Lattice Boltzmann: metodi cinetici per la fluidodinamica

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CASSINO E DEL LAZIO MERIDIONALE Lace Bolzmann: meod cnec per la ludodnamca 26 gugno 205 XXX CORSO DI DOTTORATO IN INGEGNERIA CIVILE MECCANICA E BIOMECCANICA

2 FLUIDODINAMICA Fludodnamca sudo della dnamca de lud Osservazone ludo come mezzo connuo caraerzzao da propreà cnemache (velocà) e ermodnamche Problema ludodnamco rsoluzone d equazon (modello maemaco) per deermnare le propreà del ludo (velocà pressone densà e emperaura) n unzone dello spazo e del empo. 2

3 IPOTESI DEL CONTINUO Ipoes del connuo ludo come un connuo Le propreà nensve del ludo (densà emperaura pressone velocà) dene ad una scala d lunghezze nnesma varano con connuà da un puno ad un alro. Flud compos da un numero elevao (pur sempre dscreo) d molecole che possono colldere ra loro o con corp sold. La naura molecolare dscrea del ludo vene gnoraa. Knλ/L<< (lbero cammno medo / lunghezza caraersca) 3

4 MODELLO MATEMATICO Prncp sc (mposa la condzone d connuo deormable) prncpo d conservazone della massa (equazone d connuà); secondo prncpo della dnamca (blanco della quanà d moo); prmo prncpo della ermodnamca (conservazone dell'energa). Equazon d blanco dee equazon d Naver-Sokes 4

5 MODELLO MATEMATICO 5

6 SIMULAZIONE FLUIDODINAMICA (CFD) OSSERVAZIONE: PRINCIPI FISICI MODELLO MATEMATICO (EQ. DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI) APPROSSIMAZIONE DISCRETA (SPAZIO E TEMPO) (DIFFERENZE FINITE VOLUMI FINITI ELEMENTI FINITI) RISOLUZIONE NUMERICA 6

7 MODELLAZIONI FLUIDI MACROSCOPICO MICROSCOPICO INSIEME DI MOLECOLE INSIEME DI MOLECOLE IPOTESI DEL CONTINUO DINAMICA MOLECOLARE EQUAZIONI NAVIER-STOKES 7

8 MOLECULAR DYNAMICS Dnamca molecolare N molecole neragen l una con l alra s muovo all nerno del domno Assunzonemolecole punorm legg della dnamca dx d d ( ) m v F :... N d v N~Numero d Avogadro6023x0 23 8

9 DINAMICA ESATTA NECESSARIA? Abbamo bsogno d conoscere la dnamca esaa d ogn molecola per descrvere l comporameno d un ludo? Assoluamene NO Le varabl sche a cu samo neressa rsulano dalla meda del comporameno d un grande numero d molecole Smludne dnamca: Re due lud deren a parà d Re s comporano macroscopcamene allo sesso modo 9

10 MODELLAZIONI FLUIDI MACROSCOPICO MESOSCOPICO MICROSCOPICO INSIEME DI MOLECOLE INSIEME DI MOLECOLE INSIEME DI MOLECOLE IPOTESI DEL CONTINUO NO DETTAGLI STATISTICA DINAMICA MOLECOLARE EQUAZIONI NAVIER-STOKES TEORIA CINETICA EQ. BOLTZMANN 0

11 FILOSOFIA METODI CINETICI o Rsolvere l campo ludodnamco macroscopco con un approcco mesoscopco (ra mcro and macro) cneco che preserva prncp d conservazone Approcco sasco (propreàmeda sasca) r r ( x c ) Funzone dsrbuzone o popolazone Probablà d rovare una molecola aorno alla poszone dello spazo x al empo con una cera velocà c

12 BOLTZMANN EQUATION (BE) o 872: Equazone d Bolzmann (evoluzone d n ermn delle nerazon mcroscopche) + c Q La densà delle parcelle n una cera poszone dello spazo vara perché le parcelle neragscono: operaore d collsone Velocà delle parcelle Velocà ludo r r r NS : P T ρ u x BE : ( x c ( ) ) 2

13 LATTICE BOLTZMANN EQUATION + c Q 0 N Spazo delle velocà rdoo ad un numero dscreo: n ogn puno dello spazo le parcelle possono muovers solo lungo alcune drezon Real mcrodynamcs Fcve mcrodynamcs on a lace 2D 9-b model (D2Q9) 3

14 DISCRETIZZAZIONE SPAZIO VELOCITÀ La scela non è arbrara!! 4

15 MODELLI LATTICE + c Q 0 N Spazo delle velocà rdoo ad un numero dscreo: n ogn puno dello spazo le parcelle possono muovers solo lungo alcune drezon o C sono mol deren schem per problem 2D e 3D o Magc speeds!: 2D 9 veloces (D2Q9) NW N NE 3D 9 veloces (D3Q9) W E SW S SE 5

