Metodo degli elementi finiti in una dimensione

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1 Metodo degli elementi finiti in un dimensione Luci Gstldi DICATAM - Sez. di Mtemtic,

2 Indice 1 Formulzione debole Metodo di Glerkin Condizioni di Dirichlet omogenee Assemblggio dell mtrice e del termine noto Condizioni l bordo Esercizi Condizioni di Dirichlet non omogenee 2

3 Problem in un dimensione Si Ω =], b[, µ R, con µ > 0 σ R tle che σ 0 Trovre u : Ω R tle che (µu (x)) + σu(x) = f (x) u() = α, u(b) = β. per x Ω Teorem Il problem è ben posto nel senso che esiste un ed un sol soluzione che dipende con continuità di dti (stbilità). pge 2

4 Problem con condizioni di Dirichlet omogenee Problem µu + σu = f in Ω =], b[ u() = u(b) = 0 Qudro funzionle Posto si definisce L 2 (, b) = {v : (, b) R : v 2 dx < + } H 1 (, b) = {v L 2 (, b) : v L 2 (, b)} V = H 1 0 (, b) = {v H 1 (, b) : v() = v(b) = 0} pge 3

5 Moltiplichimo l equzione per v V (test function) e integrimo su (, b): ( µu (x) + σu(x))v(x) dx = Integrndo per prti il primo termine si h d cui µu (x)v(x) dx = [ µu (x)v(x) ] b (µu (x)v (x) + σu(x)v(x)) dx = f (x)v(x) dx µu (x)v (x) dx f (x)v(x) dx pge 4

6 Moltiplichimo l equzione per v V (test function) e integrimo su (, b): ( µu (x) + σu(x))v(x) dx = Integrndo per prti il primo termine si h d cui µu (x)v(x) dx = [ µu (x)v(x) ] b (µu (x)v (x) + σu(x)v(x)) dx = Problem Trovre u V tle che (µu (x)v (x) + σu(x)v(x)) dx = f (x)v(x) dx µu (x)v (x) dx f (x)v(x) dx f (x)v(x) dx v V. pge 4

7 Metodo di Glerkin Considerimo uno spzio di dimensione finit V h V (h è il prmetro di finezz dell mesh) Problem discreto Trovre u h V h tle che (µu h (x)v h (x)+σu h(x)v h (x)) dx = f (x)v h (x) dx v h V h. Supponimo che V h = spn{ϕ 1,..., ϕ Nh }, quindi u h = N h j=1 u j ϕ j. Il problem si riscrive: trovre u = {u j } tle che per ogni i ( N h ) ( N h µ u j ϕ j ϕ i + σ u j ϕ j )ϕ i dx = f ϕ i dx. j=1 j=1 pge 5

8 Per l linerità degli integrli si ottiene N h ( u j j=1 ) µϕ jϕ i + σϕ j ϕ i dx = f ϕ i dx i = 1,..., N h. Indichimo con K l mtrice di rigidezz o stiffness e con M l mtrice di mss, rispettivmente di elementi K ij = ϕ jϕ i dx M ij = con F il vettore di crico con componenti F i = f ϕ i dx. ϕ j ϕ i dx, Posto A = µk + σm, il problem discreto è equivlente l seguente sistem linere Au = F essendo A simmetric e definit positiv. pge 6

9 Stime dell errore Lemm Posto ( v 0 = ) 1/2 v 2 dx, v V = ( v v 2 1/2 0), v V vle l seguente mggiorzione u u h V M α inf u v h V. v V h L errore è mggiorto dll migliore pprossimzione. Occorre un buon scelt di V h! pge 7

10 Elementi finiti Approssimzione in 1D con polinomi lineri trtti. Funzioni di bse (shpe functions): funzioni tetto. pge 8

11 Elementi finiti Approssimzione in 1D con polinomi lineri trtti. Funzioni di bse (shpe functions): funzioni tetto. Un elemento finito è definito d: 1) un dominio (intervllo, tringolo, tetredro,... ), pge 8

