniamo adesso al nostro obiettivo di studiare in generale un sistema lineare Ax = b. Utilizzeremo due metodi: il primo fornisce un procedimento costruttivo per determinare esplicitamente S Σ (e quindi, in particolare, si stabilisce solo alla fine se Σ ha o meno soluzioni; l altro metodo ci permette di stabilire se il sistema ha o meno soluzioni e, nel caso ne abbia, stabilire qualitativamente come è fatto S Σ. Definizione 1.1. Due sistemi lineari Σ, Π in n incognite si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni, cioè se S Σ = S Π. Esempio Consideriamo i sistemi lineari x1 + 4x 2 = 17, Σ x1 + 4x 2 = 17 :, Σ x1 = 1 : 4x 1 x 2 = 0 17x 1 = 17 x 2 = 4 Si ha (facilmente S Σ = S Σ = S Σ = (1, 4}, quindi i tre sistemi sono equivalenti. # L idea è di indicare un metodo per costruire un sistema Π equivalente a quello dato Σ, ma che sia più semplice da studiare. 2. Operazioni elementari sulle matrici Definizione 2.1. Due matrici m n A, C si dicono equivalenti (ma sarebbe più corretto dire rigaequivalenti, e si scrive A C se C si ottiene da A dopo un numero finito di operazioni elementari sulle righe. Data una matrice A, le operazioni elementari sulle righe di A sono di tre tipi: (a scambiare tra loro due righe; (b moltiplicare una riga per una costante non nulla; (c sostituire ad una riga R i di A la somma della stessa riga R i e di β volte un altra riga R j di A (le due righe considerate devono essere diverse. Qui β è un qualunque numero. #

7 7 Conviene scrivere A evidenziandone le righe: A = dove R i = (a i1,..., a in, per i = 1,..., m. Allora nel primo caso si scambiano tra loro R i ed R j, con i j, nel secondo caso al posto di R i si mette αr i, con α 0, nel terzo, al posto di R i si mette R i + βr j, con j i e β qualunque Proposizione Siano Ax = b, Π : Cx = d due sistemi lineari di m equazioni in n incognite. R 1 R 2. R m Se le matrici complete dei due sistemi sono equivalenti, cioè se (A b (C d allora Σ e Π hanno le stesse soluzioni, cioè Σ Π. Dim. Basta considerare il caso in cui si passa da Σ a Π (cioè da (A b a (C d mediante una operazione elementare (poi si fa questo procedimento un numero finito di volte. È chiaro che se scambio tra loro due equazioni, l insieme delle soluzioni non cambia, e lo stesso vale se al posto di una equazione ne metto una moltiplicando tutti i coefficienti per una stessa costante non nulla. Infine, ancora l insieme delle soluzioni non cambia se al posto di una equazione metto la stessa sommata a β volte un altra equazione del sistema (diversa dalla precedente. # Siamo ora in grado di indicare il primo metodo per lo studio di un sistema lineare: il cosiddetto metodo di riduzione a scalini di Gauss. Dato il sistema lineare Ax = b, opero con opportune operazioni elementari sulla matrice completa (A b per ottenere alla fine una matrice (C d a scalini, e quindi un sistema equivalente Π : Cx = d facilmente studiabile. Una matrice a scalini è una matrice caratterizzata dal fatto che ogni riga a partire dalla seconda ha un numero di zeri iniziali superiore alla riga precedente (tranne nel caso in cui la riga precedente sia nulla, in qual caso essa stessa è nulla. Le matrici sono a scalini, mentre non sono a scalini , /6 13/ , /6 13/6

8 8 Esempio 2.1. Consideriamo il sistema lineare 2x 1 + 3x 2 x 4 + x 5 = 2 x 1 x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 2 2x 3 x 4 x 5 = 1 x 1 + x 4 2x 5 = 1 Abbiamo quindi la matrice completa (A b = e agendo mediante operazioni elementari otteniamo A := (C d /6 13/6 La matrice (C d è a scalini (e addirittura ha la prima entrata non nulla di ciascuna riga uguale ad 1, e quindi il sistema lineare associato è facilmente risolvibile. Partendo dal basso, l ultima equazione è x x 5 = 13 6 Possiamo allora porre x 5 = t, e ottenere x 4 = t. Passando alla terza equazione si ha x 3 + x 4 x 5 = 2 e quindi x 3 = 2 x 4 + x 5 = 2 ( t + t = t + t = t.

