INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ NELLA SCUOLA MEDIA CONCETTI DI BASE

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1 1 INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ NELLA SCUOLA MEDIA CONCETTI DI BASE

2 2 Un fenomeno casuale, o aleatorio, èun fenomeno osservabile, ma non prevedibile. Cioè conoscendo i dati iniziali e le leggi, non possiamo prevederne il risultato. Ciò che invece possiamo conoscere è l'insieme di tutti i possibili risultati. Fenomeno deterministico DATI + LEGGI = CONOSCENZA Fenomeno non deterministico DATI + LEGGI = NON CONOSCENZA

3 ESPERIMENTI ALEATORI 3 STUDENTI DESCRIZIONE DATI: Informazioni sugli studenti del corso di statistica. Questo dataste raccoglie le risposte a un questionario somministrato alla fine di ogni anno accademico a partire dal , a tutti gli studenti presenti in aula alla fine del corso di Statistica (I e II cattedra, Facoltà di Scienze Politiche, Università Federico II di Napoli). ANNO SESSO ETA' PESO ALTEZZA DIPSCI DIPCLA DIPTEC DIPALT COMPON OCCHIALI FUMO , , , , , , , , , , , , ,

4 ESPERIMENTI ALEATORI 4 ECOLOGIA UMANA: riconoscimento solo olfattivo da parte delle puerpere Campione: 68 puerpere, 68 neonati (35 maschi e 33 femmine) TEST: riconoscimento solo olfattivo del camicino (indossato per 24 ore) del proprio figlio fra sei camicini.

5 ESPERIMENTI ALEATORI DESCRIZIONE DATI: BIODIVERSITA 5 E' stato effettuato uno studio sulla biodiversità delle biofrite, sulla differenziazione dei microambienti e della distribuzione delle forme di vita nella foresta "los Robles" situata sulla montagna Talamancain Costa Rica. Sono state campionate 206 specie (osservazioni), appartenenti alla grandi famiglie di biofrite epatiche (1-104), di biofrite muschi ( ) ed un solo esemplare della famiglia biofrite hornwort (105). le variabili microambienti considerate sono 9: ramoscello, ramo, tronco, base dell'albero, arbusto, foglie, ceppo, terreno, pietra/roccia Si e' misurata la variabile ABBONDANZA che puo' assumere i valori 1 (raro), 2 frequente), 3(comune) per ogni specie riscontrata in quel microambiente specifico. Inoltre si e' considerara la variabile LIFE FORM che specifica sotto quale forma sono stati campioonati gli individui di quella data specie. species ramoscelli ramo tronco base dell'albero arbusto foglie ceppo terreno pietra/roc cia 1 1 TU 2 2 TU TU TU MA TU MA MA 9 1 MA MA 11 2 MA 12 2 MA MA MA MA 16 1 MA LIFE FORM

6 ESPERIMENTI ALEATORI INQUINAMENTO The Atmosphere, Climate & Environment Information Programme, supported by the Department of Environmental, Food and Rural Affairs (DEFRA) provides monthly summaries of air quality in nine urban areas of Britain. Summaries are provided in the form data, showing the daily average concentrations of 5 pollutants during october 200, 2001, 2002 : carbon monoxide, nitrogen dioxide, ozone, particulate matter and sulphur dioxide. 6 SO2 (ppb) O3 (ppb) NO2 (ppb) NOx(ppb) CO (ppm) PM10 (microg/m3). Date SO2 (ppb) O3 (ppb) NO2 (ppb) NOx (ppb) CO (ppm) PM10 (microg/m3) 10/01/ , /02/ , /03/ , /04/ , /05/ , /06/ , /07/ , /08/ , /09/ , /10/ , /11/ , /12/ , /10/ , /10/ , /10/ , /10/ , /10/ , /10/ , /10/ ,1 25 Date SO2 (ppb) O3 (ppb) NO2 (ppb) NOx (ppb) CO (ppm) PM10 (mg/m3) 10/01/ , /02/ , /03/ , /04/ , /05/ , /06/ , /07/ , /08/ , /09/ , /10/ , /11/ , /12/ , /10/ , /10/ , /10/ , /10/ , /10/ , /10/ , /10/ ,9 36