12 Elementi finiti Approssimzione in 1D con polinomi lineri trtti. Funzioni di bse (shpe functions): funzioni tetto. Un elemento finito è definito d: 1) un dominio (intervllo, tringolo, tetredro,... ), 2) uno spzio di dimensione finit (polinomile), pge 8

13 Elementi finiti Approssimzione in 1D con polinomi lineri trtti. Funzioni di bse (shpe functions): funzioni tetto. Un elemento finito è definito d: 1) un dominio (intervllo, tringolo, tetredro,... ), 2) uno spzio di dimensione finit (polinomile), 3) un insieme di grdi di libertà d.o.f (degrees of freedom). pge 8

14 Elementi finiti in 1D 1) dominio: intervllo pge 9

15 Elementi finiti in 1D 1) dominio: intervllo 2) spzio: P r pge 9

16 Elementi finiti in 1D 1) dominio: intervllo 2) spzio: P r 3) d.o.f.: dipendono dl grdo dei polinomi pge 9

17 Elementi finiti in 1D 1) dominio: intervllo 2) spzio: P r 3) d.o.f.: dipendono dl grdo dei polinomi elementi lineri: estremi (2) elementi qudrtici: estremi + punto medio (3)... pge 9

18 Elementi finiti in 1D 1) dominio: intervllo 2) spzio: P r 3) d.o.f.: dipendono dl grdo dei polinomi elementi lineri: estremi (2) elementi qudrtici: estremi + punto medio (3)... Proprietà di pprossimzione Si I h u(x) = N h i=1 u(x i)ϕ i (x) l interpolt linere trtti di u llor inf v h V h u v h 0 u I h u 0 C 1 h 2 u 0 inf v h V h u v h 0 u (I h u) 0 C 2 h u 0 pge 9

19 Mtrici di rigidezz e di mss Le mtrici di rigidezz K e di mss M hnno l seguente struttur: K = h M = h pge 10

20 Elemento di riferimento ed elemento corrente 1 ˆϕ 1 ˆϕ 2 ϕ 2 1 F ˆϕ 1, ˆϕ 2 funzioni di bse su ˆK; ϕ 1, ϕ 2 funzioni di bse su K. ϕ 1 ˆK = [0, 1] elemento di riferimento x i x i+1 K = I i = [x i 1, x i ] elemento corrente Quindi F K : ˆK K, ϕ(x) = ˆϕ(F 1 K (x)) x = F K (ˆx) x = F K (ˆx) = x i 1 + hˆx. pge 11

21 Clcolo del termine noto Si h F i = F (ϕ i ) = Ω f (x)ϕ i (x)dx = K K f (x)ϕ i (x)dx. Pssndo ll elemento di riferimento si h: f (x)ϕ i (x)dx = f (F K (ˆx)) ˆϕ i (ˆx)F K (ˆx) d ˆx K ˆK = h f (F K (ˆx)) ˆϕ i (ˆx) d ˆx ˆK pge 12

22 Clcolo del termine noto Si h F i = F (ϕ i ) = Ω f (x)ϕ i (x)dx = K K f (x)ϕ i (x)dx. Pssndo ll elemento di riferimento si h: f (x)ϕ i (x)dx = f (F K (ˆx)) ˆϕ i (ˆx)F K (ˆx) d ˆx K ˆK = h f (F K (ˆx)) ˆϕ i (ˆx) d ˆx Per il clcolo di questo integrle occorrono delle formule di qudrtur pproprite in modo che l errore introdotto nell uso delle formule di qudrtur si di ordine superiore rispetto ll errore di discretizzzione. Ad esempio, si possono usre le formule di Guss-Legendre. ˆK pge 12

23 Formule di Guss - Legendre Nell tbell qui sotto, n indic il grdo dei polinomi interpolnti. I nodi x i e i pesi w i sono reltivi ll intervllo [ 1, 1]. n nodi x i i = 0,..., n pesi w i i = 0,..., n 0 (0) (2) 1 ( 1/ 3, 1/ 3) (1, 1) 2 ( 15/5, 0, 15/5) (5/9, 8/9, 5/9) n G.d.P. ordine 0 1 CH 2 mx f (2) 1 3 CH 4 mx f (4) 2 5 CH 6 mx f (6) I nodi ˆx i e i pesi ŵ i sull intervllo [0, 1] si ottengono con le trsformzioni: ˆx i = 1 + x i, ŵ i = w i. 2 pge 13