9 9 La seconda equazione è x 2 x 3 2x 5 = 1 da cui segue x 2 = 1 + x 3 + 2x 5 = t + 2t = t. Infine la prima equazione è x 1 + x 4 2x 5 = 1 e quindi x 1 = 1 x 4 + 2x 5 = 1 ( t + 2t = t + 2t = t. L insieme delle soluzioni di Π, che coincide con l insieme delle soluzioni di Σ, si esprime mediante equazioni parametriche nel seguente modo: al variare di t in R. Osservazione 2.2. x 1 = t x 2 = t x 3 = t x 4 = t x 5 = t Nell esempio precedente, in ogni passaggio ho utilizzato una singola operazione elementare (per esercizio identificarla. In generale, si potrà anche utilizzarne più di una. Ad esempio se c è un 1 nel posto (1,1, allora si può subito passare ad una matrice con tutti zeri nella prima colonna sotto il posto (1,1, e così via. # Applicando il metodo di riduzione a scalini, alla fine si ottiene sempre una matrice associata ad un sistema lineare Π semplice da studiare. Alla fine si avrà o S Π =, o S Π = 1 (cioè Σ ha una sola soluzione, oppure sarà evidente che alcune varialibili potranno assumere valori arbitrari (parametri, e le altre saranno espresse in funzione di queste. Non è sempre detto che siano proprio le ultime a poter assumere valori arbitrari. Esempio 2.3. Consideriamo il sistema lineare Σ nelle incognite x 1, x 2, x 3, x 4 x2 = 0 x 4 = 0 La matrice completa è (

10 10 che è già a scalini. Possiamo quindi subito determinare le soluzioni. In questo caso x 1, x 3 sono liberi, quindi S Σ è dato mediante x 1 = α x 2 = 0 x 3 = β x 4 = 0 al variare di α, β in R. In questo caso si dice che S Σ è una varietà lineare di dimensione 2. # In generale se alla fine risultano essere r le incognite che possono assumere arbitrari valori, allora si dice che S Σ è una varietà lineare di dimensione r (per convenzione, se S Σ ha una sola soluzione, allora si dice anche che è una varietà lineare di dimensione 0. Esempio 2.4. Consideriamo il sistema x1 + 4x 2 = 17 4x 1 x 2 = 0 che ha matrice completa ( Riducendo a scalini otteniamo ( ( ( Dalla seconda equazione ricavo x 2 = 4 e sostituendo nella prima equazione trovo x 1 = = 1. Pertanto S Σ = (1, 4}. Consideriamo il sistema x1 + 4x 2 = 17 2x 1 + 8x 2 = 0 che ha matrice completa ( Riducendo a scalini otteniamo ( ( La seconda equazione è 0x 1 + 0x 2 = 34, che non ha soluzione. Pertanto Σ non ha soluzioni. Consideriamo il sistema x1 + 4x 2 = 17 2x 1 + 8x 2 = 34 che ha matrice completa (

11 11 Riducendo a scalini otteniamo ( ( (la seconda equazione è 0x 1 + 0x 2 = 0 che è sempre vera L incognita x 2 può assumere valori arbitrari. Poniamo allora x 2 = t e dalla prima equazione otteniamo x 1 = 17 4t. L insieme delle soluzioni è una varietà lineare di dimensione 1 (è una retta: x1 = 17 4t x 2 = t al variare di t in R. # Nota storica. Nel 1809 Gauss introdusse il suo metodo di eliminazione per risolvere sistemi di equazioni lineari. In realtà il metodo di eliminazione di Gauss appare già nel Capitolo 8 del classico cinese I nove capitoli dell arte matematica, del secondo secolo, dinastia Han. Questo è anche il primo posto in letteratura in cui appaiono i numeri negativi. Con ciò abbiamo concluso relativamente al primo metodo di studio di un sistema lineare. Applicare questo metodo può diventare laborioso nel caso in cui il sistema contenga uno o più parametri, oppure nei casi in cui risulti sufficiente sapere se il sistema abbia o meno soluzioni (e nel caso in cui ve ne siano, stabilire la dimensione della varietà delle soluzioni, senza dover necessariamente esibire le soluzioni. Esempio 2.5. Sia kx 1 + x 2 + 3x 3 = 2 Σ k : (k 1x 1 + 2x 3 = k al variare di k R. Qui ci troviamo di fronte ad una famiglia di sistemi lineari, parametrizzata dal parametro k. Vorremmo studiare Σ k per ogni k R. La matrice completa è ( k k k Per ridurre a scalini, dobbiamo individuare una riga da far diventare la prima riga, in modo poi da rendere nulla l entrata (2,1. Tuttavia sia k sia k 1 possono assumere il valore 0, e quindi per cominciare dobbiamo ad esempio supporre k 0. Solo adesso possiamo dividere la prima riga per k ed ottenere la matrice equivalente ( 1 1/k 3/k 2/k k k Adesso al posto della seconda riga metto la seconda meno (k 1 volte la prima (operazione sempre lecita e ottengo ( 1 1 k 0 k 1 k 3 k k+3 k 2 k k 2 2k+2 k Per andare avanti è necessario distinguere il caso in cui k 1 = 0. Se k 1, allora posso dividere la seconda equazione per k 1 k e ottenere ( 1 1 k 3 k 0 1 k+3 k 1 2 k k2 2k+2 k 1

