FISICA NUCLEARE E SUBNUCLEARE II

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1 FISICA NUCLEARE E SUBNUCLEARE II Libri di Testo: NUCLEAR AND PARTICLE PHYSICS (BURCHAM AND JOBES) INTRODUCTION TO HIGH ENERGY PHYSICS (PERKINS) Università degli studi di Roma La Sapienza Laurea Specialistica In Fisica Nucleare Anno Accademico: 007/008 Lezioni del docente: C. Dionisi Per qualsiasi appunto e/o correzione: Ultimo Aggiornamento: 31/10/008 ricmail@libero.it Riccardo Pompili.

2 Capitolo 1 ELEMENTI DI TEORI A DEL GR UPPI In questo Capitolo tratteremo la nozione di simmetria, uno dei concetti più importanti della Fisica. Concettualmente si ha una simmetria se, sotto l azione di una particolare trasformazione, un sistema (o alcune sue proprietà o le leggi che lo governano) rimane invariato. Un esempio banale è dato dalla rotazione di una sfera attorno ad un qualsiasi diametro, dove si ha che la sfera stessa rimane invariata 1. Da un punto di vista più formale, questo significa dire che la descrizione matematica risulta invariante per trasformazioni di rotazione attorno al diametro. 1.1 Gruppi e loro proprietà Le simmetrie possono essere discrete (come la parità, la coniugazione di carica e l inversione temporale) o continue (traslazioni, rotazioni e trasformazioni tra sistemi di riferimento inerziali), che dipendono da una o più variabili continue (coordinate, angoli e velocità). Per descrivere le simmetrie in linguaggio matematico si utilizza il concetto di gruppo. Un gruppo G è un insieme di elementi g 1, g, g 3 che gode di alcune caratteristiche particolari: Deve essere dotato di una legge di composizione (detta moltiplicazione m) per la quale valgono le proprietà di chiusura e associatività. Per la prima si ha che se g 1, g G m(g 1, g ) G, mentre per la seconda si ha m g 1, m g, g 3 = m m g 1, g, g 3. Deve contenere, come elementi, l identità e e l inverso g 1. L identità si ha quando m e, g = m g, e = g, g G; l inverso, invece, si presenta quando m g 1, g = m g, g 1 = e, g G. 1 Un esempio meno banale consiste nell avere un interazione (tra i costituenti del sistema) che non varia con il tempo: in questo caso si ha l invarianza (costanza) dell energia totale del sistema.

3 Da notare che nelle proprietà richieste non è presente la commutatività, che vale in alcuni casi particolari (traslazioni, ecc.) ma non in altri (rotazioni e prodotto tra matrici). Un esempio di composizione è dato dall addizione (+) tra i numeri interi Z: questa operazione, infatti, rispetta tutte e quattro le condizioni elencate precedentemente. Un secondo esempio di composizione è rappresentato dalla moltiplicazione ( ) con il gruppo complesso delle fasi U 1 = e iθ. Il gruppo U 1 è composto da matrici 1 1 complesse e unitarie (U U = UU = 1), che dipendono da un solo parametro. È facile verificare che in questo caso la moltiplicazione rispetta tutte e quattro le precedenti ipotesi 3. A tal proposito è bene dire che le equazioni di Maxwell sono invarianti per trasformazioni (di fase) U 1 : questo significa che ci deve essere una carica elettrica costante. Un altra nozione utile riguarda l ordine di un gruppo, cioè il numero di elementi che compongono il gruppo stesso; se l ordine è finito (infinito) il gruppo si dice finito (infinito). Mentre U 1 ha ordine infinito (ci sono infiniti angoli tra 0 e π), il gruppo delle permutazioni di 3 oggetti, indicato con S 3, è finito (ci sono 3! = 6 elementi); anche il gruppo delle rotazioni nello spazio euclideo tridimensionale, SO 3, è infinito 4. Tornando a quanto detto prima, G è commutativo o abeliano se g 1, g G abbiamo: m( g, g ) m( g, g ) 5. (1.1) 1 1 Un gruppo abeliano è quello delle traslazioni; i gruppi S 3 e SO(3), invece, non lo sono. Procedendo nella nomenclatura, un gruppo infinito è detto continuo se il numero degli elementi è infinito e non enumerabile (cioè non in corrispondenza biunivoca con l insieme dei numeri interi). Analizziamo ora il concetto di sottogruppo. Un sottoinsieme κ G è detto sottogruppo di G se l insieme dei suoi elementi è un gruppo con la stessa legge di composizione di Si ha infatti che z 1 + z Z, z 1 + z + z 3 = (z 1 + z ) + z 3, 0 + z = z + 0 = z e infine z z = 0. NB: se cambiamo la legge di composizione adottando la moltiplicazione ( ), ad esempio, si ottiene che l inverso non appartiene più a Z, visto che 1/z Z. 3 Stavolta abbiamo e iθ 1 e iθ 1 U(1), e iθ 1 e iθ e iθ 3 = e iθ 1 e iθ e iθ 3, e 0 e iθ i = e iθ i e 0 = e iθ i e, infine, e iθ e iθ = e 0 = 1. 4 Per i gruppi S 3 e SO 3 non vale la proprietà commutativa m g 1, g = m(g, g 1 ). 5 Se g 1, g sono matrici ed m è il prodotto righe per colonne, allora g 1 g = g g 1. 3

4 G; ad esempio, le permutazioni pari (che si ottengono con un numero pari di scambi dalla sequenza principale 1,,3 costituiscono un sottogruppo di S 3. Analogamente, il gruppo delle rotazioni attorno all asse z è un sottogruppo di SO(3). Se abbiamo un sottogruppo I del gruppo g, questo è invariante se i I, g G si ha: 1 m( g, m( i, g )) i ' I 6. (1.) Conoscendo a questo punto il concetto di invariante, un gruppo G è detto semplice se non ha sottogruppi invarianti (a parte l identità e il gruppo stesso). È invece detto semisemplice se non ha sottogruppi invarianti abeliani 7. Nelle applicazioni fisiche, i gruppi semisemplici hanno un particolare rilievo visto che le loro rappresentazioni matriciali hanno importanti proprietà (ci permetteranno di classificare i multipletti, cioè gli autostati dell operatore). Partendo da due gruppi G 1 e G è possibile a questo punto definire il gruppo prodotto interno, indicato con G 1 G. Questo è costituito da tutte le coppie ordinate g 1, g, con g 1 G 1 e g G, che verifica le proprietà gruppali ed è dotato della seguente legge di composizione tra due coppie ordinate g 1, g e g 1, g : M[( g, g ),( g, g )] [ m ( g, g ), m ( g, g )], (1.3) ' ' ' ' Dove M indica la particolare legge di composizione. L addizione del momento angolare orbitale e dello spin è un esempio di prodotto diretto tra i gruppi SO 3 e SU. Altri importanti esempi sono: L unificazione delle interazioni debole (governata dalla simmetria dello spin debole SU ) ed elettromagnetica (cioè U(1)) in SU U 1. L ulteriore unificazione che si ha con le interazioni forti SU 3 e che da origine al Modello Standard, cioè SU 3 SU U 1. Sapendo come sono state classicamente definite le funzioni di numeri reali o complessi (cioè delle leggi ben definite che associano ad un numero uno o più altri numeri), in maniera analoga si può definire una applicazione (simile alla funzione) che associ ad un 6 Se abbiamo due matrici g ed i, il prodotto righe per colonne fa sì che gig 1 = i I. 7 Se il gruppo è semplice sarà anche semisemplice, ma non sarà vero il viceversa. Le rotazioni tridimensionali attorno ad un asse sono un sottogruppo abeliano di SO 3 non invariante: per questo SO(3) appartiene ai gruppi semisemplici. Invece SU(n), per n, è semplice. 4

5 elemento di un gruppo uno o più elementi di un altro gruppo. Pertanto, una generica applicazione φ: G 1 G è chiamata omomorfismo se ' ' ' g ( g ), g ( g ) g, g G (1.4) m( g, g ) [ m( g, g )] m[ ( g ), ( g )] G. (1.5) ' ' ' In particolare, una volta definito l omomorfismo, è possibile effettuare due distinzioni: Se l omomorfismo è biunivoco (cioè esiste una relazione uno a uno tra gli elementi di G 1 e G ) allora si chiama isomorfismo. Se l applicazione è tale che G 1 = G, allora un omomorfismo diventa un endomorfismo, mentre un isomorfismo diventa un automorfismo (cioè se a g 1 G 1 corrisponde uno ed un solo g G G 1 ). 1. Gruppi di Lie L uso dei gruppi di Lie risulta molto utile per descrivere la fisica poiché questi hanno una forma infinitesimale e dunque è possibile utilizzare un linguaggio differenziale. Un Gruppo di Lie è un gruppo continuo i cui elementi sono funzioni analitiche, ossia continue e C (infinitamente differenziabili), dipendenti da un numero finito di parametri α 1, α,, α N. Sono particolarmente importanti i gruppi di Lie connessi poiché, grazie alle proprietà di analiticità, si può connettere con continuità l elemento identità a qualsiasi altro elemento del gruppo (tramite un semplice sviluppo in serie di Taylor). Perciò, un tipico elemento di un gruppo di Lie (connesso) g G è una trasformazione che si può scrivere nel modo seguente: g g( 1,,..., N ) exp i T, (1.6) e in questo modo per α piccoli abbiamo che g 1 + iα T, dove abbiamo indicato con α i i parametri (reali o complessi) che sono continui. Il gruppo si dice compatto se i parametri variano in un intervallo chiuso e limitato. Un esempio di gruppo compatto è dato dalle rotazioni, mentre le traslazioni non lo sono (una traslazione può non essere infinitesima). Poiché per gli α i si ha i = 1,,, N, il numero N è anche la dimensione del gruppo di Lie in esame. 5

6 L insieme degli operatori 8 T i, con i = 1,,, N, presenti nella relazione (1.6) sono chiamati generatori del gruppo di Lie in esame e permettono, attraverso l esponenziazione, di scrivere un elemento del gruppo in modo economico : infatti è più semplice studiare le proprietà di N generatori anziché quelle degli infiniti elementi che compongono il gruppo di Lie in esame. Se il gruppo di Lie è unitario e con parametri reali, allora i generatori T i sono hermitiani. Infatti, poiché U U = UU = 1 U = U 1 e di conseguenza avremo che: U exp i T exp i T exp i T U 1, (1.7) dove nell ultimo passaggio abbiamo utilizzato l hermitianità dei generatori e il fatto che i parametri α i sono reali. Poiché vanno in ogni caso rispettate le proprietà gruppali, queste si traducono immediatamente (grazie all esponenziazione) in relazioni di commutazione tra generatori e, grazie all associatività, si ottiene anche l identità di k Jacobi (i fattori C ij sono chiamati costanti di struttura): k [ Ti, Tj ] icijtk [[ T, T ], T ] [[ T, T ], T ] [[ T, T ], T ] 0. (1.8) i j n j n i n i j 1.3 Algebra di Lie Le regole di commutazione rappresentano, dunque, un opportuna legge di composizione per il gruppo dei generatori. Insieme all identità di Jacobi, queste definiscono altresì l algebra (ossia uno spazio vettoriale lineare dotato di una legge di composizione) associata al gruppo di Lie in esame. L algebra di Lie, infatti, è lo spazio vettoriale astratto nel quale: Gli elementi sono i generatori. La legge di composizione è data dalle regole di commutazione 9. Si deve verificare l identità di Jacobi. 8 Per definizione si ha che T i = θ/ α i α=0. 9 Potrebbero anche essere regole di anticommutazione. 6