24 Assemblggio del termine noto Strtegi generle: Ciclo sugli elementi ie = 1,..., ne Clcolo del vettore termine noto locle Fi loc = F (ϕ i ), i = 1,..., ndof Ciclo sui grdi di libertà locli i = 1,..., ndof e ssemblggio del termine noto globle F iglob = F iglob + Fi loc Imposizione delle condizioni l bordo pge 14

25 Condizioni di Dirichlet omogenee Il vettore del termine noto con quest costruzione h due elementi in più corrispondenti lle funzioni di bse ssocite gli estremi dell intervllo. F prim = Bst eliminre l prim e l ultim componente: F dopo = pge 15

26 Function per l soluzione con elementi finiti [x,u]=femp1(mu,sigm,f,,b,n) Input mu, sigm f,b N Output x u coefficienti funzione l secondo membro estremi dell intervllo numero di punti interni punti dell mesh vlori dell soluzione pge 16

27 Pssi principli Funzioni di bse sull elemento di riferimento Costruzione dell mesh clcolre h costruire il vettore dei punti di suddivisione Costruzione dell mtrice e del termine noto costruire le mtrici K, M in formto sprse costruire il termine noto crico.m Ciclo sugli elementi clcolre il termine noto locle ssemblre il termine noto globle Condizioni l bordo Soluzione del sistem linere Output x,u shpe.m pge 17

28 Errore Conoscendo l soluzione estt, l function errore fornisce le due quntità: u u h 0 u u h 0. [E0,E1]=errore(u,,b,estt,destt,N) Input u vettore soluzione,b estremi dell intervllo estt, destt espressioni nlitiche dell soluzione estt e dell su derivt N+1 numero degli intervlli Output E0 E1 errore in L 2 dell soluzione errore in L 2 dell derivt pge 18

29 Esercizio 1 Si consideri l equzione differenzile u = f x (0, 1) u(0) = u(1) = 0 essendo f un delle seguenti funzioni: f 1 (x) = 2 f 2 (x) = 12x x 2 f 3 (x) = 4π 2 sin(2πx) f 4 (x) = e x (1 + x) Risolvere l equzione differenzile con elementi finiti lineri usndo l function femp1 l vrire di N=[ ]. Clcolre l errore reltivo in norm L 2 si dell funzione che dell derivt usndo l function errore. Clcolre inoltre l errore reltivo in norm euclide di R N+1 del vettore soluzione rispetto i vlori dell soluzione estt nei nodi. Riportre opportunmente i risultti in scl bilogritmic. pge 19

30 Soluzioni dell esercizio 1 L soluzione estt dell equzione differenzile dell esercizio 1 h l seguente espressione nlitic: u 1 (x) = x(1 x) u 2 (x) = x 2 (1 x) 2 u 3 (x) = sin(2πx) u 4 (x) = (e x 1)(1 x) pge 20

31 Esercizio 2 Si consideri l equzione differenzile u + u = f x (0, 1) u(0) = u(1) = 0 essendo f clcolt in mnier opportun in modo che l soluzione estt si l stess dell esercizio 1. Risolvere l equzione differenzile con elementi finiti lineri usndo l function femp1 l vrire di N=[ ]. Clcolre l errore reltivo in norm L 2 si dell funzione che dell derivt usndo l function errore. Clcolre inoltre l errore reltivo in norm euclide di R N+1 del vettore soluzione rispetto i vlori dell soluzione estt nei nodi. Riportre opportunmente i risultti in scl bilogritmic. pge 21

32 Esercizio 3 Risolvere l seguente equzione differenzile: u (x) = f (x) x ( 1, 1), u( 1) = u(1) = 0 essendo f (x) = q(q 1) x q 2. L soluzione estt è: u(x) = 1 x q. Per ciscuno dei seguenti vlori q = 4, 3, 2, 5/3, 3/2, 5/4. Plottre l soluzione insieme ll soluzione estt. Plottre gli errori in norm L 2 si dell funzione che dell derivt e determinre l ordine di convergenz. Confrontre i risultti ottenuti con quelli forniti dl metodo delle differenze finite. pge 22