12 12 che è in forma a scalini. Possiamo porre x 3 = t e ottenere prima x 2 e poi x 1 : x 1 = k k 1 2 k 1 t x 2 = k2 +2k 2 k 1 x 3 = t k 3 k 1 t al variare di t R. Bisogna però poi studiare a parte i casi lasciati fuori dalla discussione, cioè i casi in cui k = 0 oppure k = 1. Per k = 0 abbiamo che ha matrice completa Possiamo porre x 3 = t ed ottenere al variare di t R. Infine per k = 1 abbiamo che ha matrice completa x 2 + 3x 3 = 2 Σ 0 : x 1 + 2x 3 = 0 ( x 1 = 2t x 2 = 2 3t x 3 = t ( x1 + x 2 + 3x 3 = 2 Σ 1 : 2x 3 = 1 ( ( Ne consegue che x 3 = 1 2, e possiamo porre x 2 = t ed ottenere al variare di t R. Siamo perciò riusciti a determinare S Σk x 1 = 1 2 t x 2 = t x 3 = 1 2 per ogni k R. Riassumendo, possiamo dire che per ogni k R, S Σk è una varietà lineare di dimensione 1. # Esempio 2.6. Il sistema lineare Σ k si matrice completa B k = (A k b k = ( k k k 2 k k 1 k ha per soluzioni una varietà lineare di dimensione 1 se k 0. Invece per k = 0 non ci sono soluzioni (verificarlo. #

13 Per enunciare il secondo metodo per lo studio di un sistema, abbiamo bisogno della nozione di rango di una matrice. Cominciamo dando la definizione del rango per una matrice a scalini. Definizione 2.3. Il rango di una matrice a scalini A è il numero di righe non nulle di A (cioè non costituite da tutti zeri. # Ad esempio ha rango 4, mentre ha rango /6 13/ Possiamo a questo punto dare la definizione del rango di una qualunque matrice A M m n (R. Sappiamo che A è equivalente ad una matrice a scalini C. Poniamo allora per definizione rk A = rk C, in quanto già abbiamo definito precedentemente rk C (il rango di C. Osservazione 2.7. Le matrici a scalini equivalenti ad A possono essere varie. Tuttavia, se C e D sono matrici a scalini equivalenti ad A, si dimostra che rk C = rk D, e quindi il rk A è ben definito. # Osservazione 2.8. Sia A M m n (R, r = rk A. Allora si dimostra che r minm, n}. Inoltre se A è una matrice che si ottiene da A eliminando un certo numero di righe ed un certo numero di colonne di A, allora si ha rk A rk A. # Osservazione 2.9. Se A e B sono matrici equivalenti, allora hanno lo stesso rango. # Diamo adesso un metodo che ci permette di calcolare il rango di una matrice senza doverla ridurre a scalini. Dobbiamo prima introdurre il determinante. Il determinante si definisce solo per le matrici quadrate. Si può definire il determinante per matrici quadrate di ogni ordine. Noi ci limitiamo alle matrici di ordine 1, 2 e 3. Poniamo det : M 1 (R R, (a a det : M 2 (R R, ( a b ad bc c d 13 det : M 3 (R R, ( a11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 32 a 21 a 11 a 21 a 12 a 22 a 13 a 31 a 33 a 12 a 21 (attenzione ai segni.