16 OPERATORE DI COLLISIONE + c Q 0 N o L operaore d collsone descrve l nerazone ra le molecole e la probablà che due o pù parcelle s rovno nell norno della sessa poszone allo sesso sane o Lo sesso Bolzmann parì non solo dall assunzone che la collsone osse bnara localzzaa QQ() ma anche dalla non-correlazone ra due molecole che colldono ( caos molecolare) 6

17 COLLISIONE EQUILIBRIO LOCALE EQUILIBRIO LOCALE eq Annulla l operaore d collsone Q( eq eq )0 La collsone densce l rlassameno all equlbro eq ( ) ρ u eq è una unzone delle grandezze macroscopche n modo da conservare massa quanà d moo e energa dsrbuzone Maxwell- Bolzmann 7

18 FROM LBE TO BGK Operaore d collsone Q n j ( ) ( eq ) A j A j δ ( eq ) j + c τ τ BGK (Bhanagar-Gross-Krook) [PHYS.REV ]: Relaxaon o equlbrum on a sngle me-scale τ 8

19 COLLISIONE EQUILIBRIO LOCALE EQUILIBRIO LOCALE eq Nel 860 Maxwell dmosrò sascamene che un ssema collsonale non soggeo a orze eserne è all equlbro spazalmene omogeneo con dsrbuzone sulle velocà del po: ρ (e u) eq exp 2πRTπ 2 RT 2 T 9

20 DISTRIBUZIONE MAXWELL-BOLTZMANN ρ (e u) eq exp 2πRT 2RT 2 Fracon o Molecules K 98 K 298 K 398 K 498 K 598 K Speed (m/s) 20

21 MODELLO D2Q9 Dsrbuzon d equlbro: espansone al 2 ordne nella velocà d Maxwell-Bolzmann: eq ρw weghng acor 2 r r β r r + βc u + ( c u) u 2 Se o dscree speeds c (D2Q9): [ ] 2 4/9 0 w / / β 2 / cs c s 3 r c cos 2 cos [( ) π 2] ( 0 4) [ π 4 + ( 5) π 2] ( 48) 2

22 eq MODELLI D3. ρw 2 r r β r r + βc u + ( c u) u 2 [ ] 2 22

23 DA BGK A NAVIER-STOKES n ρ v P T u 23

24 DA BGK A NAVIER-STOKES o o S dmosra con l espansone d Chapman-Enskong che s possono dervare le equazon d Naver-Sokes a parre da LBGK no al 2 ordne n Kn (e Ma) Come calcolamo le varabl macroscopche a parre dalle?: o r u ρ dc C c dc c ρ ρ C La pressone s oene dall equazone d sao ρ eq eq c 2 υ c s τ dp dρ 2 c s o LBGK sandard: Naver-Sokes soerme e poco-comprmbl comprmbl Ma << 24

25 ( x * + c BGK DISCRETA τ + c + ) ( x ) r COLLISION r ( x + ) 2 STREAMING r ( eq ) τ ( x + c + ) ( x + ) r ( x ) * r ( eq ) x c [ ( ) ( )] eq x x / τ r r 25

26 STANDARD BGK x c NW W N NE E SW S SE 26

27 STANDARD BGK 9-speed model (D2Q9) 7-speed model (D2Q7) 27

28 BGK DISCRETA E MODELLO ( x + c + ) ( x ) ( ) eq ( x ) ( x ) τ Ma << r u ρ ρ c υ τ 2 c 2 s 28

29 COSTRUZIONE DEL CODICE Flud ncomprmbl Analoga d Re x c k ( x Re ul υ c 2 s ul 3 ul ( ) τ τ ck + ) k ( x ) eq k τ x k c 29

30 COSTRUZIONE DEL CODICE Flud ncomprmbl Analoga d Re x S scegle l modello d velocà (D2Q9) è mposa la grgla 30

31 MODELLO DI VELOCITÀ -j+ j+ +j j j +j j- j- +j- 3

32 COSTRUZIONE DEL CODICE Flud ncomprmbl Analoga d Re x S scegle l modello d velocà (D2Q9) è mposa la grgla Inzalzzo l campo ludodnamco Calcolo dsrbuzone d equlbro k eq k 9 ( ) ( ) j w ρ( j) + 3c k u( j) + ck u( j) k r u( j) 2 32

33 COSTRUZIONE DEL CODICE Flud ncomprmbl Analoga d Re x S scegle l modello d velocà (D2Q9) è mposa la grgla Inzalzzo l campo ludodnamco (n ρ u) Calcolo dsrbuzone d equlbro Fase d collsone 33

34 FASE DI COLLISIONE * k [( j) + ] [( j) ] k + eq k [( j) ] [( j) ] τ k ( j) -j+ j- +j+ j -j j +j Locale!!! -j- j- +j- 34

35 COSTRUZIONE DEL CODICE Flud ncomprmbl Analoga d Re x S scegle l modello d velocà (D2Q9) è mposa la grgla Inzalzzo l campo ludodnamco Calcolo dsrbuzone d equlbro Fase d collsone Fase d sreamng 35