7 7 CASO 1: la probabilità A SCUOLA

8 8 CASO 1: la probabilità A SCUOLA

9 9 CASO 1: la probabilità A SCUOLA

10 10 CASO 2: la probabilità A SCUOLA

11 11 NOMENCLATURA Esperimento Casuale, aleatorio (dado il latino alea) non deterministico ESEMPIO Lancio di un dado Spazio campione insieme di tutti i possibili esperimenti dell esperimento Evento elementare uno dei possibili risultati dell esperimento Evento un sottoinsieme dello spazio campione, in cui sono contenuti alcuni dei possibili casi, quelli favorevoli all'evento considerato. Esito ciò che effettivamente si verifica quando il fenomeno accade. L'esito dunque ècerto e lo si conosce solo a posteriori. Tiro il dado, esce {6} Probabilità di un evento aleatorio misura del grado di fiducia che si può stabilire a priori circa il verificarsi o meno dell'evento.

12 12 PROBABILITÀ La probabilità di un evento A, detta P(A), rappresenta una misura di quanto ci si aspetta che si verifichi l evento A. Calcolare le probabilità non significa "prevedere il futuro", ma trovare come distribuire un maggiore o minore grado di fiducia tra i vari possibili modi in cui si potrà presentare un certo fenomeno aleatorio. CASO 1: la probabilità frequentista a posteriori CASO 2: la probabilità classica a priori

13 13 CASO 1: la probabilità frequentista -a posteriori PROBABILITÀ LEGGE EMPIRICA DEL CASO : in una successione di prove ripetute nelle stesse condizioni, la frequenza di un evento si avvicina alla probabilità dell evento stesso m # volte E si verifica P( A) = lim = lim = lim f N ( A) N N N # esperimenti N f N ( A) P( A) N f N (A) è una STIMA di P(A) LIMITI della definizione TANTE PROVE DIFFICILE, stesse condizioni ASPETTI POSITIVI della definizione èoperativa

14 14 CASO 1: la probabilità frequentista -a posteriori PROBABILITÀ

15 15 CASO 2: PROBABILITÀ la probabilità classica -a priori Ipotesi P( A) = = m N casi casi favorevoli possibili LIMITI della definizione : Ipotesi ASPETTI POSITIVI della definizione: èoperativa

16 16 CASO 2: PROBABILITÀ la probabilità classica -a priori P( A) = = m N casi casi favorevoli possibili

17 ESERCIZI Lezione 1 - Introduzione alla probabilita' nella scuola media: concetti base 17 Esercizio 1.1 Si lancino contemporaneamente due monete. Qual èla probabilità che esca testa su entrambe? Occorre un po' di combinatoria ed un grafo ad albero. Partendo dal vertice in alto e percorrendo fino al termine i vari rami che traggono origine da esso, troviamo i quattro casi possibili, che costituiscono lo spazio campione: {TT, TC, CT, CC}. L'evento TT èuno dei quattro, quindi p=1/4. Erroneamente, nella famosa Encyclopédie di Diderot e D'Alambert, si sosteneva che l'analogo caso di due figli presentava tre possibilità, due maschi, due femmine o un maschio e una femmina, assegnando probabilità 1/3 a ciascuno dei casi.. I grafi ad albero sono molto utili nello studio della probabilità e della combinatoria. Questo a lato è un grafo regolare, in cui ogni nodo ha lo stesso numero di rami e ciascun ramo ha lo stesso "peso" (inteso in questo caso come probabilità) degli altri. Vittorio De Petris

18 ESERCIZI Lezione 1 - Introduzione alla probabilita' nella scuola media: concetti base 18 Esercizio 1.2 Un giocatore di poker ha in mano quattro carte di cuori ed una di picche. Decide di scartare quest'ultima, pescando un'altra carta e tentare di fare "colore". Quale probabilitàha? Occorre togliere dallo spazio campione le 5 carte che il giocatore ha in mano. Restano così 27 carte, fra le quali ci sono 4 cuori (escludendo quelli già in mano). La probabilità èdunque 4/27. Qualche alunno potrebbe chiedersi se non debbano essere tolte anche le 15 carte in mano agli altri 3 giocatori. Occorre chiarire loro che, non sapendo quali carte hanno in mano tali giocatori, dobbiamo considerare possibili tutti i 27 casi, anche se il mazzo da cui il banco prenderà la carta ne contiene solo 12. Vittorio De Petris