14 14 Una matrice quadrata A di ordine n con det A 0 si dice non-singolare o invertibile. Avendo introdotto la nozione di determinante, possiamo adesso dare un metodo alternativo per calcolare il rango di una matrice. Sia A M m n (R. Considero tutte le sottomatrici quadrate di ordine 1, 2,..., minm, n} che si ottengono da A cancellando un certo numero di righe e di colonne. Se trovo una sottomatrice quadrata di ordine k con determinante diverso da 0, allora dico che rk A k (il rango di A è maggiore o uguale a k. A questo punto procedo, e calcolo il determinante delle sottomatrici di ordine k + 1. Se ne trovo almeno uno diverso da zero dico che rk A k + 1 e procedo. Se invece tutte le sottomatrici quadrate di ordine k + 1 hanno determinante nullo, allora mi fermo e dico che rk A = k. In particolare il rango di una matrice è sempre minore o uguale del minimo tra m ed n (cioè rk A minm, n}. Si parte ovviamente dalle sottomatrici di ordine 1, poi si considerano quelle di ordine 2 e si procede. È utile dare un nome ai determinanti delle sottomatrici quadrate di ordine k: si chiamano i minori di ordine k. Esempio Sia A = ( La sottomatrice (1 di ordine 1 ha determinante 1 che è diverso da zero, ( quindi rk A 1. Considero 1 5 le sottomatrici quadrate di ordine 2. Ce ne sono tre (quali? e si ha det = 6 15 = Quindi rk A = 2. # Esempio Una matrice ha rango 0 se e solo se tutte le sue entrate sono nulle (una tale matrice si chiama matrice nulla. # Per calcolare il determinante di una matrice quadrata, invece di utilizzare la definizione, di solito si usa la formula o sviluppo di Laplace per righe o per colonne. Vediamo un esempio. Il caso che ci interessa è quello delle matrici quadrate di ordine 3. Dalla definizione di determinante, raccogliendo in modo opportuno, si ottiene: det A = a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 a 21 (a 12 a 33 a 13 a 32 + a 31 (a 12 a 23 a 13 a 22 ( ( ( a22 a = a 11 det 23 a12 a a a 32 a 21 det 13 a12 a + a 33 a 32 a 31 det a 22 a 23 Questo è lo sviluppo secondo la prima colonna. Per ricordarlo, per ogni entrata a ij, si costruisce la sottomatrice quadrata A ij cancellando la riga i e la colonna j di A, e si calcola det A ij. Nella espressione per det A c è una somma di addendi del tipo a ij det A ij, ma compaiono dei segni. Il segno da considerare è sempre ( 1 i+j. Lo sviluppo precedente si scrive quindi come det A = a 11 det A 11 a 21 det A 21 + a 31 det A 31

15 15 Quanto fatto per la prima colonna si può fare per le altre colonne e per le righe. La scelta andrà fatta cercando la riga o la colonna in cui sono presenti il maggior numero di zeri: infatti se a ij = 0, non è necessario andare a calcolare det A ij. In generale det A = det A = 3 ( 1 i+j a ij det A ij i=1 3 ( 1 i+j a ij det A ij j=1 sviluppo secondo la j-sima colonna sviluppo secondo la i-sima riga e quindi det A = a 11 det A 11 a 21 det A 21 + a 31 det A 31 prima colonna det A = a 12 det A 12 + a 22 det A 22 a 32 det A 32 seconda colonna det A = a 13 det A 13 a 23 det A 23 + a 33 det A 33 terza colonna det A = a 11 det A 11 a 12 det A 12 + a 13 det A 13 prima riga det A = a 21 det A 21 + a 22 det A 22 a 23 det A 23 seconda riga det A = a 31 det A 31 a 32 det A 32 + a 33 det A 33 terza riga Esempio Calcolare il rango di A k = 1 + k 2 1 k k k 1 + k 1 al variare di k R. La sottomatrice( quadrata (2 di ordine 1 ha determinante 2 0 (indipendentemente da k, quindi 1 + k 2 rk A k 1. Poi det = 4 0, e quindi rk A 2 0 k 2 per ogni k R. Resta infine da calcolare il determinante di tutte le sottomatrici quadrate di ordine 3, e di queste c è solo A k. Sviluppando secondo la terza colonna si trova ( 2 k det A k = 2 det 1 k 1 + k + ( 1 det ( 1 + k 1 k = k 2 + k k Perciò det A k = 0 se e solo se k 2 k 6 = 0, se e solo se k 2, 3}. Pertanto si ha rk A k = 3 per k 2, 3}, e rk A k = 2 per k 2, 3}. # Osservazione Per calcolare il rango di una matrice quadrata A di ordine 3, di solito si comincia calcolando det A. Se det A 0, allora rk A = 3. Se invece det A = 0, allora sicuramnete rk A 2, e occorre calcolare i minori di ordine 2. Se almeno uno è diverso da zero, allora il rango è due. Se invece tutti i minori di ordine 2 sono nulli, allora rk A 1, e sarà rk A = 1 a meno che tutte le entrate di A non siano nulle. #