7 Un algebra di Lie si dice semplice se ha solo ideali 10 banali, come ad esempio l algebra stessa. Si chiamerà semisemplice se non ha ideali abeliani (commutativi). È bene precisare che un algebra semplice è anche semisemplice, ma non è vero il viceversa. Lo studio delle algebre 11 di Lie semisemplici è quello più rilevante per le applicazioni fisiche (come SU n ) poiché sono esprimibili come somma diretta di algebre semplici. A livello di gruppi, un gruppo semisemplice si potrà esprimere come prodotto diretto di gruppi semplici 1. Il rango dell algebra di Lie è dato dal numero massimo di generatori che commutano tra loro; quindi dà il numero di generatori che potranno essere rappresentati da matrici diagonalizzabili simultaneamente. Ad esempio, il rango dell algebra dei generatori di SU n è n 1, mentre la dimensione (cioè il numero di generatori) è n 1. Gli operatori, che si costruiscono a partire dai generatori del gruppo e che commutano con tutti i generatori e anche tra di loro, si chiamano operatori di Casimir 13. Per esempio, se T = T i i commuta con tutti i generatori T i, allora T è proprio un operatore di Casimir. L esempio più noto è dato dal quadrato del momento angolare. Dato dunque un gruppo di Lie, per quanto detto prima, questo individua una sola algebra e non è vero il viceversa visto che data un algebra si possono individuare gruppi di Lie diversi Ca so delle rota zioni Vediamo ora il gruppo delle rotazioni nello spazio euclideo R 3. In questo caso le rotazioni dipendono in modo continuo dagli angoli che definiscono la rotazione stessa (i 10 Una sub algebra dell algebra di Lie, A, è chiamata un ideale I se i I e a A si ha [i, a] I. 11 NB: non c è corrispondenza biunivoca tra i gruppi di Lie e l algebra di Lie. Infatti lo schema con cui si procede è: Gruppo di Lie Generatori del gruppo Algebra di Lie. 1 Altre proprietà importanti derivano dal Teorema di Racah. 13 Per i gruppi semisemplici il numero degli operatori di Casimir è uguale al rango (Teorema di Racah). Questa proprietà apre la possibilità di ridurre una rappresentazione multidimensionale (riducibile) in somma diretta di rappresentazioni di dimensioni più piccole (irriducibili), corrispondenti a spazi invarianti di dimensione ridotta, identificati dagli autovalori dell operatore di Casimir. 14 Ad esempio, l algebra delle matrici di Pauli e quella delle rotazioni tridimensionali è la stessa, ma con lo spin SU si usano le matrici di Pauli, mentre con il gruppo speciale ortogonale delle rotazioni SO 3 si utilizzano come generatori le matrici

8 tre angoli di Eulero) e si tratta di un Gruppo di Lie perché si può passare con continuità dalla matrice identità δ i,k ad una qualsiasi altra rotazione, visto che la dipendenza dagli angoli è data dalle funzioni analitiche coseno e seno; il gruppo, inoltre, è compatto perché gli angoli variano nell intervallo 0,π. Nello spazio R 3 le rotazioni hanno, come rappresentazione, le matrici La notazione SO 3 con la quale si indica il gruppo delle rotazioni sta a significare che si tratta di un gruppo speciale (il determinante delle matrici è det = +1) e ortogonale 16 (conserva il prodotto scalare). Consideriamo ora, per semplicità, una rotazione attorno all asse z, che avrà le equazioni x ' cos( ) x sin( ) y y ' sin( ) x cos( ) y. (1.9) z' z Se utilizziamo la rappresentazione matriciale, possiamo considerare sia i vettori colonna della relazione (1.10) che i vettori riga della (1.11), caratterizzati dalle forme seguenti: x ' cos sin 0 x x y ' sin cos 0 y Rz y (1.10) z ' z z cos sin 0 T x ' y ' z ' ( xyz) sin cos 0 ( xyz) R z (1.11) Si nota chiaramente che il determinante di det R z = +1, come ci si aspettava. La proprietà di invarianza del prodotto scalare (ossia del modulo del vettore) si traduce in una relazione tra la matrice R z e la sua trasposta R T z : con opportuni calcoli, infatti, si ottiene che R T z R z = I, ossia la matrice identità. Poiché il parametro di queste rotazioni è θ, per trovare i generatori basta fare uno sviluppo in serie di Taylor (chiaramente per θ = 0 dalla (1.10) si ottiene la matrice identità). Pertanto, per piccoli θ otteniamo che 15 Se agiscono su spazi di funzioni, ad esempio, la loro rappresentazione potrà cambiare dimensionalità. 16 Per questo SO 3 è un sottogruppo di O 3 : quest ultimo, infatti, contiene anche l inversione spaziale (det = 1), che non può essere connessa con continuità alle rotazioni (det = +1). 8

9 Rz I i T3 expi T3 (1.1) dove T 3 è una matrice hermitiana. Se si segue lo stesso ragionamento per il caso generale, allora possiamo ottenere che l esponenziale ha la forma indicata di seguito: R(,, ) exp it it it. (1.13) 1 3 A questo punto possiamo calcolare i tre generatori, come ricavato nella (1.14). È bene notare che possiamo diagonalizzare un solo generatore alla volta, visto che il rango è T1 i 0 0 1, T i 0 0 0, T3 i (1.14) Come ci aspettavamo i generatori T 1, T, T 3 verificano le precedenti regole di commutazione (basta fare un calcolo diretto) e l identità di Jacobi Ne risulta dunque che [ T1, T ] it3 [ T, T3 ] it1 (1.15) [ T3, T1 ] it [[ T, T ], T ] [[ T, T ], T ] [[ T, T ], T ] 0 (1.16) Se ne conclude che i generatori T i forniscono l algebra di SO 3, che si indica con so 3. Utilizzando il tensore di Levi Civita 17 ε ijk è possibile scrivere in modo compatto le varie regole di commutazione: [ T, T ] i T (1.17) i j ijk j Nel caso di T 1, T, T 3 l operatore di Casimir sarà dato da una loro combinazione quadratica, e per questo commuta con tutti i generatori del gruppo; avremo pertanto che: T ( T ) ( T ) ( T ). (1.18) 1 3 Nel caso particolare dei generatori delle rotazioni, si vede chiaramente che le regole di commutazione sono le stesse degli operatori di momento angolare, mentre per SO 3 17 Questo tensore vale 0 se due indici sono uguali; vale 1 se i, k, j è una permutazione dispari di 1,,3 mentre vale +1 se i, k, j è una permutazione pari di 1,,3. 9

10 l operatore di Casimir non è altro che l operatore modulo quadro del momento angolare. In definitiva, è chiaro che lo studio dell algebra è equivalente allo studio delle proprietà del gruppo, ma risulta più semplice poiché il numero dei generatori è finito 18. Oltre alle rotazioni esistono altre simmetrie rilevanti nei processi fisici, che hanno la proprietà di avere una struttura infinitesimale e quindi si possono studiare analizzando direttamente l algebra di Lie dei generatori, piuttosto che il gruppo di Lie associato. 1.5 I mporta nti grup pi di Lie In questo paragrafo vedremo alcuni gruppi di Lie particolarmente rilevanti per la Fisica. Gruppi ortogonali: sono matrici reali n n con det = ±1 che lasciano invariato il prodotto scalare di due vettori. Il numero di generatori sarà n(n 1)/. Se la proprietà di ortogonalità è quella familiare allora si avrà O T O = I e si indicano con O n. Nel caso più generale si usa il tensore metrico g μv e si avrà O T go = g. Il gruppo si indica con O m, n e, nel caso dello spazio di Minkowski, il gruppo O 3,1 descriverà le rotazioni spazio temporali (se det = +1) o le inversioni spaziali e temporali (se det = 1). Gruppi unitari (connessi): si indicano con U n e lasciano invariato il prodotto scalare nello spazio di Hilbert (infinito dimensionale). Le matrici complesse unitarie sono n n definite da n parametri e n generatori hermitiani. Gruppi unitari speciali (connessi): si indicano con SU(n); le matrici sono complesse n n unitarie con det(a) = +1, a SU n. I generatori sono n 1 19 e devono avere traccia nulla 0 ; il rango è n 1. Esempi di gruppi unitari speciali sono SU (interazioni deboli) e SU 3 (interazioni forti). Gruppi simplettici: sono matrici n n che lasciano invariata la matrice antisimmetrica seguente 18 Questa osservazione sarà di particolare rilievo quando si passerà dalle trasformazioni delle coordinate cartesiane alle trasformazioni di funzioni che dipendono da coordinate cartesiane. 19 A causa del vincolo det(a) = Infatti è necessario che det(a) = exp i n α n Tr T n = 1. 10

11 0 I I 0 S, S. (1.19) I 0 0 I 1.6 Ra ppresenta zioni di un Gr u ppo Finora abbiamo considerato l azione delle rotazioni sugli elementi di uno spazio euclideo tridimensionale(l insieme delle coordinate cartesiane x, y, z ) e per questo ora generalizzeremo lo spazio su cui gli elementi del gruppo agiscono. In particolare, ci soffermeremo sugli elementi di uno spazio vettoriale lineare, che sta alla base del linguaggio matematico utilizzato in Meccanica Quantistica. Considereremo dunque la rotazione R e la funzione d onda ψ x e andremo ad applicare la trasformazione x = Rx per vedere come si trasforma ψ x ψ x. Tuttavia, prima di rispondere a questa domanda tratteremo il concetto di rappresentazione. Come è risultato dalle affermazioni precedenti, un gruppo G può avere molte (infinite) rappresentazioni. Ad esempio, nel caso delle rotazioni, due possibili rappresentazioni per i tre generatori sono quella in forma differenziale 1 per spazi infinito dimensionali, (come quello di Hilbert) e quella in forma di armoniche sferiche, in cui gli operatori saranno matrici in spazi finito dimensionali (3 3 nello spazio euclideo). Tuttavia, se esiste una corrispondenza biunivoca tra matrici ed elementi g del gruppo G (ossia una sola rappresentazione per l elemento g), si parlerà di rappresentazione fedele. La rappresentazione fondamentale di un gruppo è quella particolare rappresentazione fedele con le dimensioni più piccole (perché rappresenta fedelmente le proprietà del gruppo). Per i gruppi abeliani, la rappresentazione fondamentale è 1 1: i numeri, infatti, commutano tra di loro e quindi si ottiene una rappresentazione fedele di un gruppo abeliano! Invece, per i gruppi non abeliani (come SU n con n ) la dimensionalità della rappresentazione fondamentale deve essere maggiore di 1: in 1 NB: questo nel caso delle rotazioni; se trattiamo le traslazioni nello spazio euclideo (tridimensionale e dunque finito dimensionale), queste avranno una forma differenziale! In generale, deve essere possibile costruire l inversa della matrice che rappresenta l elemento g del gruppo G, per poter soddisfare la proprietà gruppale di esistenza dell inverso. Per questo il determinante della matrice deve essere necessariamente diverso da zero. 11

