INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Strutture realizzative di una FdT

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1 IGEGERIA E TECOLOGIE DEI SISTEMI DI COTROLLO Strutture relitive di un FdT Prof. Crlo Rossi DEIS - Università di Bologn Tel: emil: crossi@deis.unio.it Introduione Un sistem tempo discreto LSI è completmente specificto dll su rispost ll impulso o equivlentemente dll su FdT (Z-trsformt dell rispost ll impulso) Per reliione di un FdT intendimo un lgoritmo che pplicto ll sequen di ingresso produce l sequen di uscit Esistono infinite reliioni, tutte idelmente equivlenti Qundo l lgoritmo viene implementto su un processore digitle, esistono nche ltri criteri d considerre occupione di memori tempo di esecuione sensiilità ll quntiione di coefficienti e vriili D questo punto di vist, le differenti reliioni non sono più equivlenti Rppresentione trmite schem locchi Le differenti strutture srnno presentte utilindo schemi locchi, che risultno comodi I locchi di se sono x ( n) x 2 ( n) ( n) x 2 x( n) x( n ) Giunione sommnte Moltiplicione per costnte Ritrdo unitrio Ad un rppresentione trmite schemi locchi corrisponde univocmente un equione lle differene ogni elemento di ritrdo richiede un memoriione ogni giunione sommnte richiede un somm ogni gudgno richiede un moltiplicione

2 Sistemi FIR (Finite Impulse Response) Sono i sistemi LSI crtteriti d un rispost ll impulso con un numero finito di cmpioni diversi d ero n n M h( n) n M M y( n) x( n k ) k x( n) x( n ) M x( n M ) k L sequen di uscit è clcolt come cominione linere del cmpione corrente e degli M cmpioni pssti dell ingresso Reliione dei sistemi FIR L struttur relitiv più semplice implement direttmente l somm di convoluione M moltiplicioni M celle di memori M ddiioni y( n) M Reliione dei sistemi FIR E possiile definire nche un form trspost Si ottiene invertendo il flusso di segnle M moltiplicioni M celle di memori M ddiioni y( n) x( n) x( n ) x ( n) x( n) x2( n ) xm ( n) M x( n) xm ( n ) x( n) M M y( n) M - - -

3 Reliione di FdT fse linere FdT con ndmento di fse linere sono crtterite d vere l rispost impulsiv simmetric o ntisimetric Può essere sfruttto per ridurre il numero delle moltiplicioni necessri Per un FdT con rispost impulsiv simmetric si può ricvre y( n) x( n) M x( n M ) x( n ) M x( n M ) [ x( n) x( n M )] [ x( n ) x( n M ) ] cui è possiile ssocire lo schem locchi corrispondente E nche possiile definire l form trspost ssocit Reliione di sistemi IIR el seguito si prlerà di reliioni o forme cnoniche. Definiscono delle regol stndrd per l reliione di FdT Si considerernno iniilmente le forme cnoniche ste sull equione lle differene corrispondente ll FdT Successivmente si introdurrnno nche forme cnoniche nello spio di stto Si prlerà di sistemi SISO. Estensione sistemi MISO, SIMO e MIMO sono possiili per lcune delle forme cnoniche Si ricvno direttmente prtire dll equione lle differene i i M k i y( n) y( n i) y( n k ) Può essere vist come l insieme di un filtro ricorsivo ed uno non ricorsivo Le due prti possono essere cominte insieme unendo le giunioni sommnti y( n) M

4 y( n) Form dirett I el cso di M <, i coefficienti k con M < k < si intendono nulli y( n) x( n) r ( n) r ( n) x( n ) y( n ) r2 ( n) - r ( n) x( n ) y( n ) r ( n) r ( n) x( n ) y( n ) Form dirett I trspost y( n) on prticolrmente interessnte Sempre prtire dllo schem elementre, le due seioni ricorsiv e non possono essere scmite tr di loro. In questo cso si ottengono due seioni in cui gli elementi di ritrdo hnno lo stesso ingresso e quindi possono unite. Si ottengono così delle forme cnoniche con il numero minimo di celle di memori y( n) M -

5 y( n) Form dirett II second form cnonic Si estende fcilmente sistemi SIMO on può essere espress con un struttur stndrd nello spio di stto y( n) r( n) r( n ) r( n ) r( n) x( n) r( n ) r( n ) y( n) Si estende fcilmente sistemi MISO on può essere espress con un struttur stndrd nello spio di stto y( n) x( n) r ( n) r ( n) x( n ) y( n ) r2 ( n ) r ( n) x( n ) y( n ) r ( n ) r ( n) x( n ) y( n ) Form dirett II trspost prim form cnonic Le forme dirette finor considerte hnno l crtteristic che non esiste un rppresentione dirett nello spio di stto. ciò deriv dl ftto che il vlore corrente dell ingresso viene cominto con vlori pssti di ltre vriili prim di essere pplicto ll uscit el cso in cui il coefficiente si nullo e cioè non esiste un termine diretto tr ingresso ed uscit, si h un struttur che può essere rppresentt nello spio di stto el cso di diverso d ero, si può sempre scomporre l FdT in somm di due termini, uno costnte pri, ed uno con grdo reltivo > ( ) ( ) ( ) H ( ) ( )