16 16 Esempio Calcolare il rango di B k = 1 + k 1 k k k 1 + k 1 0 al variare di k R. ( La matrice B k è uguale a (A k b k dove A k è la matrice dell esempio precedente, e b k è la colonna. Sappiamo già che rk B k min3, 4} = 3. Dalla definizione di rango è chiaro che rk A k rk B k. Siamo perciò già in grado di determinare il rango di B k in alcuni casi. Più precisamente, nei casi in cui rk A k = 3 (rango massimo per A k, si ha 3 = rk A k rk B k 3 e quindi tutti i segni devono valere come =. In particolare, poiché sappiamo che per k 2, 3 si ha rk A k = 3, deduciamo subito che per k 2, 3 si ha rk B k = 3. Restano da studiare i casi k = 2 e k = 3. In questi casi sappiamo che rk A k = 2 e quindi sarà 2 rk B k 3, ma non possiamo stabilire a priori se sia 2 o 3. Sia k = 2. Allora B 2 = Questa matrice ha rango tre se e solo se almeno un minore di ordine 3 è non nullo. Le sottomatrici quadrate di ordine 3 sono 4, e già sappiamo che il determinante di una di queste, A 2, è zero. Si tratta di calcolare il determinante delle altre tre (che si ottngono cancellando rispettivamente la prima, la seconda e la terza colonna di B 2. Calcolando questi determinanti (farlo si trova sempre zero. Quindi rk B 2 = 2. In alternativa, possiamo ridurre B 2 in forma a scalini: Quindi rk B 2 = 2. Sia k = 3. Allora B B 3 = Cominciamo a calcolare i minori di ordine 3. La sottomatrice

17 17 ha determinante, sviluppando secondo la seconda colonna, quindi rk B 3 = 3. 2 det ( ( ( 1 det = 20 0, In alternativa, possiamo ridurre B 3 in forma a scalini: Quindi rk B 3 = 3 (mentre rk A 3 = 2. Osservazione B In generale, per calcolare il calcolo il rango di una matrice si possono anche mescolare i metodi: per calcolare ad esempio il rango di A, si può passare ad una matrice B equivalente ad A (non necessariamente a scalini, e poi calcolare il rango di B (che coincide con quello di A mediante il metodo dei minori. In genere se si riesce ad ottenere una matrice B con molti zeri, allora il calcolo di rk B è più agevole. # Possiamo adesso enunciare il teorema di Rouché-Capelli che ci dà informazioni sull esistenza o meno di soluzioni di un sistema lineare e, nel caso in cui vi siano soluzioni, ci dice la dimensione della varietà delle soluzioni Teorema A (Rouché-Capelli Sia Ax = b un sistema lineare in n incognite con m equazioni. Allora Σ ha soluzioni se e solo se rk A = rk(a b cioè se e solo se il rango della matrice incompleta ed il rango della matrice completa di Σ sono uguali.# Supponiamo adesso di essere nel caso in cui Σ ha soluzioni, cioè rk A = rk(a b. Allora 2.5. Teorema B (Rouché-Capelli Sia Ax = b un sistema linare in n incognite con m equazioni (cioè A M m n (R, e supponiamo che si abbia rk A = rk(a b. Poniamo r = rk A = rk(a b. Allora se r = n, Σ ha una sola soluzione. Se invece r < n, allora S Σ è una varietà lineare di dimensione n r. # Possiamo più esplicitamente dire che se r < n (sempre nel caso in cui rk A = rk(a b, allora possiamo individuare n r incognite che possono assumere valori arbitrari e quindi da considerare parametri: le altre r incognite poi si scriveranno come funzioni di questi n r parametri (vedi i vari esempi di soluzioni con il metodo di riduzione a scalini (alcune volte invece di dire che S Σ è una varietà lineare di dimensione n r, si scrive che Σ ha n r soluzioni, ma non useremo questa notazione. In particolare, se rk A = rk(a b = r ed r < n, allora Σ ha infinite soluzioni.