12 questo caso, infatti, sono necessarie delle matrici per soddisfare le regole di commutazione ed avere, quindi, una rappresentazione fedele. In Meccanica Quantistica la rappresentazione unitaria risulta particolarmente adatta, visto che permette di conservare le probabilità. Le matrici in questa rappresentazione sono quindi unitarie (UU = I) e permettono dunque di conservare il prodotto scalare tra i vari vettori di uno spazio vettoriale complesso, quale appunto lo spazio di Hilbert. Se D g è una rappresentazione dell elemento g del gruppo in esame, allora D g è detta rappresentazione complessa coniugata del gruppo. Se ad esempio abbiamo una rappresentazione di g corrispondente ad una rappresentazione dei generatori T i espressa nella forma D g = exp i i α i T i, la rappresentazione complessa coniugata sarà * * D ( g) exp i iti, (1.0) i e i generatori, in questo tipo di rappresentazione, saranno T i. Un osservazione importante consiste nell affermare che se le due rappresentazioni dei generatori T i e T i non sono equivalenti 3 allora i vettori di base (e gli autovalori) saranno diversi per la rappresentazione e la sua coniugata. Questo si verifica nel caso di SU 3, mentre in SU le stesse coincidono 4. Vedremo in seguito che questo fatto permetterà di introdurre il concetto di particella e antiparticella. Date due rappresentazioni D g e D g del gruppo G, il prodotto diretto delle due rappresentazioni è la rappresentazione di g che agisce sullo spazio vettoriale ottenuto dal prodotto tensoriale tra i vettori di base delle rappresentazioni D g e D g : ' ' [ D( g) D'( g)]( vi vk ) [ D( g) vi ] [ D'( g) vk ] (1.1) 1.7 Co struzione della rapprese nta zione La costruzione della rappresentazione per un certo gruppo G è uno dei problemi fondamentali della teoria delle rappresentazioni dei gruppi; in Meccanica Quantistica la 3 Ossia si verifica che ST i S 1 T i. 4 Nel dettaglio, in SU è possibile trovare una matrice che, applicata a tutti i T i permette di ricavare tutti i T i. In SU 3, invece, non troverò la stessa matrice per passare dai vari T i ai T i. 1

13 pratica più usuale è trovare le autofunzioni degli operatori interessati. Come esempio pratico riprendiamo in esame il gruppo delle rotazioni SO 3. In precedenza avevamo ottenuto (in modo esplicito) la rappresentazione dei generatori di SO 3 quando lo spazio vettoriale è lo spazio euclideo tridimensionale. Vediamo ora cosa succede se si ha uno spazio vettoriale più astratto, ad esempio lo spazio delle funzioni scalari in R 3. Consideriamo dunque una funzione ψ r scalare (cioè che rimane invariata se ruotiamo il sistema di riferimento) e le rotazioni 5 attorno all asse z: avremo dunque r = R z r, con r x, y, z. La funzione ψ r altro non è che il prodotto scalare tra un vettore ψ (appartenente allo spazio di Hilbert) e il vettore r, cioè ψ r = r ψ. Se ruotiamo il sistema di riferimento con R z allora otteniamo ' UR [ z ], (1.) dove U è l operatore che produce la rotazione nello spazio dei vettori ψ. Si ha dunque r ' ' r ' U[ R z ]. (1.3) La forma (o meglio la rappresentazione) dell operatore U presente nella (1.3) può essere ricavata andando a calcolare r 1 U r nella rappresentazione delle coordinate. Per ottenere questo prodotto scalare ricordiamo che, per ipotesi, abbiamo scritto r ψ = ψ r = ψ r = r ψ : possiamo così supporre una rotazione infinitesima attorno all asse z di un angolo φ e sviluppare il calcolo. Dimostrazione: r ψ = ψ r = ψ r = ψ R z 1 r ψ r φt 3 r ψ x + φy, y φx, z ψ r ψ r + φy dx ψ r φx dy = ψ r + φ y x ψ dx dy r exp iφl 3 ψ r = exp iφl 3 r ψ = r U ψ, avendo usato la relazione di completezza dr 1 r 1 r 1. In conclusione, la rappresentazione cercata è r ' U r exp i L r ' r exp i L ( r ' r ), (1.4) ' ' ' La rotazione può essere interpretata in due modi: se il sistema di riferimento rimane fisso e cambiamo la posizione del vettore r la trasformazione è detta attiva; se il vettore rimane fisso e trasformiamo il sistema di riferimento, allora la trasformazione è detta passiva. 13

14 che ci permetterà di descrivere una trasformazione attiva da ψ a ψ, una volta fissato il sistema di riferimento. La rappresentazione dello spazio infinito dimensionale sarà: r ' ' r ' U. (1.15) Nella (1.3) il generatore T 3 ha la forma familiare di L 3 (con L = ir ), ossia una derivata rispetto all angolo di rotazione attorno all asse z (angolo polare). Se invece proviamo a considerare i suoi autostati, possiamo costruire uno spazio vettoriale finito dimensionale su cui opera T 3 e, di nuovo, possiamo vedere che rappresentazione ha T 3 in questo caso. In particolare si otterrà una rappresentazione matriciale con autostati exp( im ), m [ m max, m max ]. (1.6) 1.8 Ra ppresenta zioni Riduci bili e Irriducibili Una rappresentazione matriciale è detta riducibile, se si può trasformare la matrice (con delle trasformazioni di similitudine) in una matrice a blocchi, come nel caso seguente: A 0 0 D 0 B 0, (1.7) 0 0 C dove A, B, C sono rappresentazioni di dimensionalità, in generale, diversa e gli zeri intendono matrici con tutti zero. Perciò in questo D è riducibile perché è costruita a partire da ben individuate rappresentazioni più piccole. Se, ad esempio, A e C sono matrici che operano su vettori bidimensionali mentre B è una matrice 3 3 che opera su vettori tridimensionali, allora lo spazio vettoriale su cui opera D si decompone in sottospazi invarianti 6, grazie alla forma a blocchi. Possiamo così scrivere la matrice D A B C, (1.8) come una somma diretta di A, B, C che saranno matrici irriducibili, visto che non possono essere a loro volta scritte in forma a blocchi. Nel caso di D = A B, con dim A = 1 e dim B = 3, il primo corrisponde a un singoletto e il secondo a un tripletto. 6 NB: se esiste una trasformazione che diagonalizza A allora la stessa non potrà diagonalizzare B e C! 14

15 Se l Hamiltoniana del sistema gode di una certa simmetria, i suoi autostati si potranno raggruppare per formare multipletti (degeneri). Il multipletto corrisponde a una ben precisa rappresentazione irriducibile 7 del gruppo che descrive la simmetria dell Hamiltoniana. Un esempio è costituito dai multipletti di una Hamiltoniana che gode della simmetria per rotazioni nello spazio euclideo: gli autostati di H saranno anche autostati di T e T 3 e si raggrupperanno in multipletti, basi delle rappresentazioni irriducibili del momento angolare. Una importante conclusione permette di affermare che per i gruppi di Lie compatti ogni rappresentazione unitaria è (completamente) riducibile, e ogni rappresentazione irriducibile è finito dimensionale. Di conseguenza, se un certo sistema gode di una certa simmetria (che si manifesta con l esistenza di multipletti), i seguenti passaggi logici ci permetteranno di effettuare le dovute considerazioni: Si determina il gruppo delle trasformazioni associato alla simmetria in esame. Si trovano tutte le rappresentazioni irriducibili (se ne fornisce la catalogazione). Le autofunzioni corrispondenti alle varie rappresentazioni irriducibili sono le uniche autofunzioni permesse dal sistema che gode della simmetria in esame. In conclusione è utile ricordare che per un gruppo di Lie potremmo indifferentemente discutere delle rappresentazioni degli elementi del gruppo o delle rappresentazioni dei generatori, grazie all esponenziazione che lega i due sistemi ricavata in precedenza. 1.9 Ese mpio di SU() Il generico elemento di SU è unitario con det = +1 e per questo i tre generatori sono hermitiani e a traccia nulla e si indicano con S x, S y, S z. L algebra ha dimensione 3 (per la relazione n 1), mentre il rango è 1 (per la relazione n 1). Poiché il rango indica il numero di generatori che commutano, allora i generatori di SU (che vedremo essere le matrici di Pauli) commutano solo con se stessi. Ne risulta dunque che 7 Per i gruppi di Lie semisemplici, gli operatori di Casimir permettono di catalogare le rappresentazioni irriducibili del gruppo stesso (Teorema di Racah). In Meccanica Quantistica, ad esempio, cataloghiamo i multipletti con gli autovalori di L, ossia scriviamo l, l z : l cataloga tutti i vari l z. 15

16 [ S, S ] i S (1.9) i j ijk k [[ S, S ], S ] [[ S, S ], S ] [[ S, S ], S ] 0 (1.30) Per questo motivo avremo al massimo un generatore dotato di rappresentazione matriciale diagonale. La rappresentazione fondamentale, che si indica con D 1/ (o con il, mettendo in evidenza la sua dimensionalità), è la. In questo specifico caso è nota la relazione tra i generatori e le matrici di Pauli S = ς/ e lo spazio vettoriale su cui agisce è dato dai due vettori di base 1/, ±1/. Le matrici di Pauli 8 sono date da: i 1 0,, x 1 0 y i 0 z. (1.31) 0 1 L operatore di Casimir che si ottiene ricalca la forma già incontrata poco prima e cioè S S S S, (1.3) x y z con autovalori S S + 1. Il valore di S permette così di catalogare le rappresentazioni irriducibili. La forma generica di un elemento del gruppo di SU (da ricordare che l algebra di SU è la stessa di SU 3 ) è: U( ) exp is. (1.33) Vediamo ora di ricavare la rappresentazione irriducibile degli elementi del gruppo partendo dalla rappresentazione dei generatori. Se consideriamo una rappresentazione per la rotazione di uno stato quando si fa una rotazione R z (sull asse z), otteniamo n i z U R z expi z I cos i z sin 9, (1.34) n n! dove con I si intende la matrice identità. Per ottenere la rappresentazione coniugata D 1/ si devono costruire i generatori ς i ; ma poiché questi generatori sono equivalenti ai generatori iniziali (esiste, infatti, una trasformazione di similitudine che li mette in relazione 30 ), se ne conclude che questi non hanno rappresentazioni 8 NB: valgono le seguenti relazioni di anticommutazione: ς i, ς j = δ ij. Infine, combinando le regole di commutazione ed anticommutazione si può scrivere l utile relazione per i j ς i ς j = iς k. 9 Nel calcolo sono state utilizzate la relazioni delle matrici di Pauli ς z n = I e ς z n+1 = ς z. 30 Valgono infatti le seguenti formule: ς y ς x ς y = ς x, ς y ς y ς y = ς y e ς y ς z ς y = ς z. 16