6 Si ottengono così due nuove forme dirette II che mmettono un rppresentione nello spio di stto Form dirett II Ter form cnonic - y( n) - - ' i i i i,, y( n) - Form dirett II trspost qurt form cnonic - - ' i i i i,, Tutte le forme dirette hnno l crtteristic di richiedere un numero di moltiplicioni pri l mssimo 2 Scegliendo poi un form cnonic, si hnno elementi di memori Tr tutte le possiili rppresentioni, sono quelle costo minimo Dto che non forniscono grdi di liertà nell scelt dei coefficienti, non è comunque possiile ottimire il comportmento rispetto d ltri criteri, in prticolre rispetto gli effetti indotti dll rppresentione con precisione finit dei coefficienti e dell vriili in un implementione digitle sensitività dell rispost rispetto d imprecisione dei coefficienti rumore di quntiione comportmenti intili e cicli limite

7 Strutture nello spio di stto Offrono un flessiilità mggiore, ottenut umentndo il costo dell reliione Anche nel cso delle reliioni nello spio di stto si ricercno delle forme cnoniche L espressione generle è dt d x( n ) A x( n) Bu( n) y( n) C x( n) Du( n) dove l ingresso è indicto con u, lo stto con x e l uscit con y. el cso MIMO sono tutti vettori di dimensioni pproprite, mentre nel cso SISO si u che y sono sclri ed x è un vettore di dimensione pri ll ordine dell FdT. el seguito si frà riferimento di nuovo l cso SISO FdT e form di stto Dt un rppresentione in form di stto, d ess è ssocit un FdT univoc x( n ) A x( n) Bu( n) X ( ) A X ( ) BU ( ) y( n) C x( n) Du( n) Y ( ) C X ( ) DU ( ) X ( ) ( I A) BU ( ) Y ( ) C ( I A) B D U H ( ) C ( I A) B D [ ] ( ) Il contrrio non è vero: dt un FdT esistono infinite rppresentioni nello spio di stto che le corrispondono Trsformioni di coordinte Dt un rppresentione in form di stto x n A x n Bu n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y n C x n Du n si effettu un cmimento di coordinte linere nello spio di stto descritto d un mtrice T non singolre x T w w T x w( n ) AT w( n) Bu( n) y( n) CT w( n) Du( n) w( n ) T AT w( n) T Bu( n) y( n) CT w( n) Du( n) T L FdT ssocit rimne ovvimente inltert; si può verificre H C T I T AT T B D ( ) ( ) C T T ( T I T A) T T B D C ( I A) B D

8 Reliione Dt un reliione in form di stto, si può pssre d un equivlente (stess FdT) trmite un trsformione T Si può sfruttre tle grdo di liertà per ottimire qulche ltro criterio numero minimo di prmetri: corrisponderà lle forme cnoniche viste per l FdT sensiilità rispetto i prmetri... In reltà non ffronteremo tli prolemi, m si presenternno lcune forme cnoniche nello spio di stto e se ne presenternno le crtteristiche Strutture cnoniche in form compgn Dt l FdT un rppresentione nello stto che l reli è dt dlle mtrici l mtrice A è in form compgn; corrisponde ll ter form cnonic; si estende fcilmente i SIMO ( ) H ( ) ( ) 2 D C B A Strutture cnoniche in form compgn Un form lterntiv è dt d l mtrice A è in form compgn; corrisponde ll qurt form cnonic; si estende fcilmente i MISO on c è differen tr l utilio di un form compgn e l rispettiv form cnonic dell FdT, nche in termini di costo ( ) ( ) D C B A

9 Form modle rele Se l trsformione linere identifict d A possiede utovettori distinti (possiilmente complessi) è possiile trsformre A nell form A A A2 A K con le mtrici sull digonle del primo o secondo ordine Se A h utovlori distinti, d ogni utovlore rele corrisponde un mtrice del primo ordine, d ogni coppi di utovlori complessi coniugti un mtrice del secondo ordine Reλ A i i λi Ai Imλi Imλi Reλ i Form modle rele Le corrispondenti mtrici B e C non hnno un form prticolre, e presentno tutti elementi diversi d ero L form rele modle corrisponde ll rppresentione in prllelo dell FdT E estendiile l cso di sistemi MIMO el cso di utovlori multipli, l form rele modle di A può ncor esistere se esistono utovettori linermente indipendenti Dll form compgn ll rele Per un termine elementre del secondo ordine, dto dll FdT ( ) H l form compgn present mtrici A B ( ) ( ) C 2 2 D e per pssre ll form modle rele si pplic l trsformione di coordinte β α β α Tx T α Reλ β Imλ > Si noti che ess dipende solo dll mtrice A

10 Dll form compgn ll rele Si ottengono quindi le mtrici A α r β β α B α β r 2β α β Cr ( 2 ( β α ) 2 ( β α ) ) Form di Schur Ogni mtrice A è trsformile nell form di Schur A X X A A X 2 A X K in cui le sottomtrici sull digonle sono le stesse dell form modle. E un form pplicile l cso generico MIMO IGEGERIA E TECOLOGIE DEI SISTEMI DI COTROLLO Strutture relitive di un FdT - Fine Prof. Crlo Rossi DEIS - Università di Bologn Tel: emil: crossi@deis.unio.it