18 Corollario Sia Ax = b un sistema lineare in n incognite ed n equazioni, cioè con A M n (R. Allora Σ ha una sola soluzione se e solo se det A 0. Dim. Supponiamo det A 0. Allora da n = rk A rk(a b minn, n + 1} = n segue che n = rk A rk(a b. Quindi Σ ha soluzioni per il Teorema A, e la soluzione è unica per il teorema B. Viceversa, supponiamo che Σ abbia una sola soluzione. Per il fatto che Σ ha soluzione dobbiamo avere rk A = rk(a b, e sia r questo numero. Se r < n allora per il teorema B ci sono infinite soluzioni. Deve quindi essere r = n, ma questo vuol dire det A 0. # Osservazione I sistemi lineari Ax = b con A M n (R invertibile si chiamano sistemi di Cramer. C è un modo per calcolare direttamente l unica soluzione di Σ. # Definizione 2.7. Un sistema lineare Ax = b si dice omogeneo se b = 0 (cioè se b 1 = b 2 = = b m = 0. # È chiaro che un sistema omogeneo ha sempre almeno una soluzione: ξ = (0,..., 0 (vuol dire ξ 1 = ξ 2 = = ξ n = 0, come del resto è chiaro che rk A = rk(a b. Sia r = rk A = rk(a b. Allora Σ ha solo la soluzione nulla (cioè ξ = (0,..., 0 se e solo se r = n. Se invece r < n, allora la varietà delle soluzioni (che in questo caso di solito si chiama lo spazio delle soluzioni ha dimensione n r. Esempio Consideriamo la famiglia di sistemi lineari omogenei di matrice incompleta A α = α α Vuol dire Σ α : A α x = 0. Studiamo Σ α in due modi. Sviluppando secondo la terza riga si ottiene det A α = 4α 16. Quindi rk A α = 3 se α 4. Invece, se α = 4, si ha rk A 4 = 2, in quanto det = 1 0. ( Perciò Σ α ha solo la soluzione nulla se α 4. Invece per α = 4, S Σ4 è uno spazio di dimensione 1. Utilizziamo adesso invece il metodo di riduzione a scalini. Si ha A α α α α 5. α α α Se α 4, allora dalla terza equazione otteniamo x 3 = 0, e poi dalla seconda x 2 = 0 ed infine dalla prima x 1 = 0. Ritroviamo quindi la conclusione che per α 4 il sistema ha solo la soluzione nulla. Per α = 4 si ha invece x1 + 5x 3 = 0 x 2 + 7x 3 = 0 e quindi S 4 si parametrizza ponendo ad esempio x 3 = t: x 1 = 5t x 2 = 7t x 3 = t al variare di t R. #

19 Esempio degli esempi 2.12, Studiamo il sistema lineare Σ k : A k x = b k, dove A k e B k = (A k b k sono le matrici (i Determinare come è fatto S k, l insieme delle soluzioni di Σ k, al variare di k in R. (ii Nei casi in cui S k è una varietà di dimensione maggiore o uguale a 1, determinare equazioni parametriche di S k. Soluzione. (i Abbiamo visto che rk A k = 3 se k 2, 3}, rk A k = 2 se k 2, 3}, rk B k = 3 se k 2}, e che rk B k = 2 se k = 2. Quindi S k è non vuoto se e solo se rk A k = rk B k cioè se e solo se k 3. Poi, per k 2, 3} si ha rk A k = rk B k = 3 e quindi S k è costituito da un solo punto, mentre per k = 2, si ha rk A 2 = rk B 2 = 2 e quindi S 2 è una varietà di dimensione 1. Invece per k = 3, S 3 è vuoto. (ii Si tratta di dare equazioni parametriche di S 2. Nell esempio 2.11 abbiamo visto che B Possiamo porre x 3 = t, e quindi ottenere dalla seconda equazione x 2 = 1 1 2t, e quindi dalla prima x 1 = t. Perciò x 1 = t x 2 = t x 3 = t al variare di t R. # Osservazione Facciamo notare che se A, B sono rispettivamente la matrice incompleta e completa di un sistema lineare, e se D è una matrice a scalini (riga- equivalente a B, allora la matrice C costituita dalle prime 3 colonne di D è a scalini ed è equivalente ad A. Quindi riducendo B a scalini, possiamo calcolare subito sia il rango della completa, sia il rango della incompleta. # 19 Esempio Dimostrare che x y + z = 9 2x + 3y z = 23 4x + 4y 3z = 1 ha una sola soluzione. Soluzione. Si tratta di verificare che il determinante della matrice incompleta A è diverso da 0. Sviluppando ad esempio secondo la prima colonna si trova det A = 11 0, e abbiamo concluso. # Consideriamo il sistema lineare omogeneo a1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0 b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 = 0