17 differenti. Nel caso di SU 3, invece, si sarebbe ottenuto che D g D g. Per avere rappresentazioni irriducibili con dimensione più alta, analizziamo il prodotto diretto. (1.35) In questo caso di genera uno spazio vettoriale con 4 dimensioni (la base è costituita da 4 vettori), ottenuto dal prodotto diretto degli spazi vettoriali corrispondenti alla prima e alla seconda rappresentazione. Detto in altre parole, lo spazio che si ottiene è dato dal prodotto diretto dei vettori base ψ ij = χ i χ j, e dunque si ha 11 1/,1/ 1/,1/ 1 1/,1/ 1/, 1/ 1/, 1/ 1/, 1/ 1 1. (1.36) 1/, 1/ 1/,1/ 1/, 1/ 1/, 1/ La rappresentazione risulterà ovviamente riducibile, visto che su questo spazio operano gli elementi del gruppo ottenuto dal prodotto diretto exp i S 1 exp i S exp i S, (1.37) dove abbiamo potuto scrivere che S = S 1 + S grazie alla forma esponenziale e al fatto che i due operatori commutano tra di loro, cioè S 1, S = 0. Possiamo catalogare i vettori base utilizzando gli autovalori della terza componente di S (dati dalla somma degli autovalori della terza componente di S 1 e S ) e l autovalore dell operatore di Casimir S. Nella (1.36) la prima e quarta componente del tensore (cioè ψ 11 e ψ ) corrispondono, rispettivamente, a S 3 = ±1 e S = 1 e sono simmetrici rispetto allo scambio degli indici. Invece per la seconda e terza componente del tensore (ψ 1 e ψ 1 ) dobbiamo costruire due opportune combinazioni lineari, perché 1/,1/ 1/, 1/ e 1/, 1/ 1/,1/ hanno entrambe S 3 = 0 mentre S non è definito! Le combinazioni lineari corrispondono, rispettivamente, alla combinazione simmetrica (S = 1 e m 1 + m = 0, cioè 1,0 ) e antisimmetrica (S = 0 e m 1 + m = 0, cioè 0,0 ) che sono state riportate esplicitamente nella (1.39). Poiché alla fine sono stati ottenuti uno stato di singoletto e uno di tripletto, si ha che è scomponibile nei due blocchi 1 3 (1.38) 17

18 1 1/,1/ 1/, 1/ 1/, 1/ 1/,1/ 1 1/,1/ 1/, 1/ 1/, 1/ 1/,1/ (1.39) Quindi la rappresentazione riducibile 4 4 si decompone in due rappresentazioni irriducibili di dimensione 1 1 e 3 3, con i ben noti vettori di base (singoletto e tripletto). È di fondamentale importanza rimarcare che per ottenere questa decomposizione abbiamo sfruttato le proprietà di permutazione degli indici del tensore ψ ij. Questo è il metodo generale da utilizzare anche nei casi di dimensionalità più grande, in maniera tale da ottenere i vettori di base in forma esplicita Cenni al Meto do Grafico in SU() È possibile utilizzare un metodo grafico per ottenere gli autovalori che individuano le rappresentazioni irriducibili del prodotto tensoriale = 3 1, utile per passare dal prodotto diretto a una somma (diretta) di rappresentazioni irriducibili. Quello che si fa è porre il baricentro del secondo segmento (corrispondente alla seconda rappresentazione) sugli estremi del primo (che rappresenta la prima rappresentazione). -½ +½ -½ +½ -½ +½ -½ +½ -½ +½ Quindi, se siamo interessati soltanto agli autovalori che individuano i vettori base (i multipletti) delle rappresentazioni irriducibili (di una data rappresentazione riducibile), 18

19 si può generalizzare il metodo grafico precedente, che risulta essere nient altro che la traduzione grafica dell azione degli operatori di innalzamento e abbassamento S ± = S x + is y. Questi fanno passare dal vettore S, S 3 al vettore S, S 3 ± 1, il quale appartiene allo stesso multipletto (identificato dall operatore di Casimir S ). Altri esempi pratici del metodo grafico sono i seguenti (non vengono riportate le immagini): 1. (1.40) 3 4 Questo procedimento risulta particolarmente utile quando si trattano sistemi composti da più particelle. Se ad esempio si considerano due bosoni W dovremmo comporre due rappresentazioni 3 3 (ossia calcolare 3 3); anche con due pioni (l isospin è 1 visto che le particelle π 0, π +, π sono tre!) sarebbe necessario comporre due rappresentazioni 3 3. Tuttavia, grazie a questo metodo, possiamo conoscere quanti e quali stati ci sono Siste mi di due e tre fer mioni Analizziamo dapprima il caso semplice di due fermioni. Lo spin totale si otterrà dal prodotto diretto di due rappresentazioni irriducibili, esattamente come prima e per questo si avrà = 1 3. Se analizziamo come si trasforma il vettore di base della rappresentazione irriducibile 1 sotto l azione dello scambio di posto dei due fermioni, allora si trova che lo stato di base è antisimmetrico; invece i tre vettori base della rappresentazione irriducibile 3 sono simmetrici. In questo senso possiamo riscrivere la decomposizione del prodotto diretto mettendo in evidenza le proprietà di permutazione dei vettori di base (cioè se sono simmetrici o antisimmetrici): 1 3. (1.41) Passiamo ora al caso di tre fermioni. Stavolta ho tre rappresentazioni da comporre e dunque il prodotto diretto sarà del tipo. Grazie alla proprietà associativa possiamo sfruttare la decomposizione del caso di due fermioni per poter scrivere che 1 [ ] 3 A S A S (1.4) 19

20 Il primo caso produce una rappresentazione, ma con proprietà di scambio di tre particelle diverso dal caso simmetrico o antisimmetrico: si hanno, cioè, stati misti antisimmetrici. Questi sono particolari stati in quanto risultano antisimmetrici nello scambio di due particelle (ad esempio 1,,3 1,3, ) e simmetrici nello scambio di tutte le particelle (cioè 1,,3,1,3 ). Non si ha, per così dire, una simmetria definita e simbolicamente si indica questo caso con 1 A = MA. Nel secondo caso si hanno due rappresentazioni irriducibili e 4. La prima ha vettori base misti simmetrici, mentre la seconda ha vettori base completamente simmetrici nello scambio di tutte e tre le particelle. Simbolicamente indichiamo questo caso con 3 S = MS 4 S. È importante sottolineare che nell ambito di SU non è possibile costruire stati di tre particelle completamente antisimmetrici, mentre con SU 3 vedremo che sarà possibile. 1.1 Ese mpio di SU 3 Lo studio di SU 3 è una generalizzazione di quanto abbiamo visto per SU. Passeremo infatti da un algebra di rango 1 ad un algebra di rango e avremo pertanto due generatori diagonalizzabili simultaneamente e due operatori di Casimir. Va ricordato inoltre che ora la rappresentazione coniugata non coincide con quella fondamentale 31 e per questo si avrà maggiore libertà nel costruire i multipletti; questa proprietà giocherà un ruolo essenziale nell applicazione alla fisica adronica di SU 3 per i concetti di particella e antiparticella. Per avere delle rappresentazioni unitarie con det = +1, i generatori dovranno essere ancora una volta hermitiani e a traccia nulla. L algebra ha dimensione 3 1 = 8 e rango 3 1 =. I generatori in SU 3 saranno dunque 8 e sono indicati con F i, con i = 1,,8. Per quanto riguarda le regole di commutazione (si somma sugli indici ripetuti) ne risulta che: [ F, F ] if F. (1.43) i j ijk k 31 In SU con la stessa trasformazione di similitudine potevamo passare da ς x, ς y, ς z a ς x, ς y, ς z. 0

21 Le costanti di struttura f ijk, come nel caso del tensore di Levi Civita per SU, sono totalmente antisimmetriche (f ijk = f jik = f ikj ). I valori espliciti per le componenti indipendenti e non nulle sono in totale 9, e vengono riepilogate nella tabella seguente. ijk f ijk 1 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 3/ 3/ Da notare che, avendo otto generatori, l identità di Jacobi non sarà una soltanto 3, bensì ne avremo 56, visto che dobbiamo sceglierne tre diversi alla volta (per SU avevamo solo tre generatori e, di conseguenza, una sola identità di Jacobi). In generale abbiamo: [[ F, F ], F ] [[ F, F ], F ] [[ F, F ], F ] 0. (1.44) i j k j k i k i j La rappresentazione fondamentale è la 3 3 (si indica con 3) in cui i generatori sono definiti con le matrici λ i di Gell Mann (con traccia nulla), per le quali si ha F i = λ i / i , i 0 0, , i , , i, i i Come si nota, le matrici λ i contengono, al loro interno, le matrici di Pauli: in effetti in SU 3 esiste un sottogruppo per cui vale l algebra di SU. Le regole di anti commutazione per queste matrici sono date da 4 i, j i j I dijkk, (1.45) 3, dove con d ijk è stato indicato un tensore totalmente simmetrico e con componenti indipendenti. Nella tabella seguente sono stati riportati alcuni valori di questo tensore. 3 Infatti sono possibili 56 permutazioni, visto che 8 3 = 8! 3!5! = 56. 1

22 ijk d ijk 1/ 3 1/ 1/ 1/ 3 1/ 1/ 1/ 3 1/ ijk d ijk 1/ 1/ 1/ 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 1/ 3 Effettuando un rapido controllo della tabella sulle costanti di struttura f ik (mostrata nella pagina precedente), si ottiene che F 3 e F 8 commutano tra loro, ossia si verifica che: [ F3, F8] 0, (1.46) e, di conseguenza, siamo riusciti a trovare due buoni candidati per la diagonalizzazione. Ricapitolando, il generico elemento del gruppo avrà otto parametri e si scriverà come U( 1,..., 8) exp i ifi. (1.47) i Nelle applicazioni di Fisica Adronica dove si utilizza il gruppo SU 3 di sapore (detto flavour, in inglese) per catalogare le masse dei barioni e dei mesoni (vengono raccolte in multipletti approssimati ), i generatori diagonali sono interpretati come la terza componente di isospin e come ipercarica. La notazione che viene utilizzata è data da T3 F3, Y F (1.48) 3 Poiché il rango di SU 3 è due, ci aspettiamo di trovare due operatori di Casimir, come: 3 C F F T T Y T T V V U U C 1 i 3 3 i1,8 4 i, j, k d F F F ijk i j k (1.49) Nel primo operatore di Casimir C 1 sono stati introdotti gli operatori T ± = F 1 ± if 34 (con Δt 3 = ±1 e Δy = 0), V ± = F 4 ± if 5 (con Δt 3 = ±1/ e Δy = ±1) e, per finire, U ± = F 6 ± if 7 (con Δt 3 = 1/ e Δy = ±1). È lecito utilizzare anche le combinazioni dei due operatori di Casimir, visto che i loro autovalori identificano un dato multipletto. 33 Nella 3 avremo che T 3 = λ 3 / e Y = λ 8 / Da notare che l applicazione dell operatore di creazione (distruzione) all autostato di autovalore massimo (minimo) dà, come risultato, zero.