33 Perturbzione singolre εu + u = 1 x [0, 1] u(0) = u(1) = 0 Soluzione: ( ) ( ) sinh x x 1 ε + sinh ε u = ( ) sinh ε Si consideri ε =1e-1,1e-3,1e-5 e si clcoli l soluzione per N = 10 e l si confronti con l soluzione estt. pge 23

34 Perturbzione singolre εu + u = 1 x [0, 1] u(0) = u(1) = 0 Soluzione: ( ) ( ) sinh x x 1 ε + sinh ε u = ( ) sinh ε Si consideri ε =1e-1,1e-3,1e-5 e si clcoli l soluzione per N = 10 e l si confronti con l soluzione estt. Per ε =1e-3,1e-5 si possono osservre oscillzioni indesiderte. Trovre il più piccolo N multiplo di 10 per cui le soluzioni numeriche non presentno oscillzioni nei due csi. pge 23

35 Perturbzione singolre εu + u = 1 x [0, 1] u(0) = u(1) = 0 Soluzione: ( ) ( ) sinh x x 1 ε + sinh ε u = ( ) sinh ε Si consideri ε =1e-1,1e-3,1e-5 e si clcoli l soluzione per N = 10 e l si confronti con l soluzione estt. Per ε =1e-3,1e-5 si possono osservre oscillzioni indesiderte. Trovre il più piccolo N multiplo di 10 per cui le soluzioni numeriche non presentno oscillzioni nei due csi. Gli elementi dell mtrice del sistem sono dti d: A ii = 2ε h + 2h 3, A i i 1 = A i i+1 = ε h + h 6 Verificre che le oscillzioni si verificno fintnto che A i i 1 = A i i+1 > 0. pge 23

36 Problem con condizioni di Dirichlet non omogenee Problem µu (x) + σu(x) = f (x) per x (, b) u() = α, u(b) = β Introducimo le seguenti notzioni: V = H 1 (, b), V 0 = {v V : v() = v(b) = 0} Problem debole Trovre u V tle che u() = α, u(b) = β e soddisf ( µu (x)v (x) + σu(x)v(x) ) dx = f (x)v(x)dx v V 0. pge 24

37 Discretizzzione con elementi finiti Introducimo lo spzio V h V 0 che contiene le funzioni lineri trtti che si nnullno gli estremi. Indichimo con ϕ i l i-esim funzione di bse ssocit l nodo x i. Introducimo due funzioni lineri trtti ϕ e ϕ b che vlgono 1 rispettivmente in e b e zero in tutti gli ltri nodi. Problem discreto Trovre u h = αϕ + βϕ b + w h con w h V 0 tle che ( µu h (x)v h (x)+σu h(x)v h (x) ) dx = f (x)v h (x)dx v h V h. pge 25

38 L soluzione u h h l seguente rppresentzione u h (x) = αϕ (x) + βϕ b (x) + u j ϕ j (x) N h j=1 che sostituit nel problem discreto dà: N h ( u j µϕ j ϕ ) b i + σϕ j ϕ i dx = f ϕ i dx j=1 α ( µϕ ϕ ) b ( i + σϕ ϕ i dx β µϕ b ϕ ) i + σϕ b ϕ i dx Il sistem linere risultnte h l stess mtrice del cso precedente e il termine noto che deve essere modificto per i = 1 e i = N h. pge 26

39 Function [x,u]=femp1d(mu,sigm,f,,b,lf,bet,n) Input mu, sigm f,b lf,bet N Output x u coefficienti funzione l secondo membro estremi dell intervllo vlori gli estremi numero di punti interni punti dell mesh vlori dell soluzione pge 27