20 20 Supponiamo che rk A = ( a1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = 2, cioè almeno uno dei minori 2 2 sia non nullo. Allora l insieme delle soluzioni S di Σ è uno spazio di dimensione 1. Un modo comodo per ottenere equazioni parametriche di S è il seguente. Consideriamo i minori 2 2 con segno di A. I tre minori in questione sono A 1 = a 2 b 3 a 3 b 2, A 2 = a 1 b 3 a 3 b 1, A 3 = a 1 b 2 a 2 b 1, e poniamo Allora cioè S ha equazioni parametriche al variare di t R. v = (A 1, A 2, A 3. S = tv t R} x 1 = (a 2 b 3 a 3 b 2 t x 2 = (a 1 b 3 a 3 b 1 t x 3 = (a 1 b 2 a 2 b 1 t Esempio Sia 2x + 3y = 0 x + y + z = 0 Abbiamo allora ( A = ( 3 0 che ha rango 2, in quanto det 1 1 = 3 0. Allora u = (A 1, A 2, A 3 = (3, 2, 1 è una soluzione non nulla di Σ ed S = (3t, 2t, t t R}. Sistemi di Cramer in due incognite. Diamo qui le formule per ottenere la soluzione di un sistema di Cramer in due incognite. Sia ax + by = c a x + b y = c dove ab a b 0. Sappiamo allora che Σ ha una sola soluzione (x, y. Si ha ( ( c b a c det c b det a c x = (, y = ( a b a b det a b det a b cioè x = cb bc ab ba, y = ac a c ab a b Una formula analoga vale per sistemi di tre equazioni in tre incognite con matrice incompleta invertibile: se A = (α 1, α 2, α 3, dove α 1, α 2, α 3 sone le colonne di A, allora la soluzione di Ax = b è (x 1, x 2, x 3, dove x 1 = det(b, α 2, α 3 det A, x 2 = det(α 1, b, α 3 det A, x 3 = det(α 1, α 2, b det A

21 Esempio Sia 2x + y = 7 x 2y = 12 ( 2 1 Allora A = 1 2 ha det A = 5 0. Abbiamo quindi un sistema di Cramer, la cui soluzione è (x, y dove ( ( det 12 2 x = = 26 det 1 12, y = = 17 det A 5 det A 5 Esempio Sia 2x + y = 7 x 2y = 12 x + y 3z = 0 ( Allora A = ha det A = 15 0 (sviluppare secondo la terza colonna. Abbiamo quindi un sistema di Cramer, la cui soluzione è (x, y, z dove x = ( det = 26 det A 5, y = ( det det A = 17 5 ( det , z = = 3 det A 5 21 # # Esempio Si consideri la famiglia di sistemi lineari (k 2x + 2y = 2 Σ k : ky + (k 1z = 1 (k + 2x 2y + z = 1 al variare di k R. Indichiamo con S k l insieme delle soluzioni di Σ k. (a Per quali valori di k, S k è costituito da un punto? (b Per quali valori di k, S k è vuoto? (c Per quali valori di k, S k è una varietà lineare di dimensione 1? (d Per i valori di k di cui al punto (c, esibire equazioni parametriche di S k. Soluzione. (a, (b, (c. Abbiamo Σ k : A k x = b k dove A k = k k k 1, B k = k k k 1 1. k k Si ha det A k = k(5k 6 (sviluppare secondo la prima riga. Quindi per k 0, 6/5 si ha det A k 0 e quindi rk A k = 3, da cui segue rk B k = 3 in quanto vale sempre rk A k rk B k 3 (in quanto il minimo

22 22 tra 3 e 4 è 3. Pertanto rk A k = rk B k e il sistema ha soluzione, e c è una sola soluzione (il rango della completa è uguale al rango della incompleta e sono entrambi uguali al numero di incognite Nei casi k = 0, 6/5 si ha rk A k = 2 poichè esiste almeno un minore di ordine 2 non nullo: det Sia ora k = 0. La matrice completa del sistema diventa B 0 = Vista la forma di B 0, si può agire con operazioni elementari ed ottenere B = D ( = Quindi B 0 ha rango 2 (e ritroviamo anche il fatto che rk A 0 = 2. Concludiamo che rk A 0 = rk B 0 = 2, e quindi S 0 è una varietà lineare di dimensione 3 2 = 1 (in alternativa, calcolare i quattro minori di ordine 3 di B 0, e verificare che sono tutti nulli, uno già è stato calcolato, det A 0 = 0. Sia ora k = 6/5. La matrice completa del sistema diventa B 6/5 = 4/ /5 1/ / Si può agire con operazioni elementari ed ottenere B 6/5 4/ /5 1/5 1 4/ /5 1/ Concludiamo che rk A 6/5 = 2 3 = rk B 6/5, e quindi il sistema non ha soluzione, cioè S 6/5 =. ( In alternativa, poichè det 6/5 1/5 1 = 24/5 0, si ha rk A 6/5 = 2 3 = rk B 6/5 : in questo caso il sistema non ha soluzione, cioè S 6/5 =. (d. Bisogna trovare equazioni parametriche di S 0. Abbiamo già visto che B D. Dalle equazioni corrispondenti a D: 2x + 2y = 2 z = 1 segue che possiamo porre y = t (ATTENZIONE: non si può invece considerare z come parametro, in quanto z = 1 e ottenere x = t 1. Quindi S 0 ha equazioni parametriche x = t 1 y = t. z = 1 al variare di t R. #