23 La base della rappresentazione fondamentale, 3, è formata da tre vettori identificati dalla coppia di autovalori t 3, y degli operatori diagonali T 3, Y, in cui Y è l ipercarica (1,0,0), ;(0,1,0), ;(0,0,1) 0, Cenni al me t o do grafico in SU 3 A differenza di SU dove un solo autovalore distingue gli stati di un dato multipletto (basta una retta per ordinare gli autovalori del multipletto stesso), in SU 3 abbiamo bisogno di un piano. In particolare, se riportiamo sulle ascisse gli autovalori di T 3 e sulle ordinate quelli di Y, per la rappresentazione 3 si ottiene un triangolo isoscele. La rappresentazione grafica delle coppie di numeri quantici (cioè ipercarica e terza componente dell isospin) è dunque bidimensionale e permette di individuare i vettori del tripletto fondamentale di SU(3), 3. Le rappresentazioni coniugate sono quelle dei generatori F i e i vettori base sono individuati dagli autovalori degli operatori T 3 e Y (T 3 e Y sono hermitiani e diagonali e per questo reali). Il tripletto dei vettori base della rappresentazione coniugata si indica con 3 ed ha i seguenti autovalori: (1,0,0) 0, ;(0,1,0), ;(0,0,1), Se si disegna sul piano questa rappresentazione, si trova un triangolo isoscele con orientazione opposta a quella relativa al triangolo di 3 (cioè della rappresentazione fondamentale). Per questo motivo la 3 è distinta dalla 3. Nel caso di SU, avevamo che e coincidevano. Per ottenere gli autovalori t 3, y che, nel caso di dimensionalità maggiori (date dal prodotto diretto di due rappresentazioni), individuano i vettori base di un dato multipletto, si ricorre al metodo grafico sul piano appena introdotto per SU 3. Mentre in SU il metodo grafico era essenzialmente basato sull azione della coppia di operatori di innalzamento ed abbassamento S ±, per SU 3 abbiamo 3 insiemi di operatori: T ±, V ±, U ±. L immagine (a pagina seguente) rappresenta il risultato di

24 Il metodo grafico permette di ottenere gli autovalori che individuano le rappresentazioni irriducibili del prodotto tensoriale 3 3 = ; questi si determinano andando a sovrapporre il baricentro del triangolo della rappresentazione 3 su ognuno dei tre vertici del triangolo della rappresentazione 3. Ovviamente per l espressione esplicita dei vettori base di rappresentazioni irriducibili di dimensionalità dim 3 il metodo grafico non sarà più facilmente applicabile e si dovrà ricorrere anche questa volta alle proprietà di permutazione degli indici 36 del tensore base della rappresentazione riducibile. In generale, il tensore base della rappresentazione riducibile sarà composto da p autostati di 3 e q autostati di 3. La notazione sarà dunque: i i i... i 1 3 p j1 j j3... j. (1.50) q 1.14 Ese mpio di calcolo in SU 3 In questo paragrafo vedremo come scomporre in rappresentazioni irriducibili il doppio prodotto diretto 3 3 3, che potrebbe rappresentare un sistema con tre particelle in SU 3. Quello che si fa consiste, essenzialmente, nell utilizzare la proprietà associativa: 3 [3 3]. (1.51) 35 Nel centro dell esagono ci sono due autovalori perché è necessario completare il tripletto 1,0, 1 sia in verticale che in orizzontale. 36 Per SU 3 avremo sia indici alti (rappresentazione 3) che indici bassi (rappresentazione 3) e converrà utilizzare il metodo grafico dei Tableaux di Young. Infine, considerando le proprietà di orto normalità, si ottengono i coefficienti di Clebsch Gordan per SU 3. 4

25 Calcoliamo innanzitutto il prodotto, tra parentesi, 3 3. Usando alle rappresentazioni irriducibili del gruppo S, possiamo scomporre il prodotto diretto con una somma diretta 33 6S 3A. (1.5) Il calcolo (1.51) potrà pertanto essere scomposto in 3 6 s 3 3 A, dove 3 A è detto antitripletto. Bisognerà quindi andare a scomporre i singoli prodotti tra parentesi. Partendo da 3 3 A, potremmo usare le rappresentazioni irriducibili di S 3 per avere che: A A MA 37. (1.53) Basandosi su calcoli simili ai precedenti, è possibile ottenere la scomposizione di 3 6 s : 36S 8MS 10S. (1.54) Per concludere, siamo riusciti a scomporre in rappresentazioni irriducibili la (1.51): 333 1A 8MA 8MS 10S. (1.55) Finora abbiamo affrontato il problema dal punto di vista matematico; ora dobbiamo vedere, dal punto di vista fisico, se possiamo individuare una struttura di multipletti (come quella data da SU 3 ) che dimostri una simmetria dell Hamiltoniana forte. Se quest ultima avesse simmetria per SU 3, i multipletti avrebbero massa e autovalori dei due operatori di Casimir definiti, cioè T 3 e Y. Dobbiamo dunque capire due cose 38 : Se un tale insieme di valori possa corrispondere a qualche adrone (osservato). Se si ha un esatta degenerazione del multipletto (o se è soltanto approssimata). L analisi qui descritta ha portato, negli anni 60, a catalogare gli adroni per mezzo dei multipletti di SU 3. Questa è una simmetria approssimata (m u ~m d m s ) degli adroni (le loro masse in un multipletto sono quasi uguali) chiamata SU 3 di sapore 39. Il passo successivo è stata la scoperta di un gruppo di simmetria esatto ( m m m per ogni sapore) delle interazioni forti, che è stato chiamato SU 3 di colore. Rimane da definire un ultimo gruppo, quello di Poincarè, ma non lo faremo in questa trattazione. r g b 37 Lo stato base del singoletto 1 A è antisimmetrico rispetto ai tre indici degli stati che provengono uno dal tripletto e due dall antitripletto, mentre per gli otto stati 8 MA solo due indici possono essere simmetrici. 38 Ricordiamo che per completare l insieme dei numeri quantici dobbiamo tener conto anche del momento angolare totale, cioè SU 3 SU SU 6, e della parità. 39 SU 3 di sapore ha avuto un notevole successo nella fisica adronica con l identificazione di multipletti di dimensionalità 8 e 10. 5

26 Capitolo IL M ODELLO A QUA RK In questo Capitolo mostreremo come il gruppo SU 3, e il modello a quark che gli si associa, possano dare una buona descrizione dello spettro adronico che si osserva, nonostante la simmetria sia abbastanza rotta. Il più semplice ed elegante schema di SU 3 che descrive con successo lo spettro degli adroni è infatti il modello a quark proposto da Gell Mann e Zweig, i quali, introducendo un tripletto di quark con numero barionico B = 1/3, proposero che il tripletto fondamentale di SU 3 potesse essere formato da un doppietto di quark (con stranezza e isospin 40 rispettivamente pari a S = 0 e I = 1/) e da un singoletto di quark (con stranezza S = 1). Del primo fanno parte i quark up (u, I 3 = +1/) e down (d, I 3 = 1/), mentre al singoletto appartiene il quark strange (s, I 3 = 0) Classificazione generale d elle particelle Nella Fisica subnucleare si incontra un numero molto grande di particelle e per questo è utile suddividerle in gruppi, in accordo col tipo di interazione alla quale partecipano. Tutte le particelle cariche interagiscono in maniera elettromagnetica. Sono tuttavia presenti particelle che rispondono alle interazioni deboli e alle interazioni forti. Abbiamo dunque i leptoni (con spin 1/ e dunque fermioni) ed altre particelle chiamate adroni. A differenza dei leptoni che sono tutti fermioni, la famiglia degli adroni contiene al suo interno sia bosoni che fermioni. Gli adroni fermionici (spin semi intero) sono chiamati barioni, mentre quelli bosonici (spin intero) sono detti mesoni. 40 L isospin viene introdotto per primi da Heisenberg. Il neutrone e il protone, infatti, possono essere visti come stati alternativi di una particella di base, il nucleone. Per quantificare questa idea, Heisenberg introdusse un grado di libertà interno, l isospin, in completa analogia con lo spin s. Le due orientazioni dell isospin I (I = 1/) sono I 3 = +1/ per il protone e I 3 = 1/ per il neutrone. In questo modo la funzione d onda per i nucleoni diventa Ψ = ψ spazio ψ spin ψ(isospin). 41 Il tripletto coniugato 3 consiste di antiquark di segno opposto per i numeri quantici I 3, B, S. 6

27 . Particelle fondamenta li: l epto ni e quark Con i limiti attuali di risoluzione (approssimativamente m), i leptoni sono privi di struttura e per questo vengono considerati come particelle elementari. Come anticipato all inizio del Capitolo, nel 1964 Gell Mann e Zweig pensarono che gli adroni potessero essere formati da particelle chiamate quark. In base al loro accoppiamento, gli adroni si suddividono in mesoni, composti da un quark e un antiquark, con J P = 0 (lo spin totale è zero 4 ) e barioni, composti da tre quark, con J P = 1/ +. Le particelle che appartengono a questi gruppi si trovano elencate, rispettivamente, nella (.1) e (.) ,,,,,,, K K K K 0 (.1) 0 0 pn,,,,,,, (.) Sarà bene a questo punto definire i concetti di numero barionico, isospin e stranezza. In maniera molto semplice, ad ogni barione è assegnato un numero barionico B = +1, mentre ad ogni antibarione corrisponderà un B = 1. In tutti i tipi di interazione questo si conserva. Se la particella non è un barione, si porrà B = 0. Ricordiamo che l isospin è stato introdotto perché le interazioni forti non distinguono i comportamenti del protone e del neutrone: per questo motivo è utile asserire che il nucleone ha un grado di libertà interno descritto dall isospin. Alcune particelle impiegate in certe reazioni mostravano un comportamento strano. La particella Λ 0, ad esempio, può essere prodotta in collisioni che hanno una sezione d urto tipica delle interazioni forti 43 ma, d altro canto, possono decadere debolmente. Lo strano comportamento consiste proprio nella loro creazione tramite interazioni forti e nel loro decadimento tipico delle interazioni deboli. Per questo viene introdotto il numero quantico della stranezza S, che si conserva nelle interazioni forti ma non in quelle deboli. Grazie alla legge di Gell Mann e Nishijima possiamo scrivere la carica elettrica come B S 1 Q I3 I3 Y, (.3) 4 È bene ricordare che J = L + S. Si utilizza la notazione J P per indicare la proiezione J P = (L + S) P. 43 Nelle interazioni forti si conservano tutti i numeri quantici C, P, J, B, S, Y. 7