40 Esercizio 4 Si consideri l equzione differenzile ( u = 2π 2 1 ) 2 sin(2πx) 4π cos(2πx) ( 1 ) x 2 + x x 2 x 2, 2 ( 1 u = 2) 1 2, u(2) = 2 L soluzione estt è: u(x) = x + sin(2πx)/x. Risolvere l equzione differenzile con elementi finiti lineri usndo l function femp1d l vrire di N=[ ]. Clcolre l errore reltivo in norm L 2 si dell funzione che dell derivt usndo l function errore. Riportre opportunmente i risultti in scl bilogritmic. pge 28

41 Esercizio 5 Si consideri l equzione differenzile u + 3u = 12x 3 27x 2 18x + 21 x (0, 2), u(0) = u(2) = 1. L soluzione estt è: u(x) = 4x 3 9x 2 + 2x + 1. Risolvere l equzione differenzile con elementi finiti lineri usndo l function femp1d l vrire di N=[ ]. Clcolre l errore reltivo in norm L 2 si dell funzione che dell derivt usndo l function errore. Riportre opportunmente i risultti in scl bilogritmic. pge 29

42 Problem Trovre u : Ω R tle che (µu (x)) + σu(x) = f (x) per x (, b) u() = α, u(b) = β. Teorem Se σ > 0 llor esiste un unic soluzione del problem di Neumnn. Se σ = 0 il problem mmette un unic soluzione tle che u(x)dx = 0 se f soddisf l condizione di comptibilità f (x)dx = β + α. pge 30

43 Elementi finiti - σ > 0 Problem debole Posto V = H 1 (, b), trovre u V tle che (µu (x)v (x) + σu(x)v(x)) dx = f (x)v(x) dx + µ(βv(b) αv()) v V. Si X h V lo spzio delle funzioni lineri trtti. Problem discreto Trovre u h X h tle che (µu h(x)v h(x) + σu h (x)v h (x)) dx = f (x)v h (x) dx + µ(βv h (b) αv h ()) v h X h. pge 31

44 L dimensione di X h è N h + 2, in qunto lle funzioni di bse lineri trtti dello spzio V h dobbimo ggiungere le due funzioni ϕ 0 e ϕ Nh +1 ssocite gli estremi. L soluzione u h h l seguente rppresentzione u h (x) = N h +1 j=0 che sostituit nel problem discreto dà: N h +1 j=0 u j ϕ j (x) ( u j µϕ j ϕ ) b i + σϕ j ϕ i dx = f ϕ i dx + µ(βϕ i (b) αϕ i (). L mtrice è un mtrice tridigonle con dimensione N h + 2. Le digonli sopr e sotto ll digonle principle hnno gli stessi elementi dell mtrice per il problem di Dirichlet, mentre l digonle principle h il primo e ultimo termine che sono l metà di quelli dell mtrice per il problem di Dirichlet. All prim ed ultim componente del termine noto bisogn ggiungere il contributo delle condizioni l bordo. pge 32

45 Function [x,u]=femp1n(mu,sigm,f,,b,lf,bet,n) Input mu, sigm f,b lf,bet N Output x u coefficienti funzione l secondo membro estremi dell intervllo vlori dell derivt gli estremi numero di punti interni punti dell mesh vlori dell soluzione pge 33

46 Esercizio 6 Si consideri l equzione differenzile u + 4π 2 u = 8π 2 cos(2πx) + 4π2 3 x 3 2π 2 x 2 2x + 1 u (0) = u (1) = 0. L soluzione estt è: u(x) = cos(2πx) + x 3 /3 x 2 /2. Risolvere l equzione differenzile con elementi finiti lineri usndo l function femp1n l vrire di N=[ ]. Clcolre l errore reltivo in norm L 2 si dell funzione che dell derivt usndo l function errore. Riportre opportunmente i risultti in scl bilogritmic. pge 34

47 Esercizio 6 Si consideri l equzione differenzile u = 4 12x 2, u (0) = u (1) = 0. L soluzione estt è: u(x) = cos(2πx) + x 3 /3 x 2 /2 8/15. Risolvere l equzione differenzile con elementi finiti lineri usndo l function femp1n l vrire di N=[ ]. Clcolre l errore reltivo in norm L 2 si dell funzione che dell derivt usndo l function errore. Riportre opportunmente i risultti in scl bilogritmic. pge 35