23 23 Osservazione Consideriamo il sistema lineare a1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = c b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 = d ( a1 a 2 a 3 Supponiamo che rk A = rk b 1 b 2 b 3 = 2, cioè almeno uno dei minori 2 2 di A sia non nullo. Allora ( rk A = rk A c d = 2, e l insieme delle soluzioni S di Σ è una varietà lineare di dimensione 1 (una retta. Possiamo quindi scegliere una variabile come parametro α da far variare liberamente in R, e poi esprimere le altre due variabili come funzioni di α. Se possiamo porre x 3 = α. Se possiamo porre x 2 = α. Se ( a1 a det 2 0 b 1 b 2 ( a1 a det 3 0 b 1 b 3 ( a2 a det 3 0 b 2 b 3 possiamo porre x 1 = α. # Esempio Torniamo all esempio 2.5. Avevamo kx 1 + x 2 + 3x 3 = 2 Σ k : (k 1x 1 + 2x 3 = k al variare di k R. La matrice completa è B k = (A k b k = ( k k k Nell esempio 2.5 abbiamo cercato di rudurre B k a scalini, ma per far ciò abbiamo dovuto imporre certe condizioni su k e poi studiare a parte alcuni casi. Qui utilizziamo il metodo dei minori. Osserviamo che det ( 1 3 = e quindi rk A k 2 per ogni k R. D altro canto è sempre rk A k 2 in quanto 2 è il minimo tra 2 e 3, e quindi rk A k = 2 per ogni k R. Ma poich e abbiamo 2 = rk A k rk B k 2, segue che si ha sempre rk A k = rk B k = 2. Quindi il sistema ha sempre soluzioni e l insieme delle soluzioni è una varietà lineare di dimensione 1. Poichè abbiamo individuato un minore di ordine 2 non nullo indipendentemente da k, possiamo esibire direttamente le soluzioni. Il minore esibito è relativo alla seconda e terza colonna di A k, quindi possiamo considerare x 1 come parametro. Poniamo allora x 1 = t, e calcoliamo x 2 e x 3 in funzione

24 24 di t. Dalla seconda equazione otteniamo 2x 3 = k (k 1t e quindi x 3 = k 2 k 1 2 t. Infine dalla prima equazione otteniamo x 2 = 2 kx 1 3x 3 = 2 kt 3( k 2 k 1 2 t = 2 3 k 1 2k +3 2 t kt = k kt 3 2 t. Quindi S k ha equazioni parametriche x 1 = t x 2 = k (k 3t x 3 = 1 2 k 1 2 (k 1t al variare di t R. # Esempio Nello spazio si consideri la varietà lineare S k costituita dall insieme delle soluzioni del sistema lineare ky + (k 1z = 1 Σ k : (k + 2x 2y + z = 1 al variare di k R. Descrivere S k. Soluzione. Facciamo una premessa. Indico con σ k l insieme delle soluzioni di ky + (k 1z = 1 e con τ k l insieme delle soluzioni di (k + 2x 2y + z = 1. Dico che σ k e τ k sono piani (comunque questa osservazione non è necessaria per descrivere S k, ma fa capire la situazione geometrica. Basta osservare che rk(0, k, k 1 = 1, in quanto non esistono valori di k per cui k e k 1 sono contemporaneamente nulli, e analogamente rk(k + 2, 2, 1 = 1. Pertanto S k è l intersezione dei due piani σ k e τ k. Perciò S k sarà una retta, oppure vuoto (se i due piani sono paralleli non coincidenti oppure un piano se i due piani sono coincidenti. Per continuare studiamo i minori di ordine 2 della matrice incompleta A k : ( ( 0 k 0 k 1 det = k(k + 2, det = (k 1(k + 2, k k ( k k 1 det = 3k Non esiste alcun valore di k per cui i tre minori sono contemporaneamente nulli: pertanto si ha sempre rk A k = 2, da cui segue che S k è sempre una retta. Se vogliamo dare equazioni parametriche di S k, converrà considerare prima il caso k 2 3. In questo caso il minore relativo alla seconda e terza colonna è non nullo e quindi possiamo porre x 1 = t. Si ottiene x 1 = t x 2 = k 2 t al variare di t R. Per k = 2 3 nullo. Poniamo allora x 3 = t e otteniamo: 3k 2 + k2 +k 2 3k 2 x 3 = k+2 3k 2 k2 +2k 3k 2 t consideriamo il minore corrispondente alle prime due colonne (che è non al variare di t R. x 1 = 3 2 x 2 = t = t x 3 #