28 dove abbiamo indicato con Y = B + S la cosiddetta ipercarica. In questo senso i barioni strani sono spesso chiamati iperoni. L obiettivo di Gell Mann e Zweig consiste nel comporre gli adroni con i quark (si veda la tabella seguente), ossia fermioni di spin 1/..3 Eightf o ld Wa y e la scoperta di Ω Lo schema Eightfold Way serve per mettere ordine alla giungla delle risonanze ottenute. Questo si basa fondamentalmente sulle proprietà del gruppo di simmetria SU 3 senza fare ricorso ad alcuna struttura interna. L idea di fondo fu quella di classificare tutti gli adroni (barioni e, distintamente, mesoni) utilizzando l isospin I 3 e l ipercarica 44 Y (che per i mesoni coincide con la stranezza S) e andando a formare dei multipletti contenenti particelle con stesso valore di spin e parità. L entità di base del modello è l ottetto (otto particelle): tutte le particelle e/o risonanze appartengono all ottetto o ai multipletti che si ottengono combinando tra loro i vari ottetti 45 ; viene da sé che grazie a questo metodo è anche stato possibile fare delle previsioni sull esistenza di particelle e/o risonanze. La simmetria SU 3 che abbiamo visto è detta di sapore, per distinguerla dalla SU 3 di colore che darà sviluppo alla Cromodinamica Quantistica (QCD). Quella di sapore è 44 L ipercarica contiene, al suo interno, la stranezza. Avendo dunque tre variabili B, I, S, diventa naturale dover allargare il gruppo di simmetria dell isospin, SU, ad uno più largo di rango, cioè SU Con due ottetti di SU 3 si possono avere solo multipletti di dimensione 1,8,10,7. L ultimo viene scartato perché avrebbe stranezza S = +1, fatto mai osservato in natura. 8

29 una simmetria approssimata: mentre per il protone e il neutrone ho masse quasi identiche (la simmetria presuppone una degenerazione di massa!), per i mesoni questo cessa di esser vero (alcuni hanno masse dell ordine dei 500 MeV e altri di 150 MeV). La figura seguente riporta l ottetto dei barioni (sinistra) e il nonetto dei mesoni (destra). Nello studio sui barioni con spin 3/ è possibile determinare anche il decupletto mostrato nella figura in basso, che si aggiunge al precedente ottetto. I due multipletti (ottetto e decupletto) si hanno perché con i barioni è necessario comporre la SU 3 di sapore con la SU di spin per avere la SU 6. Per i mesoni questo non era necessario (dalle combinazioni qq colore anticolore si producevano singoletti di colore mesonici) 9

30 Come si vede dal grafico, viene anche ipotizzata una particella di carica Q = 1 e stranezza S = 3. La particella in questione, predetta da Gell Mann, venne chiamata Ω e può decadere solo debolmente 46 a causa della sua stranezza S = 3..4 Modello sta tico a quark Ricapitolando quanto detto sinora, abbiamo visto che grazie alla comprensione della simmetria SU 3 è emerso che tutti gli adroni sono composti da quark, anche se sperimentalmente non erano ancora stati osservati. Lo schema trovato presuppone che: I barioni sono formati da tre quark u, d, s (up, down e strange). I mesoni sono formati da coppie quark antiquark. I quark hanno spin 1/ e carica frazionaria 1/3 e /3 con segno opportuno. I tre quark u, d, s formano un tripletto che è una rappresentazione fondamentale del gruppo; essendo fermioni di spin 1/, la Teoria di Dirac ammette l esistenza degli stati coniugati di carica ossia gli antiquark. La figura seguente li presenta tramite coordinate..5 Si mmetrie e M ultiple tti Abbiamo osservato, come conseguenza della conservazione dell isospin nelle interazioni forti, che gli stati adronici si raggruppano in multipletti con isospin totale determinato. Inoltre, all interno di ogni multipletto i diversi stati sono contraddistinti dal 46 Tutte le interazioni (eccetto quella debole) comportano la conservazione della stranezza. Se dunque si segue questa via, si avrebbe il decadimento Ω ΛK 0 K che, però, non è possibile visto che la massa finale sarebbe maggiore di quella iniziale e dunque non si conserverebbe l energia. L unica via è dunque il decadimento debole, con passi di ΔS = 1. 30

31 valore di I 3. In assenza di effetti che rompono la simmetria, i membri di ogni multipletto sono di conseguenza degeneri in massa 47. Gli operatori di isospin commutano con l Hamiltoniana delle interazioni forti e, quindi, anche con tutti gli operatori che a loro volta commutano con quest ultima. Tra questi, in particolare, si distinguono gli operatori di Momento Angolare e Parità: ne deriva che tutti i membri di un multipletto di isospin hanno lo stesso spin e la stessa parità. L Hamiltoniana delle interazioni forti è inoltre invariante rispetto alle rappresentazioni unitarie di SU : i numeri quantici che individuano i componenti dei multipletti saranno tanti quanti sono i generatori che, commutando tra di loro, possono essere diagonalizzati simultaneamente. Per quanto già detto nel Capitolo 1, questo numero è il rango del gruppo; per SU il rango è 1 e si diagonalizza I 3. Valendo inoltre le note relazioni di commutazione I i, I j = iε ijk I k, ognuno dei generatori commuterà con I I I I. (.4) 1 3 L operatore I potrà pertanto essere diagonalizzato contemporaneamente a I 3 ; i suoi autovalori, insieme a quelli di I 3 permettono di etichettare i vettori di stato e quindi le particelle: è per questo motivo che si raggruppano gli stati di una particella in multipletti con un dato valore di I. In ogni multipletto avremo dunque operatori che sono rappresentati da matrici l + 1 l + 1 che realizzano delle rappresentazioni irriducibili 48. Se si ripete questo ragionamento per l isospin risulta possibile raggruppare i barioni e i mesoni in due ottetti composti di multipletti di isospin; dovrebbe dunque esserci anche un gruppo di simmetria per l Hamiltoniana delle interazioni forti che contenga gli ottetti e i decupletti mostrati nei paragrafi precedenti. Tuttavia, dato che ci sono differenze di massa tra i membri dei multipletti, si ha che la simmetria è rotta, ossia approssimata. Poiché i membri dell ottetto sono caratterizzati da due numeri quantici additivi, il gruppo di simmetria va cercato tra quelli di rango (con due generatori che commutano tra di loro); in particolare cerchiamo le rappresentazioni irriducibili, tali che da un 47 Le interazioni elettromagnetiche non rispettano la simmetria dell isospin e per questo rimuovono la degenerazione in massa, dando differenze di massa al livello del per cento nei multipletti di isospin. 48 La cui dimensione è appunto l + 1 l

32 membro qualsiasi del multipletto si possano ottenere tutti gli altri medianti trasformazioni del gruppo 49. Nel caso di SU 3 i generatori sono otto e di questi due sono diagonali: il primo è associato a I 3 e il secondo a Y. Essendo le rappresentazioni fondamentali dei tripletti, da queste si ricavano i multipletti dei mesoni e dei barioni: I mesoni sono dati da coppie quark antiquark; avremo dunque 3 3 = 1 8. I barioni contengono tre quark; in base a quanto già calcolato nel Capitolo precedente si avrà che = 1 A 8 MA 8 MS 10 s..6 I mesoni nel Modello a quark Il modo più economico di costruire i mesoni nel modello a quark consiste nel formare combinazioni qq calcolando il prodotto diretto tra le due rappresentazioni fondamentali 3 e 3. Il nonetto 50 degli stati si ottiene andando ad usare il metodo grafico: questo si ridurrà poi ad un ottetto e un singoletto, come viene mostrato nella figura successiva. Poiché il quark s (e relativo antiquark s ) hanno isospin di singoletto allora non possono accoppiarsi per dare lo stato I = 1. Possono comunque appaiarsi per dare I = 0, che si collocherà al centro dell ottetto. Gli stati di singoletto e ottetto saranno, rispettivamente 1 1, 0,0 uu dd ss 3 (.5) 1 8, 0,0 uu dd ss 6 (.6) 49 La rappresentazione non banale (cioè non di singoletto) di dimensione più bassa è quella fondamentale. 50 Componendo un quark e un antiquark si ha 8 1 cioè un ottetto e un singoletto (due gruppi mesonici). 3

33 Da notare che nelle equazioni è stata utilizzata la notazione n, I, I 3, dove n è la dimensione della rappresentazione. Il modello a quark predice dunque che i mesoni appartengono agli ottetti e singoletti di SU 3. Negli ottetti ci sono due doppietti di isospin con Y = +1 e Y = 1 (cioè particelle e antiparticelle) e un tripletto di isospin con Y = 0 che si va ad aggiungere al singoletto (per il quale, ovviamente, si ha Y = 0)..7 I barioni nel Modello a quark La descrizione del modello a quark per i barioni è più complicata di quella dei mesoni. Nel paragrafo precedente, infatti, abbiamo tacitamente ammesso che, in ogni coppia qq, dalle combinazioni colore anticolore venivano prodotti singoletti di colore mesonici. Poiché i quark hanno numero barionico B = 1/3, la via più semplice per costruire i barioni dai tripletti di quark di base è quella di formare stati qqq; in questo senso abbiamo bisogno che la funzione d onda dei quark sia antisimmetrica (i barioni, a differenza dei mesoni, sono fermioni!). Tuttavia se andiamo a comporre la funzione ( space) ( flavour ) ( spin), (.7) questa assumerebbe una forma simmetrica 51. Quello che si è fatto è stato utilizzare un artificio matematico introducendo un altro grado di libertà, il colore, la cui funzione associata è antisimmetrica. In questa maniera la funzione d onda sarà antisimmetrica: ( space) ( flavour ) ( spin) ( colour ). (.8) Dalla composizione di tre quark otteniamo = 1 A 8 MA 8 MS 10 5 s. Poiché il valore assunto dallo spin totale, potranno essere costruiti sia l ottetto che il decupletto: L ottetto rappresenta i barioni di spin 1/. I tre quark hanno momento angolare orbitale l = 0 e somma degli spin J = 1/ ( ). Ci sono due stati uds con Q = 0, I 3 = 0, Y = 0 al centro dell ottetto, cioè Σ 0 e Λ 0 : mentre Σ 0 è uno stato di isospin I = 1 (simmetrico), Λ 0 rappresenta il singoletto di isospin (è, dunque, antisimmetrico). 51 Se ad esempio consideriamo i barioni di spin 3/ avremmo tre quark uguali nella parte di sapore (qqq), di spazio e anche di spin (per avere 3/ devo comporre tutti e tre i quark con spin +1/). La funzione d onda complessiva, di conseguenza, sarebbe senza dubbio simmetrica! 5 Ora da tre quark otteniamo un singoletto, due ottetti e un decupletto, cioè quattro gruppi di barioni. 33