19 ESERCIZI Lezione 1 - Introduzione alla probabilita' nella scuola media: concetti base 19 Esercizio 1.3 Due ragazzi fanno alla conta, gettando la mano con alcune dita distese e facendo la loro somma. Il primo ha scelto "Pari". Qual è la probabilitàche si verifichi tal evento? Se si analizza invece la situazione con una tabella a doppia entrata, si vede che l'evento "esce un numero pari" èleggermente avvantaggiato, poiché i casi favorevoli sono 13 su 25 contro i 12 su 25 dell'evento opposto. Si èportati a credere che pari e dispari siano eventi ugualmente probabili ciascuno con probabilità1/2 Diversa è la situazione se si considera la possibilità di poter gettare anche lo zero (mano chiusa). In tal caso la situazione torna in perfetta parità con 18 casi su 36 per entrambi gli eventi. Vittorio De Petris

20 ESERCIZI Lezione 1 - Introduzione alla probabilita' nella scuola media: concetti base 20 Esercizio 1.4 Si lanciano due dadi. Qual è la probabilitàche almeno uno di essi sia un 6? La probabilità dell'evento èquindi p=11/36. E' probabile che qualche alunno abbia risposto 2/6 o, semplificando, 1/3, pensando che in un dado la probabilità è1/6 e quindi con due dadi tale probabilità si raddoppi. E' un errore abbastanza comune. Più avanti si vedrà come calcolare razionalmente la probabilità del sei su ciascun dado e come ottenere quella dei due dadi. Vittorio De Petris

21 ESERCIZI Lezione 1 - Introduzione alla probabilita' nella scuola media: concetti base 21 Esercizio 1.5 Al Luna Park una ruota di legno, suddivisa in settori colorati di ampiezze diverse, gira velocemente, mentre un giocatore spara una freccetta con una carabina ad aria compressa, colpendo a caso uno dei settori. Che probabilità ci sono di vincere la bambolina abbinata al settore di colore nero, il cui angolo misura 18 gradi? Si deve considerare che un settore di 18 gradi rappresenta 18/360 dell'intera ruota e quindi la probabilità èdi 1/20 Gli alunni probabilmente non se ne sono accorti, ma siamo passati dalla probabilità di eventi discreti (cioè distinguibili e numerabili all'interno di un insieme finito, come le biglie in un'urna), alla probabilità di eventi continui. Lo spazio campione èdato dall'intera superficie del cerchio. In tale spazio non ha senso considerare la probabilità che la freccetta colpisca un particolare punto, ma solo quella di colpire un punto che appartenga ad una certa superficie all'interno dello spazio campione. Supponendo quindi che la probabilità sia distribuita in modo uniforme all'interno della ruota (come ci assicura la velocità con cui gira), quella di colpire un particolare settore è legata al rapporto tra la superficie considerata e quella dell'intero spazio campione. Vittorio De Petris

22 22 LANCIO DI UNA MONETA ESTRAZIONE DI UNA PALLINA

23 23 NASCITA DI DUE FIGLI MASCHI

24 24 STRUMENTO DI LAVORO: EXCEL Excel èun applicazione di foglio elettronico che permette di raccogliere ed elaborare i dati inseriti dall utente. I dati vengono raccolti in tabelle. Tabella Insieme di celle disposte secondo righe e colonne che costituiscono i fogli di lavoro Cartelle di lavoro Insieme di fogli di lavoro raccolti insieme come una rubrica telefonica e identificati da una etichetta Riferimenti: Statistica con Excel : appunti D. Morale "Laboratorio di Statistica con Excel" di A.M. Paganoni e L. Pontiggia

25 25 RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI specifici per la scuola media di Vittorio De Petris Dal sito dell Unione Matematica Italiana Ulteriori riferimenti in