36 M FASE DI STREAMING * [( + j) + ] [( j) + ] * [( j + ) + ] 2 [( j) + ] * [( j) + ] 3 [( j) + ] * [( j ) + ] [( j) + ] 4 * [ ( + j + ) + ] [ ( j ) + ] j+ j+ +j+ j -j +j -j- j- +j- 36

37 FASE DI STREAMING M * [( j) + ] [( j) + ] * [( j) + ] 2 [( j ) + ] * [( j) + ] 3 [( + j) + ] * [( j) + ] [( j ) + ] 4 * [ ( j ) + ] [ ( j ) + ] j+ j+ j -j +j+ +j -j- j- +j- Unversà d Napol Federco II 22 Aprle

38 COSTRUZIONE DEL CODICE Flud ncomprmbl Analoga d Re x S scegle l modello d velocà (D2Q9) è mposa la grgla Inzalzzo l campo ludodnamco Calcolo dsrbuzone d equlbro Fase d collsone Fase d sreamng Calcolo grandezze ludodnamche Pρu x u y Unversà d Napol Federco II 22 Aprle

39 CAMPO FLUIDO ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] j c j j u j j k k x k x k k ρ ρ ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] j j P j c j j u j k k y k y k ρ ρ ρ 39

40 COSTRUZIONE DEL CODICE Flud ncomprmbl Analoga d Re x S scegle l modello d velocà (D2Q9) è mposa la grgla Inzalzzo l campo ludodnamco Calcolo dsrbuzone d equlbro Fase d collsone Fase d sreamng Calcolo grandezze ludodnamche Pρu x u y 40

41 CONDIZIONI AL CONTORNO Una delle prncpal dcolà nella rsoluzone numerca d problem d lusso d lud è l raameno delle condzon al conorno In genere noe n unzone d pressone e velocà per le? Un vanaggo per LBM è la semplcà delle condzon al conorno. La pù noa (anche se non la pù ulzzaa) è la condzone bounce-back (pù spesso la hal-way bounce-back) 4

42 CONDIZIONI AL CONTORNO BOUNCE BACK -j+ j+ 2 +j j j +j [( ) ] * j + [( ) ] 4 j + [( ) ] * j + [( ) ] 7 j + [( ) ] * j + [( j) + ] 8 Collsone calcolaa con u wall Osservamo che al empo successvo le popolazon che erano enrae nel nodo d paree orneranno verso nod da cu provenvano sono sa respn ndero dal muro da qu l nome bounceback 42

43 GRIGLIA REGOLARE o D2-Q9 SQUARE LATTICE SPACING ON Sold Body Grd pons OFF 43

44 BOUNDARY CURVI Traameno de boundary curv con mso nerpolazon/bounce-back 44

45 FLUSSO CILINDRO 45

46 RISULTATI 46

47 INFITTIMENTO LBM ulzza grgle caresane nmeno della grgla ulzzando grgle regolar va va pù pccole passaggo coarse-ne con nerpolazon 47

48 GRID REFINEMENT Inmeno nelle zone d neresse 48

49 RISULTATI 49

50 RISULTATI 50

51 RISULTATI 5

52 GRIGLIE AUTOADATTATIVE 52

53 MODELLI DI COLLISIONE AVANZATI Schema BGK: unco paramero d rlassameno τ nsablà numerca ad al Re e con al graden d pressone/velocà Maggore sablà (al Re) Mulple-relaxaon (MRT) Q b eq ( ) A ( ) j Enropc (eorema H) j Posvy enorcng (ecnca numerca) 53

54 ENTROPICO Basao sul eorema H d Bolzmann: l ssema evolve verso la massma enropa l equlbro locale è ndvduao dal mnmo della unzone H -S H ( ) ( ) ( eq x c ln x c dc mn H H + ) : [ ] H ( ) α r ( x υ c 2 s + ) αβ r ( x ) + αβ 2 [ ] eq r ( x + ) ( x + ) r 54

55 FIXUP: POSITIVITY ENFORCING ( ) ( ) [ ] eq eq x x x x x x 0 ) ( 0 0 ) ( / ) ( ) ( > > + > > τ τ r r r r r r Correzone locale d nsablà ( ) ( ) [ ] e eq e x x x x τ τ τ / ) ( ) ( ; mn r r r r 55

56 TURBOLENZA Turbulence modeled va a moded relaxaon me + τ e τ τ r ( x + ) urb r ( x ) + [ ] eq r ( x + ) ( x + ) r / τ e k ε τ urb C c k τ µ + Smag 2 urb s ε 2 C c 2 s L 2 2S j S j 56

57 VANTAGGI E APPLICAZIONI Semplce (propag. e collsone) basso coso compuazonale Propagazone lneare e non-lnearà locale nello spazo Condzon al conorno semplc Faclà nella parallelzzazone Aerodnamca (POWERFLOW) Fluss mulase Fluss n mezz poros Mcroludca 57

58 AERODINAMICA AEROACUSTICA - UNDERHOOD Powerlow: codce commercale dsrbuo da EXA corporaon LBM+renemen+boundary+xup+urbo.. 58