34 Il decupletto rappresenta gli stati dei barioni con spin 3/, perciò con tre quark aventi spin paralleli ( ). Il singoletto è un barione simile a Λ 0 e con spin 3/. La costruzione grafica dell ottetto e del decupletto è mostrata nell immagine seguente..8 Parità e coniugazione di carica nei me soni Cerchiamo ora di capire se gli altri numeri quantici come la parità di spin e la parità di carica siano in accordo con i valori sperimentalmente osservati. Ricordando che i quark sono fermioni di spin 1/, abbiamo che in uno stato mesonico qq gli spin devono comporsi per dare uno spin totale S = 0, 1. Come prima, se la coppia quark antiquark ha un momento angolare orbitale L allora il momento angolare totale sarà J = L + S. La cosa importante per i mesoni è che la parità degli stati sarà P 1 ( 1) L, (.9) nella quale il fattore 1 L deriva dal moto orbitale e il fattore ( 1) è dovuto alle parità intrinseche 53 opposte dei quark e antiquark. Per convenzione si assegna ai quark e ai 53 Le particelle a riposo sono autostati di parità e l autovalore ±1 è chiamato parità intrinseca della particella (o antiparticella). Dall equazione di Dirac abbiamo che le particelle di spin 1/ hanno parità intrinseca opposta a quella delle rispettive antiparticelle. Se, invece, le particelle hanno spin 0, allora la parità intrinseca delle particelle e delle antiparticelle coincide. In questo senso i bosoni non hanno una parità intrinseca che distingua particelle e antiparticelle. I fotoni, invece, hanno parità intrinseca negativa. 34

35 leptoni una parità +1 e alle rispettive antiparticelle una parità 1. I possibili valori di J P dei mesoni formati da coppie quark antiquark sono elencati nella tabella seguente. Momento angolare orbitale L Singoletto S = 0 Spin dei Quark Tripletto S = , 1 +, + 1,, 3 In questa tabella è possibile suddividere i mesoni tra gli pseudoscalari con spin 0 (quando quark e antiquark si accoppiano spin opposto) e i vettori con spin 1 (quando quark e antiquark si appaiano spin parallelo). Quando le particelle si trovano in uno stato di momento angolare definito, allora questo anche questo stato rappresenta un autostato di parità; infatti vale la formula seguente: Y lm l (, ) ( 1) Y (, ). (.10) Nelle situazioni in cui abbiamo a che fare con sistemi di due o tre particelle (quark), andremo ad applicare le formule seguenti (l immagine successiva ne chiarisce il senso). P PP ( 1 1)L (.11) P lm 1 ( 1) L L PP P ( 1) (.1) 1 3 Passiamo ora a trattare la coniugazione di carica. Questo operatore permette di sostituire tutte le particelle con le rispettive antiparticelle nello stesso stato e, come la 35

36 parità, è un numero quantico moltiplicativo con autovalori ±1. È bene precisare che la gran parte delle particelle (a riposo o no) non sono suoi autostati; un esempio è dato da C, (.13) visto che, come sappiamo, π + e π sono particelle distinte con valori opposti di carica elettrica! Pertanto l operatore rappresenta un buon numero quantico soltanto per stati con Q = B = S = 0; per questo è applicabile unicamente ai bosoni di gauge neutri e ai mesoni neutri al centro dei nonetti. Limitando la nostra attenzione al caso dei mesoni, qui l operatore C è equivalente alla successione dell operatore parità P, che comporta il fattore 1 L+1, seguito dall operatore scambio di spin S, che a sua volta porta un fattore 1 S+1. Per questo la coniugazione di carica per i mesoni sarà C L1 S1 LS ( 1) ( 1) ( 1). (.14) La coniugazione di carica è una quantità che non viene conservata nelle interazioni deboli, mentre sia quelle elettromagnetiche che forti permettono la sua conservazione 54. Da notare, infine, che sia la parità che la coniugazione di carica non toccano lo spin. Operando in questo modo possiamo perciò ottenere i seguenti set di nonetti di mesoni. L = 0 S = 0 J = 0 P = 1 C = +1 L = 0 S = 1 J = 1 P = 1 C = 1 L = 1 S = 0 J = 1 P = +1 C = 1 L = 1 S = 1 J = 0, 1, P = +1 C = π 0 γ + γ è permessa perché si conserva la coniugazione di carica (+1 = 1 1). Invece la reazione π 0 γ + γ + γ non è permessa perché non si conserva C ( ). 36

37 Questi valori, come si vede, sono frutto del modello a quark costituenti visto che sono pienamente previsti dal modello stesso. L aggettivo costituente serve ad indicare che, partendo dai tripletti di quark, il modello stesso è in grado di costruire tutte le altre particelle. Vedremo nel seguito della trattazione che si troveranno degli ottetti non previsti da questo schema a quark costituenti; questi gruppi verranno denominati esotici..9 Il Co lore come nuovo nume ro quantico In questo paragrafo torniamo sul concetto di colore, accennato qualche istante prima. Se consideriamo la risonanza ++ (J = 3/, P = +1), questa è formata da tre quark di sapore u. Trattandosi del barione più leggero tra quelli di spin 3/, possiamo assumere che il suo momento angolare orbitale sia L = 0, che corrisponde ad una parte spaziale simmetrica per la funzione d onda. Ma per avere J = 3/ è necessario che tutti e tre i quark abbiano spin paralleli ( ): anche la parte di spin della funzione d onda sarà simmetrica 55. Infine, trattandosi di tre quark u, sarà simmetrica anche la parte di sapore. Avremo dunque una funzione d onda totale della ++, formata da tre quark (quindi tre fermioni), totalmente simmetrica! Questo ovviamente non va bene visto che i tre quark sono fermioni: se non si vuole violare il Principio di Pauli la funzione d onda deve essere necessariamente antisimmetrica sotto uno scambio di qualsiasi coppia di quark. La soluzione consiste nell introdurre un nuovo grado di libertà chiamato colore. Questo numero quantico venne ipotizzato nel 1964 da Greenberg ed in seguito si postulò che: I quark esistono in tre colori: red, green e blue. Gli antiquark sono dotati di anticolore. I mesoni e barioni sono costruiti di quark e non hanno colore: sono cioè singoletti di colore (detti anche particelle bianche). Come si è visto nell equazione (.8), la parte di colore andrà ad aggiungersi alla parte spaziale, di spin e di sapore. Per una sua forma esplicita è possibile scrivere la seguente: 1 colour rgb gbr brg grb rbg bgr. (.15) 6 55 Con due particelle il singoletto è dato da ( 1 1 )/ e il tripletto da 1, 1, ( )/. 37

38 .10 Riepilogo conclusivo Come abbiamo detto in precedenza, la simmetria degli stati di isospin è chiamata SU ed ha, come generatori, le tre matrici di Pauli (di cui una sola è diagonale). Per riprodurre anche i numeri quantici delle particelle strane, oltre alla semplice conservazione dell isospin è necessario introdurre la conservazione della stranezza. Nella simmetria SU 3 i generatori sono otto (le matrici di Gell Mann) e di questi solo due sono diagonali (o, meglio, diagonalizzabili simultaneamente): uno è associato alla terza componente dell isospin e l altro all ipercarica, cioè I 3, Y. I multipletti di SU 3 saranno così caratterizzati da due numeri quantici additivi. La scelta convenzionale di questi due numeri è data da T 3 = λ 3 / e Y 3 = λ 8 / 3 (paragrafo 1.1). La loro base sarà u (1,0,0), d (0,1,0), s (0,0,1) 56. (.16) Dalle predizioni del modello è anche possibile stimare le masse dei quark, che sono: m 335 MeV, m 335 MeV, m 510MeV. (.17) u d s Riepilogando quanto detto fino ad ora, l isospin e la simmetria SU 3 vengono usati per Classificare i quark e gli stati adronici. Calcolare le funzioni d onda adroniche. Dedurre le relazioni tra le probabilità di decadimenti adronici o di sezioni d urto. Si utilizza SU per descrivere lo spin (ordinario), l isospin e l isospin debole 57 ; questi non hanno nulla a che fare tra di loro ma impiegano la stessa matematica, cioè hanno le stesse proprietà gruppali di SU. Si utilizza SU 3 per descrivere i quark u, d, s di sapore e quelli r, g, b di colore 58. Come prima questi hanno in comune la sola algebra di SU 3, appunto. È importante ribadire che i multipletti costruiti fino ad ora sono approssimati perché sono stati utilizzati i quark uds ossia quelli con la simmetria di sapore (e non di colore). 56 NB: se SU 3 è una simmetria dell interazione adronica, allora tutte le particelle a interazione adronica si rappresenteranno come combinazione di questi stati e tutte le grandezze conservate saranno operatori diagonali in questa rappresentazione. 57 L isospin debole è una simmetria di gauge SU delle interazioni deboli (che viene rotta dal meccanismo di Higgs). 58 La SU 3 di colore è una simmetria di gauge esatta per le interazioni forti (QCD). 38

39 Capitolo 3 DIFFUSIO NE SU NU CLEON I L attuale approccio allo studio della struttura adronica ha origine nei lavori condotti a Stanford dove, nel 1950, venivano usati raggi di elettroni per sondare la distribuzione di carica elettrica dei nuclei. In questo Capitolo riproporremo i principi delle tecniche utilizzate per riuscire a stabilire una ossatura teorica nella quale saranno esaminati i più recenti esperimenti. 3.1 Scattering elastico e sezione d ur to Nel caso di diffusione elastica di elettroni su nuclei, l unica energia trasferita è quella di rinculo (dell elettrone) ed il bersaglio non viene eccitato ad un livello di energia superiore 59. Andando ad imporre la conservazione del quadrimpulso P = E, p, le energie delle particelle entranti e di quelle uscenti sono connesse in maniera univoca da: E E '. (3.1) E 1 (1 cos ) Mc In questa relazione si è assunta una massa per l elettrone m e 0, ossia si è ipotizzata una situazione ultrarelativistica. Come si vede nella (3.1), l urto elastico dipende unicamente da θ, l angolo tra la direzione di moto iniziale e quella finale dell elettrone. La sezione d urto differenziale per questo processo è data dalla formula di Rutherford 60 : d d 4 4 pi sin ( / ). (3.) In realtà, la carica del protone non è localizzata in un punto. Per determinare la distribuzione di carica, la sezione d urto differenziale misurata per gli elettroni diffusi 59 Con urti elastici, lo spettro sperimentale di energia degli elettroni diffusi sarebbe monoenergetico. Se invece si osserva un energia trasferita più grande di quella del semplice rinculo, allora l urto è anelastico. 60 È necessaria una modificata per tenere conto di particelle relativistiche. Si pone infatti che μv i = p i c. 39

40 dovrebbe essere, in principio, comparata con quella aspettata per lo scattering con una carica puntiforme (cioè proprio la sezione d urto di Rutherford) ed avere quindi che d d d d mis Rutherford [ Fq ( )], (3.3) dove F q, detto fattore di forma, è pari alla Trasformata di Fourier della distribuzione di densità della carica elettrica e q = p i p 61 f è la differenza tra la quantità di moto iniziale e finale. Per quanto detto, la formula esplicita del fattore di forma sarà pari a: F( q) ( r)expiq rd. (3.4) In ogni caso, anche se il protone (pensato come il bersaglio) è considerato puntiforme, il calcolo di Rutherford può essere ancora migliorato trattando l elettrone come una particella di Dirac con spin 1/. Trascurando il rinculo del bersaglio, la trattazione relativistica di questa situazione porta alla formula di Mott, che può essere espressa in cos / * d d. (3.5) dmott d Ruth 1 E/ M sin / Ad alte energie la formula di Mott diminuisce più rapidamente di quella di Rutherford; la sezione d urto di Mott assumerà il seguente andamento nel limite relativistico β 1: * 4 ( ) ' cos 4 Mott Ruth d d Z c E cos d d qc (3.6) 61 Avremo dunque che q = p i + p f p i p f. Se il protone non rinculasse allora q = 4p i sin (θ/). Essendo q un quadrivettore, questo sarà di tipo tempo se q > 0 e di tipo spazio se q < 0. 40

41 Il fattore aggiuntivo che compare a moltiplicare la formula di Rutherford si spiega considerando il caso estremo di diffusione a 180 ; infatti, dovendo conservarsi il momento angolare, possiamo vedere (la figura precedente ne dà una rappresentazione classica ) che la diffusione per θ = 180 è possibile solo se il nucleo ha spin 6, rendendo quindi possibile uno spin flip dell elettrone (lo spin si trova ruotato di 180 ). 3. Elicità dell elettrone Prima di continuare il discorso del paragrafo precedente è bene introdurre il concetto di elicità, definita come la proiezione dello spin lungo la direzione di moto. L elicità gioca un ruolo fondamentale nella distinzione tra le particelle massive e le particelle con massa nulla; in particolare si preferisce utilizzarla nella descrizione di quest ultime (per quelle dotate di massa si continua a parlare di spin ). Questa è una diretta conseguenza del fatto che nelle particelle di massa nulla l elicità è una quantità conservata 63. Trattando così l elettrone del caso precedente come particella con m 0, si vede che inizialmente l elicità è negativa (spin opposto alla direzione di moto); poiché l elicità deve conservarsi (negativa), dopo la diffusione di 180 lo spin deve essere ruotato visto che il verso finale della direzione dell elettrone è l opposto di quanto si aveva all inizio. Otteniamo di conseguenza una differenza di spin S = 1. Ripetiamo ancora una volta che la condizione affinché ciò sia verificato consiste nell avere un bersaglio dotato di spin (in figura il protone è stato dotato di momento angolare L): infatti il momento angolare totale J = L + S si conserva (in seguito alla variazione di spin) solo se L Fatto ri di forma nucleari Negli esperimenti di diffusione su nuclei, la sezione d urto di Mott è in accordo con le misure sperimentali solo nel caso limite q 0. Per valori più grandi le sezioni d urto 6 Se il nucleo non avesse spin, una diffusione a 180 comporterebbe una sezione d urto nulla (le particelle rimbalzano e dunque non c è probabilità di interazione fascio bersaglio). Se, invece, si ha una sezione d urto non nulla con θ = 180, è necessario pensare che il bersaglio abbia uno spin. 63 Avendo massa nulla si muoveranno alla velocità della luce. Non esiste dunque un sistema di riferimento, di maggiore velocità, nel quale si possa vedere la particella andare all indietro (T. Lorentz). 41

42 sperimentali, espresse dalla (3.3), sono sistematicamente più piccole di quelle previste dalla formula di Mott; questo perché i nuclei hanno un estensione spaziale non nulla, non prevista dalla formula (3.5). All aumentare del momento trasferito diminuirà la dimensione spaziale vista dalla sonda (elettrone) che interagirà, perciò, solo con una certa frazione della carica del nucleo: in questo modo la sezione d urto sarà diminuita. Preso un nucleo con carica Z, si definisce la funzione distribuzione di carica f x come: p x Ze f x f x d x 1. (3.7) 3 Come detto, la Trasformata di Fourier della distribuzione di carica è il fattore di forma i qx 3 F q e f xd x, (3.8) in cui, è bene ricordarlo, abbiamo posto q = p i p f. Come si vede, nel caso di carica puntiforme otteniamo che la sezione d urto misurata coincide con quella di Rutherford: f x x F const (3.9) 1. L importanza dei fattori di forma risiede nel fatto che questi sono calcolabili a partire dalle misure: una volta ricavati si utilizzano per ricavarne le predizioni teoriche cercate. Sperimentalmente, infatti, quello che si fa è misurare il valore assoluto F q facendo il rapporto tra la sezione d urto misurata e la sezione di Mott, ossia invertendo la (3.3). La tabella che segue evidenzia i fattori di forma per alcune distribuzioni di carica note. 4

43 Le prime misure dei fattori di forma vennero fatte negli anni 50 presso l acceleratore lineare ad elettroni dell Università di Stanford in California. Con energie del fascio di circa 500 MeV vennero misurate le sezioni d urto, avendo come bersaglio una grande varietà di nuclei. Quello che si faceva era graficare il rapporto dς/dω in funzione di θ; le tipiche figure di diffrazione che si ottenevano erano imputabili al fattore di forma. 3.4 Ese mpi di calcolo con i fatto ri di forma In questo paragrafo calcoleremo esplicitamente il fattore di forma nel caso distribuzione con bordo netto (l andamento di tale distribuzione è mostrato nell immagine precedente). Stando nell approssimazione di Born e assumendo che l energia ν trasferita sotto forma di energia cinetica di rinculo sia piccola e dunque trascurabile, 43

44 utilizziamo sempre la Trasformata di Fourier (3.4) per il calcolo del fattore di forma, ed iniziamo ad imporre la condizione di normalizzazione sulla di distribuzione di carica: r dr 1. (3.10) Possiamo ottenere le informazioni sul raggio nucleare anche studiando i fattori di forma nel limite q 0. L esponenziale della (3.4) potrà pertanto essere sviluppato nel modo: iqr e 1 iqr.... (3.11) L integrale di Fourier può così essere riscritto in una somma dove si ha, al primo ordine q r r dr (3.1) Di conseguenza sopravvive solo il termine del secondo ordine, che si calcola essere qr r dr q cos r r dr r r r r dr, (3.13) nella quale con r abbiamo indicato il raggio quadratico medio di carica, che ci dà un approssimazione su quanto sia grande il bersaglio. Da questo, infatti, si scopre che F q r. (3.14) q q 0 Questo ci consente di dare uno sviluppo in serie del fattore di forma, che allora sarà: q r Fq 6 1 ( ) (3.15) Nel caso del protone si ha r carica prot. ~0.9 fm. È bene puntualizzare che con il ragionamento esposto sopra è possibile ottenere un altro risultato ben noto in fisica: Rnucleo 1/3 r0 A. (3.16) Vediamo ora il caso di densità di carica con profilo a scalino (sfera uniforme). Andando ad imporre la normalizzazione della distribuzione di densità di carica e ricordando che, in coordinate sferiche, si ha dr = r dφd cos θ dr, si trova che R r dr 1 R. (3.17) R0 64 La distribuzione ρ r è simmetrica rispetto ad r e dunque il prodotto r ρ r sarà dispari. 44

45 Ovviamente per r > R 0 abbiamo ρ 0 = 0. Ora ricordando che sin θ dθ = d cos θ, si può portare avanti il calcolo per determinare il fattore di forma che stiamo cercando. Dimostrazione: π π Si ha che F q = ρ 0 dφ sin θ dθ e ħ r dr = ρ π r ħ 0 R 0 iqr cos θ R 0 iqr eiqr ħ e iqrħdr=ρ0ħ4πq0r0sinqrħrdr. Se si pone x=qrħ e x0=qr0ħ, il calcolo precedente diventa F q = ρ 0 ħ 4π q ħ q x 0 ħ x sin x dx = 4πρ sin qr 0 q 3 ħ qr 0 cos qr 0 ħ ħ che può essere riscritto tutto in funzione di R 0 (e non di ρ 0 ) nella seguente forma finale: F q 3 1 qr qr qr 4 sin cos. (3.18) R0 q Come si vede il fattore di forma che ne risulta ha una forma oscillante che, poi, produrrà le figure di diffrazione visualizzabili nei dati sperimentali che si raccolgono. 3.5 Modifiche alla sezio ne d ur to di Mott Come detto più volte, la diffusione elastica degli elettroni 65 su nuclei di idrogeno e deuterio ci permette di estrarre informazioni sul protone e sul neutrone. Questo richiede l impiego di fasci di energie variabili (da qualche centinaia di MeV a parecchi GeV). Si rende pertanto utile considerare gli effetti legati al rinculo del bersaglio: lo spazio delle fasi per lo stato finale deve essere così modificato e la sezione d urto di Mott diventa: * d d E '. (3.19) d d E Mott Se descriviamo il processo di diffusione in termini del quadrimpulso trasferito abbiamo EE ' EE ' q p p ' me c p p ' cos 4 sin. (3.0) c c In questo contesto è preferibile utilizzare la notazione Q = q, come si farà tra poco. Mott 65 Se avessimo avuto un positrone come bersaglio, si avrebbe q > 0 (tipo tempo) e dunque si avrebbe a disposizione l energia per creare qualcosa : infatti si avrebbe la reazione e + e + p + p. 45

46 3.6 Il mo me nto ma g netico In questo paragrafo vogliamo descrivere l interazione che si stabilisce tra l elettrone e il momento magnetico dei nucleoni. Se, a tal proposito, scriviamo l equazione di Dirac p m 0 (3.1) e si effettua la sostituzione minimale p p ea, otteniamo l equazione di Pauli 66 che comporta, per l elettrone, l esistenza di un momento di dipolo magnetico intrinseco: e e m e [ ev / T]. (3.) Infatti sappiamo che il momento magnetico di una particella carica di spin 1/ che non possieda una struttura interna (questa è stata chiamata particella di Dirac) è dato da: e g, (3.3) M dove M è la massa della particella; il fattore g, invece, deriva dall equazione di Dirac. Per particelle di Dirac cariche, il fattore g deve essere uguale a (self interaction), mentre per quelle neutre il momento magnetico si annulla. Le misure sperimentali dei momenti magnetici (vedi figura) dei muoni ed elettroni confermano 67 il valore g =. L interazione magnetica è associata all inversione della direzione dello spin del nucleone ed introduce, quindi, un fattore nella sezione d urto che conterrà un termine del tipo sin (θ/) come già osservato nell equazione (3.5). Pertanto se ne conclude che 66 Attraverso una riduzione dell equazione di Dirac con il campo elettromagnetico si ottiene l equazione di Pauli, nella quale entrano in gioco il campo elettrico e quello magnetico poiché sono legati al potenziale vettore A μ. In questo modo si trova (con poca fatica!) il pezzo legato al campo magnetico. 67 A meno di piccole deviazioni. 46